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2023届高考微专题之比较大小
一、解题策略
数值比较大小的常用方法有作差法和作商法，而对数比较大小常见问题可分为三类：（1）底数相同的对数可利用函数单调性进行比较；（2）真数相同的对数可利用图像法进行比较；（3）底数不同、真数不同的对数引入中间变量（０，１等）进行比较。实际应用中，直接引入中间变量往往较难实现，需结合条件转化解决。可采用作差法、作商法、换底公式、放缩法、构造函数等不同解法。
典型例题
方法一： 作商法
例1．（2018·全国·高考真题（理））设，，则
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】分析：求出，得到的范围，进而可得结果．
详解：.
,即
又
即
故选B.
点睛：本题主要考查对数的运算和不等式，属于中档题．
例2．（2017·全国·高考真题（理））设x、y、z为正数，且，则
A．2x<3y<5z B．5z<2x<3y C．3y<5z<2x D．3y<2x<5z
【答案】D
【详解】令，则，，
∴，则，
，则，故选D.
点睛:对于连等问题，常规的方法是令该连等为同一个常数，再用这个常数表示出对应的，通过作差或作商进行比较大小.对数运算要记住对数运算中常见的运算法则，尤其是换底公式以及0与1的对数表示.
方法二 单调性法
例1．（2019·全国·高考真题（理））若a>b，则
A．ln(a b)>0 B．3a<3b C．a3 b3>0 D．│a│>│b│
【答案】C
【分析】本题也可用直接法，因为，所以，当时，，知A错，因为是增函数，所以，故B错；因为幂函数是增函数，，所以，知C正确；取，满足，，知D错．
【详解】取，满足，，知A错，排除A；因为，知B错，排除B；取，满足，，知D错，排除D，因为幂函数是增函数，，所以，故选C．
【点睛】本题主要考查对数函数性质、指数函数性质、幂函数性质及绝对值意义，渗透了逻辑推理和运算能力素养，利用特殊值排除即可判断．
方法三 中间值法
例1．（2019·全国·高考真题（文））已知，则
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】运用中间量比较，运用中间量比较
【详解】则．故选B．
【点睛】本题考查指数和对数大小的比较，渗透了直观想象和数学运算素养．采取中间变量法，利用转化与化归思想解题．
例2．（2020·天津·高考真题）设，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用指数函数与对数函数的性质，即可得出的大小关系.
【详解】因为，
，
，
所以.
故选：D.
【点睛】本题考查的是有关指数幂和对数值的比较大小问题，在解题的过程中，注意应用指数函数和对数函数的单调性，确定其对应值的范围.
比较指对幂形式的数的大小关系，常用方法：
（1）利用指数函数的单调性：，当时，函数递增；当时，函数递减；
（2）利用对数函数的单调性：，当时，函数递增；当时，函数递减；
（3）借助于中间值，例如：0或1等.
方法四 特值法
例1．（2016·全国·高考真题（文））若a＞b＞0，0＜c＜1，则
A．logac＜logbc B．logca＜logcb C．ac＜bc D．ca＞cb
【答案】B
【详解】试题分析：方法1（特值法）不妨令a=3，b=2，，则能够轻松比较大小；
方法2：对于选项A，，，，而，所以，但不能确定的正负，所以它们的大小不能确定;对于选项B，,，两边同乘以一个负数改变不等号方向，所以选项B正确;对于选项C，利用在第一象限内是增函数即可得到，所以C错误;对于选项D，利用在上为减函数易得，所以D错误.所以本题选B.
【考点】指数函数与对数函数的性质
【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数的单调性进行比较；若底数不同,可考虑利用中间量进行比较.
方法五 构造函数法
例1．（2022·河南·高二阶段练习（理））已知，，，则，，的大小关系是
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】若对数式的底相同，直接利用对数函数的性质判断即可，若底不同，则根据结构构造函数，利用函数的单调性判断大小．
【详解】对于的大小：，，明显；
对于的大小：构造函数，则，
当时，在上单调递增，
当时，在上单调递减，
即
对于的大小：，，，
故选B．
【点睛】将两两变成结构相同的对数形式，然后利用对数函数的性质判断，对于结构类似的，可以通过构造函数来来比较大小，此题是一道中等难度的题目．
例2．（2022·广东揭阳·高二期末）已知，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】构造函数，由导数可判断出在上单调递增，从而可得，化简变形可比较出a，b，c的大小关系
【详解】令，可得，当时，恒成立，
所以在上单调递增，所以，
即，得，
，
又已知，
，，
所以，
故选：D.
例3．（2022·江西·南昌市八一中学三模（理））设a＝，b＝ln1.01，c＝，则（ ）
A．abc B．bca C．bac D．cab
【答案】A
【分析】观察式子的结构，进而设，然后构造函数，随即通过求解函数的单调性得到答案.
【详解】设，所以，
设，则，所以在（1，+∞）单调递增，
所以…①，所以…②，
由①，…③，
由②，…④，
由②④，，则c>b，
由③，b>a，所以c>b>a.
故选：A.
【点睛】本题为比较大小的题目，关键在于构造函数，问题是函数为何要这样构造，这里用到了这个切线不等式及其变化，因而在平时一定要注意课本中重要结论的应用和变化.
三、真题演练
1．（2022·天津·高考真题）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用幂函数、对数函数的单调性结合中间值法可得出、、的大小关系.
【详解】因为，故.
故答案为：C.
2．（2022·全国·高考真题（文））已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据指对互化以及对数函数的单调性即可知，再利用基本不等式，换底公式可得，，然后由指数函数的单调性即可解出．
【详解】由可得，而，所以，即，所以．
又，所以，即，
所以．综上，．
故选：A.
3．（2022·全国·高考真题）设，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】构造函数， 导数判断其单调性，由此确定的大小.
【详解】设，因为，
当时，，当时，
所以函数在单调递减，在上单调递增，
所以，所以，故，即，
所以，所以，故，所以，
故，
设，则,
令，，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
又，
所以当时，，
所以当时，，函数单调递增，
所以，即，所以
故选：C.
4．（2021·天津·高考真题）设，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据指数函数和对数函数的性质求出的范围即可求解.
【详解】，，
，，
，，
.
故选：D.
5．（2021·全国·高考真题）已知，，，则下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】对数函数的单调性可比较、与的大小关系，由此可得出结论.
【详解】，即.
故选：C.
6．（2021·全国·高考真题（理））设，，．则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用对数的运算和对数函数的单调性不难对a,b的大小作出判定，对于a与c，b与c的大小关系，将0.01换成x,分别构造函数,，利用导数分析其在0的右侧包括0.01的较小范围内的单调性，结合f(0)=0,g(0)=0即可得出a与c，b与c的大小关系.
【详解】,
所以;
下面比较与的大小关系.
记,则,，
由于
所以当0所以在上单调递增，
所以,即,即;
令,则,,
由于，在x>0时,,
所以,即函数在[0,+∞)上单调递减，所以,即,即b综上，,
故选：B.
【点睛】本题考查比较大小问题，难度较大，关键难点是将各个值中的共同的量用变量替换，构造函数，利用导数研究相应函数的单调性，进而比较大小，这样的问题，凭借近似估计计算往往是无法解决的.
7．（2020·全国·高考真题（理））若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】将不等式变为，根据的单调性知，以此去判断各个选项中真数与的大小关系，进而得到结果.
【详解】由得：，
令，
为上的增函数，为上的减函数，为上的增函数，
，
，，，则A正确，B错误；
与的大小不确定，故CD无法确定.
故选：A.
【点睛】本题考查对数式的大小的判断问题，解题关键是能够通过构造函数的方式，利用函数的单调性得到的大小关系，考查了转化与化归的数学思想.
8．（2020·全国·高考真题（理））已知55<84，134<85．设a=log53，b=log85，c=log138，则（ ）
A．a【答案】A
【分析】由题意可得、、，利用作商法以及基本不等式可得出、的大小关系，由，得，结合可得出，由，得，结合，可得出，综合可得出、、的大小关系.
【详解】由题意可知、、，，；
由，得，由，得，，可得；
由，得，由，得，，可得.
综上所述，.
故选：A.
【点睛】本题考查对数式的大小比较，涉及基本不等式、对数式与指数式的互化以及指数函数单调性的应用，考查推理能力，属于中等题.
9．（2020·全国·高考真题（文））设，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分别将,改写为，，再利用单调性比较即可.
【详解】因为，，
所以.
故选：A.
【点晴】本题考查对数式大小的比较，考查学生转化与化归的思想，是一道中档题.2023届高考微专题之比较大小
一、解题策略
数值比较大小的常用方法有作差法和作商法，而对数比较大小常见问题可分为三类：（1）底数相同的对数可利用函数单调性进行比较；（2）真数相同的对数可利用图像法进行比较；（3）底数不同、真数不同的对数引入中间变量（０，１等）进行比较。实际应用中，直接引入中间变量往往较难实现，需结合条件转化解决。可采用作差法、作商法、换底公式、放缩法、构造函数等不同解法。
二、典型例题
方法一： 作商法
例1．（2018·全国·高考真题（理））设，，则
A． B． C． D．
例2．（2017·全国·高考真题（理））设x、y、z为正数，且，则
A．2x<3y<5z B．5z<2x<3y C．3y<5z<2x D．3y<2x<5z
方法二 单调性法
例1．（2019·全国·高考真题（理））若a>b，则
A．ln(a b)>0 B．3a<3b C．a3 b3>0 D．│a│>│b│
方法三 中间值法
例1．（2019·全国·高考真题（文））已知，则
A． B． C． D．
例2．（2020·天津·高考真题）设，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
方法四 特值法
例1．（2016·全国·高考真题（文））若a＞b＞0，0＜c＜1，则
A．logac＜logbc B．logca＜logcb C．ac＜bc D．ca＞cb
方法五 构造函数法
例1．（2022·河南·高二阶段练习（理））已知，，，则，，的大小关系是
A． B． C． D．
例2．（2022·广东揭阳·高二期末）已知，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
例3．（2022·江西·南昌市八一中学三模（理））设a＝，b＝ln1.01，c＝，则（ ）
A．abc B．bca C．bac D．cab
三、真题演练
1．（2022·天津·高考真题）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全国·高考真题（文））已知，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·全国·高考真题）设，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·天津·高考真题）设，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
5．（2021·全国·高考真题）已知，，，则下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2021·全国·高考真题（理））设，，．则（ ）
A． B． C． D．
7．（2020·全国·高考真题（理））若，则（ ）
A． B． C． D．
8．（2020·全国·高考真题（理））已知55<84，134<85．设a=log53，b=log85，c=log138，则（ ）
A．a9．（2020·全国·高考真题（文））设，，，则（ ）
A． B． C． D．

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