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(共30张PPT)
第1课时　等式与不等式(1)
新知初探 课前预习
题型探究 课堂解透
新知初探 课前预习
最新课程标准
1.梳理等式的性质．
2．理解不等式的概念．
3．掌握不等式的性质．
学科核心素养
1.能从等式的性质类比不等式的性质．(数学抽象)
2．理解实数比较大小的基本事实，会比较两个实数的大小．(数学运算)
3．掌握不等式的性质及其成立的条件，会利用不等式的性质．(逻辑推理)
4．灵活运用不等式的基本性质解决求范围问题、证明不等式．(逻辑推理)
教材要点
要点一　不等式中的文字语言与符号语言之间的转换
文字 语言 大于 大于 等于 小于 小于 等于 至多 至少 不少于 不多于
符号 语言 ＞ ≥ ＜ ≤ ≤ ≥ ≥ ≤
状元随笔　不等式a≥b或a≤b的含义
(1)不等式a≥b含义是指“a＞b, 或者a＝b”，等价于“a不小于b”，即若a＞b或a＝b中有一个正确，则a≥b正确．
(2)不等式a≤b含义是指“a＜b，或者a＝b”，等价于“a不大于b”，即若a＜b或a＝b中有一个正确，则a≤b正确．
要点二　比较两个实数a，b大小的依据
1．文字叙述
如果a－b是________，那么a＞b；
如果a－b________，那么a＝b；
如果a－b是________，那么a＜b，反之也成立．
2．符号表示
a－b＞0 a________b；
a－b＝0 a________b；
a－b＜0 a________b.
正数　
等于0
负数
>
＝
<
状元随笔　比较两实数a，b的大小，只需确定它们的差a－b与0的大小关系，与差的具体数值无关．因此，比较两实数a，b的大小，其关键在于经过适当变形，能够确认差a－b的符号，变形的常用方法有配方、分解因式、通分等．
基础自测

1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)两个实数a，b之间，有且只有a＞b，a＝b，a＜b三种关系中的一种．(　　)
(2)若＞1，则a＞b.(　　)
(3)a与b的差是非负实数，可表示为a－b＞0.(　　)
(4)因为 a，b∈R，(a－b)2≥0，所以a2＋b2≥2ab.(　　)
√
√
×
×
2．某路段竖立的 的警示牌，是指示司机通过该路段时，车速v km/h应满足的关系式为(　　)
A．v＜60 B．v＞60
C．v≤60 D．v≥36
答案：C
3．设M＝x2，N＝－x－1，则M与N的大小关系是(　　)
A．M＞N B．M＝N
C．M＜N D．与x有关
答案：A
解析：因为M－N＝x2＋x＋1＝＋>0，所以M>N.故选A.
4．已知x＜1，则x2＋2与3x的大小关系是___________．
x2＋2＞3x
解析：x2＋2－3x＝(x－1)(x－2)，
又x＜1，∴x2＋2－3x＝(x－1)(x－2)＞0，即x2＋2＞3x.
题型探究 课堂解透
题型1　用不等式(组)表示不等关系
例1　(1)某车工计划在15天里加工零件408个，最初三天中，每天加工24个，则以后平均每天至少需加工多少个，才能在规定的时间内超额完成任务？求解此问题需要构建的不等关系为________．
(2)某钢铁厂要把长度为4 000 mm的钢管截成500 mm和600 mm的两种钢管．按照生产的要求，600 mm的钢管数量不能超过500 mm钢管的3倍．怎样写出满足上述所有不等关系的不等式组呢？

答案：(1)72＋12x＞408　(2)见解析
解析：(1)设该车工3天后平均每天需加工x个零件，加工(15－3)天共加工12x个零件，15天里共加工(3×24＋12x)个零件，则3×24＋12x＞408.故不等关系表示为72＋12x＞408.
(2)设截得500 mm的钢管x根，截得600 mm的钢管y根．根据题意，应有如下的不等关系：①截得两种钢管的总长度不超过4 000mm.②截得600 mm钢管的数量不能超过500 mm钢管数量的3倍．③截得两种钢管的数量都不能为负．要同时满足上述的三个不等关系，可以用下面的不等式组来表示：
方法归纳
用不等式(组)表示不等关系的步骤
(1)审清题意，明确表示不等关系的关键词语：至多、至少、大于等．
(2)适当的设未知数表示变量．
(3)用不等号表示关键词语，并连接变量得不等式．
此类问题的难点是如何正确地找出题中的隐性不等关系，如由变量的实际意义限制的范围．
跟踪训练1　(1) 中国“神舟七号”宇宙飞船的飞行速度v不小于第一宇宙速度7.9 km/s，且小于第二宇宙速度11.2 km/s.表示为____________．
(2)已知甲、乙两种食物的维生素A，B含量如下表：
设用甲、乙两种食物各x kg，y kg配成混合食物，并使混合食物内至少含有56 000单位维生素A和63 000单位维生素B.
试用不等式表示x，y所满足的不等关系．
食物 甲 乙
维生素A/(单位/kg) 600 700
维生素B/(单位/kg) 800 400
答案：(1)7.9≤v＜11.2　(2)见解析
解析：(1)“不小于”即大于或等于，故用不等式表示为：7.9≤v＜11.2.
(2)x kg甲种食物含有维生素A 600x单位，含有维生素B 800x单位，y kg乙种食物含有维生素A 700y单位，含有维生素B 400y单位，则x kg甲种食物与y kg乙种食物配成的混合食物总共含有维生素A(600x＋700y)单位，含有维生素B(800x＋400y)单位，则有
即
题型2　实数(式)的比较大小
例2　已知a＞0，试比较a与的大小．
解析：因为a－＝
＝，a＞0
所以当a＞1时，＞0，
有a＞；
当a＝1时，＝0，有a＝；
当a＜a＜1时，＜0，有a＜.
综上，当a＞1时，a＞；
当a＝1时，a＝；当0＜a＜1时，a＜.
方法归纳
用作差法比较两个实数大小的四步曲
跟踪训练2　(1)已知a∈R，p＝(a－1)(a－3)，q＝(a－2)2，则p与q的大小关系为(　　)
A．p＞q B．p≥q
C．p＜q D．p≤q
(2)已知b＞a＞0，m＞0，比较与的大小．
答案：(1)C　(2)见解析
　解析：(1)由题意，p＝(a－1)(a－3)，q＝(a－2)2，则p－q＝(a－1)(a－3)－(a－2)2＝a2－4a＋3－(a2－4a＋4)＝－1<0，所以p－q<0，即p(2)作差：＝＝.∵b>a>0，m>0，∴a－b<0，a＋m>0，∴＜0，∴＜.
题型3　不等关系的转化及应用
例3　2021年5月1日某单位职工去瞻仰毛泽东纪念馆需包车前往．甲车队说：“如果领队买全票一张，其余人可享受7.5折优惠”，乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠．”这两车队的原价、车型都是一样的，试根据单位的人数，比较两车队的收费哪家更优惠．

解析：设该单位职工有n人(n∈N*)，全票价为x元，坐甲车队的车需花y1元，坐乙车队的车需花y2元．
由题意，得y1＝x＋x·(n－1)＝x＋nx，y2＝nx.
因为y1－y2＝x＋nx－nx
＝x－nx＝x，
当n＝5时，y1＝y2；当n＞5时，y1＜y2；当n＜5时，y1＞y2，
所以，当单位去的人数为5人时，两车队收费相同；多于5人时，选甲车队更优惠；少于5人时，选乙车队更优惠．
方法归纳
现实生活中的许多问题能够用不等式解决，其解题思路是将解决的问题转化成不等关系，利用作差法比较大小，进而解决实际问题．
跟踪训练3　甲、乙两家饭馆的老板一同去超市购买两次大米，这两次大米的价格不同，两家饭馆老板购买的方式也不同，其中甲每次购进100千克大米，而乙每次用去100元钱．问：谁的购买方式更合算？
解析：设两次大米的价格分别为a元/千克，b元/千克(a＞0，b＞0，a≠b，)
则甲两次购买大米的平均价格(元/千克)是：＝.
乙两次购买大米的平均价格(元/千克)是：＝＝，
因为＝＝＞0，所以＞.
所以乙饭馆的老板购买大米的方式更合算．
课堂十分钟
1．(多选)下列说法正确的是(　　)
A．某人月收入x不高于2 000元可表示为“x＜2 000”
B．小明的身高x cm，小华的身高y cm，则小明比小华矮表示为“x＞y”
C．某变量x至少为a可表示为“x≥a”
D．某变量y不超过a可表示为“y≤a”
答案：CD
解析：对于A，x应满足x≤2 000，故A错；对于B，x，y应满足x2．若m＝x2－1，n＝2(x＋1)2－4(x＋1)＋1，则m与n的大小关系是(　　)
A．m＜n B．m＞n
C．m≥n D．m≤n
答案：D
解析：∵n－m＝x2≥0，∴n≥m.故选D.
3．某学校为高一3班男生分配宿舍，如果每个宿舍安排3人，就会有6名男生没有宿舍住，如果每个宿舍安排5人，有一间宿舍不到5名男生，那么该学校高一3班的男生宿舍可能的房间数量是(　　)
A. 3或4 B. 4或5
C. 3或5 D. 4或6
答案：B
解析：设宿舍房间数量为x，男生人数为y，则，解得
x＝4，5.所以宿舍可能的房间数量为4或5.故选B.
4．若x＝(a＋3)(a－5)，y＝(a＋2)(a－4)，则x与y的大小关系是____________．
x解析：因为x－y＝(a＋3)(a－5)－(a＋2)(a－4)
＝(a2－2a－15)－(a2－2a－8)＝－7<0，所以x5．糖水在日常生活中经常见到，可以说大部分人都喝过糖水．下列关于糖水浓度的问题，能提炼出一个怎样的不等式呢？
(1)如果向一杯糖水里加点糖，糖水变甜了；
(2)把原来的糖水(淡)与加糖后的糖水(浓)混合到一起，得到的糖水一定比淡的浓、比浓的淡．
解析：(1)设糖水b克，含糖a克，易知糖水浓度为，加入m克糖后的糖水浓度为，则提炼出的不等式为：若b＞a＞0，m＞0，则＜.
(2)设淡糖水b1，含糖a1克，浓糖水b2克，含糖a2克，
易知淡糖水浓度为，浓糖水浓度为，
则混合后的糖水浓度为，
则提炼出的不等式为：若b1＞a1＞0，b2＞a2＞0，且＜，则＜＜.第二章一元二次函数、方程和不等式
2．1　相等关系与不等关系 2．1.1　等式与不等式
最新课程标准 学科核心素养 1.能从等式的性质类比不等式的性质．(数学抽象) 2．理解实数比较大小的基本事实，会比较两个实数的大小．(数学运算) 3．掌握不等式的性质及其成立的条件，会利用不等式的性质．(逻辑推理) 4．灵活运用不等式的基本性质解决求范围问题、证明不等式．(逻辑推理)
1.梳理等式的性质． 2．理解不等式的概念． 3．掌握不等式的性质．
第1课时　等式与不等式(1)
教材要点
要点一　不等式中的文字语言与符号语言之间的转换
文字 语言 大于 大于 等于 小于 小于 等于 至多 至少 不少于 不多于
符号 语言 ＞ ≥ ＜ ≤ ≤ ≥ ≥ ≤
状元随笔　不等式a≥b或a≤b的含义
(1)不等式a≥b含义是指“a＞b, 或者a＝b”，等价于“a不小于b”，即若a＞b或a＝b中有一个正确，则a≥b正确．
(2)不等式a≤b含义是指“a＜b，或者a＝b”，等价于“a不大于b”，即若a＜b或a＝b中有一个正确，则a≤b正确．
要点二　比较两个实数a，b大小的依据
1．文字叙述
如果a－b是________，那么a＞b；
如果a－b________，那么a＝b；
如果a－b是________，那么a＜b，反之也成立．
2．符号表示
a－b＞0 a________b；
a－b＝0 a________b；
a－b＜0 a________b.
状元随笔　比较两实数a，b的大小，只需确定它们的差a－b与0的大小关系，与差的具体数值无关．因此，比较两实数a，b的大小，其关键在于经过适当变形，能够确认差a－b的符号，变形的常用方法有配方、分解因式、通分等．
基础自测
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)两个实数a，b之间，有且只有a＞b，a＝b，a＜b三种关系中的一种．(　　)
(2)若＞1，则a＞b.(　　)
(3)a与b的差是非负实数，可表示为a－b＞0.(　　)
(4)因为 a，b∈R，(a－b)2≥0，所以a2＋b2≥2ab.(　　)
2．某路段竖立的的警示牌，是指示司机通过该路段时，车速vkm/h应满足的关系式为(　　)
A．v＜60B．v＞60
C．v≤60D．v≥36
3．设M＝x2，N＝－x－1，则M与N的大小关系是(　　)
A．M＞NB．M＝N
C．M＜ND．与x有关
4．已知x＜1，则x2＋2与3x的大小关系是________．
题型1　用不等式(组)表示不等关系
例1　(1)某车工计划在15天里加工零件408个，最初三天中，每天加工24个，则以后平均每天至少需加工多少个，才能在规定的时间内超额完成任务？求解此问题需要构建的不等关系为________．
(2)某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm的两种钢管．按照生产的要求，600mm的钢管数量不能超过500mm钢管的3倍．怎样写出满足上述所有不等关系的不等式组呢？
方法归纳
用不等式(组)表示不等关系的步骤
(1)审清题意，明确表示不等关系的关键词语：至多、至少、大于等．
(2)适当的设未知数表示变量．
(3)用不等号表示关键词语，并连接变量得不等式．
此类问题的难点是如何正确地找出题中的隐性不等关系，如由变量的实际意义限制的范围．
跟踪训练1　(1) 中国“神舟七号”宇宙飞船的飞行速度v不小于第一宇宙速度7.9km/s，且小于第二宇宙速度11.2km/s.表示为____________．
(2)已知甲、乙两种食物的维生素A，B含量如下表：
食物 甲 乙
维生素A/(单位/kg) 600 700
维生素B/(单位/kg) 800 400
设用甲、乙两种食物各xkg，ykg配成混合食物，并使混合食物内至少含有56000单位维生素A和63000单位维生素B.
试用不等式表示x，y所满足的不等关系．
题型2　实数(式)的比较大小
例2　已知a＞0，试比较a与的大小．
方法归纳
用作差法比较两个实数大小的四步曲
跟踪训练2　(1)已知a∈R，p＝(a－1)(a－3)，q＝(a－2)2，则p与q的大小关系为(　　)
A．p＞qB．p≥q
C．p＜qD．p≤q
(2)已知b＞a＞0，m＞0，比较与的大小．
题型3　不等关系的转化及应用
例3　2021年5月1日某单位职工去瞻仰毛泽东纪念馆需包车前往．甲车队说：“如果领队买全票一张，其余人可享受7.5折优惠”，乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠．”这两车队的原价、车型都是一样的，试根据单位的人数，比较两车队的收费哪家更优惠．
方法归纳
现实生活中的许多问题能够用不等式解决，其解题思路是将解决的问题转化成不等关系，利用作差法比较大小，进而解决实际问题．
跟踪训练3　甲、乙两家饭馆的老板一同去超市购买两次大米，这两次大米的价格不同，两家饭馆老板购买的方式也不同，其中甲每次购进100千克大米，而乙每次用去100元钱．问：谁的购买方式更合算？
课堂十分钟
1．(多选)下列说法正确的是(　　)
A．某人月收入x不高于2000元可表示为“x＜2000”
B．小明的身高xcm，小华的身高ycm，则小明比小华矮表示为“x＞y”
C．某变量x至少为a可表示为“x≥a”
D．某变量y不超过a可表示为“y≤a”
2．若m＝x2－1，n＝2(x＋1)2－4(x＋1)＋1，则m与n的大小关系是(　　)
A．m＜nB．m＞n
C．m≥nD．m≤n
3．某学校为高一3班男生分配宿舍，如果每个宿舍安排3人，就会有6名男生没有宿舍住，如果每个宿舍安排5人，有一间宿舍不到5名男生，那么该学校高一3班的男生宿舍可能的房间数量是(　　)
A．3或4 B．4或5
C．3或5 D．4或6
4．若x＝(a＋3)(a－5)，y＝(a＋2)(a－4)，则x与y的大小关系是____________．
5．糖水在日常生活中经常见到，可以说大部分人都喝过糖水．下列关于糖水浓度的问题，能提炼出一个怎样的不等式呢？
(1)如果向一杯糖水里加点糖，糖水变甜了；
(2)把原来的糖水(淡)与加糖后的糖水(浓)混合到一起，得到的糖水一定比淡的浓、比浓的淡．
第二章　一元二次函数、方程和不等式
2．1　相等关系与不等关系
2．1.1　等式与不等式
第1课时　等式与不等式(1)
要点二
1．正数　等于0　负数
2．>　＝　<
[基础自测]
1．答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)√
2．答案：C
3．解析：因为M－N＝x2＋x＋1＝＋>0，所以M>N.故选A.
答案：A
4．解析：x2＋2－3x＝(x－1)(x－2)，
又x＜1，∴x2＋2－3x＝(x－1)(x－2)＞0，即x2＋2＞3x.
答案：x2＋2＞3x
题型探究·课堂解透
例1　解析：(1)设该车工3天后平均每天需加工x个零件，加工(15－3)天共加工12x个零件，15天里共加工(3×24＋12x)个零件，则3×24＋12x＞408.故不等关系表示为72＋12x＞408.
(2)设截得500 mm的钢管x根，截得600 mm的钢管y根．根据题意，应有如下的不等关系：①截得两种钢管的总长度不超过4 000 mm.②截得600 mm钢管的数量不能超过500 mm钢管数量的3倍．③截得两种钢管的数量都不能为负．要同时满足上述的三个不等关系，可以用下面的不等式组来表示：
答案：(1)72＋12x＞408　(2)见解析
跟踪训练1　解析：(1)“不小于”即大于或等于，故用不等式表示为：7.9≤v＜11.2.
(2)x kg甲种食物含有维生素A 600x单位，含有维生素B 800x单位，y kg乙种食物含有维生素A 700y单位，含有维生素B 400y单位，则x kg甲种食物与y kg乙种食物配成的混合食物总共含有维生素A(600x＋700y)单位，含有维生素B(800x＋400y)单位，则有即
答案：(1)7.9≤v＜11.2　(2)见解析
例2　解析：因为a－＝
＝，a＞0
所以当a＞1时，＞0，有a＞；
当a＝1时，＝0，有a＝；
当0＜a＜1时，＜0，有a＜.
综上，当a＞1时，a＞；
当a＝1时，a＝；
当0＜a＜1时，a＜.
跟踪训练2　解析：(1)由题意，p＝(a－1)(a－3)，q＝(a－2)2，则p－q＝(a－1)(a－3)－(a－2)2＝a2－4a＋3－(a2－4a＋4)＝－1<0，所以p－q<0，即p(2)作差：＝＝.∵b>a>0，m>0，∴a－b<0，a＋m>0，∴＜0，∴＜.
答案：(1)C　(2)见解析
例3　解析：设该单位职工有n人(n∈N*)，全票价为x元，坐甲车队的车需花y1元，坐乙车队的车需花y2元．
由题意，得y1＝x＋x·(n－1)＝x＋nx，y2＝nx.
因为y1－y2＝x＋nx－nx
＝x－nx＝x，
当n＝5时，y1＝y2；
当n＞5时，y1＜y2；
当n＜5时，y1＞y2，
所以，当单位去的人数为5人时，两车队收费相同；多于5人时，选甲车队更优惠；少于5人时，选乙车队更优惠．
跟踪训练3　解析：设两次大米的价格分别为a元/千克，b元/千克(a＞0，b＞0，a≠b，)
则甲两次购买大米的平均价格(元/千克)是：＝.
乙两次购买大米的平均价格(元/千克)是：＝＝，
因为＝＝＞0，所以＞.
所以乙饭馆的老板购买大米的方式更合算．
[课堂十分钟]
1．解析：对于A，x应满足x≤2 000，故A错；对于B，x，y应满足x答案：CD
2．解析：∵n－m＝x2≥0，∴n≥m.故选D.
答案：D
3．解析：设宿舍房间数量为x，男生人数为y，则，解得x＝4，5.所以宿舍可能的房间数量为4或5.故选B.
答案：B
4．解析：因为x－y＝(a＋3)(a－5)－(a＋2)(a－4)
＝(a2－2a－15)－(a2－2a－8)＝－7<0，所以x答案：x5．解析：(1)设糖水b克，含糖a克，易知糖水浓度为，加入m克糖后的糖水浓度为，则提炼出的不等式为：若b＞a＞0，m＞0，则＜.
(2)设淡糖水b1，含糖a1克，浓糖水b2克，含糖a2克，
易知淡糖水浓度为，浓糖水浓度为，
则混合后的糖水浓度为，
则提炼出的不等式为：若b1＞a1＞0，b2＞a2＞0，且＜，则＜＜.
1(共28张PPT)
第2课时　等式与不等式(2)
新知初探 课前预习
题型探究 课堂解透
新知初探 课前预习
教材要点
要点　不等式的性质
性质1(对称性)　a＞b ________．
性质2(传递性)　a＞b，b＞c ________．
性质3(加法法则)　a＞b ________
推论1　如果a＋b＞c，那么a＞c－b
推论2　如果a＞b，c＞d，那么________．
性质4(乘法法则)　 ________； ________．
推论3　 ________．
推论4(乘方法则)　a＞b＞0 ________(n∈N＋)
性质5(开方法则)　a＞b＞0 ________(n∈N＋)
性质6　 ________； ________．
ba>c
a＋c>b＋c
a＋c>b＋d
ac>bc
acac>bd
an>bn
>
<
>
状元随笔　(1)注意不等式的单向性和双向性．性质1和3是双向的，其余的在一般情况下是不可逆的．
(2)在应用不等式时，一定要搞清它们成立的前提条件．不可强化或弱化成立的条件．要克服“想当然”“显然成立”的思维定势．
基础自测
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)a，b，c为实数，在等式中，若a＝b，则ac＝bc；在不等式中，若a＞b，则ac＞bc.(　　)
(2)a＞b ac2＞bc2.(　　)
(3)同向不等式相加与相乘的条件是一致的．(　　)
(4)设a，b∈R，且a＞b，则a3＞b3.(　　)
×
×
×
√
2．已知x＜a＜0，则一定成立的不等式是(　　)
A．x2＜a2＜0 B．x2＞ax＞a2
C．x2＜ax＜0 D．x2＞a2＞ax
答案：B
解析：因为xa2；不等号两边同时乘x，则x2>ax，故x2>ax>a2.故选B.
3．(多选)若a＞b＞0，d＜c＜0，则下列不等式成立的是(　　)
A．ac＞bc B．a－d＞b－c
C．＜ D．a3＞b3
答案：BD
解析：因为a>b>0，c<0，所以acb>0，－d>－c>0，所以a－d>b－c，B正确；因为d，C错误；因为a>b>0，所以a3>b3，D正确．故选BD.
4．用不等号填空．
(1)如果a＞b ＞0，那么 ________；
(2)如果a＞b＞c＞0，那么________.
＜
＜
解析：(1)∵a＞b＞0，
∴a2＞b2＞0，
∴＜.
(2)∵a＞b＞0，
∴0＜＜，
又c＞0，
∴＜.
题型探究 课堂解透
题型1　利用不等式的性质判断命题的真假
例1　(1)已知a，b，c∈R，那么下列命题中正确的是(　　)
A．若a＞b，则ac2＞bc2
B．若＞，则a＞b
C．若a3＞b3且ab＜0，则＞
D．若a2＞b2且ab＞0，则＜
(2)(多选)设a，b，c∈R，且a＞b，则下列不等式成立的是(　　)
A．ac2＞bc2 B．＜
C．a－c＞b－c D．＞
答案：(1)C　(2)CD
解析：
(1)A中，若a>b，则ac2>bc2(错)，若c＝0，则A不成立；B中，若>，则a>b(错)，若c<0，则B不成立；C中，若a3>b3，且ab<0，则>(对)，若a3>b3且ab<0，则；D中，若a2>b2，且ab>0，则<(错)，若则D不成立．故选C.
(2)对A，当c＝0时，ac2>bc2不成立，A错误；对B，当a＝－1，b＝－2时，<不成立，B错误；对C，因为a>b，两边同时减去c有a－c>b－c成立，故C正确；对D，由于>0，又a>b，故>，故D正确．
方法归纳
(1)首先要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不凭想当然随意捏造性质．
(2)解决有关不等式选择题时，也可采用特值法进行排除，注意取值一定要遵循以下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算．
跟踪训练1　(1)已知实数0＜a＜1，则下列正确的是(　　)
A．＞a＞a2 B．a＞a2＞
C．a2＞＞a D．＞a2＞a
(2)(多选)已知实数a，b，c满足c＜b＜a，且ac＜0，则下列不等式一定成立的是(　　)
A．ab＞ac B．c＞0
C．ac＜0 D．cb2＜ab2
答案：(1)A　(2)ABC
解析：
(1)∵0(2)因为实数a，b，c满足c所以a>0，c<0，
由b>c，a>0，得ab>ac，故A正确；
由b0，故B正确；
由a>c，ac<0，得ac<0，故C正确；
由a>c，b2≥0，得cb2≤ab2，当b＝0时，等号成立，故D错误；
故选ABC.
题型2　证明不等式
例2　若bc－ad≥0，bd＞0，求证：.
证明：(法一)∵bc－ad≥0，∴bc≥ad，
∴bc＋bd≥ad＋bd，
即b(c＋d)≥d(a＋b)．
又bd＞0，两边同除以bd，得.
(法二)∵＝＝≤0
∴.
方法归纳
1．不等式证明的实质是比较两个实数(代数式)的大小．
2．证明不等式可以利用不等式性质证明，也可以用作差比较法证明，利用不等式性质证明时，不可省略条件或跳步推导．
跟踪训练2　(1)已知a＞b，e＞f，c＞0，求证：f－ac＜e－bc.
(2)若a＜b＜0，求证：＜.
证明：
(1)因为a＞b，c＞0，所以ac＞bc，即－ac＜－bc.
又e＞f，即f＜e，所以f－ac＜e－bc.
(2)由于＝＝，
∵a＜b＜0，∴b＋a＜0，b－a＞0，ab＞0，
∴＜0，故＜.
题型3　利用不等式的性质求范围
例3　已知－2＜a≤3，1≤b＜2，试求下列代数式的取值范围：
(1)|a|；(2)a＋b；(3)a－b；(4)2a－3b.
解析：
(1)0≤|a|≤3；
(2)－1(3)依题意得－2(4)由－2由1≤b<2得－6<－3b≤－3②
由①②得，－10<2a－3b≤3.
方法归纳
利用不等式性质求范围的一般思路
(1)借助性质，转化为同向不等式相加进行解答；
(2)借助所给条件整体使用，切不可随意拆分所给条件；
(3)结合不等式的传递性进行求解．
跟踪训练3　已知实数x，y满足：1＜x＜2＜y＜3，
(1)求xy的取值范围；
(2)求x－2y的取值范围．

解析：
(1)∵1(2)由(1)知1易错辨析　多次使用同向不等式相加致误
例4　已知－1＜a＋b＜5，－4＜a－b＜2，求2a－4b的取值范围．
解析：2a－4b＝3(a－b)－(a＋b)，
因为－1＜a＋b＜5，－4＜a－b＜2，所以－5＜－(a＋b)＜1，
－12＜3(a－b)＜6，
所以－17＜2a－4b＜7.
易错警示
易错原因 错解：－1＜a＋b＜5① －4＜a－b＜2② －2＜b－a＜4③ ①＋②再除以2得－＜a＜ ①＋③再除以2得－＜b＜ 所以－23＜2a－4b＜13 错误在于“－1＜a＋b＜5，－4＜a－b＜2”与“－＜a＜，－＜b＜”并不等价． 纠错心得
同向(异向)不等式的两边可以相加(减)，但这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围，所以我们选用不等式的性质求代数式的取值范围时务必小心谨慎，必要时改换求解的思路和方法．
课堂十分钟
1．与a＞b等价的不等式是(　　)
A．|a|＞|b| B．a2＞b2
C．＞1 D．a3＞b3
答案：D
解析：可利用赋值法．令a＝1，b＝－2，
满足a>b，但|a|<|b|，a2所以A，B，C都不正确．故选D.
2．下列结论正确的是(　　)
A．若a＞b，c＞b，则a＞c B. 若a＞b，则a2＞b2
C．若a＞b，c＞d，则ac＞bd D. 若a＞b，c＞d，则a＋c＞b＋d
答案：D
解析：若a＝1，b＝0，c＝2，则a>b，c>b成立，而此时a－2，12<(－2)2，B错误；4>1，－1>－2，4×(－1)<1×(－2)，C错误；由不等式同向可加性知D正确．故选D.
3．(多选)如果a＞b＞0，那么下列不等式成立的是(　　)
A．＞ B. ＜
C．ac2＞bc2 D. a－c＞b－c
答案：ABD
解析：由不等式的性质，AD显然正确，又a>b>0 a2>b2>0 <，B正确，当c＝0时，ac2＝0＝bc2，C错误．故选ABD.
4．设x＞1，－1＜y＜0，试将x，y，－y按从小到大的顺序排列如下：________．
y<－y解析：∵－1又x>1，∴y<－y5．已知－1≤a＋b≤1，1≤a－2b≤3.求a＋3b的取值范围．
解析：设a＋3b＝λ1(a＋b)＋λ2(a－2b)＝(λ1＋λ2)a＋(λ1－2λ2)b，则
解得λ1＝，λ2＝－.
又－(a＋b)≤，
－2≤－(a－2b)≤－，
所以－≤a＋3b≤1.第2课时　等式与不等式(2)
教材要点
要点　不等式的性质
性质1(对称性)　a＞b ________．
性质2(传递性)　a＞b，b＞c ________．
性质3(加法法则)　a＞b ________
推论1　如果a＋b＞c，那么a＞c－b
推论2　如果a＞b，c＞d，那么________．
性质4(乘法法则)　 ________； ________．
推论3　 ________．
推论4(乘方法则)　a＞b＞0 ________(n∈N＋)
性质5(开方法则)　a＞b＞0 ________(n∈N＋)
性质6　 ________； ________．
状元随笔　(1)注意不等式的单向性和双向性．性质1和3是双向的，其余的在一般情况下是不可逆的．
(2)在应用不等式时，一定要搞清它们成立的前提条件．不可强化或弱化成立的条件．要克服“想当然”“显然成立”的思维定势．
基础自测
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)a，b，c为实数，在等式中，若a＝b，则ac＝bc；在不等式中，若a＞b，则ac＞bc.(　　)
(2)a＞b ac2＞bc2.(　　)
(3)同向不等式相加与相乘的条件是一致的．(　　)
(4)设a，b∈R，且a＞b，则a3＞b3.(　　)
2．已知x＜a＜0，则一定成立的不等式是(　　)
A．x2＜a2＜0B．x2＞ax＞a2
C．x2＜ax＜0D．x2＞a2＞ax
3．(多选)若a＞b＞0，d＜c＜0，则下列不等式成立的是(　　)
A．ac＞bcB．a－d＞b－c
C．＜D．a3＞b3
4．用不等号填空．
(1)如果a＞b＞0，那么________；
(2)如果a＞b＞c＞0，那么________.
题型1　利用不等式的性质判断命题的真假
例1　(1)已知a，b，c∈R，那么下列命题中正确的是(　　)
A．若a＞b，则ac2＞bc2
B．若＞，则a＞b
C．若a3＞b3且ab＜0，则＞
D．若a2＞b2且ab＞0，则＜
(2)(多选)设a，b，c∈R，且a＞b，则下列不等式成立的是(　　)
A．ac2＞bc2B．＜
C．a－c＞b－cD．＞
方法归纳
(1)首先要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不凭想当然随意捏造性质．
(2)解决有关不等式选择题时，也可采用特值法进行排除，注意取值一定要遵循以下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算．
跟踪训练1　(1)已知实数0＜a＜1，则下列正确的是(　　)
A．＞a＞a2B．a＞a2＞
C．a2＞＞aD．＞a2＞a
(2)(多选)已知实数a，b，c满足c＜b＜a，且ac＜0，则下列不等式一定成立的是(　　)
A．ab＞acB．c＞0
C．ac＜0D．cb2＜ab2
题型2　证明不等式
例2　若bc－ad≥0，bd＞0，求证：.
方法归纳
1．不等式证明的实质是比较两个实数(代数式)的大小．
2．证明不等式可以利用不等式性质证明，也可以用作差比较法证明，利用不等式性质证明时，不可省略条件或跳步推导．
跟踪训练2　(1)已知a＞b，e＞f，c＞0，求证：f－ac＜e－bc.
(2)若a＜b＜0，求证：＜.
题型3　利用不等式的性质求范围
例3　已知－2＜a≤3，1≤b＜2，试求下列代数式的取值范围：
(1)|a|；(2)a＋b；(3)a－b；(4)2a－3b.
方法归纳
利用不等式性质求范围的一般思路
(1)借助性质，转化为同向不等式相加进行解答；
(2)借助所给条件整体使用，切不可随意拆分所给条件；
(3)结合不等式的传递性进行求解．
跟踪训练3　已知实数x，y满足：1＜x＜2＜y＜3，
(1)求xy的取值范围；
(2)求x－2y的取值范围．
易错辨析　多次使用同向不等式相加致误
例4　已知－1＜a＋b＜5，－4＜a－b＜2，求2a－4b的取值范围．
解析：2a－4b＝3(a－b)－(a＋b)，
因为－1＜a＋b＜5，－4＜a－b＜2，所以－5＜－(a＋b)＜1，
－12＜3(a－b)＜6，
所以－17＜2a－4b＜7.
易错警示
易错原因 纠错心得
错解：－1＜a＋b＜5① －4＜a－b＜2② －2＜b－a＜4③ ①＋②再除以2得－＜a＜ ①＋③再除以2得－＜b＜ 所以－23＜2a－4b＜13 错误在于“－1＜a＋b＜5，－4＜a－b＜2”与“－＜a＜，－＜b＜”并不等价． 同向(异向)不等式的两边可以相加(减)，但这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围，所以我们选用不等式的性质求代数式的取值范围时务必小心谨慎，必要时改换求解的思路和方法．
课堂十分钟
1．与a＞b等价的不等式是(　　)
A．|a|＞|b|B．a2＞b2
C．＞1D．a3＞b3
2．下列结论正确的是(　　)
A．若a＞b，c＞b，则a＞cB．若a＞b，则a2＞b2
C．若a＞b，c＞d，则ac＞bdD．若a＞b，c＞d，则a＋c＞b＋d
3．(多选)如果a＞b＞0，那么下列不等式成立的是(　　)
A．＞B．＜
C．ac2＞bc2D．a－c＞b－c
4．设x＞1，－1＜y＜0，试将x，y，－y按从小到大的顺序排列如下：________．
5．已知－1≤a＋b≤1，1≤a－2b≤3.求a＋3b的取值范围．
第2课时　等式与不等式(2)
新知初探·课前预习
要点
bc　a＋c>b＋c　a＋c>b＋d　ac>bc　acbd　an>bn　><>
[基础自测]
1．答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
2．解析：因为xa2；不等号两边同时乘x，则x2>ax，故x2>ax>a2.故选B.
答案：B
3．解析：因为a>b>0，c<0，所以acb>0，－d>－c>0，所以a－d>b－c，B正确；因为d，C错误；因为a>b>0，所以a3>b3，D正确．故选BD.
答案：BD
4．解析：(1)∵a＞b＞0，
∴a2＞b2＞0，
∴＜.
(2)∵a＞b＞0，
∴0＜＜，
又c＞0，
∴＜.
答案：(1)＜　(2)＜
题型探究·课堂解透
例1　解析：(1)A中，若a>b，则ac2>bc2(错)，若c＝0，则A不成立；B中，若>，则a>b(错)，若c<0，则B不成立；C中，若a3>b3，且ab<0，则>(对)，若a3>b3且ab<0，则；D中，若a2>b2，且ab>0，则<(错)，若则D不成立．故选C.
(2)对A，当c＝0时，ac2>bc2不成立，A错误；对B，当a＝－1，b＝－2时，<不成立，B错误；对C，因为a>b，两边同时减去c有a－c>b－c成立，故C正确；对D，由于>0，又a>b，故>，故D正确．
答案：(1)C　(2)CD
跟踪训练1　解析：(1)∵0(2)因为实数a，b，c满足c所以a>0，c<0，
由b>c，a>0，得ab>ac，故A正确；
由b0，故B正确；
由a>c，ac<0，得ac<0，故C正确；
由a>c，b2≥0，得cb2≤ab2，当b＝0时，等号成立，故D错误；
故选ABC.
答案：(1)A　(2)ABC
例2　证明：(法一)∵bc－ad≥0，∴bc≥ad，
∴bc＋bd≥ad＋bd，
即b(c＋d)≥d(a＋b)．
又bd＞0，两边同除以bd，得.
(法二)∵＝＝≤0，
∴.
跟踪训练2　证明：(1)因为a＞b，c＞0，所以ac＞bc，即－ac＜－bc.
又e＞f，即f＜e，所以f－ac＜e－bc.
(2)由于＝＝，
∵a＜b＜0，∴b＋a＜0，b－a＞0，ab＞0，
∴＜0，故＜.
例3　解析：(1)0≤|a|≤3；
(2)－1(3)依题意得－2(4)由－2由1≤b<2得－6<－3b≤－3②
由①②得，－10<2a－3b≤3.
跟踪训练3　解析：(1)∵1(2)由(1)知1[课堂十分钟]
1．解析：可利用赋值法．令a＝1，b＝－2，
满足a>b，但|a|<|b|，a2所以A，B，C都不正确．故选D.
答案：D
2．解析：若a＝1，b＝0，c＝2，则a>b，c>b成立，而此时a－2，12<(－2)2，B错误；4>1，－1>－2，4×(－1)<1×(－2)，C错误；由不等式同向可加性知D正确．故选D.
答案：D
3．解析：由不等式的性质，AD显然正确，又a>b>0 a2>b2>0 <，B正确，当c＝0时，ac2＝0＝bc2，C错误．故选ABD.
答案：ABD
4．解析：∵－1又x>1，∴y<－y答案：y<－y5．解析：设a＋3b＝λ1(a＋b)＋λ2(a－2b)＝(λ1＋λ2)a＋(λ1－2λ2)b，则解得λ1＝，λ2＝－.
又－(a＋b)≤，
－2≤－(a－2b)≤－，
所以－≤a＋3b≤1.
1(共30张PPT)
2．1.2　基本不等式
新知初探 课前预习
题型探究 课堂解透
新知初探 课前预习
最新课程标准
1.掌握基本不等式(a＞0，b＞0)．
2．结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题．
学科核心素养
1.理解基本不等式的几何意义及其推导过程．(直观想象、逻辑推理)
2．会用基本不等式解决最值问题．(逻辑推理、数学运算)
教材要点
要点　基本不等式
定理：对任意a，b∈R，必有a2＋b2≥______，当且仅当a＝b时，等号成立．
推论：对任意a，b≥0，必有____________，当且仅当a＝b时，等号成立．
其中称为正数a，b的________，称为正数a，b的____________．
2ab
算术平均数
几何平均数
状元随笔　不等式与不等式a2＋b2≥2ab的异同
a2＋b2≥2ab
适用 范围 a，b∈R a＞0，b＞0
文字 叙述 两数的平方和不小于它们积的2倍 两个正数的算术平均值不小于它们的几何平均值
“＝”成 立的条件 a＝b a＝b
基础自测
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)当a，b同号时，≥2.(　　)
(2)函数y＝x＋的最小值为2.(　　)
(3)6和8的几何平均数为2.(　　)
(4)不等式a2＋b2≥2ab与有相同的适用范围．(　　)
√
×
×
×
2．已知a，b∈R，且ab＞0，则下列结论恒成立的是(　　)
A．a2＋b2＞2ab B．a＋b≥2
C．＞ D．≥2
答案：D
解析：对于A，当a＝b时，a2＋b2＝2ab，所以A错误；对于B，C，虽然ab>0，只能说明a，b同号，当a，b都小于0时，B，C错误；对于D，因为ab>0，所以＞0，＞0，所以≥2(当且仅当a＝b时取等号)，即≥2成立．故选D.
3．若a＞1，则a＋的最小值是(　　)
A．2 B．a
C． D．3
答案：D
解析：a>1，所以a－1>0，
所以a＋＝a－1＋＋1≥2＋1＝3.
当且仅当a－1＝即a＝2时取等号．故选D.
4．已知x，y都是正数．
(1)如果xy＝15，则x＋y的最小值是________．
(2)如果x＋y＝15，则xy的最大值是________．
2
解析：(1)x＋y≥2＝2，即x＋y的最小值是2；当且仅当x＝y＝时取最小值．
(2)xy≤＝＝，
即xy的最大值是.
当且仅当x＝y＝时xy取最大值．
题型探究 课堂解透
题型1　利用基本不等式比较大小
例1　若a≥b＞0，试比较a, ，b的大小．
解析：∵a≥b>0，∴ ≤ ＝a，∵a2＋b2≥2ab，
∴2(a2＋b2)≥(a＋b)2， ∴.
又a>0，b>0，则 ≥ ＝.
由a>0，b>0，得，
∵≥ ， ∴，
∵－b＝≥0 ∴≥b ∴a≥≥b.
方法归纳
一般地，若给出的数(式)涉及两个正数的和、积或两个实数的平方和，则可考虑利用重要不等式a2＋b2≥2ab(a，b∈R，a＞0，b＞0)和基本不等式(a＞0，b＞0)来比较它们的大小，但此时应特别注意能否取到等号．
跟踪训练1　(1)若0＜a＜1，0＜b＜1，且a≠b，则a＋b，2，2ab，a2＋b2中最大的一个是(　　)
A．a2＋b2 B．2
C．2ab D．a＋b
(2)已知a＞b＞c，则与的大小关系是_____________________.
D
解析：(1)∵02ab，a＋b>2，a>a2，b>b2，∴a＋b>a2＋b2，故选D.
(2)∵a>b>c，∴a－b>0，b－c>0，∴＝，当且仅当a－b＝b－c，即2b＝a＋c时等号成立．
题型2　利用基本不等式证明不等式
例2　已知a，b，c＞0，求证：≥a＋b＋c.
证明：∵a，b，c，均大于0，
∴＋b≥ 2＝2a，
当且仅当＝b时等号成立．
＋c≥2＝2b，当且仅当＝c时等号成立．
＋a≥2＝2c，当且仅当＝a时等号成立．
相加得＋b＋＋c＋＋a≥2a＋2b＋2c，
∴≥a＋b＋c.
方法归纳
(1)在利用a＋b≥2时，一定要注意是否满足条件a＞0，b＞0.
(2)在利用基本不等式a＋b≥2或(a＞0，b＞0)时要注意对所给代数式通过添项配凑，构造符合基本不等式的形式．
(3)另外，在解题时还要注意不等式性质和函数性质的应用．
跟踪训练2　已知实数x，y均为正数，求证：(x＋y)()≥25.
证明：(x＋y)＝4＋9＋＝13＋，
又因为x>0，y>0，所以>0，>0，
由基本不等式得，≥2＝12，当且仅当＝时，取等号，
即2y＝3x时取等号，所以(x＋y)≥25.
题型3　利用基本不等式求最值
例3　(1)对于代数式＋4x.
①当x>0时，求其最小值；②当x<0时，求其最大值．
解析：(1)①∵x>0，∴>0，4x>0.
∴＋4x≥2＝8.
当且仅当＝4x，即x＝时取最小值8，
∴当x>0时，原式的最小值为8.
②∵x<0，∴－x>0.
则－＝＋(－4x)≥2＝8，当且仅当＝－4x时，即x＝－时取等号．
∴＋4x≤－8. ∴当x<0时，原式的最大值为－8.
(2)设0(3)已知x>2，求x＋的最小值．
解析：(2)∵00，∴4x(3－2x)＝2[2x(3－2x)]≤2＝.
当且仅当2x＝3－2x，即x＝时取等号．
∴y的最大值为.
(3)∵x>2，∴x－2>0，
∴x＋＝(x－2)＋＋2≥2＋2＝6.
当且仅当x－2＝，
即x＝4时，x＋取最小值6.
方法归纳
应用基本不等式解题的关键在于“拼”、“凑”、“拆”、“合”等变形，构造出符合基本不等式的条件结构．
跟踪训练3　(1)若0＜x＜，则y＝x(1－2x)的最大值是(　　)
A． B．
C．1 D．4
(2)已知x＞1，求y＝的最小值．
答案：(1)B　(2)4
解析：(1)∵00，
∴y＝x(1－2x)＝·2x(1－2x)≤·＝，
当且仅当2x＝1－2x，即x＝时取等号．(也可用二次函数配方法求解．)
(2)∵x>1，令t＝x－1(t>0)，则x＝t＋1，
所以y＝＝＝＝4t＋≥2 ＝4.
当且仅当4t＝，即t＝，x＝时取等号．
所以y＝的最小值为4.
课堂十分钟
1．关于命题p： a，b∈R，ab≤，下列说法正确的是(　　)
A． p： a，b∈R，ab≥
B．不能判断p的真假
C．p是假命题
D．p是真命题
答案：C
解析：∵命题p： a，b∈R，ab≤，
∴ p： a，b∈R，ab＞，故A错误；
当a，b一正一负时，ab＜0，≥0，ab≤；
当a，b中至少一个为0时，ab＝0，≥0，ab≤；
当a，b均为负数时，a＋b＝－(－a－b)≤－2，
整理得ab≥，当且仅当a＝b时取等号；
当a，b均为正数时，a＋b≥2，整理得ab≤，当且仅当a＝b时，取等号．
∴命题p： a，b∈R，ab≤是假命题，故B，D均错误，C正确．故选C.
2．下列命题中正确的是(　　)
A．当a，b∈R时，≥2＝2
B．当a＞0，b＞0时，(a＋b)≥4
C．当a＞4时，a＋≥2＝6
D．当a＞0，b＞0时，
答案：B
解析：A项中，可能<0，所以不正确；B项中，因为a＋b≥2>0，≥2>0，相乘得(a＋b)≥4，当且仅当a＝b时等号成立，所以正确；C项中，a＋≥2＝6中的等号不成立，所以不正确；D项中，由基本不等式知，(a>0，b>0)，所以D不正确．故选B.
3．不等式＋(x－2)≥6(其中x>2)中等号成立的条件是(　　)
A．x＝3 B．x＝－3
C．x＝5 D．x＝－5
答案：C
解析：由基本不等式知等号成立的条件为＝x－2，即x＝5(x＝－1舍去)．
4．已知t＞0，求y＝的最小值．
解析：依题意得y＝t＋－4≥2－4＝－2，当且仅当t＝1时等号成立，即函数y＝(t＞0)的最小值是－2.

5．设a>0，b>0，证明：≥a＋b.
证明：∵a>0，b>0，∴＋a≥2b，＋b≥2a，∴≥a＋b.2．1.2　基本不等式
最新课程标准 学科核心素养
掌握基本不等式(a＞0，b＞0)． 1.理解基本不等式的几何意义及其推导过程．(直观想象、逻辑推理) 2．会用基本不等式解决最值问题．(逻辑推理、数学运算)
教材要点
要点　基本不等式
定理：对任意a，b∈R，必有a2＋b2≥____________，当且仅当a＝b时，等号成立．
推论：对任意a，b≥0，必有____________，当且仅当a＝b时，等号成立．
其中称为正数a，b的________，称为正数a，b的____________．
状元随笔　不等式与不等式a2＋b2≥2ab的异同
a2＋b2≥2ab
适用 范围 a，b∈R a＞0，b＞0
文字 叙述 两数的平方和不小于它们积的2倍 两个正数的算术平均值大于等于它们的几何平均值
“＝”成 立的条件 a＝b a＝b
基础自测
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)当a，b同号时，≥2.(　　)
(2)函数y＝x＋的最小值为2.(　　)
(3)6和8的几何平均数为2.(　　)
(4)不等式a2＋b2≥2ab与有相同的适用范围．(　　)
2．已知a，b∈R，且ab＞0，则下列结论恒成立的是(　　)
A．a2＋b2＞2abB．a＋b≥2
C．＞D．≥2
3．若a＞1，则a＋的最小值是(　　)
A．2B．a
C．D．3
4．已知x，y都是正数．
(1)如果xy＝15，则x＋y的最小值是________．
(2)如果x＋y＝15，则xy的最大值是________．
题型1　利用基本不等式比较大小
例1　若a≥b＞0，试比较a, ，b的大小．
方法归纳
一般地，若给出的数(式)涉及两个正数的和、积或两个实数的平方和，则可考虑利用重要不等式a2＋b2≥2ab(a，b∈R，a＞0，b＞0)和基本不等式(a＞0，b＞0)来比较它们的大小，但此时应特别注意能否取到等号．
跟踪训练1　(1)若0＜a＜1，0＜b＜1，且a≠b，则a＋b，2，2ab，a2＋b2中最大的一个是(　　)
A．a2＋b2B．2
C．2abD．a＋b
(2)已知a＞b＞c，则与的大小关系是________________.
题型2　利用基本不等式证明不等式
例2　已知a，b，c＞0，求证：≥a＋b＋c.
方法归纳
(1)在利用a＋b≥2时，一定要注意是否满足条件a＞0，b＞0.
(2)在利用基本不等式a＋b≥2或(a＞0，b＞0)时要注意对所给代数式通过添项配凑，构造符合基本不等式的形式．
(3)另外，在解题时还要注意不等式性质和函数性质的应用．
跟踪训练2　已知实数x，y均为正数，求证：(x＋y)()≥25.
题型3　利用基本不等式求最值
例3　(1)对于代数式＋4x.
①当x>0时，求其最小值；
②当x<0时，求其最大值．
(2)设0(3)已知x>2，求x＋的最小值．
方法归纳
应用基本不等式解题的关键在于“拼”、“凑”、“拆”、“合”等变形，构造出符合基本不等式的条件结构．
跟踪训练3　(1)若0A．B．
C．1D．4
(2)已知x＜，则2x＋的最大值是________．
(3)已知x>1，求y＝的最小值．
课堂十分钟
1．关于命题p： a，b∈R，ab≤，下列说法正确的是(　　)
A． p： a，b∈R，ab≥
B．不能判断p的真假
C．p是假命题
D．p是真命题
2．下列命题中正确的是(　　)
A．当a，b∈R时，≥2＝2
B．当a＞0，b＞0时，(a＋b)≥4
C．当a＞4时，a＋≥2＝6
D．当a＞0，b＞0时，
3．不等式＋(x－2)≥6(其中x>2)中等号成立的条件是(　　)
A．x＝3B．x＝－3
C．x＝5D．x＝－5
4．已知t>0，则y＝的最小值为________．
5．设a>0，b>0，证明：≥a＋b.
2．1.2　基本不等式
新知初探·课前预习
要点
2ab　　算术平均数　几何平均数
[基础自测]
1．答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)×
2．解析：对于A，当a＝b时，a2＋b2＝2ab，所以A错误；对于B，C，虽然ab>0，只能说明a，b同号，当a，b都小于0时，B，C错误；对于D，因为ab>0，所以＞0，＞0，所以≥2(当且仅当a＝b时取等号)，即≥2成立．故选D.
答案：D
3．解析：a>1，所以a－1>0，
所以a＋＝a－1＋＋1≥2＋1＝3.
当且仅当a－1＝即a＝2时取等号．故选D.
答案：D
4．解析：(1)x＋y≥2＝2，即x＋y的最小值是2；当且仅当x＝y＝时取最小值．
(2)xy≤＝＝，
即xy的最大值是.
当且仅当x＝y＝时xy取最大值．
答案：(1)2　(2)
题型探究·课堂解透
例1　解析：∵a≥b>0，∴≤＝a，∵a2＋b2≥2ab，
∴2(a2＋b2)≥(a＋b)2，
∴.
又a>0，b>0，则≥＝.
由a>0，b>0，得，
∵≥，∴，
∵－b＝≥0，∴≥b，
∴a≥≥b.
跟踪训练1　解析：(1)方法一　∵02ab，a＋b>2，a>a2，b>b2，∴a＋b>a2＋b2，故选D.
方法二　取a＝，b＝，则a2＋b2＝，
2＝，2ab＝，a＋b＝，
显然最大，故选D.
(2)∵a>b>c，∴a－b>0，b－c>0，∴＝，当且仅当a－b＝b－c，即2b＝a＋c时等号成立．
答案：(1)D　(2)
例2　证明：∵a，b，c，均大于0，
∴＋b≥ 2＝2a，
当且仅当＝b时等号成立．
＋c≥2＝2b，
当且仅当＝c时等号成立．
＋a≥2＝2c，
当且仅当＝a时等号成立．
相加得＋b＋＋c＋＋a≥2a＋2b＋2c，
∴≥a＋b＋c.
跟踪训练2　证明：(x＋y)＝4＋9＋＝13＋，
又因为x>0，y>0，所以>0，>0，
由基本不等式得，≥2＝12，当且仅当＝时，取等号，
即2y＝3x时取等号，所以(x＋y)≥25.
例3　解析：(1)①∵x>0，∴>0，4x>0.
∴＋4x≥2＝8.
当且仅当＝4x，即x＝时取最小值8，
∴当x>0时，原式的最小值为8.
②∵x<0，∴－x>0.
则－＝＋(－4x)≥2＝8，当且仅当＝－4x时，即x＝－时取等号．
∴＋4x≤－8.
∴当x<0时，原式的最大值为－8.
解析：(2)∵00，∴4x(3－2x)＝2[2x(3－2x)]≤2＝.
当且仅当2x＝3－2x，即x＝时取等号．
∴y的最大值为.
(3)∵x>2，∴x－2>0，
∴x＋＝(x－2)＋＋2≥2＋2＝6.
当且仅当x－2＝，
即x＝4时，x＋取最小值6.
跟踪训练3　解析：(1)∵00，
∴y＝x(1－2x)＝·2x(1－2x)≤·＝，
当且仅当2x＝1－2x，即x＝时取等号．(也可用二次函数配方法求解．)
(2)∵x<，∴1－2x>0，
∵2x＋＝2x－1＋＋1＝－＋1，
∴1－2x＋≥2＝2(当且仅当x＝0时，等号成立)．
∴2x＋≤－2＋1＝－1.
(3)∵x>1，令t＝x－1(t>0)，则x＝t＋1，
所以y＝＝＝＝4t＋≥2＝4.
当且仅当4t＝，即t＝，x＝时取等号．
所以y＝的最小值为4.
答案：(1)B　(2)－1　(3)见解析
[课堂十分钟]
1．解析：∵命题p： a，b∈R，ab≤，
∴ p： a，b∈R，ab＞，故A错误；
当a，b一正一负时，ab＜0，≥0，ab≤；
当a，b中至少一个为0时，ab＝0，≥0，ab≤；
当a，b均为负数时，a＋b＝－(－a－b)≤－2，
整理得ab≥，当且仅当a＝b时取等号；
当a，b均为正数时，a＋b≥2，整理得ab≤，当且仅当a＝b时，取等号．
∴命题p： a，b∈R，ab≤是假命题，故B，D均错误，C正确．故选C.
答案：C
2．解析：A项中，可能<0，所以不正确；B项中，因为a＋b≥2>0，≥2>0，相乘得(a＋b)≥4，当且仅当a＝b时等号成立，所以正确；C项中，a＋≥2＝6中的等号不成立，所以不正确；D项中，由基本不等式知，(a>0，b>0)，所以D不正确．故选B.
答案：B
3．解析：由基本不等式知等号成立的条件为＝x－2，即x＝5(x＝－1舍去)．
答案：C
4．解析：依题意得y＝t＋－4≥2－4＝－2，当且仅当t＝1时等号成立，即函数y＝(t>0)的最小值是－2.
答案：－2
5．证明：∵a>0，b>0，∴＋a≥2b，＋b≥2a，∴≥a＋b.
1(共27张PPT)
2．1.3　基本不等式的应用
新知初探 课前预习
题型探究 课堂解透
新知初探 课前预习
最新课程标准
结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题．
学科核心素养
会用基本不等式解决实际问题．(逻辑推理、数学运算)
教材要点
要点　基本不等式与最值
已知x，y都为正数，则
(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，和x＋y有________；
(2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，积xy有________．
最小值2
最大值
状元随笔　利用基本不等式求最值要牢记三个关键词：一正、二定、三相等．
(1)一正：各项必须为正．
(2)二定：各项之和或各项之积为定值．
(3)三相等：必须验证取等号时条件是否具备．
题型探究 课堂解透
题型1　利用基本不等式求最值
例1　(1)已知正数x，y满足x＋y＝4，求的最小值．
(2)已知＝1(x>0，y>0)，求x＋y的最小值．
解析：
(1)＝·＝，当且仅当＝，即x＝4－4，y＝8－4时取等号．
(2)x＋y＝(x＋y)·＝3＋≥3＋2，当且仅当＝，即x＝1＋，y＝2＋时取等号．
方法归纳
应用基本不等式解此类题的关键是“1”的整体代入的变形技巧．
跟踪训练1　(1)若a>0，b>0，a＋3b＝1，则的最小值为(　　)
A．2 B．2
C．4 D．3
(2)若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是________.
C
5
解析：(1)∵a>0，b>0，a＋3b＝1，∴＝·(a＋3b)＝2＋≥2＋2＝2＋2＝4.当且仅当a＝3b时等号成立，所以的最小值为4.
(2)∵x＋3y＝5xy，x>0，y>0，∴＝1，
∴3x＋4y＝(3x＋4y)·＝＋2＝5，
当且仅当＝，即x＝2，y＝1时取等号．
题型2　利用基本不等式解决恒成立问题
例2　已知a＞0，b＞0，若不等式恒成立，则m的最大值等于(　　)
A．10 B．9
C．8 D．7
答案：B
解析：∵a＞0，b＞0
∴等价于(2a＋b)≥m
又＝5＋≥5＋2＝9，
当且仅当＝，即a＝b时取等号．
∴m≤9.故选B.
方法归纳
恒成立问题常采用分离参数的方法求解，若a≤y恒成立，则a≤ymin；若a≥y恒成立，则a≥ymax.将问题转化为求y的最值问题，可能会用到基本不等式．
跟踪训练2　已知两个正数x，y满足x＋y＝4，则使不等式≥m恒成立的实数m的范围是________．
m≤
解析：∵x>0，y>0，x＋y＝4，∴＝·(x＋y)＝＝(5＋4)＝.当＝即x＝，y＝时取等号，∴的最小值是.∴m≤.
题型2　利用基本不等式解决实际问题
例3　某厂家举行大型的促销活动，经测算某产品当促销费用为x万元时，销售量P万件满足P＝3－(其中0≤x≤2)．现假定生产量与销售量相等，已知生产该产品P万件还需投入成本(10＋2P)万元(不含促销费用)，产品的销售价格定为(4＋)万元/万件．
(1)将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；
(2)当促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？并求出最大利润．
解析：(1)当促销费用为x万元时，
付出的成本是：x＋10＋2
销售收入是：，
故y＝
整理可得y＝16－，0≤x≤2.
(2)根据(1)中所求，
y＝16－≤16－
＝16－3＝13，当且仅当x＝1时取得最大值．
故当促销费用投入1万元时，厂家的利润最大，最大利润为13万元．
方法归纳
利用基本不等式解决实际问题的步骤
解实际问题时，首先审清题意，然后将实际问题转化为数学问题，再利用数学知识(函数及不等式性质等)解决问题．用基本不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：
(1)理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数．
(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题．
(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值．
(4)正确写出答案．
跟踪训练3　2016年11月3日20点43分我国长征运载火箭在海南文昌发射中心成功发射，它被公认为我国已从航天大国向航天强国迈进的重要标志．长征五号运载火箭的设计生产采用了很多新材料，甲工厂承担了某种材料的生产，并以x千克/时的速度匀速生产(为保证质量要求1≤x≤10)，每小时可消耗A材料kx2＋9千克，已知每小时生产1千克该产品时，消耗A材料10千克．
(1)设生产m千克该产品，消耗A材料y千克，试把y表示为x的函数．
(2)要使生产1 000千克该产品消耗的A材料最少，工厂应选取何种生产速度？并求消耗的A材料最少为多少？
(消耗的A材料＝生产时间×每小时消耗的A材料．)
解析：(1)由题意，得k＋9＝10，即k＝1.
生产m千克该产品需要的时间是.
所以y＝(x2＋9)＝m，1≤x≤10.
(2)由(1)知，生产1 000千克该产品消耗的A材料为：
y＝1 000≥1 000×2＝6 000
(当且仅当x＝，即x＝3时等号成立)
故工厂应选取3千克/时的生产速度，消耗的A材料最少，最少为6 000千克．
易错辨析　多次使用基本不等式求最值时忽略等号同时成立的条件
例4　已知实数m>0，n>0，且满足2m＋n＝2，则的最小值是________．
解析：∵m>0，n>0，2m＋n＝2，∴m＋＝1.
∴＝·＝5＋≥5＋2＝9.
当且仅当＝，即m＝，n＝时取等号．
9
易错警示
易错原因 纠错心得
错解：∵m>0，n>0， ∴2＝2m＋n≥2， ∴mn≤，∴≥2， ∴≥2≥2＝8 故的最小值为8. 上述求解过程中使用了两次基本不等式，但这两次取等号的条件不能同时成立，所以等号取不到． 连续应用基本不等式求最值时，要注意各不等式取等号时条件是否一致，若不能同时取等号，则连续用基本不等式是求不出最值的，此时要对原式进行适当的拆分或合并，直到取到等号的条件成立．
课堂十分钟
1．若正实数a，b满足a＋b＝1，则的最小值为(　　)
A． B．2 C．5 D．4
答案：C
解析：因为正实数a，b满足a＋b＝1，
所以＝＝＋3≥2＋3＝5，
当且仅当b＝3a＝时，取等号，
所以的最小值为5.故选C.
2．当x＞1时，不等式x＋≥a恒成立，则实数a的取值范围是(　　)
A．{a|a≤2} B．{a|a≥2}
C．{a|a≥3} D．{a|a≤3}
答案：D
解析：∵当x>1时，不等式x＋≥a恒成立，即a≤x＋对一切实数x>1均成立，由于x＋＝x－1＋＋1≥2＋1＝3，当且仅当x＝2时取等号，故x＋的最小值等于3，∴a≤3.故选D.
3．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品(　　)
A．60件 B．80件
C．100件 D．120件
答案：B
解析：设每件产品的平均费用为y元，由题意得y＝≥2＝20.
当且仅当＝(x>0)，即x＝80时“＝”成立．故选B.
4．已知y＝4x＋(x＞0，a＞0)在x＝3时取得最小值，则a＝________.
36
解析：y＝4x＋≥2 ＝4(x>0，a>0)，当且仅当4x＝，即x＝时等号成立，此时y取得最小值4.又由已知x＝3时，y的最小值为4，所以＝3，即a＝36.
5．某呼吸机生产企业计划投资固定成本500万元引进先进设备，用于生产救治新冠患者的无创呼吸机，需要投入成本f(x)(单位：万元)与年产量x(单位：百台)的函数关系式为f(x)＝，据以往出口市场价格，每台呼吸机的售价为3万元，且依据国外疫情情况，预测该年度生产的无创呼吸机能全部售完．
(1)求年利润g(x)(单位：万元)关于年产量x的函数解析式(利润＝销售额－投入成本－固定成本)；
(2)当年产量为多少时，年利润最大？并求出最大年利润．
解析：(1)当0当x≥20时，g(x)＝300x－＋1 700－500＝1 200－.
所以g(x)＝
(2)当0故当x＝15时，g(x)取得最大值g(15)＝－5×(15－15)2＋625＝625；
当x≥20时，∵x＋≥2＝160，
当且仅当“x＝”，即“x＝80”时等号成立，
∴g(x)＝1 200－≤1 200－160＝1 040，
即当x＝80时，g(x)取得最大值g(80)＝1 040，
综上所述：当年产量为8000台时，年利润最大，且最大年利润为1040万元．2．1.3　基本不等式的应用
最新课程标准 结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题． 学科核心素养 会用基本不等式解决实际问题．(逻辑推理、数学运算)
教材要点
要点　基本不等式与最值
已知x，y都为正数，则
(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，和x＋y有________；
(2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，积xy有________．
状元随笔　利用基本不等式求最值要牢记三个关键词：一正、二定、三相等．
(1)一正：各项必须为正．
(2)二定：各项之和或各项之积为定值．
(3)三相等：必须验证取等号时条件是否具备．
题型1　利用基本不等式求最值
例1　(1)已知正数x，y满足x＋y＝4，求的最小值．
(2)已知＝1(x>0，y>0)，求x＋y的最小值．
方法归纳
应用基本不等式解此类题的关键是“1”的整体代入的变形技巧．
跟踪训练1　(1)若a>0，b>0，a＋3b＝1，则的最小值为(　　)
A．2B．2
C．4D．3
(2)若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是________.
题型2　利用基本不等式解决恒成立问题
例2　已知a＞0，b＞0，若不等式恒成立，则m的最大值等于(　　)
A．10B．9
C．8D．7
方法归纳
恒成立问题常采用分离参数的方法求解，若a≤y恒成立，则a≤ymin；若a≥y恒成立，则a≥ymax.将问题转化为求y的最值问题，可能会用到基本不等式．
跟踪训练2　已知两个正数x，y满足x＋y＝4，则使不等式≥m恒成立的实数m的范围是________．
题型2　利用基本不等式解决实际问题
例3　某厂家举行大型的促销活动，经测算某产品当促销费用为x万元时，销售量P万件满足P＝3－(其中0≤x≤2)．现假定生产量与销售量相等，已知生产该产品P万件还需投入成本(10＋2P)万元(不含促销费用)，产品的销售价格定为(4＋)万元/万件．
(1)将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；
(2)当促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？并求出最大利润．
方法归纳
利用基本不等式解决实际问题的步骤
解实际问题时，首先审清题意，然后将实际问题转化为数学问题，再利用数学知识(函数及不等式性质等)解决问题．用基本不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：
(1)理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数．
(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题．
(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值．
(4)正确写出答案．
跟踪训练3　2016年11月3日20点43分我国长征运载火箭在海南文昌发射中心成功发射，它被公认为我国已从航天大国向航天强国迈进的重要标志．长征五号运载火箭的设计生产采用了很多新材料，甲工厂承担了某种材料的生产，并以x千克/时的速度匀速生产(为保证质量要求1≤x≤10)，每小时可消耗A材料kx2＋9千克，已知每小时生产1千克该产品时，消耗A材料10千克．
(1)设生产m千克该产品，消耗A材料y千克，试把y表示为x的函数．
(2)要使生产1000千克该产品消耗的A材料最少，工厂应选取何种生产速度？并求消耗的A材料最少为多少？
(消耗的A材料＝生产时间×每小时消耗的A材料．)
易错辨析　多次使用基本不等式求最值时忽略等号同时成立的条件
例4　已知实数m>0，n>0，且满足2m＋n＝2，则的最小值是________．
解析：∵m>0，n>0，2m＋n＝2，∴m＋＝1.∴＝·＝5＋≥5＋2＝9.当且仅当＝，即m＝，n＝时取等号．
答案：9
易错警示
易错原因 纠错心得
错解：∵m>0，n>0， ∴2＝2m＋n≥2， ∴mn≤，∴≥2， ∴≥2≥2＝8 故的最小值为8. 上述求解过程中使用了两次基本不等式，但这两次取等号的条件不能同时成立，所以等号取不到． 连续应用基本不等式求最值时，要注意各不等式取等号时条件是否一致，若不能同时取等号，则连续用基本不等式是求不出最值的，此时要对原式进行适当的拆分或合并，直到取到等号的条件成立．
课堂十分钟
1．若正实数a，b满足a＋b＝1，则的最小值为(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A．B．2C．5D．4
2．当x＞1时，不等式x＋≥a恒成立，则实数a的取值范围是(　　)
A．{a|a≤2}B．{a|a≥2}C．{a|a≥3}D．{a|a≤3}
3．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品(　　)
A．60件B．80件C．100件D．120件
4．已知y＝4x＋(x＞0，a＞0)在x＝3时取得最小值，则a＝________.
5．某呼吸机生产企业计划投资固定成本500万元引进先进设备，用于生产救治新冠患者的无创呼吸机，需要投入成本f(x)(单位：万元)与年产量x(单位：百台)的函数关系式为f(x)＝，据以往出口市场价格，每台呼吸机的售价为3万元，且依据国外疫情情况，预测该年度生产的无创呼吸机能全部售完．
(1)求年利润g(x)(单位：万元)关于年产量x的函数解析式(利润＝销售额－投入成本－固定成本)；
(2)当年产量为多少时，年利润最大？并求出最大年利润．
2．1.3　基本不等式的应用
新知初探·课前预习
要点
　最小值2　最大值
题型探究·课堂解透
例1　解析：(1)＝·＝，当且仅当＝，即x＝4－4，y＝8－4时取等号．
(2)x＋y＝(x＋y)·＝3＋≥3＋2，当且仅当＝，即x＝1＋，y＝2＋时取等号．
跟踪训练1　解析：(1)∵a>0，b>0，a＋3b＝1，∴＝·(a＋3b)＝2＋≥2＋2＝2＋2＝4.当且仅当a＝3b时等号成立，所以的最小值为4.
(2)∵x＋3y＝5xy，x>0，y>0，∴＝1，
∴3x＋4y＝(3x＋4y)·＝＋2＝5，
当且仅当＝，即x＝2，y＝1时取等号．
答案：(1)C　(2)5
例2　解析：∵a＞0，b＞0
∴等价于(2a＋b)≥m
又＝5＋≥5＋2＝9，
当且仅当＝，即a＝b时取等号．
∴m≤9.故选B.
答案：B
跟踪训练2　解析：∵x>0，y>0，x＋y＝4，∴＝·(x＋y)＝＝(5＋4)＝.当＝即x＝，y＝时取等号，∴的最小值是.∴m≤.
答案：m≤
例3　解析：(1)当促销费用为x万元时，
付出的成本是：x＋10＋2
销售收入是：，
故y＝×(4＋)－
整理可得y＝16－，0≤x≤2.
(2)根据(1)中所求，
y＝16－≤16－(2－1)＝16－3＝13，当且仅当x＝1时取得最大值．
故当促销费用投入1万元时，厂家的利润最大，最大利润为13万元．
跟踪训练3　解析：(1)由题意，得k＋9＝10，即k＝1.
生产m千克该产品需要的时间是.
所以y＝(x2＋9)＝m，1≤x≤10.
(2)由(1)知，生产1 000千克该产品消耗的A材料为：
y＝1 000≥1 000×2＝6 000
(当且仅当x＝，即x＝3时等号成立)
故工厂应选取3千克/时的生产速度，消耗的A材料最少，最少为6 000千克．
[课堂十分钟]
1．解析：因为正实数a，b满足a＋b＝1，
所以＝＝＋3≥2＋3＝5，
当且仅当b＝3a＝时，取等号，
所以的最小值为5.故选C.
答案：C
2．解析：∵当x>1时，不等式x＋≥a恒成立，即a≤x＋对一切实数x>1均成立，由于x＋＝x－1＋＋1≥2＋1＝3，当且仅当x＝2时取等号，故x＋的最小值等于3，∴a≤3.故选D.
答案：D
3．解析：设每件产品的平均费用为y元，由题意得y＝≥2＝20.
当且仅当＝(x>0)，即x＝80时“＝”成立．故选B.
答案：B
4．解析：y＝4x＋≥2 ＝4(x>0，a>0)，当且仅当4x＝，即x＝时等号成立，此时y取得最小值4.又由已知x＝3时，y的最小值为4，所以＝3，即a＝36.
答案：36
5．解析：(1)当0当x≥20时，g(x)＝300x－＋1 700－500＝1 200－.
所以g(x)＝
(2)当0故当x＝15时，g(x)取得最大值g(15)＝－5×(15－15)2＋625＝625；
当x≥20时，∵x＋≥2＝160，
当且仅当“x＝”，即“x＝80”时等号成立，
∴g(x)＝1 200－≤1 200－160＝1 040，
即当x＝80时，g(x)取得最大值g(80)＝1 040，
综上所述：当年产量为8000台时，年利润最大，且最大年利润为1040万元．
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