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高考解答题六大专题
专题三：立体几何（解析版）
经典例题（一）-高考真题（2022年）
（一）、如图，直三棱柱的体积为4，的面积为．
（1）求A到平面的距离；
（2）设D为的中点，，平面平面，求二面角的正弦值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由等体积法运算即可得解；
（2）由面面垂直的性质及判定可得平面，建立空间直角坐标系，利用空间向量法即可得解.
【小问1详解】
在直三棱柱中，设点A到平面的距离为h，
则，
解得，
所以点A到平面的距离为；
【小问2详解】
取的中点E,连接AE,如图，因为，所以,
又平面平面，平面平面，
且平面，所以平面，
在直三棱柱中，平面，
由平面，平面可得，，
又平面且相交，所以平面，
所以两两垂直，以B为原点，建立空间直角坐标系，如图，
由（1）得，所以，，所以，
则,所以的中点，
则，,
设平面的一个法向量，则，
可取，
设平面的一个法向量，则，
可取，
则，
所以二面角的正弦值为.
经典例题（二）-高考真题（2021年）
（一）、如图，在三棱锥A-BCD中.平面ABD丄平面BCD，AB=AD.O为BD的中点.
(1)证明：OA⊥CD：
(2)若△OCD是边长为1的等边三角形.点E在 棱AD上. DE = 2EA .且二面角E-BC-D的大小为45°，求三棱锥A-BCD的体积.
(1)证明：
由已知，中AB=AD且O为BD中点
AO⊥BD
又平面ABD⊥平面BCD
AO⊥平面BCD且CD平面BCD
AO⊥CD
(2)由于为正三角形，边长为1
OB=OD=OC=CD
BCD=
取OD中点H，连结CH，则CH⊥OD
以H为原点，HC,HD,HZ为x，y，z轴建立空间直角坐标系
由①可知，平面BCD的法向量
设C()，B(0,)，D(0,)
则
DE=2EA
且
设⊥平面BEC =(x,y,z)
，即
由于二面角E-BC-D为
==
配套专题训练（解析版）
1．在矩形中，，取边上一点，将沿着折起，如图所示形成四棱锥．
（1）若为的中点，二面角的大小为，求与平面所成角的正弦值；
（2）若将沿着折起后使得，求线段的长．
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）取的中点，连结，，
因为，且，所以为等腰直角三角形，
同理也为等腰直角三角形，
所以，，，所以平面，
所以二面角的平面角为，
因为，所以为正三角形，
取的中点，连结，则，所以，
因为平面，平面，所以，
又，，，平面，
所以平面，
连结，则为直线与平面所成的角，
因为，所以，
故与平面所成角的正弦值为；
（2）在平面内作，垂足为，连结，，则，
又因为，，所以平面，
又平面，所以，
又因为，因为，，平面，
所以，，三点共线，，
在矩形中，，
所以，
所以，解得，
所以．
2．如图，在正六边形中，将沿直线翻折至△，使得平面平面，，分别为和的中点．
（1）证明：平面；
（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
【答案】（1）见解析；（2）
【详解】（1）证明：如图，取的中点，连接，，，
又是的中点，
，，
又正六边形中，，，
，，
又为的中点，
，，
四边形为平行四边形，故，
平面，平面，
平面；
（2）由条件可知，，，分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设正六边形的边长为2，则，
，
设平面的法向量为，则，则可取，
设平面的法向量为，则，则可取，
设平面与平面所成锐二面角的大小为，则，
平面与平面所成锐二面角的余弦值为．
3．在如图所示的圆柱中，为圆的直径，，是的两个三等分点，，，都是圆柱的母线．
（1）求证：平面；
（2）若，求二面角的余弦值．
【答案】（1）见解析；（2）
【详解】（1）证明：连接，因为，，都是圆柱的母线，所以，
因为，是的两个三等分点，为圆的直径，所以，
又因为，，所以平面平面，
又因为平面，所以平面．
（2）解：连接，因为为圆的直径，所以，
又因为平面，所以，，
所以、、两两垂直，
建立如图所示的空间直角坐标系，由题意得各点坐标如下：
，0，，，2，，，0，，，0，，
，2，，，0，，
设平面的法向量为，，，
，令，则，，，
平面的法向量为，1，，
所以二面角的余弦值为．
4．如图，在四棱锥中，四边形为直角梯形，，，，为等边三角形，为的中点，直线与所成角的大小为．
（1）求证：平面平面；
（2）求平面与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）见解析；（2）
【详解】（1）证明：取中点，连接、、，
因为四边形为直角梯形，，，，
所以，四边形是边长为2的正方形，
因为为等边三角形，为的中点，，
所以，
因为直线与所成角的大小为，，所以，
又因为，所以，于是，
因为，、平面，所以平面，
又因为平面，所以平面平面，
故平面平面．
（2）解：由（1）知、、两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，
，2，，，0，，，，，，，，
设平面和平面的法向量分别为，，，，，，
，令，，，，
，令，，，，
设平面与平面所成角大小为，
，，
所以平面与平面所成角的正弦值为．
5．如图，三棱柱的所有棱长都为2，，．
（1）求证：平面平面；
（2）若点在棱上且直线与平面所成角的正弦值为，求的长
【答案】（1）见解析；（2）
【详解】（1）证明：取中点，连接，．
因为三棱柱的所有棱长都为2，所以，，．
又因为，且，，平面，
所以平面．
又因为平面，所以．
在直角三角形中，，，所以．
在三角形中，，，，
所以，
所以．
又因为，，，平面，所以平面．
又因为平面，所以平面平面．
（2）解：以，，所在直线为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，1，，，，，，0，，，0，，
因此，1，，，，，，1，．
因为点在棱上，则设，1，，其中．
则，，．
设平面的法向量为，，，
由得，
取，，，
所以平面的一个法向量为，，．
因为直线与平面所成角的正弦值为，
所以，，
化简得，解得，
所以．
6．如图，在三棱台中，，是的中点，平面．
（1）求证：；
（2）若，，，求二面角的大小．
【答案】（1）见解析；（2）
【详解】（1）证明：因为平面，平面，所以
又因为，，平面，平面，
所以平面，又因为平面，
所以；
（2）解：以为坐标原点，与平行的直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系如图所示，
则，
所以，
于是，因为是三棱台，所以，
又因为，所以，
所以，
设平面的法向量为，
则，即，
令，则，，故，
因为平面，所以平面的法向量为，
所以，
因为二面角为钝二面角，
所以二面角的大小为．
7．如图所示，在三棱柱中，，点在平面的射影为线段的中点，侧面是菱形，过点、，的平面与棱交于点．
（1）在图中作出截面，并证明四边形为矩形；
（2）若，求与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）见解析；（2）
【详解】（1）四边形为矩形，证明如下：
取中点为，连接，，在三棱柱中，侧面为平行四边形，所以，
因为平面，平面，所以平面．
因为平面，且平面平面，所以．
因为在三棱柱中，平面平面，平面平面，平面平面，
所以，所以四边形为平行四边形．
在中，因为，是的中点，所以．
由题可知平面，所以，，因为，所以平面，所以，
故四边形为矩形．
（2）由（1）知，，两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，
，，在△中，，，
所以，所以，
则，因为，所以，即，
因为，1，，所以．设平面的法向量为，
则即所以令，得．
设与平面所成角为，，，
则．
8．如图，在五面体中，四边形为正方形，平面平面，，，．
（1）若，求二面角的正弦值；
（2）若平面平面，求的长．
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）因为平面平面，平面平面，，平面，
所以平面，所以．
又因为，平面，平面，．
所以平面．
在平面内过点作于，连结，则．
所以为二面角的平面角．
在中，，，
由，得．
在中，，
所以，
所以二面角的正弦值为．
（2）设平面平面．
因为四边形为正方形，所以．又平面，平面，
所以平面．
又平面，平面平面，所以．
因为平面，平面，所以，所以．
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面．
又平面，所以，所以．
设，则，，所以，
解得，即．
9．如图，在四棱锥中，是以为斜边的等腰直角三角形，，，，，为的中点．
（1）求直线与平面所成角的正弦值；
（2）设是的中点，判断点是否在平面内，并请证明你的结论．
【答案】（1）；（2）见解析
【详解】（1）取中点，连接、，
是以为斜边的等腰直角三角形，所以，，
因为，，，所以四边形为边长为1的正方形，
所以，又因为，所以，所以，
所以、、两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，
，0，，，1，，，1，，，0，，
平面的法向量为，1，，，1，，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
（2）连接，，0，，，0，，，，，，，，
点到平面的距离为，所以点在平面内．
10．如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，为线段的中点，，为线段上的动点．
（1）证明：平面平面；
（2）当点在线段的何位置时，平面与平面所成锐二面角的大小为？指出点的位置，并说明理由．
【答案】见解析
【详解】（1）证明：因为底面，面，所以，
又，，、平面，
所以平面，
又平面，所以，
因为，且为的中点，
所以，
又，、平面，
所以平面，
因为平面，
所以平面平面．
（2）解：设，
以为原点，分别以，，方向为，，轴的正方向，建立空间直角坐标系，
则，0，，，0，，，1，，，0，，，，，
所以，，，
设，1，，则，
设平面的一个法向量为，则，即，
令，则，，所以，
同理可得，平面的一个法向量为，
因为平面与平面所成锐二面角的大小为，
所以，，
化简得，解得，
故为线段的中点．
11．如图，在三棱锥中，与都为等边三角形，平面平面，，分别为，的中点，，在棱上且满足，连接，．
（1）证明：平面；
（2）求直线和平面所成角的正弦值．
【答案】（1）见解析；（2）
【详解】（1）证明：在中，因为，分别为，的中点，，
所以为重心，所以，又，所以．
平面，平面，
平面．
（2）解：因为平面平面，，平面平面，平面，
所以平面，
连结，则，以为正交基底，
建立如图所示的空间直角坐标系，
不妨设，则，0，，，1，，，0，，，0，，
所以，，，
设平面的一个法向量为，，，
则，取，则，，
所以平面的一个法向量为，，，
所以，，
所以直线和平面所成角的正弦值为．
12．如图，四棱锥的底面是边长为2的正方形，．
（1）证明：；
（2）当直线与平面所成角的正弦值最大时，求此时二面角的大小．
【答案】（1）见解析；（2）
【详解】（1）证明：分别取，的中点，，连接，，，
因为，所以，
又因为，所以，
又因为，，所以平面，
因为平面，所以，
在中，因为垂直平分，所以，
又因为，，所以，
从而可得；
（2）解：由（1）知，是二面角的平面角，
设，，
在中，，
过点作于，
则，
因为平面，平面，所以平面平面，
又因为平面平面，，平面，
所以平面，
因为平面，所以点到平面的距离等于点到平面的距离，即为，
设直线与平面所成角为，所以，
令，，，
则，
当且仅当，即时，有最大值2，
此时直线与平面所成角为的正弦值最大，
所以当直线与平面所成角的正弦值最大时，二面角的大小为．
13．如图，矩形所在平面与所在平面垂直，，．
（1）证明：平面；
（2）若平面与平面所成锐二面角的余弦值是，且直线与平面所成角的正弦值是，求异面直线与所成角的余弦值．
【答案】（1）见解析；（2）
【详解】（1）证明：由题意可知，又，则
又，所以，
又，，平面，
所以平面；
（2）解：因为平面平面，平面平面，，
所以平面，连结，
故即为直线与平面所成的角，
则有，
又平面与平面所成的锐二面角的平面角为，
所以，
又，所以，则，
故，所以，，
又异面直线与所成的角为，
所以，
故异面直线与所成角的余弦值为．
14．图1是由正方形，，组成的一个等腰梯形，其中，将、分别沿，折起使得与重合，如图2．
（1）设平面平面，证明：；
（2）若二面角的余弦值为，求长．
【答案】（1）见解析；（2）
【详解】（1）证明：因为，平面，平面，
所以平面，
因为平面平面，平面，
所以，于是．
（2）解：建立如图所示的空间直角坐标系，
设，，0，，，0，，，2，，，2，，
，0，1，，
，1，，，0，，，2，，
设平面和平面的法向量分别为，，和，，，
，令，，，，
，令，，，．
所以二面角的余弦值为，
整理得，解得或，
因为二面角是锐角，所以舍去，
故长为．
15．如图，在多面体中，底面是边长为2的菱形，，四边形是矩形，平面平面，，和分别是和的中点．
（1）求证：平面平面；
（2）求二面角的大小．
【答案】（1）见解析；（2）
【详解】（1）证明：在中，因为，分别是，的中点，
所以，又因为平面，平面，
所以平面．
设，连接，
因为为菱形，所以为中点
在中，因为，，
所以，
又因为平面，平面，
所以平面．
又因为，，平面，
所以平面平面．
（2）解：取的中点，连接，因为四边形是矩形，，分别为，的中点，所以，因为平面平面，所以平面，
所以平面，因为为菱形，所以，得，，两两垂直．
所以以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，如图建立空间直角坐标系．
因为底面是边长为2的菱形，，，所以，0，，，0，，
，0，，，0，，，．所以，．设平面的法向量为，则．令，得．
由平面，得平面的法向量为，
则
所以二面角的大小为．
注：用传统法找二面角并求解酌情给分．高考解答题六大专题
专题三：立体几何（原创版）
经典例题（一）-高考真题（2022年）
（一）、如图，直三棱柱的体积为4，的面积为．
（1）求A到平面的距离；
（2）设D为的中点，，平面平面，求二面角的正弦值．
经典例题（二）-高考真题（2021年）
（一）、如图，在三棱锥A-BCD中.平面ABD丄平面BCD，AB=AD.O为BD的中点.
(1)证明：OA⊥CD：
(2)若△OCD是边长为1的等边三角形.点E在 棱AD上. DE = 2EA .且二面角E-BC-D的大小为45°，求三棱锥A-BCD的体积.
配套专题训练（原创版）
1．在矩形中，，取边上一点，将沿着折起，如图所示形成四棱锥．
（1）若为的中点，二面角的大小为，求与平面所成角的正弦值；
（2）若将沿着折起后使得，求线段的长．
2．如图，在正六边形中，将沿直线翻折至△，使得平面平面，，分别为和的中点．
（1）证明：平面；
（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
3．在如图所示的圆柱中，为圆的直径，，是的两个三等分点，，，都是圆柱的母线．
（1）求证：平面；
（2）若，求二面角的余弦值．
4．如图，在四棱锥中，四边形为直角梯形，，，，为等边三角形，为的中点，直线与所成角的大小为．
（1）求证：平面平面；
（2）求平面与平面所成角的正弦值．
5．如图，三棱柱的所有棱长都为2，，．
（1）求证：平面平面；
（2）若点在棱上且直线与平面所成角的正弦值为，求的长
6．如图，在三棱台中，，是的中点，平面．
（1）求证：；
（2）若，，，求二面角的大小．
7．如图所示，在三棱柱中，，点在平面的射影为线段的中点，侧面是菱形，过点、，的平面与棱交于点．
（1）在图中作出截面，并证明四边形为矩形；
（2）若，求与平面所成角的正弦值．
8．如图，在五面体中，四边形为正方形，平面平面，，，．
（1）若，求二面角的正弦值；
（2）若平面平面，求的长．
9．如图，在四棱锥中，是以为斜边的等腰直角三角形，，，，，为的中点．
（1）求直线与平面所成角的正弦值；
（2）设是的中点，判断点是否在平面内，并请证明你的结论．
10．如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，为线段的中点，，为线段上的动点．
（1）证明：平面平面；
（2）当点在线段的何位置时，平面与平面所成锐二面角的大小为？指出点的位置，并说明理由．
11．如图，在三棱锥中，与都为等边三角形，平面平面，，分别为，的中点，，在棱上且满足，连接，．
（1）证明：平面；
（2）求直线和平面所成角的正弦值．
12．如图，四棱锥的底面是边长为2的正方形，．
（1）证明：；
（2）当直线与平面所成角的正弦值最大时，求此时二面角的大小．
13．如图，矩形所在平面与所在平面垂直，，．
（1）证明：平面；
（2）若平面与平面所成锐二面角的余弦值是，且直线与平面所成角的正弦值是，求异面直线与所成角的余弦值．
14．图1是由正方形，，组成的一个等腰梯形，其中，将、分别沿，折起使得与重合，如图2．
（1）设平面平面，证明：；
（2）若二面角的余弦值为，求长．
15．如图，在多面体中，底面是边长为2的菱形，，四边形是矩形，平面平面，，和分别是和的中点．
（1）求证：平面平面；
（2）求二面角的大小．

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