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(共15张PPT)
1.1.2 空间向量的数量积运算
学习目标
01
掌握空间向量的数量积运算
02
能运用向量的数量积判断两向量的垂直关系
BUSINESS REPORT SUMMARY
新课引入：
1.空间向量的夹角
如何找出两个平面向量的夹角？能通过类比平面向量，给出空间向量夹角的概念吗？
平面向量的夹角
两个非零向量a，b，在平面内任取一点O，做 OA＝a ，
OB＝b ，则∠AOB叫做向量
a，b的夹角，记作〈a，b〉，规定0 ≤〈a，b〉≤ π.
如果〈a，b〉＝ ，那么向量a，b互相垂直，记作a⊥b .
π
2
.
O
α
A
B
a
b
新课引入：
1.空间向量的夹角
由于任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量，因此，两个空间向量的夹角就可以像平面向量那样来定义.
a
b
.
O
A
B
两个非零向量a，b，在空间中任取一点O，做 OA＝a ，
OB＝b ，则∠AOB叫做向量
a，b的夹角，记作〈a，b〉，规定0 ≤〈a，b〉≤ π.
如果〈a，b〉＝ ，那么向量a，b互相垂直，记作a⊥b .
π
2
新课引入：
1.空间向量的夹角
新课引入：
2.空间向量的数量积
(1)定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．
(2)数量积的运算律
(λa)·b＝_______，λ∈R
a·b＝____
(a＋b)·c＝_________
λ(a·b)
b·a
a·c＋b·c
（交换律）
（分配律）
(3)数量积的性质：
①若a，b是非零向量，则a⊥b _______
②若a与b同向，则a·b＝______；若反向，则a·b＝________.
③特别地，a·a＝____
④若〈a，b〉为a，b的夹角，则cos〈a，b〉＝_______
⑤|a·b|≤|a|·|b|
a·b＝0
|a|·|b|
－|a|·|b|
|a|2
在平面向量的学习中，我们学习了向量的投影.类似地，在空间，向量a向向量b的投影有什么意义？向量a向直线l的投影呢？向量a向平面β的投影呢？
思考：
3.投影向量
(1)向量a在向量b上的投影
先将向量a与向量b平移到同一平面α内，如图①向量c称为向量a在向量b上的投影向量．
α
b
a
a
(2)向量a在直线l上的投影
如图②向量c称为向量a在直线l上的投影．
α
a
a
c
l
(3)向量a在平面β上的投影
如图③分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，则向量A′B′(a′)称为向量a在平面β上的投影向量．
β
a
a
A
B
A′
a′
B′
4.直线与平面所成的角
β
a
a
A
B
A′
a′
B′
如图向量a与向量a′的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角．
例题讲解：
1.空间向量数量积的运算
2.利用空间向量数量积求向量模长
练一练：
1.已知a=3p-2g,b=p+q,p和g是空间中相互垂直的单位向量，则a·b=
A.1 B.2 C.3 D.4
2.（2022福建三明一中开学考试）在三棱锥A-BCD
中,AB=AC=AD=2,BAD=90°，LBAC=60°.则AB·CD等于( )
A.-2 B.2 C.-2/3 D.2/3
3.已知lal=4, lbl=8,a与b的夹角是120°,
当a+2b与ka-b的夹角为钝角时，k的取值范围为
3.利用空间向量数量积求向量夹角
4.（2021天津西青期末）如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AD=AA1=1,AB=2,P是C1D1的中点，则B1C·A1P=
,B1C与A1P所成角的大小为
4.利用空间向量数量积判断或证明垂直问题
例3 如图1.1-13，m，n是平面a内的两条相交直线.如果l垂直m,l垂直n,
求证：l垂直a.
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