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立体几何之空间向量法
类型一：建系不容易发现，有时需另外添加辅助线
例1、如图，在三棱锥中，，为的中点，⊥平面，垂足落在线段上.（Ⅰ）证明：⊥；（Ⅱ）已知，，，.求二面角的大小.
练习1：如图，在三棱台ABC–DEF中，平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB=90°，BE=EF=FC=1，BC=2，AC=3.
（Ⅰ）求证：BF⊥平面ACFD；
（Ⅱ）求直线BD与平面ACFD所成角的余弦值.
类型二：建系简单，但是一条确定直线上的一个关键点的坐标有待确定。
例2、如图所示，正方形所在平面与等腰三角形所在平面相交于，.
求证：；
（2）在线段上存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，试确定点的位置。
练习；如图，在四棱锥P—ABCD中，底面是边长为的菱形，且∠BAD＝120°，且PA⊥平面ABCD，PA＝，M，N分别为PB，PD的中点． (Ⅰ)证明：MN∥平面ABCD；
(Ⅱ) 过点A作AQ⊥PC，垂足为点Q，求二面角A—MN—Q的平面角的余弦值．
类型三：能够找到平面内两条互相垂直的直线，平面外有一点的坐标有待确定。
例3、如图，四边形为梯形，点在线段上，满足,且，现将沿翻折到位置，使得．
（Ⅰ）证明：;
（Ⅱ）求直线与面所成角的正弦值．
练习3：如图，已知四棱锥P–ABCD，△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，，CD⊥AD，PC=AD=2DC=2CB，E为PD的中点．
（Ⅰ）证明：平面PAB；
（Ⅱ）求直线CE与平面PBC所成角的正弦值．
走进全国高考
（2022新高考卷）如图，直三棱柱的体积为，的面积为．
求到平面的距离
设为的中点，，平面平面，求二面角的正弦值．
（2022全国甲卷）在四棱锥中，底面．
证明：；
求与平面所成的角的正弦值．
对点练习
1、图1是由矩形ADEB、Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB＝1，BE＝BF＝2，∠FBC＝60°．将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连结DG，如图2．
（1）证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE；
（2）求图2中的二面角B﹣CG﹣A的大小．
2、如图，四边形ABCD为正方形，E，F分别为AD，BC的中点，以DF为折痕把△DFC折起，使点C到达点P的位置，且PF⊥BF．
（1）证明：平面PEF⊥平面ABFD；
（2）求DP与平面ABFD所成角的正弦值．
3、如图，在三棱锥P﹣ABC中，AB＝BC＝2，PA＝PB＝PC＝AC＝4，O为AC的中点．
（1）证明：PO⊥平面ABC；
（2）若点M在棱BC上，且二面角M﹣PA﹣C为30°，求PC与平面PAM所成角的正弦值．
4、已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1B1B为正方形，AB＝BC＝2，E，F分别为AC和CC1的中点，D为棱A1B1上的点，BF⊥A1B1．
（1）证明：BF⊥DE；
（2）当B1D为何值时，面BB1C1C与面DFE所成的二面角的正弦值最小？
5、如图，四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB＝BCAD，∠BAD＝∠ABC＝90°，E是PD的中点．
（1）证明：直线CE∥平面PAB；
（2）点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成角为45°，求二面角M﹣AB﹣D的余弦值．立体几何之空间向量法
类型一：建系不容易发现，有时需另外添加辅助线
例1、如图，在三棱锥中，，为的中点，⊥平面，垂足落在线段上.（Ⅰ）证明：⊥；（Ⅱ）已知，，，.求二面角的大小.
练习1、如图，在三棱台ABC–DEF中，平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB=90°，BE=EF=FC=1，BC=2，AC=3.
（Ⅰ）求证：BF⊥平面ACFD；
（Ⅱ）求直线BD与平面ACFD所成角的余弦值.
（II）分析：根据（I）可知DF⊥平面BCFE，BF⊥FC，故可以建立空间直角坐标系如图，则B（0，，0），D（0，0，），
A（1，0，3），平面ADFC的一个法向量可以取
设平面ABDE的一个法向量
则，
令，则，.∴
∴
∴二面角B－AD－F的平面角的余弦值
类型二：建系简单，但是一条确定直线上的一个关键点的坐标有待确定。
例2、如图所示，正方形所在平面与等腰三角形所在平面相交于，.
（1）求证：；（2）在线段上存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，试确定点的位置。
练习2、如图，在四棱锥P—ABCD中，底面是边长为的菱形，且∠BAD＝120°，且PA⊥平面ABCD，PA＝，M，N分别为PB，PD的中点． (Ⅰ)证明：MN∥平面ABCD；
(Ⅱ) 过点A作AQ⊥PC，垂足为点Q，求二面角A—MN—Q的平面角的余弦值．
类型三：能够找到平面内两条互相垂直的直线，平面外有一点的坐标有待确定。
例3、如图，四边形为梯形，点在线段上，满足,且，现将沿翻折到位置，使得．
（Ⅰ）证明：;
（Ⅱ）求直线与面所成角的正弦值．
分析：根据已知AB⊥BE，MB与平面ABE是否垂直有待确定，但是点M满足三个条件：①；②ME=6；③。可直接建系完成，如图建立空间直角坐标系，则，，设M（x，y，z），
则满足即为z轴
∴， ∴ ∴AE⊥BM
练习3、如图，已知四棱锥P–ABCD，△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，，CD⊥AD，PC=AD=2DC=2CB，E为PD的中点．
（Ⅰ）证明：平面PAB；
（Ⅱ）求直线CE与平面PBC所成角的正弦值．
分析：（Ⅱ）已知平面ABCD内有CD⊥AD，过P的平面ABCD的垂线没有，但是点P满足条件：①PA=PD；②PA⊥PD；③PC=2CB。如图建系，设BC=1；
则D（0,0,0），A（2,0,0），C（0,1,0），B（1,1,0），
设P（x，y，z），则满足
解得．余略
走进全国高考
（2022新高考卷）如图，直三棱柱的体积为，的面积为．
求到平面的距离
设为的中点，，平面平面，求二面角的正弦值．
解：设到平面的距离为，因为直三棱柱的体积为，即可得，故，又，解得，所以到平面的距离为；
连接，因为直三棱柱中，，故为正方形，即，
又平面平面，平面平面，平面，
故平面，所以，又因为，平面，且，
故平面，则，所以三条直线两两垂直，
故如图可以以为原点建立空间直角坐标系，设，，则，
由条件可得，解得则，，，，的中点，所以，，
设平面的一个法向量为，，取，同理可求得平面的一个法向量为，所以，，所以二面角的正弦值为．
（2022全国甲卷）在四棱锥中，底面．
证明：；
求与平面所成的角的正弦值．
证明底面，，
取中点，连接，可知，
，为平行四边形，
，，为直角三角形，为斜边，，平面，．
解：由知，，，两两垂直，
以、、方向分别为，，轴正方向，建立空间直角坐标系，则，，，，
，，，设平面的法向量为，则不妨设，则，设与平面的所成角为，则，，与平面所成角的正弦值为．
对点练习1
1、图1是由矩形ADEB、Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB＝1，BE＝BF＝2，∠FBC＝60°．将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连结DG，如图2．
（1）证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE；
（2）求图2中的二面角B﹣CG﹣A的大小．
解答：证明：（1）由已知得AD∥BE，CG∥BE，∴AD∥CG，
∴AD，CG确定一个平面，A，C，G，D四点共面，由已知得AB⊥BE，AB⊥BC，∴AB⊥面BCGE，∵AB 平面ABC，∴平面ABC⊥平面BCGE．
解：（2）作EH⊥BC，垂足为H，∵EH 平面BCGE，平面BCGE⊥平面ABC，∴EH⊥平面ABC，由已知，菱形BCGE的边长为2，∠EBC＝60°，∴BH＝1，EH，以H为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所求的空间直角坐标系H﹣xyz，则A（﹣1，1，0），C（1，0，0），G（2，0， ），（1，0，），（2，﹣1，0），设平面ACGD的法向量（x，y，z），则，取x＝3，得（3，6，），又平面BCGE的法向量为（0，1，0），∴cos，∴二面角B﹣CG﹣A的大小为30°．
2、如图，四边形ABCD为正方形，E，F分别为AD，BC的中点，以DF为折痕把△DFC折起，使点C到达点P的位置，且PF⊥BF．
（1）证明：平面PEF⊥平面ABFD；
（2）求DP与平面ABFD所成角的正弦值．
【解答】（1）证明：由题意，点E、F分别是AD、BC的中点，则，，由于四边形ABCD为正方形，所以EF⊥BC．由于PF⊥BF，EF∩PF＝F，则BF⊥平面PEF．又因为BF 平面ABFD，
所以，平面PEF⊥平面ABFD．
（2）在平面PEF中，过P作PH⊥EF于点H，连接DH，
由于EF为面ABCD和面PEF的交线，PH⊥EF，则PH⊥面ABFD，故PH⊥DH．
在三棱锥P﹣DEF中，可以利用等体积法求PH，因为DE∥BF且PF⊥BF，所以PF⊥DE，
又因为△PDF≌△CDF，所以∠FPD＝∠FCD＝90°，所以PF⊥PD，
由于DE∩PD＝D，则PF⊥平面PDE，故VF﹣PDE，因为BF∥DA且BF⊥面PEF，
所以DA⊥面PEF，所以DE⊥EP．设正方形边长为2a，则PD＝2a，DE＝a
在△PDE中，，所以，故VF﹣PDE，
又因为，所以PH，
所以在△PHD中，sin∠PDH，
即∠PDH为DP与平面ABFD所成角的正弦值为：．
3、如图，在三棱锥P﹣ABC中，AB＝BC＝2，PA＝PB＝PC＝AC＝4，O为AC的中点．
（1）证明：PO⊥平面ABC；
（2）若点M在棱BC上，且二面角M﹣PA﹣C为30°，求PC与平面PAM所成角的正弦值．
【解答】（1）证明：连接BO，∵AB＝BC＝2，O是AC的中点，∴BO⊥AC，且BO＝2，
又PA＝PC＝PB＝AC＝4，∴PO⊥AC，PO＝2，则PB2＝PO2+BO2，则PO⊥OB，
∵OB∩AC＝O，∴PO⊥平面ABC；
（2）建立以O坐标原点，OB，OC，OP分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图：
A（0，﹣2，0），P（0，0，2），C（0，2，0），B（2，0，0），（﹣2，2，0），
设λ（﹣2λ，2λ，0），0＜λ＜1
则（﹣2λ，2λ，0）﹣（﹣2，﹣2，0）＝（2﹣2λ，2λ+2，0），
则平面PAC的法向量为（1，0，0），设面MPA的法向量为（x，y，z），
则（0，﹣2，﹣2），则 2y﹣2z＝0， （2﹣2λ）x+（2λ+2）y＝0令z＝1，则y，x，即（，，1），∵二面角M﹣PA﹣C为30°，∴cos30°＝||，即，解得λ或λ＝3（舍），
则平面MPA的法向量（2，，1），（0，2，﹣2），
PC与平面PAM所成角的正弦值sinθ＝|cos，|＝||．
4、已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1B1B为正方形，AB＝BC＝2，E，F分别为AC和CC1的中点，D为棱A1B1上的点，BF⊥A1B1．
（1）证明：BF⊥DE；
（2）当B1D为何值时，面BB1C1C与面DFE所成的二面角的正弦值最小？
【解答】（1）证明：连接AF，∵E，F分别为直三棱柱ABC﹣A1B1C1的棱AC和CC1的中点，且AB＝BC＝2，∴CF＝1，BF，∵BF⊥A1B1，AB∥A1B1，∴BF⊥AB
∴AF3，AC，∴AC2＝AB2+BC2，即BA⊥BC，
故以B为原点，BA，BC，BB1所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则A（2，0，0），B（0，0，0），C（0，2，0），E（1，1，0），F（0，2，1），
设B1D＝m，则D（m，0，2），∴（0，2，1），（1﹣m，1，﹣2），
∴ 0，即BF⊥DE．
（2）解：∵AB⊥平面BB1C1C，∴平面BB1C1C的一个法向量为（1，0，0），
由（1）知，（1﹣m，1，﹣2），（﹣1，1，1），
设平面DEF的法向量为（x，y，z），则，即，
令x＝3，则y＝m+1，z＝2﹣m，∴（3，m+1，2﹣m），
∴cos，，
∴当m时，面BB1C1C与面DFE所成的二面角的余弦值最大，此时正弦值最小，
故当B1D时，面BB1C1C与面DFE所成的二面角的正弦值最小．
5、如图，四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB＝BCAD，∠BAD＝∠ABC＝90°，E是PD的中点．
（1）证明：直线CE∥平面PAB；
（2）点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成角为45°，求二面角M﹣AB﹣D的余弦值．
【解答】（1）证明：取PA的中点F，连接EF，BF，因为E是PD的中点，
所以EFAD，AB＝BCAD，∠BAD＝∠ABC＝90°，∴BC∥AD，
∴BCEF是平行四边形，可得CE∥BF，BF 平面PAB，CE 平面PAB，∴直线CE∥平面PAB；
（2）解：四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB＝BCAD，
∠BAD＝∠ABC＝90°，E是PD的中点．取AD的中点O，M在底面ABCD上的射影N在OC上，设AD＝2，则AB＝BC＝1，OP，∴∠PCO＝60°，直线BM与底面ABCD所成角为45°，
可得：BN＝MN，CNMN，BC＝1，可得：1BN2＝BN2，BN，MN，
作NQ⊥AB于Q，连接MQ，AB⊥MN，所以∠MQN就是二面角M﹣AB﹣D的平面角，MQ，二面角M﹣AB﹣D的余弦值为：．
（2）解法2：以中点为原点，如图建立空间直角坐标系．
设，则，，，，，．
在底面上的投影为，∴．∵，∴为等腰直角三角形．
∵为直角三角形，，∴．
设，，．∴．
．∴．
∴，，，．设平面的法向量．，∴,，．设平面的法向量为．∴．∴二面角的余弦值为

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