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第1课时　一元二次不等式及其解法(1)
新知初探 课前预习
题型探究 课堂解透
新知初探 课前预习
最新课程标准
1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义．
2．能够借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集．
3．借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系．
学科核心素养
1.会求一元二次不等式的解集．(逻辑推理、直观想象)
2．会求分式不等式的解集．(逻辑推理、数学运算)
3．能解决一元二次不等式的实际问题．(逻辑推理、数学建模)
4．理解一元二次方程、一元二次函数与一元二次不等式之间的关系，并能解决相应的问题．(逻辑推理)
教材要点
要点一　一元二次不等式的概念
一元二次不等式的概念及形式
(1)概念：我们把只含有________未知数，并且未知数的最高次数是______的不等式，称为一元二次不等式．
(2)形式：
①ax2＋bx＋c＞0(a≠0)；
②ax2＋bx＋c≥0(a≠0)；
③ax2＋bx＋c＜0(a≠0)；
④ax2＋bx＋c≤0(a≠0)．
一个
2
状元随笔　一元二次不等式的二次项系数 a有a＞0或a＜0两种，注意a≠0.当a＜0时，我们通常将不等式两边同乘以－1，化为二次项系数大于0的一元二次不等式，但要注意不等号要改变方向，这样我们只需要研究二次项系数大于0的一元二次不等式．
基础自测
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)mx2＋5x＜0是一元二次不等式．(　　)
(2)若不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为{x|x1＜x＜x2}，则必有a＞0.(　　)
(3)若不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是{x|x＜x1或x＞x2}，则方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1和x2.(　　)
(4)若方程ax2＋bx＋c＝0没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为R.(　　)
×
√
√
×
2．不等式2x2－x－1＞0的解集是(　　)
A． B．{x|x＜1或x＞2}
C．{x|x＞1} D．
答案：A
解析：原不等式化为(2x＋1)(x－1)>0，所以x<－或x>1.故选A.
3．若不等式ax2＋8ax＋21＜0的解集是{x|－7＜x＜－1}，那么a的值是(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
答案：C
解析：由题意可知a>0，且－7和－1为方程ax2＋8ax＋21＝0的两个根，∴由根与系数的关系得(－7)×(－1)＝，解得a＝3.故选C.
4．不等式x2＋6x＋10＞0的解集为________．
R
解析：∵Δ＝62－4×10＝－4<0，∴方程x2＋6x＋10＝0无解．即函数y＝x2＋6x＋10的图象在x轴上方，所以不等式x2＋6x＋10>0的解集为R.
题型探究 课堂解透
题型1　不含参数的一元二次不等式的解法
例1　解不等式：(1)－3x2＋6x－2＞0；(2)4x2－4x＋1≤0.
解析：(1)不等式可化为3x2－6x＋2＜0.对应方程3x2－6x＋2＝0.因为Δ＝36－4×3×2＝12＞0，所以它有两个实数根．解得x1＝1－，x2＝1＋.画出二次函数y＝3x2－6x＋2的图象(如图①)，结合图象得不等式3x2－6x＋2＜0的解集是.所以不等式＋6x－2＞0的解集是.
(2)方程4x2－4x＋1＝0的解是x1＝x2＝，
画出二次函数y＝4x2－4x＋1的图象(如图②)，
结合图象得不等式4x2－4x＋1≤0的解集是
.
方法归纳
解不含参数的一元二次不等式的步骤
1．通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正．
2．对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式．
3．求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根．
4．根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数图象的草图．
5．根据图象写出不等式的解集．
记忆口诀：
设相应的二次函数的图象开口向上，并与x轴相交，则有口诀：大于取两边；小于取中间．
跟踪训练1　(1)不等式＜0的解集为(　　)
A．{x|x＜－1或x＞2}　 B．
C．{x|x＜－2或x＞1} D．
(2)不等式－x2－3x＋4＜0的解集为(　　)
A．{x|x＞1或x＜－4} B．{x|x＞－1或x＜－4}
C．{x|－4＜x＜1} D．{x|x＜－1或x＞4}
　解析：
(1)因为<0，
所以对应的方程为(x＋1)(x－2)＝0，解得x1＝－1，x2＝2，
所以不等式<0的解集为，
故选B.
(2)原不等式变为x2＋3x－4>0，因式分解得：(x－1)(x＋4)>0，解得x>1或x<－4.故原不等式的解集为{x|x>1或x<－4}．故选A.
B
A
题型2　三个“二次”之间的关系
例2　已知关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|2＜x＜3}，求关于x的不等式cx2＋bx＋a＜0的解集．
解析：方法一　由不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|20，即x2－x＋>0，解得x<或x>，所以不等式cx2＋bx＋a<0的解集为.
方法二　由不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2方法归纳
一元二次不等式与其对应的函数与方程之间存在着密切的联系，在解决具体的数学问题时，要注意三者之间的相互联系，并在一定条件下相互转换．
(1)若一元二次不等式的解集为区间的形式，则区间的端点值恰是对应一元二次方程的根，要注意解集的形式与二次项系数的联系．
(2)若一元二次不等式的解集为R或 ，则问题可转化为恒成立问题，此时可以根据二次函数图象与x轴的交点情况确定判别式的符号，进而求出参数的范围．
跟踪训练2　已知一元二次不等式x2＋px＋q＜0的解集为，求不等式qx2＋px＋1＞0的解集．
解析：因为x2＋px＋q<0的解集为，
所以x1＝－与x2＝是方程x2＋px＋q＝0的两个实数根，

所以不等式qx2＋px＋1>0即为－x2＋x＋1>0，
整理得x2－x－6<0，解得－2即不等式qx2＋px＋1>0的解集为{x|－2题型3　解含参数的一元二次不等式
角度1　对判别式“Δ”进行讨论
例3　解关于x的不等式2x2＋ax＋2＞0.

解析：Δ＝a2－16，下面分情况讨论：
(1)当Δ＜0，即－4＜a＜4时，方程2x2＋ax＋2＝0无实根，所以原不等式的解集为R.
(2)当Δ＝0，即a＝±4时，若a＝－4，则原不等式等价于(x－1)2＞0，故x≠1；若a＝4，则原不等式等价于(x＋1)2＞0，故x≠－1；
(3)当Δ＞0，即a＞4或a＜－4时，方程2x2＋ax＋2＝0的两个根为x1＝(－a－)，x2＝(－a＋)．
此时原不等式等价于(x－x1)(x－x2)＞0，
∴x＜x1或x＞x2.
综上，当－4＜a＜4时，原不等式的解集为R；当a＝－4时原不等式的解集为{x|x∈R，且x≠1}；
当a＞4或a＜－4时，原不等式的解集为；当a＝4时，原不等式的解集为{x|x∈R，且x≠－1}．
角度2　对根的大小进行讨论
例4　解关于x的不等式x2＋2x＋1－a2≤0(a∈R)．
解析：原不等式等价于(x＋1＋a)(x＋1－a)≤0.
(1)当－1－a＜－1＋a，
即a＞0时，－1－a≤x≤－1＋a；
(2)当－1－a＝－1＋a，
即a＝0时，不等式即(x＋1)2≤0，
∴x＝－1；
(3)当－1－a＞－1＋a，即a＜0时，－1＋a≤x≤－1－a.
综上，当a＞0时，原不等式的解集为{x|－1－a≤x≤－1＋a}；
当a＝0时，原不等式的解集为{x|x＝－1}；
当a＜0时，原不等式的解集为{x|－1＋a≤x≤－1－a}．
角度3　对二次项系数进行讨论
例5　设a∈R，解关于x的不等式ax2＋(1－2a)x－2＞0.
解析：(1)当a＝0时，不等式可化为x－2＞0，解得x＞2，即原不等式的解集为{x|x＞2}．
(2)当a≠0时，方程ax2＋(1－2a)x－2＝0的两根分别为2和－.
①当a＜－时，解不等式得－＜x＜2，
即原不等式的解集为；
②当a＝－时，不等式无解，即原不等式的解集为 ；
③当－＜a＜0时，解不等式得2＜x＜－，
即原不等式的解集为；
④当a＞0时，解不等式得x＜－或x＞2
即原不等式的解集为.
方法归纳
解含参数的一元二次不等式的步骤
跟踪训练3　解关于x的不等式(a－x)(x－a2)＜0，a∈R.


解析：原不等式可化为(x－a)(x－a2)>0，a∈R，
当a>1或a<0时，a2>a，原不等式的解集为{x|xa2}；
当0a}
当a＝1时，原不等式的解集为{x|x≠1}；
当a＝0时，原不等式的解集为{x|x≠0}．
易错辨析　忽视二次项系数致误
例6　若不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|－1＜x＜2}，那么不等式a(x2＋1)＋b(x－1)＋c＞2ax的解集为(　　)
A．{x|－2＜x＜1} B．{x|x＜－2或x＞1}
C．{x|x＜0或x＞3} D．{x|0＜x＜3}
解析：因为不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|－1＜x＜2}，
所以－1和2是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，且a＜0，
所以－＝－1＋2＝1，＝－2，即b＝－a，c＝－2a，
代入不等式a(x2＋1)＋b(x－1)＋c＞2ax整理得a(x2－3x)＞0，
因为a＜0，所以x2－3x＜0，所以0＜x＜3.故选D.
答案：D
易错警示
易错原因 纠错心得
忽视a的范围致误，易错选C. 根据题中所给的二次不等式的解集，结合三个二次的关系得到a＜0，由根与系数的关系求出a，b，c的关系，再代入不等式a(x2＋1)＋b(x－1)＋c＞2ax，求解即可．
课堂十分钟
1．已知集合M＝{x|－4＜x＜2}，N＝{x|x2－x－6＜0}，则＝(　　)
A．{x|－4＜x＜3} B．{x|－4＜x＜－2}
C．{x|－2＜x＜2} D．{x|2＜x＜3}
答案：C
解析：由题意得N＝{x|x2－x－6<0}＝{x|－22．关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|－3＜x＜1}，则关于x的不等式cx2＋bx＋a＞0的解集为(　　)
A． B．
C． D．
答案：C
解析：因为不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为(－3，1)，所以即不等式cx2＋bx＋a＞0等价于3x2－2x－1＞0，
解得x<－或x＞1.故选C.
3．已知2a＋1＜0，则关于x的不等式x2－4ax－5a2＞0的解集是(　　)
A．{x|x＜5a或x＞－a} B．{x|x＞5a或x＜－a}
C．{x|－a＜x＜5a} D．{x|5a＜x＜－a}
答案：A
解析：∵2a＋1<0，∴a<－，∴－a>5a.由x2－4ax－5a2＝(x－5a)(x＋a)>0得x<5a或x>－a，∴原不等式的解集为{x|x<5a或x>－a}．故选A.
4．已知x＝1在不等式k2x2－6kx＋8≥0的解集内，则k的取值范围是___________．
k≤2或k≥4
解析：由题意知：k2－6k＋8≥0
解得k≥4或k≤2
∴k的取值范围是k≥4或k≤2.
5. 已知函数y＝x2－(a＋b)x＋2a.
(1)若关于x的不等式y＜0的解集为{x|1＜x＜2}，求a，b的值；
(2)当b＝2时，解关于x的不等式y＞0.
解析：(1)∵y<0的解集为{x|1由韦达定理知：，解得：.
(2)当b＝2时，y＝x2－(a＋2)x＋2a＝(x－a)(x－2)>0，
当a<2时，y>0的解集为{x|x2}；
当a＝2时，y>0的解集为{x|x<2或x>2}；
当a>2时，y>0的解集为{x|x<2或x>a}．2．3　一元二次不等式
2．3.1　一元二次不等式及其解法
最新课程标准 学科核心素养
1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义． 2．能够借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集． 3．借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系． 1.会求一元二次不等式的解集．(逻辑推理、直观想象) 2．会求分式不等式的解集．(逻辑推理、数学运算) 3．理解一元二次方程、一元二次函数与一元二次不等式之间的关系，并能解决相应的问题．(逻辑推理)
第1课时　一元二次不等式及其解法(1)
教材要点
要点　一元二次不等式
一元二次不等式的概念及形式
(1)概念：我们把只含有________未知数，并且未知数的最高次数是______的不等式，称为一元二次不等式．
(2)形式：
①ax2＋bx＋c＞0(a≠0)；
②ax2＋bx＋c≥0(a≠0)；
③ax2＋bx＋c＜0(a≠0)；
④ax2＋bx＋c≤0(a≠0)．
状元随笔　一元二次不等式的二次项系数 a有a＞0或a＜0两种，注意a≠0.当a＜0时，我们通常将不等式两边同乘以－1，化为二次项系数大于0的一元二次不等式，但要注意不等号要改变方向，这样我们只需要研究二次项系数大于0的一元二次不等式．
基础自测
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)mx2＋5x＜0是一元二次不等式．(　　)
(2)若不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为{x|x1＜x＜x2}，则必有a＞0.(　　)
(3)若不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是{x|x＜x1或x＞x2}，则方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1和x2.(　　)
(4)若方程ax2＋bx＋c＝0没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为R.(　　)
2．不等式2x2－x－1＞0的解集是(　　)
A．B．{x|x＜1或x＞2}
C．{x|x＞1}D．
3．若不等式ax2＋8ax＋21＜0的解集是{x|－7＜x＜－1}，那么a的值是(　　)
A．1B．2
C．3D．4
4．不等式x2＋6x＋10＞0的解集为________．
题型1　不含参数的一元二次不等式的解法
例1　解不等式：(1)－3x2＋6x－2＞0；
(2)4x2－4x＋1≤0.
方法归纳
解不含参数的一元二次不等式的步骤
1．通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正．
2．对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式．
3．求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根．
4．根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数图象的草图．
5．根据图象写出不等式的解集．
记忆口诀：
设相应的二次函数的图象开口向上，并与x轴相交，则有口诀：大于取两边；小于取中间．
跟踪训练1　(1)不等式＜0的解集为(　　)
A．{x|x＜－1或x＞2}　　　B．
C．{x|x＜－2或x＞1}D．
(2)不等式－x2－3x＋4＜0的解集为(　　)
A．{x|x＞1或x＜－4}B．{x|x＞－1或x＜－4}
C．{x|－4＜x＜1}D．{x|x＜－1或x＞4}
题型2　利用不等式解集求系数
例2　已知关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|2＜x＜3}，求关于x的不等式cx2＋bx＋a＜0的解集．
方法归纳
一元二次不等式与其对应的函数与方程之间存在着密切的联系，在解决具体的数学问题时，要注意三者之间的相互联系，并在一定条件下相互转换．
(1)若一元二次不等式的解集为区间的形式，则区间的端点值恰是对应一元二次方程的根，要注意解集的形式与二次项系数的联系．
(2)若一元二次不等式的解集为R或 ，则问题可转化为恒成立问题，此时可以根据二次函数图象与x轴的交点情况确定判别式的符号，进而求出参数的范围．
跟踪训练2　已知一元二次不等式x2＋px＋q＜0的解集为，求不等式qx2＋px＋1＞0的解集．
题型3　解含参数的一元二次不等式
角度1　对判别式“Δ”进行讨论
例3　解关于x的不等式2x2＋ax＋2＞0.
角度2　对根的大小进行讨论
例4　解关于x的不等式x2＋2x＋1－a2≤0(a∈R)．
角度3　对二次项系数进行讨论
例5　设a∈R，解关于x的不等式ax2＋(1－2a)x－2＞0.
方法归纳
解含参数的一元二次不等式的步骤
跟踪训练3　解关于x的不等式(a－x)(x－a2)＜0，a∈R.
易错辨析　忽视二次项系数致误
例6　若不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|－1＜x＜2}，那么不等式a(x2＋1)＋b(x－1)＋c＞2ax的解集为(　　)
A．{x|－2＜x＜1}B．{x|x＜－2或x＞1}
C．{x|x＜0或x＞3}D．{x|0＜x＜3}
解析：因为不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|－1＜x＜2}，
所以－1和2是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，且a＜0，
所以－＝－1＋2＝1，＝－2，即b＝－a，c＝－2a，
代入不等式a(x2＋1)＋b(x－1)＋c＞2ax整理得a(x2－3x)＞0，
因为a＜0，所以x2－3x＜0，所以0＜x＜3.故选D.
答案：D
易错警示
易错原因 纠错心得
忽视a的范围致误，易错选C. 根据题中所给的二次不等式的解集，结合三个二次的关系得到a＜0，由根与系数的关系求出a，b，c的关系，再代入不等式a(x2＋1)＋b(x－1)＋c＞2ax，求解即可．
课堂十分钟
1．已知集合M＝{x|－4＜x＜2}，N＝{x|x2－x－6＜0}，则＝(　　)
A．{x|－4＜x＜3}B．{x|－4＜x＜－2}
C．{x|－2＜x＜2}D．{x|2＜x＜3}
2．关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|－3＜x＜1}，则关于x的不等式cx2＋bx＋a＞0的解集为(　　)
A．B．
C．D．
3．已知2a＋1＜0，则关于x的不等式x2－4ax－5a2＞0的解集是(　　)
A．{x|x＜5a或x＞－a}B．{x|x＞5a或x＜－a}
C．{x|－a＜x＜5a}D．{x|5a＜x＜－a}
4．已知x＝1在不等式k2x2－6kx＋8≥0的解集内，则k的取值范围是________．
5.已知函数y＝x2－(a＋b)x＋2a.
(1)若关于x的不等式y＜0的解集为{x|1＜x＜2}，求a，b的值；
(2)当b＝2时，解关于x的不等式y＞0.
2．3　一元二次不等式
2．3.1　一元二次不等式及其解法
第1课时　一元二次不等式及其解法(1)
新知初探·课前预习
要点
一个　2
[基础自测]
1．答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)×
2．解析：原不等式化为(2x＋1)(x－1)>0，所以x<－或x>1.故选A.
答案：A
3．解析：由题意可知a>0，且－7和－1为方程ax2＋8ax＋21＝0的两个根，∴由根与系数的关系得(－7)×(－1)＝，解得a＝3.故选C.
答案：C
4．解析：∵Δ＝62－4×10＝－4<0，∴方程x2＋6x＋10＝0无解．即函数y＝x2＋6x＋10的图象在x轴上方，所以不等式x2＋6x＋10>0的解集为R.
答案：R
题型探究·课堂解透
例1　解析：(1)不等式可化为3x2－6x＋2＜0.对应方程3x2－6x＋2＝0.因为Δ＝36－4×3×2＝12＞0，所以它有两个实数根．解得x1＝1－，x2＝1＋.画出二次函数y＝3x2－6x＋2的图象(如图①)，结合图象得不等式3x2－6x＋2＜0的解集是.所以不等式－3x2＋6x－2＞0的解集是.
(2)方程4x2－4x＋1＝0的解是x1＝x2＝，画出二次函数y＝4x2－4x＋1的图象(如图②)，结合图象得不等式4x2－4x＋1≤0的解集是.
跟踪训练1　解析：(1)因为<0，
所以对应的方程为(x＋1)(x－2)＝0，解得x1＝－1，x2＝2，
所以不等式<0的解集为，
故选B.
(2)原不等式变为x2＋3x－4>0，因式分解得：(x－1)(x＋4)>0，解得x>1或x<－4.故原不等式的解集为{x|x>1或x<－4}．故选A.
答案：(1)B　(2)A
例2　解析：方法一　由不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|20，即x2－x＋>0，解得x<或x>，所以不等式cx2＋bx＋a<0的解集为.
方法二　由不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2跟踪训练2　解析：因为x2＋px＋q<0的解集为，
所以x1＝－与x2＝是方程x2＋px＋q＝0的两个实数根，
由根与系数的关系得
解得.
所以不等式qx2＋px＋1>0即为－x2＋x＋1>0，
整理得x2－x－6<0，解得－2即不等式qx2＋px＋1>0的解集为{x|－2例3　解析：Δ＝a2－16，下面分情况讨论：
(1)当Δ＜0，即－4＜a＜4时，方程2x2＋ax＋2＝0无实根，所以原不等式的解集为R.
(2)当Δ＝0，即a＝±4时，若a＝－4，则原不等式等价于(x－1)2＞0，故x≠1；若a＝4，则原不等式等价于(x＋1)2＞0，故x≠－1；
(3)当Δ＞0，即a＞4或a＜－4时，方程2x2＋ax＋2＝0的两个根为x1＝(－a－)，x2＝(－a＋)．
此时原不等式等价于(x－x1)(x－x2)＞0，
∴x＜x1或x＞x2.
综上，当－4＜a＜4时，原不等式的解集为R；
当a＝－4时原不等式的解集为{x|x∈R，且x≠1}；
当a＞4或a＜－4时，原不等式的解集为{x|x＜(－a－)，或x＞(－a＋)}；
当a＝4时，原不等式的解集为{x|x∈R，且x≠－1}．
例4　解析：原不等式等价于(x＋1＋a)(x＋1－a)≤0.
(1)当－1－a＜－1＋a，
即a＞0时，－1－a≤x≤－1＋a；
(2)当－1－a＝－1＋a，
即a＝0时，不等式即(x＋1)2≤0，
∴x＝－1；
(3)当－1－a＞－1＋a，即a＜0时，－1＋a≤x≤－1－a.
综上，当a＞0时，原不等式的解集为{x|－1－a≤x≤－1＋a}；
当a＝0时，原不等式的解集为{x|x＝－1}；
当a＜0时，原不等式的解集为{x|－1＋a≤x≤－1－a}．
例5　解析：(1)当a＝0时，不等式可化为x－2＞0，解得x＞2，即原不等式的解集为{x|x＞2}．
(2)当a≠0时，方程ax2＋(1－2a)x－2＝0的两根分别为2和－.
①当a＜－时，解不等式得－＜x＜2，
即原不等式的解集为；
②当a＝－时，不等式无解，即原不等式的解集为 ；
③当－＜a＜0时，解不等式得2＜x＜－，
即原不等式的解集为；
④当a＞0时，解不等式得x＜－或x＞2
即原不等式的解集为.
跟踪训练3　解析：原不等式可化为(x－a)(x－a2)>0，a∈R，
当a>1或a<0时，a2>a，原不等式的解集为{x|xa2}；
当0a}
当a＝1时，原不等式的解集为{x|x≠1}；
当a＝0时，原不等式的解集为{x|x≠0}．
[课堂十分钟]
1．解析：由题意得N＝{x|x2－x－6<0}＝{x|－2答案：C
2．解析：因为不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为(－3，1)，所以即不等式cx2＋bx＋a＞0等价于3x2－2x－1＞0，
解得x<－或x＞1.故选C.
答案：C
3．解析：∵2a＋1<0，∴a<－，∴－a>5a.由x2－4ax－5a2＝(x－5a)(x＋a)>0得x<5a或x>－a，∴原不等式的解集为{x|x<5a或x>－a}．故选A.
答案：A
4．解析：由题意知：k2－6k＋8≥0
解得k≥4或k≤2
∴k的取值范围是k≥4或k≤2.
答案：k≤2或k≥4
5．解析：(1)∵y<0的解集为{x|1由韦达定理知：，解得：.
(2)当b＝2时，y＝x2－(a＋2)x＋2a＝(x－a)(x－2)>0，
当a<2时，y>0的解集为{x|x2}；
当a＝2时，y>0的解集为{x|x<2或x>2}；
当a>2时，y>0的解集为{x|x<2或x>a}．
1(共32张PPT)
第2课时　一元二次不等式及其解法(2)
新知初探 课前预习
题型探究 课堂解透
新知初探 课前预习
要点一　二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象
ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1＜x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根
ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集 ____________ {x|x≠－} R
ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集 ____________ ________
{x|xx2}
{x|x1
状元随笔　一元二次不等式的解法：
(1)图象法：一般地，当a＞0时，解形如ax2＋bx＋c＞0(≥0)或ax2＋bx＋c＜0(≤0)的一元二次不等式，一般可分为三步：
①确定对应方程ax2＋bx＋c＝0的解；②画出对应函数y＝ax2＋bx＋c的图象简图；③由图象得出不等式的解集．
对于a＜0的一元二次不等式，可以直接采取类似a＞0时的解题步骤求解；也可以先把它化成二次项系数为正的一元二次不等式，再求解．
(2)代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解，当p＜q时，若(x －p)(x －q)＞0，则x＞q或x＜p；若(x －p)(x －q)＜0，则p＜x＜q.有口诀如下“大于取两边，小于取中间”．
要点二　分式不等式的解法
(1)≥0 ___________；
(2)>0 ________．
f(x)·g(x)>0
基础自测
1.不等式<0的解集是(　　)
A．{x|x>0} B．{x|x<2}
C．{x|x>2或x<0} D．{x|0答案：D
解析：不等式<0等价于x(x－2)<0，0则不等式<0的解集是{x|02．不等式>1的解集为(　　)
A．{x|x<1} B．{x|0C．{x|x>1} D．{x|x>0}
答案：B
解析：依题意>1 －1>0 >0 x(1－x)>0 x(x－1)<0 03．关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋c≤0的解集是空集的条件是(　　)
A． B．
C． D．
答案：B
解析：要使ax2＋bx＋c≤0的解集是空集，则需满足
4．若不等式x2－ax＋1＞0对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是________．
(－2，2)
解析：因为不等式x2－ax＋1>0对任意实数x恒成立，
所以Δ＝a2－4<0，解得－2题型探究 课堂解透
题型1　解分式不等式
例1　解下列不等式：
(1)≥0；(2)>1.
解析：(1)原不等式可化为≤0，
∴
∴，即－3故原不等式的解集为{x|－3(2)原不等式可化为－1>0.
∴>0，∴>0，则x<－2.
故原不等式的解集为{x|x<－2}．
方法归纳
(1)对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元二次不等式组求解，但要注意分母不为零．
(2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解．
跟踪训练1　(1)不等式≥0的解集为(　　)
A．{x|－6≤x≤1} B．{x|x≥1或x≤－6}
C．{x|－6≤x＜1} D．{x|x＞1或x≤－6}
(2)不等式≤2的解集为___________．
C
{x|x<2或x≥5}
解析：
(1)原不等式变为：≤0 (x＋6)(x－1)≤0且x－1≠0.解得－6≤x<1，故原不等式的解集为{x|－6≤x<1}．故选C.
(2)移项得－2≤0，即≥0，
此不等式等价于(x－5)(x－2)≥0且x－2≠0，
解得x<2或x≥5.
故原不等式的解集为{x|x<2或x≥5}．
题型2　不等式恒成问题
角度1　在R上恒成立问题
例2　一元二次不等式2kx2＋kx－＜0对一切实数x都成立，则k的取值范围为(　　)
A．{k|－3＜k≤0} B．{k|－3≤k＜0}
C．{k|－3≤k≤0} D．{k|－3＜k＜0}
答案：D
解析：∵2kx2＋kx－<0为一元二次不等式，∴k≠0，
又2kx2＋kx－<0对一切实数x都成立，
则必有
解得－3角度2　在给定范围内的恒成立问题
例3　设函数y＝mx2－mx－1.
(1)若对于一切实数x，y＜0恒成立，求m的取值范围；
(2)对于x∈{x|1≤x≤3}，y＜－m＋5恒成立，求m的取值范围．
解析：(1)若m＝0，显然－1<0恒成立；
若m≠0，则 －4∴m的取值范围为{m|－4(2)y<－m＋5恒成立，
即m(x2－x＋1)－6<0恒成立，
∵x2－x＋1＝＋>0，
又m(x2－x＋1)－6<0，∴m<.
∵函数y＝＝在1≤x≤3时的最小值为.
∴只需m<即可．
∴m的取值范围为.
方法归纳
一元二次不等式恒成立问题的常见类型及解法
(1)在R上恒成立问题．
ax2＋bx＋c＞0(a≠0)恒成立
ax2＋bx＋c≤0(a≠0)恒成立
(2)在给定区间上的恒成立问题．
方法一：①a＞0时，ax2＋bx＋c＜0在x∈{x|α≤x≤β}上恒成立 y＝ax2＋bx＋c在x＝α，x＝β时的函数值同时小于0.
②a＜0时，ax2＋bx＋c＞0在x∈{x|α≤x≤β}上恒成立 y＝ax2＋bx＋c在x＝α，x＝β时的函数值同时大于0.
方法二：分离参数，转化为函数的最值问题．
跟踪训练2　(1)设a为常数， x∈R，ax2＋ax＋1＞0，则a的取值范围是(　　)
A．{x|0＜a＜4} B．{x|0≤a＜4}
C．{x|a＞0} D．{x|a＜4}
(2)若对于任意x∈[m，m＋1]，都有x2＋mx－1＜0成立，则实数m的
取值范围是________________．
B
解析：(1)①当a＝0时，1>0恒成立，即a＝0时满足题意；
②当a≠0时，则有，解得0综上得a的取值范围是{x|0≤a<4}．故选B.
(2)作出二次函数y＝x2＋mx－1的草图，对于任意x∈{x|m≤x≤m＋1}，都有x2＋mx－1<0，

则
解得－题型3　简单的高次不等式的解法
例4　(1)不等式≥0的解集为(　　)
A．(1，2]
C．[－3，1)
(2)不等式≤0的解集为(　　)
A．{x|－3B．{x|x<－3或1≤x≤2}
C．{x|x＝4或－3D．{x|x＝4或x<－3或1≤x≤2}
B　
D
解析：(1)由≥0，

解得x≥－6且x≠1，
所以不等式的解集为[－6，1)
(2)∵≤0，
即，即，
当x＝4时不等式成立，又∵(x－4)2≥0恒成立，
不等式，
利用穿针引线画出y＝(x＋3)(x－1)(x－2)
的简图如图所示：
解得此不等式的解集为{x|x<－3或1≤x≤2}，
故原不等式的解集为：{x|x＝4或x<－3或1≤x≤2} .
方法归纳
简单高次不等式a(x－b1)(x－b2)…(x－bn)>0的解法：穿线法．
注意：系数化正，右上往左下，奇穿偶不穿，单独考虑孤立点．
跟踪训练3　(1)不等式x>的解集是(　　)
A．(1，＋∞)
B．(－∞，－1)
C．(－1，0)
D．(－∞，－1)
(2)不等式＜0的解集为__________________．
C
解析：(1)因为x>，所以x－＝>0，
所以x(x2－1)＝x(x－1)(x＋1)>0.
画出示意图如图．

所以解集为(－1，0)故选C.
(2)∵(x－1)2≥0，
所以不等式<0，等价于，即，解得：－所以不等式的解集为：.
易错辨析　解分式不等式时忽略“分母不等于0”致误
例5　不等式≥0的解集为(　　)
A．{x|x≥－1} B．{x|－1≤x≤1}
C．{x|x≥－1且x≠1} D．{x|x≥1或x≤－1}
解析：∵(x－1)2≥0，
∴原不等式等价于，
解得x≥－1且x≠1.故选C.
答案：C
易错警示
易错原因 纠错心得
忽视了(x－1)2≠0，只认为(x－1)2≥0，原不等式等价于x＋1≥0，解得x≥－1，错选A. 解分式不等式时要先移项再通分，不要去分母，使不等式右边化为0.且记“只要解分式不等式，分母都不为零”．
课堂十分钟
1．不等式＞0的解集为(　　)
A．{x|x<－2或x>1} B．{x|x<－1或x>2}
C．{x|－2答案：B
解析：因为>0等价于(x－2)(x＋1)>0，解得x>2或x<－1，
即不等式>0的解集为{x|x<－1或x>2}．
2．已知集合A＝，集合B＝{x|x>0}，则A＝(　　)
A．{x|x≥－2} B．{x|x>－2}
C．{x|x≥0} D．{x|x>0}
答案：B
解析：≤0 －2∵A＝{x|－20}，∴A＝{x|x>－2}．
3．不等式≤1的解集为(　　)
A． B．
C． D．
答案：D
解析：不等式≤1可化为≤0，
即
解得：x≤或x>2，
故不等式的解集为.
4．不等式2x2－kx－k>0对于一切实数恒成立，则k的取值范围为(　　)
A．(－8，0) B．(0，8)
C．(－∞，－8)
答案：A
解析：∵2x2－kx－k>0对于一切实数恒成立，
∴Δ＝(－k)2－4×2×(－k)＝k2＋8k<0，
得－8即k∈(－8，0)．
5．若不等式(1－a)x2－4x＋6＞0的解集为{x|－3＜x＜1}．
(1)解不等式2x2＋(2－a)x－a＞0；
(2)ax2＋bx＋3＞0的解集为R，求b的取值范围．

解析：若不等式(1－a)x2－4x＋6>0的解集为{x|－3则(1－a)x2－4x＋6＝0的根为－3，1，
∴＝－3×1，解得a＝3，
(1)代入a＝3，不等式2x2＋(2－a)x－a>0为2x2－x－3>0，
解得x<－1或x>，
即不等式2x2＋(2－a)x－a>0的解集为；
(2)代入a＝3，不等式ax2＋bx＋3>0为3x2＋bx＋3>0，
∵3x2＋bx＋3>0的解集为R，
∴Δ＝b2－4×3×3<0，
解得－6教材要点
要点一　二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象
ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1＜x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根
ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集 ____________ {x|x≠－} R
ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集 ____________ ________
状元随笔　一元二次不等式的解法：
(1)图象法：一般地，当a＞0时，解形如ax2＋bx＋c＞0(≥0)或ax2＋bx＋c＜0(≤0)的一元二次不等式，一般可分为三步：
①确定对应方程ax2＋bx＋c＝0的解；②画出对应函数y＝ax2＋bx＋c的图象简图；③由图象得出不等式的解集．
对于a＜0的一元二次不等式，可以直接采取类似a＞0时的解题步骤求解；也可以先把它化成二次项系数为正的一元二次不等式，再求解．
(2)代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解，当p＜q时，若(x －p)(x －q)＞0，则x＞q或x＜p；若(x －p)(x －q)＜0，则p＜x＜q.有口诀如下“大于取两边，小于取中间\”．
要点二　分式不等式的解法
(1)≥0 ________；
(2)>0 ________．
基础自测
1.不等式<0的解集是(　　)
A．{x|x>0}B．{x|x<2}
C．{x|x>2或x<0}D．{x|02．不等式>1的解集为(　　)
A．{x|x<1}B．{x|0C．{x|x>1}D．{x|x>0}
3．关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋c≤0的解集是空集的条件是(　　)
A．B．
C．D．
4．若不等式x2－ax＋1＞0对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是________．
题型1　解分式不等式
例1　解下列不等式：
(1)≥0；
(2)>1.
方法归纳
(1)对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元二次不等式组求解，但要注意分母不为零．
(2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解．
跟踪训练1　(1)不等式≥0的解集为(　　)
A．{x|－6≤x≤1}B．{x|x≥1或x≤－6}
C．{x|－6≤x＜1}D．{x|x＞1或x≤－6}
(2)不等式≤2的解集为________．
题型2　不等式恒成问题
角度1　在R上恒成立问题
例2　一元二次不等式2kx2＋kx－＜0对一切实数x都成立，则k的取值范围为(　　)
A．{k|－3＜k≤0}B．{k|－3≤k＜0}
C．{k|－3≤k≤0}D．{k|－3＜k＜0}
角度2　在给定范围内的恒成立问题
例3　设函数y＝mx2－mx－1.
(1)若对于一切实数x，y＜0恒成立，求m的取值范围；
(2)对于x∈{x|1≤x≤3}，y＜－m＋5恒成立，求m的取值范围．
方法归纳
一元二次不等式恒成立问题的常见类型及解法
(1)在R上恒成立问题．
ax2＋bx＋c＞0(a≠0)恒成立
ax2＋bx＋c≤0(a≠0)恒成立
(2)在给定区间上的恒成立问题．
方法一：①a＞0时，ax2＋bx＋c＜0在x∈{x|α≤x≤β}上恒成立 y＝ax2＋bx＋c在x＝α，x＝β时的函数值同时小于0.
②a＜0时，ax2＋bx＋c＞0在x∈{x|α≤x≤β}上恒成立 y＝ax2＋bx＋c在x＝α，x＝β时的函数值同时大于0.
方法二：分离参数，转化为函数的最值问题．
跟踪训练2　(1)设a为常数， x∈R，ax2＋ax＋1＞0，则a的取值范围是(　　)
A．{x|0＜a＜4}B．{x|0≤a＜4}
C．{x|a＞0}D．{x|a＜4}
(2)若对于任意x∈[m，m＋1]，都有x2＋mx－1＜0成立，则实数m的取值范围是________．
题型3　简单的高次不等式的解法
例4　(1)不等式≥0的解集为(　　)
A．(1，2]
C．[－3，1)
(2)不等式≤0的解集为(　　)
A．{x|－3B．{x|x<－3或1≤x≤2}
C．{x|x＝4或－3D．{x|x＝4或x<－3或1≤x≤2}
方法归纳
简单高次不等式a(x－b1)(x－b2)…(x－bn)>0的解法：穿线法．
注意：系数化正，右上往左下，奇穿偶不穿，单独考虑孤立点．
跟踪训练3　(1)不等式x>的解集是(　　)
A．(1，＋∞)
B．(－∞，－1)
C．(－1，0)
D．(－∞，－1)
(2)不等式＜0的解集为________．
易错辨析　解分式不等式时忽略“分母不等于0”致误
例5　不等式≥0的解集为(　　)
A．{x|x≥－1}B．{x|－1≤x≤1}
C．{x|x≥－1且x≠1}D．{x|x≥1或x≤－1}
解析：∵(x－1)2≥0，
∴原不等式等价于，
解得x≥－1且x≠1.故选C.
答案：C
易错警示
易错原因 纠错心得
忽视了(x－1)2≠0，只认为(x－1)2≥0，原不等式等价于x＋1≥0，解得x≥－1，错选A. 解分式不等式时要先移项再通分，不要去分母，使不等式右边化为0.且记“只要解分式不等式，分母都不为零”．
课堂十分钟
1．不等式＞0的解集为(　　)
A．{x|x<－2或x>1}B．{x|x<－1或x>2}
C．{x|－22．已知集合A＝，集合B＝{x|x>0}，则A＝(　　)
A．{x|x≥－2}B．{x|x>－2}
C．{x|x≥0}D．{x|x>0}
3．不等式≤1的解集为(　　)
A．B．
C．D．
4．不等式2x2－kx－k>0对于一切实数恒成立，则k的取值范围为(　　)
A．(－8，0) B．(0，8)
C．(－∞，－8)
5．若不等式(1－a)x2－4x＋6＞0的解集为{x|－3＜x＜1}．
(1)解不等式2x2＋(2－a)x－a＞0；
(2)ax2＋bx＋3＞0的解集为R，求b的取值范围．
第2课时　一元二次不等式及其解法(2)
新知初探·课前预习
要点一
{x|xx2}　{x|x1要点二
　f(x)·g(x)>0
[基础自测]
1．解析：不等式<0等价于x(x－2)<0，0则不等式<0的解集是{x|0答案：D
2．解析：依题意>1 －1>0 >0 x(1－x)>0 x(x－1)<0 0答案：B
3．解析：要使ax2＋bx＋c≤0的解集是空集，则需满足
答案：B
4．解析：因为不等式x2－ax＋1>0对任意实数x恒成立，
所以Δ＝a2－4<0，解得－2答案：(－2，2)
题型探究·课堂解透
例1　解析：(1)原不等式可化为≤0，
∴
∴，即－3故原不等式的解集为{x|－3(2)原不等式可化为－1>0.
∴>0，∴>0，则x<－2.
故原不等式的解集为{x|x<－2}．
跟踪训练1　解析：(1)原不等式变为：≤0 (x＋6)(x－1)≤0且x－1≠0.解得－6≤x<1，故原不等式的解集为{x|－6≤x<1}．故选C.
(2)移项得－2≤0，即≥0，
此不等式等价于(x－5)(x－2)≥0且x－2≠0，
解得x<2或x≥5.
故原不等式的解集为{x|x<2或x≥5}．
答案：(1)C　(2){x|x<2或x≥5}
例2　解析：∵2kx2＋kx－<0为一元二次不等式，∴k≠0，
又2kx2＋kx－<0对一切实数x都成立，
则必有
解得－3答案：D
例3　解析：(1)若m＝0，显然－1<0恒成立；
若m≠0，则 －4∴m的取值范围为{m|－4(2)y<－m＋5恒成立，
即m(x2－x＋1)－6<0恒成立，
∵x2－x＋1＝＋>0，
又m(x2－x＋1)－6<0，
∴m<.
∵函数y＝＝在1≤x≤3时的最小值为.
∴只需m<即可．
∴m的取值范围为.
跟踪训练2　解析：(1)①当a＝0时，1>0恒成立，即a＝0时满足题意；
②当a≠0时，则有，解得0综上得a的取值范围是{x|0≤a<4}．故选B.
(2)作出二次函数y＝x2＋mx－1的草图，对于任意x∈{x|m≤x≤m＋1}，都有x2＋mx－1<0，
则
解得－答案：(1)B　(2)
例4　解析：(1)由≥0，
解得x≥－6且x≠1，
所以不等式的解集为[－6，1)
(2)∵≤0，
即，即，
当x＝4时不等式成立，又∵(x－4)2≥0恒成立，
不等式，
利用穿针引线画出y＝(x＋3)(x－1)(x－2)的简图如图所示：
解得此不等式的解集为{x|x<－3或1≤x≤2}，
故原不等式的解集为：{x|x＝4或x<－3或1≤x≤2} .
答案：(1)B　(2)D
跟踪训练3　解析：(1)因为x>，所以x－＝>0，
所以x(x2－1)＝x(x－1)(x＋1)>0.
画出示意图如图．
所以解集为(－1，0)故选C.
(2)∵(x－1)2≥0，
所以不等式<0，等价于，即，
解得：－所以不等式的解集为：.
答案：(1)C　(2)
[课堂十分钟]
1．解析：因为>0等价于(x－2)(x＋1)>0，解得x>2或x<－1，
即不等式>0的解集为{x|x<－1或x>2}．
答案：B
2．解析：≤0 －2∵A＝{x|－20}，∴A＝{x|x>－2}．
答案：B
3．解析：不等式≤1可化为≤0，
即
解得：x≤或x>2，
故不等式的解集为.
答案：D
4．解析：∵2x2－kx－k>0对于一切实数恒成立，
∴Δ＝(－k)2－4×2×(－k)＝k2＋8k<0，
得－8即k∈(－8，0)．
答案：A
5．解析：若不等式(1－a)x2－4x＋6>0的解集为{x|－3则(1－a)x2－4x＋6＝0的根为－3，1，
∴＝－3×1，解得a＝3，
(1)代入a＝3，不等式2x2＋(2－a)x－a>0为2x2－x－3>0，
解得x<－1或x>，
即不等式2x2＋(2－a)x－a>0的解集为；
(2)代入a＝3，不等式ax2＋bx＋3>0为3x2＋bx＋3>0，
∵3x2＋bx＋3>0的解集为R，
∴Δ＝b2－4×3×3<0，
解得－61(共27张PPT)
第2课时　一元二次不等式的应用
题型探究 课堂解透
题型探究 课堂解透
最新课程标准
1. 经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程；
2．能将实际问题转化为数学问题，建立不等式模型．
学科核心素养
能解决一元二次不等式的实际问题．(逻辑推理、数学建模)
题型1　一元二次不等式的应用
例1　汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故的一个重要因素．
在一个限速为40 km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了．事后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过12 m，乙车的刹车距离略超过10 m，又知甲、乙两种车型的刹车距离s(m)与车速x(km/h)之间分别有如下关系：s甲＝0.1x＋0.01x2，s乙＝0.05x＋0.005x2.问：甲、乙两车有无超速现象？
解析：由题意知，对于甲车，有0.1x＋0.01x2>12，即x2＋10x－1 200>0，解得x>30或x<－40(不合实际意义，舍去)，这表明甲车的车速超过30 km/h.但根据题意刹车距离略超过12 m，由此估计甲车车速不会超过限速40 km/h.
对于乙车，有0.05x＋0.005x2>10，即x2＋10x－2 000>0，解得x>40或x<－50(不合实际意义，舍去)，这表明乙车的车速超过40 km/h，超过规定限速．
例2　某地方政府为地方电子工业发展，决定对某一进口电子产品征收附加税，已知这种电子产品国内市场零售价为每件250元，每年可销售40万件，若政府征收附加税率为t%时，则每年减少t万件．
(1)将税金收入表示为征收附加税率的函数；
(2)在该项经营中每年征收附加税金不低于600万元，那么附加税率应控制在什么范围？
解析：(1)当征收附加税率为t%时，每年的销售量为万件，每件产品的征收附加税金为(250×t%)元，设税金收入为y万元，则所求函数关系为y＝250×t%×＝100t－4t2.
(2)由题意可知，y＝100t－4t2≥600，
即t2－25t＋150≤0，解得10≤t≤15，
即税率应控制在10%到15%之间．
方法归纳
解不等式应用题的四步骤
(1)审：认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系．
(2)设：引进数学符号，用不等式表示不等关系．
(3)求：解不等式．
(4)答：回答实际问题．
特别提醒：确定答案时应注意变量具有的“实际含义”．
跟踪训练1　某工厂的固定成本为3万元，该工厂每生产100台某产品的生产成本为1万元，设生产该产品x(百台)，其总成本为p万元(总成本＝固定成本＋生产成本)，并且销售收入y满足y＝
假定该产品产销平衡，根据上述统计规律求：
(1)要使工厂有盈利，产品数量x应控制在什么范围？
(2)工厂生产多少台产品时盈利最大？
解析：(1)依题意得p＝x＋3，设利润函数为z，则
z＝y－p，所以
z＝
要使工厂有盈利，则有z>0，因为
z>0 或
或
或则3＜x≤7或7＜x＜10.5，即3＜x＜10.5，所以要使工厂盈利，产品数量应控制在大于300台小于1 050台的范围内．
(2)当3＜x≤7时，z＝－0.5(x－6)2＋4.5，故当x＝6时，z有最大值4.5，而当x＞7时，z＜10.5－7＝3.5，所以当工厂生产600台产品时盈利最大．
题型2　一元二次不等式与基本不等式的综合应用
例3　某单位有员工1 000名，平均每人每年创造利润10万元，为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出x(x∈N*)名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利润为10(a－0.8x%)万元(a>0)，剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高0.4x%.
(1)若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1 000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？
(2)若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1 000名员工创造的年总利润条件下，若要求调整出的员工创造出的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则a的取值范围是多少？
解析：(1)由题意，得10(1 000－x)(1＋0.4x%)≥10×1 000，
即x2－750x≤0，又x>0，所以0即最多调整出750名员工从事第三产业．
(2)从事第三产业的员工创造的年利润为10x万元，
从事原来产业的员工的年总利润为10(1 000－x)万元，
则10x≤10(1 000－x)，
所以ax－≤1 000＋4x－x－x2，
所以ax≤＋1 000＋3x，
即a≤＋3在x∈(0，750]时恒成立，因为≥2＝4，当且仅当＝，
即x＝500时等号成立，∴a≤7，
又a>0，∴0方法归纳
解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答．
跟踪训练2　近年来，某西部乡村农产品加工合作社每年消耗电费24万元．为了节能环保，决定修建一个可使用16年的沼气发电池，并入该合作社的电网．修建沼气发电池的费用(单位：万元)与沼气发电池的容积x(单位：米3)成正比，比例系数为0.12.为了保证正常用电，修建后采用沼气能和电能互补的供电模式用电．设在此模式下，修建后该合作社每年消耗的电费C(单位：万元)与修建的沼气发电池的容积x(单位：米3)之间的函数关系为C(x)＝(x≥0，k为常数)．记该合作社修建此沼气发电池的费用与16年所消耗的电费之和为F(单位：万元)．
(1)解释C(0)的实际意义，并写出F关于x的函数关系；
(2)该合作社应修建多大容积的沼气发电池，可使F最小，并求出最小值．
(3)要使F不超过140万元，求x的取值范围．
解析：(1)C(0)的实际意义是修建这种沼气发电池的面积为0时的用电费用，
即未修建沼气发电池时，该合作社每年消耗的电费；
由题意可得，C(0)＝＝24，则k＝1 200；
所以该合作社修建此沼气发电池的费用与16年所消耗的电费之和为
F＝16×＋0.12x＝＋0.12x，x≥0；
(2)由(1)得，F＝＋0.12x＝＋0.12(x＋50)－6
≥2－6＝90，
当且仅当＝0.12(x＋50)，即x＝350时，等号成立，
即该合作社应修建容积为350立方米的沼气发电池时，
可使F最小，且最小值为90万元；
(3)为使F不超过140万元，只需F＝＋0.12x≤140，
整理得3x2－3 350x＋305 000≤0，
则(3x－3 050)(x－100)≤0，解得100≤x≤，即x的取值范围是.
课堂十分钟
1．若产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y＝3 000＋20x－0.1x2(0＜x＜240)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是(　　)
A．100台 B．120台
C．150台 D．180台
答案：C
解析：y－25x＝－0.1x2－5x＋3 000≤0，即x2＋50x－30 000≥0，解得x≥150或x≤－200(舍去)．故选C.
2．以每秒a m的速度从地面垂直向上发射子弹，t s后的高度x m可由x＝at－4.9t2确定，已知5 s后子弹高245 m，子弹保持在245 m以上(含245 m)高度的时间为(　　)
A．4 s B．5 s
C．6 s D．7 s
答案：B
解析：因为5 s后子弹高245 m，所以有245＝a·5－4.9×52 a＝73.5，
即x＝73.5t－4.9t2，
由题意可知：x＝73.5t－4.9t2≥245，解得5≤t≤10，子弹保持在245 m以上(含245 m)高度的时间为10－5＝5.
3．某种杂志原以每本3元的价格销售，可以售出10万本．根据市场调查，杂志的单价每提高0.1元，销售量就减少1 000本．设每本杂志的定价为x元，要使得提价后的销售总收入不低于42万元，则x应满足(　　)
A．6≤x≤7 B．5≤x≤7
C．5≤x≤6 D．4≤x≤6
答案：A
解析：提价后杂志的定价设为x元，则提价后的销售量为： 10－×0.1万本，
因为销售的总收入不低于42万元，
列不等式为：x≥42，
即(x－6)(x－7)≤0，即6≤x≤7.
4.

如图所示，某学校要在长为8米，宽为6米的一块矩形地面上进行绿化，计划四周种花卉，花卉带的宽度相同，均为x米，中间植草坪．为了美观，要求草坪的面积大于矩形土地面积的一半，则x的取值范围为________．
0解析：设花卉带宽度为x米(0根据题意可得(8－2x)·(6－2x)>×8×6，
整理得：x2－7x＋6>0，
即(x－6)(x－1)>0，
解得06，
x>6不合题意，舍去，
故所求花卉带宽度的范围为05．你能用一根长为100 m的绳子围成一个面积大于600 m2的矩形吗？
解析：设围成的矩形一边的长为x m，则另一边的长为(50－x) m，且0＜x＜50.由题意，得围成矩形的面积S＝x(50－x)＞600，即x2－50x＋600＜0，解得20＜x＜30.
所以，当矩形一边的长在(20，30)的范围内取值时，能围成一个面积大于600 m2的矩形．
一元二次方程根的分布

研究一元二次方程根的分布时，可通过作图分析根的取值情况，注意数形结合思想的应用．
二次方程根的分布问题既可以转化为方程的根，借助判别式和根与系数的关系解决，也可以转化为二次函数，利用图象列关于参数的不等式(组)解决，但无论哪种转化，都要注意转化的等价性．
例1　已知方程x2＋2mx－m＋12＝0的两根都大于2，求实数m的取值范围．
解析：解法一　设y＝x2＋2mx－m＋12，则
即
∴－＜m≤－4.
故实数m的取值范围为.
解法二　设方程x2＋2mx－m＋12＝0的两根为x1，x2.
由题意知即
解得－＜m≤－4.
∴实数m的取值范围为{m|－＜m≤－4}．
例2　关于x的方程(a＋1)x2＋(4a＋2)x＋1－3a＝0有两个异号的实根，且负根的绝对值较大，求实数a的取值范围．


解析：设方程的两个根分别为x1，x2，
由题意知，实数a满足条件：
解得a＜－1或a＞.2．3.2　一元二次不等式的应用
最新课程标准 1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程； 2．能将实际问题转化为数学问题，建立不等式模型． 学科核心素养 能解决一元二次不等式的实际问题．(逻辑推理、数学建模)
题型1　一元二次不等式的应用
例1　汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故的一个重要因素．
在一个限速为40km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了．事后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过12m，乙车的刹车距离略超过10m，又知甲、乙两种车型的刹车距离s(m)与车速x(km/h)之间分别有如下关系：s甲＝0.1x＋0.01x2，s乙＝0.05x＋0.005x2.问：甲、乙两车有无超速现象？
例2　某地方政府为地方电子工业发展，决定对某一进口电子产品征收附加税，已知这种电子产品国内市场零售价为每件250元，每年可销售40万件，若政府征收附加税率为t%时，则每年减少t万件．
(1)将税金收入表示为征收附加税率的函数；
(2)在该项经营中每年征收附加税金不低于600万元，那么附加税率应控制在什么范围？
方法归纳
解不等式应用题的四步骤
(1)审：认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系．
(2)设：引进数学符号，用不等式表示不等关系．
(3)求：解不等式．
(4)答：回答实际问题．
特别提醒：确定答案时应注意变量具有的“实际含义”．
跟踪训练1　某工厂的固定成本为3万元，该工厂每生产100台某产品的生产成本为1万元，设生产该产品x(百台)，其总成本为p万元(总成本＝固定成本＋生产成本)，并且销售收入y满足y＝
假定该产品产销平衡，根据上述统计规律求：
(1)要使工厂有盈利，产品数量x应控制在什么范围？
(2)工厂生产多少台产品时盈利最大？
题型2　一元二次不等式与基本不等式的综合应用
例3　某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元，为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出x(x∈N*)名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利润为10(a－0.8x%)万元(a>0)，剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高0.4x%.
(1)若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？
(2)若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润条件下，若要求调整出的员工创造出的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则a的取值范围是多少？
方法归纳
解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答．
跟踪训练2　近年来，某西部乡村农产品加工合作社每年消耗电费24万元．为了节能环保，决定修建一个可使用16年的沼气发电池，并入该合作社的电网．修建沼气发电池的费用(单位：万元)与沼气发电池的容积x(单位：米3)成正比，比例系数为0.12.为了保证正常用电，修建后采用沼气能和电能互补的供电模式用电．设在此模式下，修建后该合作社每年消耗的电费C(单位：万元)与修建的沼气发电池的容积x(单位：米3)之间的函数关系为C(x)＝(x≥0，k为常数)．记该合作社修建此沼气发电池的费用与16年所消耗的电费之和为F(单位：万元)．
(1)解释C(0)的实际意义，并写出F关于x的函数关系；
(2)该合作社应修建多大容积的沼气发电池，可使F最小，并求出最小值．
(3)要使F不超过140万元，求x的取值范围．
课堂十分钟
1．若产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y＝3000＋20x－0.1x2(0＜x＜240)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是(　　)
A．100台B．120台
C．150台D．180台
2．以每秒am的速度从地面垂直向上发射子弹，ts后的高度xm可由x＝at－4.9t2确定，已知5s后子弹高245m，子弹保持在245m以上(含245m)高度的时间为(　　)
A．4s B．5s
C．6s D．7s
3．某种杂志原以每本3元的价格销售，可以售出10万本．根据市场调查，杂志的单价每提高0.1元，销售量就减少1000本．设每本杂志的定价为x元，要使得提价后的销售总收入不低于42万元，则x应满足(　　)
A．6≤x≤7B．5≤x≤7
C．5≤x≤6D．4≤x≤6
4.
如图所示，某学校要在长为8米，宽为6米的一块矩形地面上进行绿化，计划四周种花卉，花卉带的宽度相同，均为x米，中间植草坪．为了美观，要求草坪的面积大于矩形土地面积的一半，则x的取值范围为________．
5．你能用一根长为100m的绳子围成一个面积大于600m2的矩形吗？
一元二次方程根的分布
研究一元二次方程根的分布时，可通过作图分析根的取值情况，注意数形结合思想的应用．
二次方程根的分布问题既可以转化为方程的根，借助判别式和根与系数的关系解决，也可以转化为二次函数，利用图象列关于参数的不等式(组)解决，但无论哪种转化，都要注意转化的等价性．
例1　已知方程x2＋2mx－m＋12＝0的两根都大于2，求实数m的取值范围．
解析：解法一　设y＝x2＋2mx－m＋12，则
即
∴－＜m≤－4.
故实数m的取值范围为.
解法二　设方程x2＋2mx－m＋12＝0的两根为x1，x2.
由题意知即
解得－＜m≤－4.
∴实数m的取值范围为{m|－＜m≤－4}．
例2　关于x的方程(a＋1)x2＋(4a＋2)x＋1－3a＝0有两个异号的实根，且负根的绝对值较大，求实数a的取值范围．
解析：设方程的两个根分别为x1，x2，
由题意知，实数a满足条件：
即解得a＜－1或a＞.
2．3.2　一元二次不等式的应用
题型探究·课堂解透
例1　解析：由题意知，对于甲车，有0.1x＋0.01x2>12，即x2＋10x－1 200>0，解得x>30或x<－40(不合实际意义，舍去)，这表明甲车的车速超过30 km/h.但根据题意刹车距离略超过12 m，由此估计甲车车速不会超过限速40 km/h.
对于乙车，有0.05x＋0.005x2>10，即x2＋10x－2 000>0，解得x>40或x<－50(不合实际意义，舍去)，这表明乙车的车速超过40 km/h，超过规定限速．
例2　解析：(1)当征收附加税率为t%时，每年的销售量为万件，每件产品的征收附加税金为(250×t%)元，设税金收入为y万元，则所求函数关系为y＝250×t%×＝100t－4t2.
(2)由题意可知，y＝100t－4t2≥600，
即t2－25t＋150≤0，解得10≤t≤15，
即税率应控制在10%到15%之间．
跟踪训练1　解析：(1)依题意得p＝x＋3，设利润函数为z，则
z＝y－p，所以z＝
要使工厂有盈利，则有z>0，
因为z>0 或 或 或
则3＜x≤7或7＜x＜10.5，即3＜x＜10.5，所以要使工厂盈利，产品数量应控制在大于300台小于1 050台的范围内．
(2)当3＜x≤7时，z＝－0.5(x－6)2＋4.5，故当x＝6时，z有最大值4.5，而当x＞7时，z＜10.5－7＝3.5，所以当工厂生产600台产品时盈利最大．
例3　解析：(1)由题意，得10(1 000－x)(1＋0.4x%)≥10×1 000，
即x2－750x≤0，又x>0，所以0即最多调整出750名员工从事第三产业．
(2)从事第三产业的员工创造的年利润为10x万元，
从事原来产业的员工的年总利润为10(1 000－x)万元，
则10x≤10(1 000－x)，
所以ax－≤1 000＋4x－x－x2，
所以ax≤＋1 000＋3x，
即a≤＋3在x∈(0，750]时恒成立，因为≥2＝4，当且仅当＝，
即x＝500时等号成立，
∴a≤7，
又a>0，
∴0∴a的取值范围为(0，7].
跟踪训练2　解析：(1)C(0)的实际意义是修建这种沼气发电池的面积为0时的用电费用，
即未修建沼气发电池时，该合作社每年消耗的电费；
由题意可得，C(0)＝＝24，则k＝1 200；
所以该合作社修建此沼气发电池的费用与16年所消耗的电费之和为
F＝16×＋0.12x＝＋0.12x，x≥0；
(2)由(1)得，F＝＋0.12x＝＋0.12(x＋50)－6
≥2－6＝90，
当且仅当＝0.12(x＋50)，即x＝350时，等号成立，
即该合作社应修建容积为350立方米的沼气发电池时，
可使F最小，且最小值为90万元；
(3)为使F不超过140万元，只需F＝＋0.12x≤140，
整理得3x2－3 350x＋305 000≤0，
则(3x－3 050)(x－100)≤0，解得100≤x≤，
即x的取值范围是.
[课堂十分钟]
1．解析：y－25x＝－0.1x2－5x＋3 000≤0，即x2＋50x－30 000≥0，解得x≥150或x≤－200(舍去)．故选C.
答案：C
2．解析：因为5 s后子弹高245 m，所以有245＝a·5－4.9×52 a＝73.5，
即x＝73.5t－4.9t2，
由题意可知：x＝73.5t－4.9t2≥245，解得5≤t≤10，子弹保持在245 m以上(含245 m)高度的时间为10－5＝5.
答案：B
3．解析：提价后杂志的定价设为x元，则提价后的销售量为： 10－×0.1万本，
因为销售的总收入不低于42万元，
列不等式为：x≥42，
即(x－6)(x－7)≤0，即6≤x≤7.
答案：A
4．解析：设花卉带宽度为x米(0根据题意可得(8－2x)·(6－2x)>×8×6，
整理得：x2－7x＋6>0，
即(x－6)(x－1)>0，
解得06，
x>6不合题意，舍去，
故所求花卉带宽度的范围为0答案：05．解析：设围成的矩形一边的长为x m，则另一边的长为(50－x) m，且0＜x＜50.由题意，得围成矩形的面积S＝x(50－x)＞600，即x2－50x＋600＜0，解得20＜x＜30.
所以，当矩形一边的长在(20，30)的范围内取值时，能围成一个面积大于600 m2的矩形．
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