资源简介

高考解答题六大专题
专题四：概率分布，数学期望及线性关系（原创版）
经典例题（一）-高考真题（2022年）
（一）、一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据：
不够良好 良好
病例组 40 60
对照组 10 90
（1）能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？
（2）从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该疾病”．与的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R．
（ⅰ）证明：；
（ⅱ）利用该调查数据，给出的估计值，并利用（ⅰ）的结果给出R的估计值．
附，
0050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
经典例题（二）-高考真题（2021年）
（一）、某学校组织"一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题 每位参加比赛的同学先在两类问题中选择类并从中随机抽収一个问题冋答，若回答错误则该同学比赛结束；若 回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问題回答，无论回答正确与否，该同学比赛 结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分：B类问题中的每个问题 回答正确得80分，否则得0分。
己知小明能正确回答A类问题的概率为0.8 ,能正确回答B类问題的概率为0.6 . 且能正确回答问题的概率与回答次序无关。
（1）若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列：
（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由。
配套专题训练（原创版）
1．调查某种新型作物在某地的耕种状况与农民收入的关系，现在当地农户中随机选取了300户农民进行了统计，发现当年收入水平提高的农户占，而当年选择耕种作物的农户占，既选择作物又收入提高的农户为180户．
（1）完成下面列联表，并分析是否有的把握认为种植作物与收入提高有关；
种植作物的数量 未种植作物的数量 合计
收入提高的数量
收入未提高的数量
合计
附：，．
（2）某农户决定在一个大棚内交替种植，，三种作物，为了保持土壤肥度，每种作物都不连续种植．开始时选择作物种植，后因习惯，在每次种植后会有的可能性种植，的可能性种植；在每次种植的前提下再种植的概率为，种植的概率为，在每次种植的前提下再种植的概率为，种植的概率为．若仅种植三次，求种植作物次数的分布列及期望．
2．2019年4月，江苏省发布了高考综合改革实施方案，试行“”高考新模式．为调研新高考模式下，某校学生选择物理或历史与性别是否有关，统计了该校高三年级800名学生的选科情况，部分数据如表：
性别 科目 男生 女生 合计
物理 300
历史 150
合计 400 800
（1）根据所给数据完成上述表格，并判断是否有的把握认为该校学生选择物理或历史与性别有关；
（2）该校为了提高选择历史科目学生的数学学习兴趣，用分层抽样的方法从该类学生中抽取5人，组成数学学习小组．一段时间后，从该小组中抽取3人汇报数学学习心得．记3人中男生人数为，求的分布列和数学期望．
附：．
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
3．某电子公司新开发一电子产品，该电子产品的一个系统有个电子元件组成，各个电子元件能正常工作的概率均为，且每个电子元件能否正常工作相互独立．若系统中有超过一半的电子元件正常工作，则系统可以正常工作，否则就需维修．
（1）当，时，若该电子产品由3个系统组成，每个系统的维修所需费用为500元，设为该电子产品需要维修的系统所需的总费用，求的分布列与数学期望；
（2）为提高系统正常工作的概率，在系统内增加两个功能完全一样的电子元件，每个新元件正常工作的概率均为，且新增元件后有超过一半的电子元件正常工作，则系统可以正常工作，问满足什么条件时，可以提高整个系统的正常工作概率？
4．某乒乓球教练为了解某同学近期的训练效果，随机记录了该同学40局接球训练成绩，每局训练时教练连续发100个球，该同学每接球成功得1分，否则不得分，且每局训练结果相互独立，得到如图所示的频率分布直方图．
（1）同一组数据用该区间的中点值作代表，
①求该同学40局接球训练成绩的样本平均数．
②若该同学的接球训练成绩近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数，求的值；
（2）为了提高该同学的训练兴趣，教练与他进行比赛．一局比赛中教练连续发100个球，该同学得分达到80分为获胜，否则教练获胜．若有人获胜达3局，则比赛结束，记比赛的局数为．以频率分布直方图中该同学获胜的频率作为概率，求．
参考数据：若随机变量，则
，
，
．
5．某公司对项目进行生产投资，所获得的利润有如下统计数据表：
项目投资金额 （单位：百万元） 1 2 3 4 5
所获利润 （单位：百万元） 0.3 0.3 0.5 0.9 1
（1）请用线性回归模型拟合与的关系，并用相关系数加以说明；
（2）该公司计划用7百万元对，两个项目进行投资．若公司对项目投资百万元所获得的利润近似满足：，求，两个项目投资金额分别为多少时，获得的总利润最大？
附：①对于一组数据，，，，，，，其回归直线方程的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：，．
②线性相关系数．一般地，相关系数的绝对值在0.95以上（含认为线性相关性较强；否则，线性相关性较弱．
参考数据：对项目投资的统计数据表中，，．
6．甲、乙两队进行排球比赛，每场比赛采用“5局3胜制”（即有一支球队先胜3局即获胜，比赛结束）．比赛排名采用积分制，积分规则如下：比赛中，以或取胜的球队积3分，负队积0分；以取胜的球队积2分，负队积1分，已知甲、乙两队比赛，甲每局获胜的概率为．
（1）甲、乙两队比赛1场后，求甲队的积分的概率分布列和数学期望；
（2）甲、乙两队比赛2场后，求两队积分相等的概率．
7．某工厂生产一种精密仪器，由第一、第二和第三工序加工而成，三道工序的加工结果相互独立，每道工序的加工结果只有、两个等级、三道工序的加工结果直接决定该仪器的产品等级：三道工序的加工结果均为级时，产品为一等品；第三工序的加工结果为级，且第一、第二工序至少有一道工序加工结果为级时，产品为二等品；其余均为三等品．每一道工序加工结果为级的概率如表一所示，一件产品的利润（单位：万元）如表二所示．
表一
工序 第一工序 第二工序 第三工序
概率 0.5 0.75 0.8
表二
等级 一等品 二等品 三等品
利润 23 8 5
（1）用表示一件产品的利润，求的分布列和数学期望；
（2）因第一工序加工结果为级的概率较低，工厂计划通过增加检测成本对第一工序进行改良，假如改良过程中，每件产品检测成本增加万元（即每件产品利润相应减少万元）时，第一工序加工结果为级的概率增加．问该改良方案对一件产品利润的期望是否会产生影响？并说明理由．
8．某市为创建全国文明城市，市文明办举办了一次文明知识网络竞赛，全市市民均有且只有一次参赛机会，满分为100分，得分大于等于80分的为优秀．竞赛结束后，随机抽取了参赛中100人的得分为样本，统计得到样本平均数为71，方差为81．假设该市有10万人参加了该竞赛活动，得分服从正态分布．
（1）估计该市这次竞赛活动得分优秀者的人数是多少万人？
（2）该市文明办为调动市民参加竞赛的积极性，制定了如下奖励方案：所有参加竞赛活动者，均可参加“抽奖赢电话费”活动，竞赛得分优秀者可抽奖两次，其余参加者抽奖一次．抽奖者点击抽奖按钮，即随机产生一个两位数，11，，，若产生的两位数的数字相同，则可奖励40元电话费，否则奖励10元电话费．假设参加竞赛活动的所有人均参加了抽奖活动，估计这次活动奖励的电话费总额为多少万元？
参考数据：若，则．
9．某地发现6名疑似病人中有1人感染病毒，需要通过血清检测确定该感染人员，血清检测结果呈阳性的即为感染人员，呈阴性表示没感染．拟采用两种方案检测：
方案甲：将这6名疑似病人血清逐个检测，直到能确定感染人员为止；
方案乙：将这6名疑似病人随机分成2组，每组3人．先将其中一组的血清混在一起检测，若结果为阳性，则表示感染人员在该组中，然后再对该组中每份血清逐个检测，直到能确定感染人员为止；若结果为阴性，则对另一组中每份血清逐个检测，直到能确定感染人员为止．
（1）求这两种方案检测次数相同的概率；
（2）如果每次检测的费用相同，请预测哪种方案检测总费用较少？并说明理由．
10．某学校共有1000名学生，其中男生400人，为了解该校学生在学校的月消费情况，采取分层抽样随机抽取了100名学生进行调查，月消费金额分布在之间．根据调查的结果绘制的学生在校月消费金额的频率分布直方图如图所示：
将月消费金额不低于750元的学生称为“高消费群”．
（1）求的值，并估计该校学生月消费金额的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）现采用分层抽样的方式从月消费金额落在，，，内的两组学生中抽取10人，再从这10人中随机抽取3人，记被抽取的3名学生中属于“高消费群”的学生人数为随机变量，求的分布列及数学期望；
（3）若样本中属于“高消费群”的女生有10人，完成下列列联表，并判断是否有的把握认为该校学生属于“高消费群”与“性别”有关？
属于“高消费群” 不属于“高消费群” 合计
男
女
合计
（参考公式：，其中
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
11．随着视频传输和移动通信技术的日益成熟、以及新冠疫情的推动，直播电商的模式正在全球范围内掀起热潮．目前，国际上、等电商平台和以为代表的社交类平台都纷纷上线了直播电商业务；在国内，淘宝、京东、抖音、拼多多、苏宁等众多平台都已成为该赛道内的玩家．根据中研产业研究院《年中国直播电商行业市场深度分析及投资战略咨询研究报告》显示，2020年上半年，“直播经济”业态主要岗位的人才达到2019年同期的2.4倍；2020年“”期间，带货主播和直播运营两大岗位高达去年同期的11.6倍．针对这一市场现象，为了加强监管，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系．现从评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为0.6，对服务的好评率为0.75，其中对商品和服务都做出好评的交易为80次．
（1）请完成关于商品和服务评价的列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为商品好评与服务好评有关？
对服务好评 对服务不满意 合计
对商品好评 80
对商品不满意 10
合计 200
（2）若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的3次购物中，设对商品和服务全为好评的次数为随机变量，求对商品和服务全为好评的次数的分布列和数学期望．
附临界值表：
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
的观测值：（其中
12．某研究性学习小组收集了某网络销售平台近五年“双十一”当天成交额的数据，并制成如下表格：
年份 2015 2016 2017 2018 2019
成交额（百亿元） 9 12 17 21 27
（1）小组成员小明准备用线性模型刻画与的关系，请帮助小明求出线性方程；参考公式：线性回归方程中的，．
（2）小组成员小王收集了更多的数据信息，借助计算机整理得到图：
小王提出，从图上来看，刻画与的关系选用线性模型明显不合理，而二次函数，，，模型或指数函数模型，，，，均有可能．已知中国人均可支配收入与中国互联网用户人均该平台消费额呈正线性相关，请你依据图表中的信息，帮助小王选择一个合理的函数模型，并简要说明理由（不需要求出，，
（3）“双十一”活动中，顾客可以享受优惠‘也可能会冲动消费，导致所购物品闲置．（闲置物品全部在某二手平台上以原价的售出）．某商户对标价100元的某种商品采取了3种销售形式促销：普通购物，秒杀购物，直播购物．该小组收集了相关信息整理得下表：
普通购物 秒杀购物 直播购物
销售量占比
折扣率
所购物品闲置率
用频率估计概率，从数学期望的角度，判断顾客购买该商品是否划算？
注：折扣率；所购物品闲置率．
13．某奶茶店推出一款新品奶茶，每杯成本4元，售价6元．如果当天卖不完，剩下的奶茶只能倒掉．奶茶店记录了60天这款新品奶茶的日需求量，整理得如表：
日需求量杯数 20 25 30 35 40 45 50
天数 5 5 10 15 10 10 5
以60天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．
（1）从这60天中任取2天，求这2天的日需求量至少有一天为35的概率；
（2）①若奶茶店一天准备了35杯这款新品奶茶，用表示当天销售这款新品奶茶的利润（单位：元），求的分布列和数学期望；
②假设奶茶店每天准备的这款新品奶茶倍数都是5的倍数，有顾客建议店主每天准备40杯这款新品奶茶，你认为店主应该接受这个建议吗？请说明理由．
14．某观影平台为了解观众对最近上映的某部影片的评价情况（评价结果仅有“好评”、“差评” ，从平台所有参与评价的观众中随机抽取216人进行调查，部分数据如表所示（单位：人）
好评 差评 合计
男性 68 108
女性 60
合计 216
（1）请将列联表补充完整，并判断是否有的把握认为“对该部影片的评价与性别有关”？
（2）若将频率视为概率，从观影平台的所有给出“好评”的观众中随机抽取3人，用随机变量表示被抽到的男性观众的人数，求的分布列；
（3）在抽出的216人中，从给出“好评”的观众中利用分层抽样的方法抽取10人，从给出“差评”的观众中抽取人．现从这人中，随机抽出2人，用随机变量表示被抽到的给出“好评”的女性观众的人数．若随机变量的数学期望不小于1，求的最大值．
参考公式：，其中．
参考数据：
0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
15．2020年新冠肺炎疫情爆发以来，国家迅速采取最全面，最严格，最彻底的防控举措，坚决遏制疫情蔓延势头，努力把疫情影响降到最低，为全世界抗击新冠肺炎疫情作出了贡献．为普及防治新冠肺炎的相关知识，某社区开展了线上新冠肺炎防控知识竞赛，现从大批参与者中随机抽取了200名幸运者的成绩进行分析，他们的得分（满分100分）数据统计结果如表：
得分 人数 频率
， 5 0.025
， 30 0.150
， 40 0.200
， 50 0.250
， 45 0.225
， 20 0.100
， 10 0.050
合计 200 1
（1）若此次知识竞赛得分整体服从正态分布，用样本来估计总体，设，分别为抽取的200名幸运者得分的平均值和标准差（同一组数据用该区间中点值代替），求，的值（四舍五入取整数），及的值；
（2）在（1）的条件下，为感谢大家积极参与这次活动，对随机抽取的200名幸运者制定如下奖励方案：得分低于的获得1次抽奖机会，得分不低于的获得2次抽奖机会．假定每次抽奖，抽到18元红包的概率为，抽到36元红包的概率为．已知张三是这次活动中的幸运者，记为张三在抽奖中获得红包的总金额，求的分布列和数学期望，并估算举办此次活动所需要的抽奖红包的总金额．
参考数据：；；．高考解答题六大专题
专题四：概率分布，数学期望及线性关系（解析版）
经典例题（一）-高考真题（2022年）
（一）、一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据：
不够良好 良好
病例组 40 60
对照组 10 90
（1）能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？
（2）从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该疾病”．与的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R．
（ⅰ）证明：；
（ⅱ）利用该调查数据，给出的估计值，并利用（ⅰ）的结果给出R的估计值．
附，
0050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
【答案】（1）答案见解析
（2）（i）证明见解析；(ii)；
【解析】
【分析】(1)由所给数据结合公式求出的值，将其与临界值比较大小，由此确定是否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异；(2)(i) 根据定义结合条件概率公式即可完成证明；(ii)根据（i）结合已知数据求.
【小问1详解】
由已知，
又，，
所以有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异.
【小问2详解】
(i)因为，
所以
所以，
(ii)
由已知，，
又，，
所以
经典例题（二）-高考真题（2021年）
（一）、某学校组织"一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题 每位参加比赛的同学先在两类问题中选择类并从中随机抽収一个问题冋答，若回答错误则该同学比赛结束；若 回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问題回答，无论回答正确与否，该同学比赛 结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分：B类问题中的每个问题 回答正确得80分，否则得0分。
己知小明能正确回答A类问题的概率为0.8 ,能正确回答B类问題的概率为0.6 . 且能正确回答问题的概率与回答次序无关。
（1）若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列：
（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由。
（1）解：
由题意得x=0,20,100.
P（x=0）=0.2
P(x=20)=0.8×0.4=0.32
P(x=100)=0.48
X 0 20 100
P 0.2 0.32 0.48
∴
（2）解：
小明先选择B，得分为y
∴y=0,80,100
P（y=0）=0.4
P(y=80)=0.6×0.2=0.12
P(y=100)= 0.6×0.8=0.48
y 0 80 100
p 0.4 0.12 0.48
∴
Ex=54.4 Ey=57.6
∴小明应先选择B.
配套专题训练（解析版）
1．调查某种新型作物在某地的耕种状况与农民收入的关系，现在当地农户中随机选取了300户农民进行了统计，发现当年收入水平提高的农户占，而当年选择耕种作物的农户占，既选择作物又收入提高的农户为180户．
（1）完成下面列联表，并分析是否有的把握认为种植作物与收入提高有关；
种植作物的数量 未种植作物的数量 合计
收入提高的数量
收入未提高的数量
合计
附：，．
（2）某农户决定在一个大棚内交替种植，，三种作物，为了保持土壤肥度，每种作物都不连续种植．开始时选择作物种植，后因习惯，在每次种植后会有的可能性种植，的可能性种植；在每次种植的前提下再种植的概率为，种植的概率为，在每次种植的前提下再种植的概率为，种植的概率为．若仅种植三次，求种植作物次数的分布列及期望．
【答案】见解析
【详解】（1）由题意知收入提高的有260户，未种植作物的有100户，得列联表如下：
种植作物的数量 未种植作物的数量 合计
收入提高的数量 180 80 260
收入未提高的数量 20 20 40
合计 200 100 300
经计算得，
所以有的把握认为种植作物与收入提高有关．
（2）设，，表示第次种植作物，，的事件，其中，2，3，
由已知条件得：
，，，
，，，
因为第一次必种植，则随机变量的可能取值为1，2，
，
，
所以的分布列为：
1 2
．
2．2019年4月，江苏省发布了高考综合改革实施方案，试行“”高考新模式．为调研新高考模式下，某校学生选择物理或历史与性别是否有关，统计了该校高三年级800名学生的选科情况，部分数据如表：
性别 科目 男生 女生 合计
物理 300
历史 150
合计 400 800
（1）根据所给数据完成上述表格，并判断是否有的把握认为该校学生选择物理或历史与性别有关；
（2）该校为了提高选择历史科目学生的数学学习兴趣，用分层抽样的方法从该类学生中抽取5人，组成数学学习小组．一段时间后，从该小组中抽取3人汇报数学学习心得．记3人中男生人数为，求的分布列和数学期望．
附：．
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
【答案】见解析
【详解】（1）根据所给数据完成列联表：
性别 科目 男生 女生 合计
物理 300 250 550
历史 100 150 250
合计 400 400 800
，
有的把握认为该校学生选择物理或历史与性别有关．
（2）按照分层抽样的方法，抽取男生2人，女生3人，
随机变量的所有可能取值为0，1，2，
，
，
，
的分布列为：
0 1 2
．
3．某电子公司新开发一电子产品，该电子产品的一个系统有个电子元件组成，各个电子元件能正常工作的概率均为，且每个电子元件能否正常工作相互独立．若系统中有超过一半的电子元件正常工作，则系统可以正常工作，否则就需维修．
（1）当，时，若该电子产品由3个系统组成，每个系统的维修所需费用为500元，设为该电子产品需要维修的系统所需的总费用，求的分布列与数学期望；
（2）为提高系统正常工作的概率，在系统内增加两个功能完全一样的电子元件，每个新元件正常工作的概率均为，且新增元件后有超过一半的电子元件正常工作，则系统可以正常工作，问满足什么条件时，可以提高整个系统的正常工作概率？
【答案】见解析
【详解】（1）当时，一个系统有3个电子元件，则一个系统需要维修的概率为，
设为该电子产品需要维修的系统个数，则，，
，
的分布列为：
0 500 1000 1500
．
（2）记个元件组成的系统正常工作的概率为个元件中有个正常工作的概率
为，
因此系统工常工作的概率．
在个元件组成的系统中增加两个元件得到个元件组成的系统，则新系统正常工作可分为下列情形：
（a）原系统中至少有个元件正常工作，概率为；
（b）原系统中恰有个元件正常工作，且新增的两个元件至少有1个正常工作，
概率为；
（c）原系统中恰有个元件正常工作，且新增的两个元件均正常工作，
概率为．
因此，
，
故当时，单调增加，增加两个元件后，能提高系统的可靠性．
4．某乒乓球教练为了解某同学近期的训练效果，随机记录了该同学40局接球训练成绩，每局训练时教练连续发100个球，该同学每接球成功得1分，否则不得分，且每局训练结果相互独立，得到如图所示的频率分布直方图．
（1）同一组数据用该区间的中点值作代表，
①求该同学40局接球训练成绩的样本平均数．
②若该同学的接球训练成绩近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数，求的值；
（2）为了提高该同学的训练兴趣，教练与他进行比赛．一局比赛中教练连续发100个球，该同学得分达到80分为获胜，否则教练获胜．若有人获胜达3局，则比赛结束，记比赛的局数为．以频率分布直方图中该同学获胜的频率作为概率，求．
参考数据：若随机变量，则
，
，
．
【答案】见解析
【详解】（1）①平均数；
②由题意知，，，
所以，
，
所以．
（2）以频率估计概率，则该同学获胜的概率为，
随机变量的取值为3，4，5，
所以，
，
，
所以．
5．某公司对项目进行生产投资，所获得的利润有如下统计数据表：
项目投资金额 （单位：百万元） 1 2 3 4 5
所获利润 （单位：百万元） 0.3 0.3 0.5 0.9 1
（1）请用线性回归模型拟合与的关系，并用相关系数加以说明；
（2）该公司计划用7百万元对，两个项目进行投资．若公司对项目投资百万元所获得的利润近似满足：，求，两个项目投资金额分别为多少时，获得的总利润最大？
附：①对于一组数据，，，，，，，其回归直线方程的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：，．
②线性相关系数．一般地，相关系数的绝对值在0.95以上（含认为线性相关性较强；否则，线性相关性较弱．
参考数据：对项目投资的统计数据表中，，．
【答案】见解析
【详解】（1）对项目投资的统计数据进行计算，有，，．
，，
回归直线方程为：；
线性相关系数
，
这说明投资金额与所获利润之间的线性相关关系较强，用线性回归方程对该组数据进行拟合合理；
（2）设对项目投资百万元，则对项目投资百万元．
所获总利润
，
当且仅当，即时取等号，
对，项目分别投资4.5百万元，2.5百万元时，获得总利润最大．
6．甲、乙两队进行排球比赛，每场比赛采用“5局3胜制”（即有一支球队先胜3局即获胜，比赛结束）．比赛排名采用积分制，积分规则如下：比赛中，以或取胜的球队积3分，负队积0分；以取胜的球队积2分，负队积1分，已知甲、乙两队比赛，甲每局获胜的概率为．
（1）甲、乙两队比赛1场后，求甲队的积分的概率分布列和数学期望；
（2）甲、乙两队比赛2场后，求两队积分相等的概率．
【答案】见解析
【详解】（1）随机变量的所有可能取值为0，1，2，3，
，
，
，
，
所以的分布列为
0 1 2 3
所以数学期望．
（2）记“甲、乙比赛两场后，两队积分相等”为事件，
设第场甲、乙两队积分分别为，，则，，2，
因两队积分相等，所以，即，则，
所以（A）
．
7．某工厂生产一种精密仪器，由第一、第二和第三工序加工而成，三道工序的加工结果相互独立，每道工序的加工结果只有、两个等级、三道工序的加工结果直接决定该仪器的产品等级：三道工序的加工结果均为级时，产品为一等品；第三工序的加工结果为级，且第一、第二工序至少有一道工序加工结果为级时，产品为二等品；其余均为三等品．每一道工序加工结果为级的概率如表一所示，一件产品的利润（单位：万元）如表二所示．
表一
工序 第一工序 第二工序 第三工序
概率 0.5 0.75 0.8
表二
等级 一等品 二等品 三等品
利润 23 8 5
（1）用表示一件产品的利润，求的分布列和数学期望；
（2）因第一工序加工结果为级的概率较低，工厂计划通过增加检测成本对第一工序进行改良，假如改良过程中，每件产品检测成本增加万元（即每件产品利润相应减少万元）时，第一工序加工结果为级的概率增加．问该改良方案对一件产品利润的期望是否会产生影响？并说明理由．
【答案】见解析
【详解】（1）依题意，一等品的概率为，
二等品的概率为，
三等品的概率为，
所以的分布列如下：
23 8 5
0.3 0.5 0.2
的数学期望（万元）；
（2）由题意，改良过程中，每件产品检测成本增加，
第一工序加工结果为级的概率增加，
一等品概率为，
二等品概率为
，
三等品概率为，
而一件一等品利润变为万元，二等品利润变为万元，三等品利润变为万元，
所以
万元，
因为（万元），
所以改良方案对一件产品利润的期望不会产生影响．
8．某市为创建全国文明城市，市文明办举办了一次文明知识网络竞赛，全市市民均有且只有一次参赛机会，满分为100分，得分大于等于80分的为优秀．竞赛结束后，随机抽取了参赛中100人的得分为样本，统计得到样本平均数为71，方差为81．假设该市有10万人参加了该竞赛活动，得分服从正态分布．
（1）估计该市这次竞赛活动得分优秀者的人数是多少万人？
（2）该市文明办为调动市民参加竞赛的积极性，制定了如下奖励方案：所有参加竞赛活动者，均可参加“抽奖赢电话费”活动，竞赛得分优秀者可抽奖两次，其余参加者抽奖一次．抽奖者点击抽奖按钮，即随机产生一个两位数，11，，，若产生的两位数的数字相同，则可奖励40元电话费，否则奖励10元电话费．假设参加竞赛活动的所有人均参加了抽奖活动，估计这次活动奖励的电话费总额为多少万元？
参考数据：若，则．
【答案】见解析
【详解】（1）因得分，所以标准差，所以优秀者得分，
由得，．
因此，估计这次参加竞赛活动得分优秀者的人数为（万人）．
（2）方法一：设抽奖一次获得的话费为元，
则，，
所以抽奖一次获得电话费的期望值为．
又由于10万人均参加抽奖，且优秀者参加两次，
所以抽奖总次数为万次，
因此，估计这次活动所需电话费为万元．
方法二：设每位参加活动者获得的电话费为元，则的值为10，20，40，50，80．
且，
，
，
，
．
所以．
因此，估计这次活动所需电话费为（万元）．
9．某地发现6名疑似病人中有1人感染病毒，需要通过血清检测确定该感染人员，血清检测结果呈阳性的即为感染人员，呈阴性表示没感染．拟采用两种方案检测：
方案甲：将这6名疑似病人血清逐个检测，直到能确定感染人员为止；
方案乙：将这6名疑似病人随机分成2组，每组3人．先将其中一组的血清混在一起检测，若结果为阳性，则表示感染人员在该组中，然后再对该组中每份血清逐个检测，直到能确定感染人员为止；若结果为阴性，则对另一组中每份血清逐个检测，直到能确定感染人员为止．
（1）求这两种方案检测次数相同的概率；
（2）如果每次检测的费用相同，请预测哪种方案检测总费用较少？并说明理由．
【答案】见解析
【详解】（1）由题意，可设甲方案检测的次数是，则，2，3，4，，
设乙方案检测的次数是，则，，方案甲与方案乙相互独立，
，，，
用事件表示方案甲所需检测的次数等于方案乙所需检测的次数，
则（D），
所以这两种方案检测次数相同的概率为；
（2）由（1）可知，，
所以，
又，
所以，
所以，
所以方案乙检测总费用较少．
10．某学校共有1000名学生，其中男生400人，为了解该校学生在学校的月消费情况，采取分层抽样随机抽取了100名学生进行调查，月消费金额分布在之间．根据调查的结果绘制的学生在校月消费金额的频率分布直方图如图所示：
将月消费金额不低于750元的学生称为“高消费群”．
（1）求的值，并估计该校学生月消费金额的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）现采用分层抽样的方式从月消费金额落在，，，内的两组学生中抽取10人，再从这10人中随机抽取3人，记被抽取的3名学生中属于“高消费群”的学生人数为随机变量，求的分布列及数学期望；
（3）若样本中属于“高消费群”的女生有10人，完成下列列联表，并判断是否有的把握认为该校学生属于“高消费群”与“性别”有关？
属于“高消费群” 不属于“高消费群” 合计
男
女
合计
（参考公式：，其中
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
【答案】见解析
【详解】（1）由题意知，解得，
样本平均数为元．
（2）由题意，从，中抽取7人，从，中抽取3人，
随机变量的所有可能取值有0，1，2，3．
，1，2，所以随机变量的分布列为：
0 1 2 3
随机变量的数学期望．
（3）由题可知，样本中男生40人，女生60人属于“高消费群”的25人，其中女生10人；得出以下列联表：
属于“高消费群” 不属于“高消费群” 合计
男生 15 25 40
女生 10 50 60
合计 25 75 100
，
所以有的把握认为概型学生属于“高消费群”与性别有关．
11．随着视频传输和移动通信技术的日益成熟、以及新冠疫情的推动，直播电商的模式正在全球范围内掀起热潮．目前，国际上、等电商平台和以为代表的社交类平台都纷纷上线了直播电商业务；在国内，淘宝、京东、抖音、拼多多、苏宁等众多平台都已成为该赛道内的玩家．根据中研产业研究院《年中国直播电商行业市场深度分析及投资战略咨询研究报告》显示，2020年上半年，“直播经济”业态主要岗位的人才达到2019年同期的2.4倍；2020年“”期间，带货主播和直播运营两大岗位高达去年同期的11.6倍．针对这一市场现象，为了加强监管，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系．现从评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为0.6，对服务的好评率为0.75，其中对商品和服务都做出好评的交易为80次．
（1）请完成关于商品和服务评价的列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为商品好评与服务好评有关？
对服务好评 对服务不满意 合计
对商品好评 80
对商品不满意 10
合计 200
（2）若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的3次购物中，设对商品和服务全为好评的次数为随机变量，求对商品和服务全为好评的次数的分布列和数学期望．
附临界值表：
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
的观测值：（其中
【答案】见解析
【详解】（1）由题意可得关于商品和服务评价的列联表如下：
对服务好评 对服务不满意 合计
对商品好评 80 40 120
对商品不满意 70 10 80
合计 150 50 200
，
故能在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为商品好评与服务好评有关；
（2）每次购物中，对商品和服务全为好评的概率为，且的取值可以是0，1，2，3，
其中，，
，．
的分布列为：
0 1 2 3
由于，则的数学期望．
12．某研究性学习小组收集了某网络销售平台近五年“双十一”当天成交额的数据，并制成如下表格：
年份 2015 2016 2017 2018 2019
成交额（百亿元） 9 12 17 21 27
（1）小组成员小明准备用线性模型刻画与的关系，请帮助小明求出线性方程；参考公式：线性回归方程中的，．
（2）小组成员小王收集了更多的数据信息，借助计算机整理得到图：
小王提出，从图上来看，刻画与的关系选用线性模型明显不合理，而二次函数，，，模型或指数函数模型，，，，均有可能．已知中国人均可支配收入与中国互联网用户人均该平台消费额呈正线性相关，请你依据图表中的信息，帮助小王选择一个合理的函数模型，并简要说明理由（不需要求出，，
（3）“双十一”活动中，顾客可以享受优惠‘也可能会冲动消费，导致所购物品闲置．（闲置物品全部在某二手平台上以原价的售出）．某商户对标价100元的某种商品采取了3种销售形式促销：普通购物，秒杀购物，直播购物．该小组收集了相关信息整理得下表：
普通购物 秒杀购物 直播购物
销售量占比
折扣率
所购物品闲置率
用频率估计概率，从数学期望的角度，判断顾客购买该商品是否划算？
注：折扣率；所购物品闲置率．
【答案】见解析
【详解】，
．
，
，
所以，
所以，
所以线性回归方程为．
（2）选二次凾数，，．模型．
理由如下：
该平台消费额中国互联网用户人数中国互联网用户人均该平台消费额，
由中国互联网用户数与年份关系图可看出：散点分布在一条直线附近，可认为中国互联网用户数与年份线性相关，可用一次函数模型刻画．
由中国人均可支配收入和年份关系图可看出：散点分布在一条直线附近，可认为中国人均可支配收入与年份线性相关，又因为中国人均可支配收入与中国互朕网用户人均该平台消费额呈正线性相关，因此中国互朕网用户人均该平台消费额与年份线性相关，可用一次函数模型刻画．
因为一次函数与一次函数的乘积为二次函数，所以应该选择二次函数模型．
注：只考生提到“一次函数与一次函数的乘积为二次函数”即可
（3）记顾客购买一件该商品花费金额为元，则
普通购物中，元；
秒杀购购物中，元；
直播购物中，元；
所以概率分布列为：
104 92 95.5
0.7 0.1 0.2
所以，
所以，顾客购买该商品不划算．
13．某奶茶店推出一款新品奶茶，每杯成本4元，售价6元．如果当天卖不完，剩下的奶茶只能倒掉．奶茶店记录了60天这款新品奶茶的日需求量，整理得如表：
日需求量杯数 20 25 30 35 40 45 50
天数 5 5 10 15 10 10 5
以60天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．
（1）从这60天中任取2天，求这2天的日需求量至少有一天为35的概率；
（2）①若奶茶店一天准备了35杯这款新品奶茶，用表示当天销售这款新品奶茶的利润（单位：元），求的分布列和数学期望；
②假设奶茶店每天准备的这款新品奶茶倍数都是5的倍数，有顾客建议店主每天准备40杯这款新品奶茶，你认为店主应该接受这个建议吗？请说明理由．
【答案】见解析
【详解】（1）从这60天中任取2天，则这2天的日需求量至少有一天为35杯的概率为：
．
（2）①由题意可得：若当天只卖出20杯，则利润元；
若当天只卖出25杯，则利润元；
若当天只卖出30杯，则利润元；
若当天卖出35杯，则利润元．
的分布列为：
10 40 70
（元．
②若店主每天准备40杯这款新品奶茶，
若当天需求20杯，则利润元，；
若当天需求25杯，则利润元，；
若当天需求30杯，则利润元，；
若当天需求35杯，则利润元，；
若当天需求大于等于40杯，则利润元，．
的分布列为：
20 50 80
（元．
．
不接受这个建议．
14．某观影平台为了解观众对最近上映的某部影片的评价情况（评价结果仅有“好评”、“差评” ，从平台所有参与评价的观众中随机抽取216人进行调查，部分数据如表所示（单位：人）
好评 差评 合计
男性 68 108
女性 60
合计 216
（1）请将列联表补充完整，并判断是否有的把握认为“对该部影片的评价与性别有关”？
（2）若将频率视为概率，从观影平台的所有给出“好评”的观众中随机抽取3人，用随机变量表示被抽到的男性观众的人数，求的分布列；
（3）在抽出的216人中，从给出“好评”的观众中利用分层抽样的方法抽取10人，从给出“差评”的观众中抽取人．现从这人中，随机抽出2人，用随机变量表示被抽到的给出“好评”的女性观众的人数．若随机变量的数学期望不小于1，求的最大值．
参考公式：，其中．
参考数据：
0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
【答案】见解析
【详解】（1）列联表补充完整如下：
好评 差评 合计
男性 40 68 108
女性 60 48 108
合计 100 116 216
，
因此有的把握认为“对该部影片的评价与性别有关”．
（2）从观影平台的所有给出“好评”的观众中随机抽取1人为男性的概率，且各次抽取之间互相独立，故，
其概率，，1，2，3．
其分布列为：
0 1 2 3
（3）随机变量的取值为0，1，2，
则，，，
，
化为：，解得，
又，，
故的最大值为2．
15．2020年新冠肺炎疫情爆发以来，国家迅速采取最全面，最严格，最彻底的防控举措，坚决遏制疫情蔓延势头，努力把疫情影响降到最低，为全世界抗击新冠肺炎疫情作出了贡献．为普及防治新冠肺炎的相关知识，某社区开展了线上新冠肺炎防控知识竞赛，现从大批参与者中随机抽取了200名幸运者的成绩进行分析，他们的得分（满分100分）数据统计结果如表：
得分 人数 频率
， 5 0.025
， 30 0.150
， 40 0.200
， 50 0.250
， 45 0.225
， 20 0.100
， 10 0.050
合计 200 1
（1）若此次知识竞赛得分整体服从正态分布，用样本来估计总体，设，分别为抽取的200名幸运者得分的平均值和标准差（同一组数据用该区间中点值代替），求，的值（四舍五入取整数），及的值；
（2）在（1）的条件下，为感谢大家积极参与这次活动，对随机抽取的200名幸运者制定如下奖励方案：得分低于的获得1次抽奖机会，得分不低于的获得2次抽奖机会．假定每次抽奖，抽到18元红包的概率为，抽到36元红包的概率为．已知张三是这次活动中的幸运者，记为张三在抽奖中获得红包的总金额，求的分布列和数学期望，并估算举办此次活动所需要的抽奖红包的总金额．
参考数据：；；．
【答案】见解析
【详解】（1）由题意可得，
，所以，
，
由，可得，
而，故，
则，，
故；
（2）的所有可能取值为18，36，54，72，
由题意可知，，
所以，
，
，
，
所以的分布列为：
18 36 54 72
故，
估算所需要抽奖红包的总金额为元．

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