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2023届一轮复习课时跟踪检测 （四十一）　空间几何体的表面积与体积265
一、选择题（共10小题）
1. 几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
A. B. C. D.
2. 如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径，若该几何体的体积是 ，则它的表面积是
A. B. C. D.
3. 一个六棱锥的体积为 ，其底面是边长为 的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为
A. B. C. D.
4. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
A. B. C. D.
5. 一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为 的两个等腰直角三角形，则该几何体外接球的体积为
A. B. C. D.
6. 某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为 ，则侧视图中线段的长度 的值是
A. B. C. D.
7. 高为 的直三棱柱被削去一部分后得到一个几何体，它的直观图和三视图中的侧视图、俯视图如图所示，则该几何体的体积与原直三棱柱的体积的比值为
A. B. C. D.
8. 三棱锥 中， 且 ， 是边长为 的等边三角形，则该三棱锥外接球的表面积为
A. B. C. D.
9. 一个球的表面积是 ，那么这个球的体积为
A. B. C. D.
10. 圆台的一个底面周长是另一个底面周长的 倍，母线长为 ，圆台的侧面积为 ，则圆台较小底面的半径为
A. B. C. D.
二、填空题（共6小题）
11. 已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中圆的直径为 ，该几何体的体积为 ，直径为 的球的体积为 ，则 ．
12. 已知球 的内接圆柱的轴截面是边长为 的正方形，则球 的表面积为 ．
13. 已知正四棱锥的顶点都在同一球面上，且该棱锥的高为 ，底面边长为 ，则该球的表面积为 ．
14. 某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为 ．
15. 一个几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积为 ．
16. 已知三棱锥的四个面都是腰长为 的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是 ．
三、解答题（共2小题）
17. 如图，在四边形 中，，，，，，求四边形 绕 旋转一周所成几何体的表面积及体积．
18. 如图是一个以 为底面的直三棱柱被一平面所截得到的几何体，截面为 ，已知 ，，，，，求：
（1）该几何体的体积；
（2）截面 的面积．
答案
1. C 【解析】该几何体可视为长方体挖去一个四棱锥所得，
所以其体积为 ．
2. A 【解析】由三视图可知该几何体为球去掉一个 球．设球的半径为 ，则 ，得 ．故其表面积 ．
3. C 【解析】由题意可知该六棱锥为正六棱锥，正六棱锥的高为 ，侧面的斜高为 ．
由题意，得 ，
所以 ，
所以斜高 ，
所以 ．
4. B 【解析】由三视图可知，该几何体是一个底面半径为 ，高为 的圆柱和底面半径为 ，高为 的半圆锥拼成的组合体，
所以该几何体的体积为 ．
5. A
【解析】由题意得，该几何体为四棱锥，且该四棱锥的外接球即为棱长为 的正方体的外接球，其半径为 ，故体积为 ．
6. C 【解析】分析题意可知，该几何体为如图所示的四棱锥 ，
故其体积 ，
所以 ，
所以 ．
7. C 【解析】由侧视图、俯视图知该几何体是高为 、底面积为 的四棱锥，其体积为 ．
易知直三棱柱的体积为 ，则该几何体的体积与原直三棱柱的体积的比值为 ．
8. C 【解析】由题意得，此三棱锥外接球即为以 为底面，以 为高的正三棱柱的外接球，因为 的外接圆半径 ，外接球球心到 的外接圆圆心的距离 ，所以外接球的半径 ，所以三棱锥外接球的表面积 ．
9. B
【解析】设球的半径为 ，则由 ，解得 ，所以这个球的体积为 ．
10. A
【解析】设上，下底面半径为 ．则 ，所以 ．又 ，所以 ，所以 ．
11.
【解析】由三视图知，该几何体为圆柱内挖去一个底面相同的圆锥，
因此 ，，．
12.
【解析】由题意得：球心在轴截面正方形的中心，则外接球的半径 ，该球的表面积为 ．
13.
【解析】如图，正四棱锥 中， 为正四棱锥的高，根据球的相关知识可知，正四棱锥的外接球的球心 必在正四棱锥的高线 所在的直线上，延长 交球面于一点 ，连接 ，．
由球的性质可知 为直角三角形且 ，根据平面几何中的射影定理可得 ，
因为 ，
所以侧棱长 ，，
所以 ，
所以 ，
所以 ．
14.
【解析】由四棱柱的三视图可知，该四棱柱的底面积为 ，高为 ，则该四棱柱的体积为 ．
15.
【解析】三视图可得该几何体是组合体，上面是底面圆的半径为 、高为 的圆锥，下面是底面圆的半径为 、高为 的圆柱，
所以该几何体的体积是 ．
16.
【解析】由三棱锥的正视图知，三棱锥的高为 ，底面边长为 ，，，所以，三棱锥的体积为 ．
17. 依题意，旋转得到的几何体为圆台上部分挖掉了一个圆锥，，，，，，，
所以几何体的表面积为
体积为
18. （1） 过 作平行于 的截面 ，交 ， 分别于点 ，，
由直三棱柱性质及 可知 ，
则该几何体的体积
（2） 在 中，，，．
则 ．
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