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2.3 二次函数与一元二次方程、不等式
学案
一、学习目标
1.会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实数根的存在性及实数根的个数，了解二次函数的零点与一元二次方程根的关系.
2.能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集.
3.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系.
二、知识归纳
1.一元二次不等式：一般地，把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式. 一元二次不等式的一般形式是或，其中a，b，c均为常数，.
2.一元二次不等式的零点：一般地，对于二次函数，我们把使的实数x叫做二次函数的零点.
3.二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系如下表：
三、习题检测
1.关于x的一元二次不等式的解集为( )
A.或 B.
C.或 D.
2.若不等式对任意实数x均成立，则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
3.已知不等式的解集为，则不等式的解集为( )
A. B.或
C. D.或
4.将进货价为每个80元的商品按90元一个售出时，能卖出400个，每涨价1元，销售量就减少20个，为了使商家利润有所增加，则售价a（元/个）的取值范围应是( )
A. B.
C. D.
5.已知关于x的不等式的解集为空集，则实数a的取值范围是( )
A. B.
C. D.
6.（多选）当，不等式恒成立，则x的取值可以是( )
A. B. C. D.0
7.（多选）已知关于x的不等式的解集为或，则( )
A.
B.不等式的解集是
C.
D.不等式的解集为或
8.对于实数x，当时，规定，若，则________，不等式的解集为_______.
9.若不等式对于任意的a，恒成立，则实数的取值范围为_________________.
10.已知不等式的解集为，则不等式的解集为________.
11.一个小型服装厂生产某种风衣，月产量x（件）与售价P（元/件）之间的关系为，生产x件的成本元.
（1）该厂的月产量为多少时，每月获得的利润不少于1300元？
（2）当月产量为多少时，可获得最大利润？最大利润是多少元？
12.已知不等式.
（1）当时不等式恒成立，求实数m的取值范围；
（2）当时不等式恒成立，求实数m的取值范围.
答案以及解析
1.答案：A
解析：由得，解得或，
原不等式的解集为或.故选A.
2.答案：A
解析：当，即时，符合题意；当时，需满足且，即，综上，a的取值范围为.故选A.
3.答案：B
解析：由已知可得-3，2是方程的两根.由根与系数的关系可知，，所以，，代入不等式，得，解得或.故选B.
4.答案：A
解析：设每个涨价x元，涨价后的利润与原利润之差为y元，则，.要使商家利润有所增加，则必须使，即，得，，的取值范围为.故选A.
5.答案：C
解析：若，则，
当时，不等式化为，其解集为空集，因此满足题意；
当时，不等式化为，即，其解集不为空集，因此不满足题意，应舍去，
若，则，关于x的不等式的解集为空集，
，解得.综上，a的取值范围是.故选C.
6.答案：BC
解析：由已知可构造关于m的一次函数，当时，y恒小于0，所以当时，；当时，，所以，解得，满足题意的为B、C项.故选BC.
7.答案：ABD
解析：关于x的不等式的解集为或，，故A正确；易知-2和3是关于x的方程的两根，，则，则，故C错误；不等式即，即，解得，故B正确；不等式即，即，解得或，故D正确.故选ABD.
8.答案：20，
解析：由，得，则不等式化为，解得，即不等式的解集为.
9.答案：
解析：因为对于任意的a，恒成立，所以对任意的的a，恒成立，即对任意的的a，恒成立，将其看作关于a的一元二次不等式，可得，所以，解得.
10.答案：
解析：因为的解集为，所以，是方程的两个根，由方程根与系数的关系得，解得，所以可化为，即，解得，所以不等式的解集为.
11.解析：（1）设该厂的月获利为y元，
依题意得.
令，即，
，解得.
当月产量在20件至45件（包括20件和45件）之间时，月获利不少于1300元.
（2）由（1）知.
为正整数，当或时，y取得最大值1612，
当月产量为32件或33件时，可获得最大利润1612元.
12.解析：（1）①若，则原不等式可化为，显然恒成立；
②若，则不等式恒成立等价于，解得.
综上可知，实数m的取值范围是.
（2）①当时，，显然恒成立；
②当时，若对于，不等式恒成立，
则由函数的图象开口向上知，
只需在，时的函数值均为负即可，
即解得，此时；
③当时，函数的图象开口向下，图象的对称轴为直线，若当时不等式恒成立，结合函数图象知，只需在时的函数值为负即可，此时，所以符合题意.
综上所述，实数m的取值范围是.

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