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专题2.1 不等式的性质及常见不等式解法
新课程考试要求 1.不等关系：了解现实世界和日常生活中的不等关系,了解不等式(组)的实际背景. 2.一元二次不等式：(1)会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型.(2)通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.(3)会解一元二次不等式.
核心素养 数学运算、数学建模、逻辑推理
【知识梳理】
1. 基本事实
(1)a＞b a－b＞0.
(2)a＝b a－b＝0.
(3)a＜b a－b＜0.
2. 等式的基本性质
性质1：如果a＝b，那么b＝a；
性质2：如果a＝b，b＝c，那么a＝c；
性质3：如果a＝b，那么a±c＝b±c；
性质4：如果a＝b，那么ac＝bc；
性质5：如果a＝b，c≠0，那么＝.
3. 不等式的基本性质
序号 性质 简称
性质1 a>b b性质2 a>b，b>c a>c 传递性
性质3 a>b a＋c>b＋c 可加性
性质4 a>b，c>0 ac>bc；a>b，c<0 ac性质5 a>b，c>d a＋c>b＋d 相加法则
性质6 a>b>0，c>d>0 ac>bd 相乘法则
性质7 a>b>0 an>bn(n∈N，n≥2) 乘方法则
4. 基本性质的推论
(1)开方法则：a>b>0 >(n∈N，n≥2).
(2)倒数法则：a>b，ab>0 <.
(3)异向相减：a>b，cb－d.
(4)异向相除：a>b>0，0.
5. 分数性质
若a>b>0，m>0，则
(1)真分数性质：<；>(b－m>0).
(2)假分数性质：>；<(b－m>0).
其中真分数性质也常被称为“糖水不等式”，即“糖水加糖后，糖水更甜(浓度变大)；糖水析出糖后，糖水变淡(浓度变小). ”
6．分式不等式的解法
定义：分母中含有未知数，且分子、分母都是关于x的多项式的不等式称为__分式不等式__.
>0 f(x)g(x)__>__0，<0 f(x)·g(x)__<__0.
≥0
f(x)·g(x)__>__0或.
≤0 f(x)·g(x)__<__0或
7．简单的高次不等式的解法
高次不等式：不等式最高次项的次数高于2，这样的不等式称为高次不等式.
解法：穿根法
①将f(x)最高次项系数化为正数；
②将f(x)分解为若干个一次因式的积或二次不可分因式的积；
③将每一个一次因式的根标在数轴上，自上而下，从右向左依次通过每一点画曲线(注意重根情况，偶次方根穿而不过，奇次方根穿过)；
④观察曲线显现出的f(x)的值的符号变化规律，写出不等式的解集．
8.不等式恒成立问题 　
1．一元二次不等式恒成立问题
(1)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立(或解集为R)时，满足；
(2)ax2＋bx＋c≥0(a≠0)恒成立(或解集为R)时，满足；
(3)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立(或解集为R)时，满足；
(4)ax2＋bx＋c≤0(a≠0)恒成立(或解集为R)时，满足.
2．含参数的一元二次不等式恒成立．若能够分离参数成kf(x)形式．则可以转化为函数值域求解．
设f(x)的最大值为M，最小值为m.
(1)k(2)k>f(x)恒成立 k>M，k≥f(x)恒成立 k≥M.
9．绝对值不等式的解法
1．形如|ax＋b|≥|cx＋d|的不等式，可以利用两边平方的形式转化为二次不等式求解．
2．形如|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式
(1)绝对值不等式|x|>a与|x|(2)|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法|ax＋b|≤c －c≤ax＋b≤c(c>0)，|ax＋b|≥c ax＋b≥c或ax＋b≤－c(c>0)．
【重难点突破】
考点一：比较数或式子的大小
1.比较大小的常用方法
(1)作差法
一般步骤：①作差；②变形；③定号；④结论．其中关键是变形，常采用配方、因式分解、通分、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差．
(2)作商法
一般步骤：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④结论．
(3)函数的单调性法
将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值，根据函数的单调性得出大小关系．
（一）作差法比较代数式的大小
【典例精析】
1．（2022·上海·模拟预测）若实数、满足，下列不等式中恒成立的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
2．（2022·全国·模拟预测（理））已知，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·江西·上饶市第一中学模拟预测（理））已知a，，，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
（二）作商法比较代数式的大小
【典例精析】
4．（2022·青海·大通回族土族自治县教学研究室三模（文））已知，，，则正数，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
5．（2022·全国·高三专题练习（理））已知，，则（ ）
A． B．
C． D．
6．（2022·黑龙江大庆·高三阶段练习（理））已知，，，则（ ）
A． B．
C． D．
考点二：不等式性质的应用
1．判断不等式的真假．
(1)首先要注意不等式成立的条件，不要弱化条件．
(2)解决有关不等式选择题时，也可采用特值法进行排除，注意取值要遵循以下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算．
(3)若要判断某结论正确，应说明理由或进行证明，推理过程应紧扣有关定理、性质等，若要说明某结论错误，只需举一反例．
2．证明不等式
(1)要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用．
(2)应用不等式的性质进行推证时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则．
3．求取值范围
(1)建立待求范围的代数式与已知范围的代数式的关系，利用不等式的性质进行运算，求得待求的范围．
(2)同向(异向)不等式的两边可以相加(相减)，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围．
4．掌握各性质的条件和结论．在各性质中，乘法性质的应用最易出错，即在不等式的两边同时乘(除)以一个数时，必须能确定该数是正数、负数或零，否则结论不确定．
（一）由不等式的性质比较数（式）大小
【典例精析】
7．（2022·全国·模拟预测（文））已知，给出以下不等式：①；②；③，则其中正确的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【变式训练】
8．（2022·北京·北大附中三模）已知，下列不等式中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2022·湖南·长沙县第一中学模拟预测）已知，则下列不等式正确的是（ ）
A． B． C． D．
（二）由已知条件判断所给不等式是否正确
【典例精析】
10．（2022·上海崇明·二模）如果，那么下列不等式中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练】
11．（2022·上海·华师大二附中模拟预测）若，，则下列不等式中一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
12．（2022·湖北·黄冈中学模拟预测）已知a，b，c均为非零实数，且，则下列不等式中，一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
（三）由不等式的性质证明不等式
【典例精析】
13．（2022·浙江省杭州学军中学模拟预测）若均为实数，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【变式训练】
14．（2022·广西·模拟预测（理））设，．
(1)用表示，，的最小值，证明：；
(2)证明：．
15．（2022·贵州贵阳·模拟预测（理））已知实数，，满足．
(1)若，求证：；
(2)若，，求的最小值．
（四）利用不等式求值或取值范围
【典例精析】
16．（2022·宁夏·银川一中三模（理））已知，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
17．（2022·四川省泸县第二中学模拟预测（文））已知且满足，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
18．（2022·浙江·杭州高级中学模拟预测）已知且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
考点三：一元二次不等式的解法
1.解一元二次不等式的一般步骤
(1)化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式．
(2)判：计算对应方程的判别式．
(3)求：求出对应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实根．
(4)写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集．
2．含有参数的不等式的求解，往往需要对参数进行分类讨论．
(1)若二次项系数为常数，首先确定二次项系数是否为正数，再考虑分解因式，对参数进行分类讨论，若不易分解因式，则可依据判别式符号进行分类讨论．
(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，确定不等式是不是二次不等式，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式．
(3)对方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集．
（一）解不含参数的一元二次不等式
【典例精析】
19．（2022·湖北·宜昌市夷陵中学模拟预测）记集合 ，， 则（ ）
A． B．或
C． D．
【变式训练】
20．（2022·四川省内江市第六中学模拟预测（文））已知集合,，则（ ）
A． B． C． D．
21．（2022·全国·南京外国语学校模拟预测）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
（二）解含有参数的一元二次不等式
【典例精析】
22．（2022·全国·模拟预测）已知p：，q：.若p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是___________.
【变式训练】
23．（2022·河南·汝州市第一高级中学模拟预测（文））已知集合，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
24．（2022·全国·模拟预测（理））若关于x的不等式的解集中恰有4个整数，则实数m的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
（三）由一元二次不等式的解确定参数
【典例精析】
25．（2022·海南华侨中学模拟预测）不等式的解集为，则__________．
【变式训练】
26．（2022·湖南岳阳·二模）已知关于的不等式的解集为，其中，则的最小值为（ ）
A． B．1 C．2 D．8
27．（2022·上海杨浦·二模）已知函数，其中.
(1)若不等式的解集是，求m的值；
(2)若函数在区间上有且仅有一个零点，求m的取值范围.
考点四：不等式恒成立问题
(1)若f(x)>0在集合A中恒成立，即集合A是不等式f(x)>0的解集的子集，可以先求解集，再由子集的含义求解参数的值(或范围)．
(2)转化为函数值域问题，即已知函数f(x)的值域为[m，n]，则f(x)≥a恒成立 f(x)min≥a，即m≥a；f(x)≤a恒成立 f(x)max≤a，即n≤a.
解决不等式恒成立问题的两种思路
(1)转化成含有参数的不等式,借助对应函数图象,找到满足题目要求的条件,构造含参数的不等式(组),求得参数范围.
(2)分离参数,通过求函数的最值,进而确定参数的范围.
（一）一元二次不等式在实数集上恒成立问题
【典例精析】
28．（2022·江苏南通·模拟预测）当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练】
29．（2022·黑龙江·鸡东县第二中学二模）若对恒成立，则实数a的取值范围为___.
30．（2022·山东聊城·三模）命题“，”为假命题，则实数的取值范围为______.
（二）一元二次不等式在某区间上的恒成立问题
【典例精析】
31．（2022·北京石景山·一模）“”是“在上恒成立”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【变式训练】
32．（2022·江西·模拟预测（理））已知命题p：“，”为真命题，则实数a的最大值是___．
33．（2022·四川绵阳·一模（文））已知函数，若不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围为______．
（三）一元二次不等式在某区间上有解问题
【典例精析】
34．（2022·重庆南开中学模拟预测）已知命题：“”为真命题，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练】
35．（2022·河北·模拟预测）“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
36．（2022·湖北武汉·模拟预测）若，使成立，则实数的取值范围是______________．
参考答案
1．A
【分析】利用作差法可判断各选项中不等式的正误.
【详解】因为，则，故，A对B错；
，即，
当且仅当时，即当时，等号成立，CD都错.
故选：A.
2．D
【分析】根据不等式的性质，结合指数函数、对数函数的单调性、作差法比较大小等知识，逐一分析各个选项，即可得答案.
【详解】因为，所以，
对于A：，，所以，故A错误；
对于B：，所以在上为增函数，
又，所以，故B错误；
对于C：，
因为，，所以，
所以，故C错误；
对于D：，
因为，，
所以，即，故D正确.
故选：D
3．C
【分析】利用作差法逐一判断符号即可求解.
【详解】对于A：，
因为，所以，，但的正负不确定，
所以不一定成立，即选项A错误；
对于B：，
因为，所以，，但的正负不确定，
所以不一定成立，即选项B错误；
对于C：，
因为，所以，，，
所以一定成立，即选项C正确；
对于D：，
因为，所以，，但的正负不确定，
所以不一定成立，即选项D错误.
故选：C.
4．A
【分析】由已知求出m，n，p，再借助商值比较法及“媒介”数推理判断作答.
【详解】由，得，由，得，
因此，，即，
由，得，于是得，
所以正数，，的大小关系为.
故选：A
5．D
【分析】根据对数函数的单调性及对数的运算法则，判断、计算的符号，作商比较的大小即可得解.
【详解】因为，
所以，
又因为，
所以，
又因，
所以且，
所以，所以，
故选：D
6．A
【分析】由幂函数、对数函数性质的性质得，，然后可判断的正负，再利用对数的运算法则、换底公式可判断与1的大小，从而得出结论．
【详解】因为，所以．
，
因为，所以，即．
，因为，所以，即．综上，．
故选：A．
7．B
【分析】对于①：利用基本不等式证明；对于②、③：取特殊值否定结论.
【详解】对于①：因为，所以，所以，即.故①正确；
对于②：取满足，但是，所以不一定成立.
故②错误；
对于③：取满足，但是，，此时，所以不一定成立.故③错误.
故选：B
8．C
【分析】由，结合不等式的性质及基本不等式即可判断出结论.
【详解】解：对于选项A，因为，而的正负不确定，故A错误；
对于选项B，因为，所以，故B错误；
对于选项C，依题意，所以，所以，故C正确；
对于选项D，因为与正负不确定，故大小不确定，故D错误；
故选：C.
9．C
【分析】首先简化条件，由、大小得到a、b的大小，再逐个分析选项，A为易错点，时错误，选项B需对绝对值化简，选项C需构造函数通过单调性比较大小，选项D先比较、大小，再同时取对数即可．
【详解】解：对于A：，当时，，选项A错误；
对于B：，即选项B错误；
对于C：构造函数显然函数f(x)在区间(－∞，0)上单调递增，，即，选项C正确；
对于D：，选项D错误．
故选：C.
10．D
【分析】对A,B,C，举反例判定即可，对D，根据判定即可
【详解】对A，若，则，不成立，故AB错误；
对C，若，则不成立，故C错误；
对D，因为，故D正确；
故选：D
11．B
【分析】举例判断A；结合指数函数单调性判断B；结合对数函数定义域判断C；利用判断D.
【详解】当，时，，但，故A错误；
因为在是单调递增函数，所以当，则，故B正确；
因为的定义域为，所以当时，不存在与，故C错误；
当时，，故D错误.
故选：B
12．BD
【分析】根据不等式的基本性质及特殊值即可求解.
【详解】对于A，取特殊值，满足，但，故A不正确；
对于B，因为a，b，c均为非零实数，且，所以，所以，故B正确；
对于C，取特殊值，满足非零实数，此时，但，故C不正确；
对于D，因为a，b，c均为非零实数，且，所以，
所以，所以，即，故D正确.
故选：BD.
13．B
【分析】通过列举，和推理证明可以推出充要性.
【详解】若中，取，则推不出；
若，则，则可得出；
故“”是“”的必要不充分条件，
故选：B.
【点睛】本题考查充分必要不条件的定义以及不等式的性质，可通过代入特殊值解决．
14．(1)证明见解析；
(2)证明见解析．
【分析】（1）用反证法结合基本不等式证明；
（2）由不等式的性质证明．
(1)
因为，
假设，则，，，所以，即，
，所以与矛盾，
所以假设错误，所以成立；
(2)
，不妨设，则，
，，
，
，所以，
又，即，
所以．
15．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据不等性质变形证明不等式；
（2）由已知得，且，利用基本不等式可求的最值，进而得解.
(1)
证明：由，且，得，，
故，所以，
所以，即；
(2)
解：由且，得，且，
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为．
16．C
【分析】由不等式的性质求解
【详解】，
故，，得
故选：C
17．C
【分析】设，求出结合条件可得结果.
【详解】设，可得，
解得，，
因为可得，
所以.
故选：C.
18．C
【分析】首先求得及的取值范围，再把转化为关于的代数式，利用函数的单调性去求的取值范围即可解决
【详解】由，可得，
则，则，令，则
，
又在单调递增，在单调递减
，，
则，即
故选：C
19．A
【分析】化简集合，再由交集的定义即得.
【详解】∵或，，
所以.
故选：A.
20．C
【分析】求得集合，然后根据交集的概念可得结果.
【详解】由题可知：
所以
故选：C
21．B
【分析】先化简集合A、B，再去求，进而求得
【详解】，，
所以，所以．
故选：B．
22．
【分析】解一元二次不等式分别求得、中的取值范围，根据是的充分不必要条件可知对应的的取值范围是对应的的取值范围的真子集，由此列不等式组，解不等式组求得的取值范围.
【详解】本题考查充分条件与必要条件的判断.
q：，即.
p：，
即.
因为p是q的必要不充分条件，
所以且等号不同时成立，
解得.
故答案为：
23．C
【分析】先解出集合，考虑集合是否为空集，集合为空集时合题意，集合不为空集时利用或解出的取值范围.
【详解】由题意，，
当时，，即，符合题意；当，即时，，则有或，即
综上，实数的取值范围为.
故选：C.
24．C
【分析】讨论m与2的大小关系，求得不等式的解集， 根据解集中恰有4个整数，确定m的取值范围.
【详解】不等式即 ，
当时，不等式解集为，此时要使解集中恰有4个整数，
这四个整数只能是3,4,5,6，故，
当时，不等式解集为 ，此时不符合题意；
当 时，不等式解集为，此时要使解集中恰有4个整数，
这四个整数只能是 ，故，，
故实数m的取值范围为，
故选：C
25．##
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系可求得的值.
【详解】由已知，关于的二次方程的两根分别为、，且，
所以，，解得.
故答案为：.
26．C
【分析】由一元二次不等式的解与方程根的关系求出系数，确定，然后结合基本不等式得最小值．
【详解】的解集为，则的两根为，，
∴，∴，，则，即，
，当且仅当时取“=”，
故选：C.
27．(1)－1；
(2)
【分析】（1）根据题意，得到，根据韦达定理，直接求解即可
（2），，可得，根据对勾函数的性质，即可得到的取值范围
(1)
的解集是，得到的解集是，所以，
，所以，
(2)
令，因为，所以，当时，，
即有，因为函数在区间上有且仅有一个零点，令，根据对勾函数的性质，可得，因为与有且仅有一个交点，根据对勾函数的图像性质，得或，进而可得答案为：
28．A
【分析】由题意，保证当时，不等式恒成立，只需，求解即可
【详解】由题意，当时，不等式恒成立，
故
解得
故实数的取值范围是
故选：A
29．
【分析】根据一元二次不等式对恒成立，可得 ，即可求得答案.
【详解】对恒成立，,
故答案为：
30．
【分析】分析可知命题“，”为真命题，分、两种情况讨论，结合已知条件可得出关于的不等式（组），综合可求得实数的取值范围.
【详解】由题意可知，命题“，”为真命题.
①当时，可得.
若，则有，合乎题意；
若，则有，解得，不合乎题意；
②若，则，解得.
综上所述，实数的取值范围是.
故答案为：.
31．B
【分析】在给定区间内恒成立问题，可参变分离求解后判断
【详解】在上恒成立，
即在上恒成立，
故
“”是“”的必要不充分条件
故选：B
32．
【分析】分离参数，将问题转化为，然后利用均值不等式求出最小值即可得答案.
【详解】解：由题意，，恒成立，
因为，当且仅当时等号成立，
所以，即a的最大值是．
故答案为：.
33．
【分析】对二次函数对称轴进行分类讨论，找到所需要的条件，进行求解.
【详解】函数的对称轴：，且恒过原点.
当，即时，在上单调递增，要想对任意的恒成立，只需，解得：，与矛盾，舍去
当，即时，在上单调递减，要想对任意的恒成立，只需，解得：，与矛盾，舍去
当，即时，在上单调递减，在上单调递增，要想对任意的恒成立，只需，解得：，因为，所以数的取值范围为.
故答案为：
34．B
【分析】命题p：“，”，即，然后利用对勾函数的知识求出的最大值即可.
【详解】命题p：“，”，即，
设，对勾函数在时取得最小值为4，在时取得最大值为，故，
故选：B．
35．B
【分析】，列出不等式，求出，从而判断出答案.
【详解】，则要满足，解得：，
因为，但
故“”是“”的必要不充分条件.
故选：B
36．
【分析】利用不等式的基本性质分离参数，利用函数的单调性求相应最值即可得到结论.
【详解】由可得，，
因为，所以，根据题意，即可，
设，易知在单调递减，在单调递增，
所以，
所以，
故答案为：
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