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第二章：匀变速直线运动
【基础知识通关】
一、速度时间关系
1．一辆汽车在平直公路上做初速度为v0的匀减速直线运动，下列说法正确的是(　　)
A．速度随时间增大而增大，位移随时间增大而减小
B．速度和位移都随时间增大而减小
C．速度随时间增大而减小，位移随时间增大而增大
D．速度和位移都随时间增大而增大
2．一个物体在水平面上以恒定的加速度运动，它的位移与时间的关系是x＝24t－6t2，则它的速度为零的时刻是(　　)
A. s B．6 s C．2 s D．24 s
3．一辆汽车从静止开始由甲地出发，沿平直公路开往乙地，汽车先做匀加速直线运动，接着做匀减速直线运动，开到乙地刚好停止，其速度－时间图象如图2所示，那么0～t0和t0～3t0两段时间内的(　　)
A．加速度大小之比为1∶3 B．加速度大小之比为3∶1
C．位移大小之比为2∶1 D．位移大小之比为1∶2
4.汽车在平直公路上以10 m/s的速度做匀速直线运动，发现前面有情况而刹车，获得的加速度大小为是2 m/s2 ，则汽车经过2 s后的速度大小为__________m/s，经过4 s后的速度大小为__________m/s，经过10 s后的速度大小为____________m/s.
5. 如图4所示是做直线运动的物体在0～5 s的-图象，
求：(1)前3 s的平均速度；
(2)全程的平均速度；
(3)最后1 s的平均速度．
6. 某质点做直线运动的-图象如图5所示，通过图象回答下列问题：
(1)物体在2 s～4 s内，4 s～6 s内加速度各是多大？(2)第3 s末物体的速度多大？
(3)物体0～6 s内的位移多大？
二、 匀变速直线运动的位移与时间的关系
1.关于物体运动的下述说法中正确的是（ ）
A.物体运动的速度不变，在相等时间内位移相同，通过路程相等?
B.物体运动的速度大小不变，在相等时间内位移相同，通过路程相等?
C.匀速直线运动的物体的速度方向不会改变
D.在相等的时间内通过的路程相等，则此运动一定是匀速直线运动2.某质点沿一条直线运动，它在前2 s的位移为2 m，前5 s的位移为5 m，前10 s的位移为10 m，则该质点的运动（ ）
A. 一定是匀速直线运动
B. 可能是匀速直线运动
C. 若是匀速直线运动，它在前6s内的位移是6 m
D. 若是匀速直线运动，它在每秒内的位移都是1 m
3.如图1所示为甲、乙两物体的-图象，则（ ）
A. 甲、乙两物体都做匀速直线运动
B. 若甲、乙两物体在同一直线上运动，则一定会相遇
C. 在时刻甲、乙相遇
D. 在时刻甲、乙相遇
4.如图2所示的四个图象中，能表示质点做往返运动的是（ ）
图2
三、 匀变速直线运动的速度与位移的关系
1.如图1示，一小球从A点由静止开始沿斜面做匀变速直线运动，若到达B点时速度为v，到达C点时速度为2v，则XAB:XBC等于（ ）
A. 1∶1 B. 1∶2 C. 1∶3 D. 1∶4
2.物体从静止开始做匀加速直线运动，已知第4 s内与第2 s内的位移之差是12 m，则可知 （ ）
A. 第1 s内的位移为3 m B. 第2 s末的速度为8 m／s
C. 物体运动的加速度为2 m／s2 D. 物体在5 s内的平均速度为15 m／s
3.以20km/h的速度行驶的汽车，制动后能在2 m内停下来，如以40 km/h的速度行驶，则它的制动距离应该是（ ）
A.2 m B.4 m C.6 m D.8 m
4.汽车进行刹车实验，若速率从8 m/s匀减速至零要用时1 s，按规定速率为8 m/s的汽车刹车后拖行路程不得越过5.9 m，那么上述刹车实验的拖行路程是否符合规定（ ）
A.拖行路程8 m，符合规定 B.拖行路程为8 m，不符合规定
C.拖行路程为4 m，符合规定 D.拖行路程为4 m，不符合规定
5．为了测定某轿车在平直路上启动阶段的加速度(轿车启动时的运动可近似看成是匀加速直线运动)，某人拍摄一张在同一底片上多次曝光的照片，如图3所示，如果拍摄时每隔2 s曝光一次，轿车车身总长为4.5 m，那么这辆轿车的加速度为(　　)
A．1 m/s2 B．2.25 m/s2 C．3 m/s2 D．4.25 m/s2
四、 自由落体运动 伽利略对自由落体运动的研究
1．从同一高度处，先后释放两个重物，甲释放一段时间后，再释放乙，则以乙为参考系，甲的运动形式是(　　)
A．自由落体运动 B．匀加速直线运动aC．匀加速直线运动a>g D．匀速直线运动
2．在一根轻绳的两端各拴一个小球，一人用手拿着绳上端的小球站在三层楼的阳台上，放手让小球自由下落，两个球相继落地的时间差为ΔT.如果站在四层楼的阳台上，同样放手让小球自由下落，则两球相继落地的时间差将会(　　)
A．不变 B．变大
C．变小 D．由于层高不知，无法比较
3．某科技馆中有一个展品，该展品放在较暗处，有一 个不断均匀滴水的水龙头(刚滴出的水滴速度为零)在平行光源的照射下，可以观察到一种奇特的现象：只要耐心地缓慢调节水滴下落的时间间隔，在适当的情况下，看到的水滴好像都静止在各自固定的位置不动(如图2中A、B、C、D所示，图中数值的单位是cm)．要想出现这一现象，所用光源应满足的条件是(g取10 m/s2)(　　)
A．普通白炽灯光源即可B．频闪发光，间歇时间为0.14 s
C．频闪发光，间歇时间为0.20 s D．频闪发光，间歇时间为1.5 s
4．小球做自由落体运动，与地面发生碰撞，反弹时速度大小与落地速度大小相等，若从释放小球时开始计时，且不计小球与地面发生碰撞的时间，则小球运动的速度图线可能是图K3－2中的(　　)

　　　　　 　　　　　　　　　　　
　　　　　 　　　　　　　　　　　
A B C D
【基础知识整合】
一、匀变速直线运动的常规应用
〈一〉、匀变速直线运动两个基本公式的应用
例1　一辆汽车从静止出发做加速直线运动．在第一段时间间隔t0内，汽车的加速度保持为a不变，在第二个时间间隔t0内，加速度变为2a且方向不变．求：
(1)第一段时间间隔t0内的位移及t0末的速度；
(2)第二段时间间隔t0内的位移；
(3)这两段时间间隔内的总位移．
〈二〉、三个导出公式的应用
例2　一列火车做匀变速直线运动驶来，一人在轨道旁边观察火车运动，发现在相邻的两个10 s内，火车从他跟前分别驶过8节车厢和6节车厢，每节车厢长8 m(相邻车厢连接处长度不计)，求：
(1)火车加速度的大小；
(2)这20 s内中间时刻的瞬时速度；
(3)人刚开始观察时火车速度的大小．
〈三〉、初速度为零的匀变速直线运动的几个比例式
例3　一小球沿斜面由静止开始匀加速滚下(斜面足够长)，已知小球在第4 s末的速度为4 m/s.求：(1)第6 s末的速度；(2)前6 s内的位移；(3)第6 s内的位移．
针对训练　
1．一个物体做匀变速直线运动，若运动的时间之比为t1∶t2∶t3∶…＝1∶2∶3∶…，下面有三种说法：
①相应的运动距离之比一定是x1∶x2∶x3∶…＝1∶4∶9∶…
②相邻的相同时间内的位移之比一定是x1∶x2∶x3∶…＝1∶3∶5∶…
③相邻的相同时间内位移差值一定是Δx＝aT2，其中T为相同的时间间隔
以上说法正确的是 (　　)
A．只有③正确 B．只有②③正确 C．都是不正确的 D．都是正确的
2．飞机的起飞过程是从静止出发，在直跑道上加速前进，当达到一定速度时离地升空．已知飞机加速前进路程为1 600 m，所用时间为40 s，若这段运动为匀加速运动，用a表示加速度，v表示离地时的速度，则 (　　)
A．a＝2 m/s2，v＝80 m/s B．a＝2 m/s2，v＝40 m/s
C．a＝1 m/s2，v＝40 m/s D．a＝1 m/s2，v＝80 m/s
3、一观察者站在第一节车厢前端，当列车从静止开始做匀加速运动时 (　　)
A．每节车厢末端经过观察者的速度之比是1∶∶∶…∶
B．每节车厢末端经过观察者的时间之比是1∶3∶5∶…∶n
C．在相等时间里经过观察者的车厢数之比是1∶3∶5∶…
D．在相等时间里经过观察者的车厢数之比是1∶2∶3∶…
4．汽车刹车后7 s内停下来，设刹车过程汽车做的是匀减速运动且最后1 s内的位移是1 m，则汽车刹车过程中的位移是多少？
二、匀变速直线运动规律的综合应用
〈一〉、逆向思维法
例1　一辆汽车以10 m/s的速度匀速运动，遇紧急情况刹车后做匀减速直线运动，经过5 s停止运动，求：
(1)汽车刹车的加速度的大小；
(2)汽车在最后连续的三个1 s内的位移之比x1∶x2∶x3.
〈二〉、追及和相遇问题
例2　一辆汽车以3 m/s2的加速度开始启动的瞬间，另一辆以6 m/s的速度做匀速直线运动的自行车恰好从汽车的旁边通过．
(1)汽车一定能追上自行车吗？若能追上，汽车经多长时间追上？追上时汽车的瞬时速度多大？
(2)当v汽v自时，两者距离如何变化？汽车追上自行车前多长时间与自行车相距最远？此时的距离是多大？
〈三〉、刹车问题
例3　一汽车以12 m/s的速度在平直公路上匀速行驶，刹车后经2 s速度变为8 m/s，求：(1)刹车的加速度大小及刹车所用时间；
(2)刹车后前进11 m所用的时间；
(3)刹车后8 s内前进的距离．
〈四〉、运动图象
如图1所示，表示一质点在6 s内的x－t图象，试据此分析质点的运动情况并画出它的v－t图象．
针对训练　
1．甲、乙两位同学进行百米赛跑，假如把
他们的运动近似当做匀速直线运动来处
理，他们同时从起跑线起跑，经过一段时间后他们的位置如图2所示，分别作 出在这段时间内两人运动的位移x、速度v与时间t的关系图象，正确的是 (　　)
2．当交叉路口的绿灯亮时，一辆客车以a＝2 m/s2的加速度由静止启动，在同一时刻，一辆货车以10 m/s的恒定速度从客车旁边同向驶过(不计车长)，则：(1)客车追上货车时离路口多远？
(2)在客车追上货车前，两车的最大距离是多少？
3．一滑块在水平面上以10 m/s的初速度做匀减速直线运动，加速度大小为2 m/s2.求：
(1)滑块经3 s时的速度；
(2)滑块经10 s时的速度及位移．
【基本方法的应用】
匀变速直线运动规律的灵活应用
1.一物体以某一初速度冲上一光滑斜面，前4s的位移为1.6m，随后4s的位移为零，那么物体的初速度和加速度各为多大？
2.一辆汽车以72km/h的速度正在平直公路上匀速行驶，突然发现前方45m处有需要紧急停车的危险信号，司机立即采取刹车措施。已知该车在刹车过程中加速度的大小为5m/s2，求从刹车开始经过5s时汽车前进的距离是多少，此时是否已经到达危险区域？
【原创小题欣赏】
1．环球网国际军情中心2013年8月28日消息：8月26日，歼—20战斗机在成都某机场再次进行试飞，在空中的歼—20姿态优美，做出各种机动动作．假设歼—20战斗机起飞前从静止开始做匀加速直线运动，达到起飞速度v所需时间t，飞行一段时间后返回飞机场，以速度v做匀减速直线运动，经过时间t恰好停下，则(　　)
A．起飞前的运动距离为vt
B．起飞前的运动距离为
C．匀减速直线运动的位移是2vt
D．起飞前的匀加速直线运动和返回后的匀减速直线运动的位移大小相等
2．给滑块一初速度v0，使它沿光滑斜面向上做匀减速运动，加速度大小为，当滑块速度大小变为时，所用时间可能是(　　)
A.　　　B.　　　C.　　　D.
第二章：匀变速直线运动
【基础知识通关】
一、速度时间关系
1．一辆汽车在平直公路上做初速度为v0的匀减速直线运动，下列说法正确的是(　C　)
A．速度随时间增大而增大，位移随时间增大而减小
B．速度和位移都随时间增大而减小
C．速度随时间增大而减小，位移随时间增大而增大
D．速度和位移都随时间增大而增大
解析：匀减速直线运动是速度随时间均匀减小的运动，但位移随时间增大而增大．
2．一个物体在水平面上以恒定的加速度运动，它的位移与时间的关系是x＝24t－6t2，则它的速度为零的时刻是(　C　)
A. s B．6 s C．2 s D．24 s
解析：由x＝24t－6t2得v0＝24 m/s，a＝－12 m/s2，则t＝＝ s＝2 s，C正确．
3．一辆汽车从静止开始由甲地出发，沿平直公路开往乙地，汽车先做匀加速直线运动，接着做匀减速直线运动，开到乙地刚好停止，其速度－时间图象如图2所示，
那么0～t0和t0～3t0两段时间内的(　　)
A．加速度大小之比为1∶3
B．加速度大小之比为3∶1
C．位移大小之比为2∶1
D．位移大小之比为1∶2
解析：根据图象可知汽车从开始出发到最大速度所用的时间是从最大速度到停止所用时间的二分之一.因此，加速和减速的加速度之比为2:1.根据速度图象和时间轴围成的面积即为汽车的位移可知，加速和减速的位移之比为1:2.因此选项D正确.
4.汽车在平直公路上以10 m/s的速度做匀速直线运动，发现前面有情况而刹车，获得的加速度大小为是2 m/s2 ，则汽车经过2 s后的速度大小为__________m/s，经过4 s后的速度大小为__________m/s，经过10 s后的速度大小为____________m/s.
解析：汽车2 s后的速度为6m/s，4 s后的速度为2m/s.经过5 s后，汽车已经停止运动.因此汽车10 s的速度是0.
5. （12分）如图4所示是做直线运动的物体在0～5 s的-图象，求：
(1)前3 s的平均速度；
(2)全程的平均速度；
(3)最后1 s的速度．
(1)3.3 m/s　(2)－1 m/s　(3)－15 m/s 解析：(1)前3 s的位移为Δx1＝15 m－5 m＝10 m，
平均速度为：1＝＝ m/s≈3.3 m/s.
(2)全程的位移：Δx＝0－5 m＝－5 m，
平均速度为：＝＝－ m/s＝－1 m/s.
(3)最后1 s的速度为v2＝ m/s＝－15 m/s.
6. （15分）某质点做直线运动的-图象如图5所示，通过图象回答下列问题：
(1)物体在2 s～4 s内，4 s～6 s内加速度各是多大？
(2)第3 s末物体的速度多大？
(3)物体0～6 s内的位移多大？
. (1)2 m/s2　4 m/s2　(2)6 m/s　(3)28 m 解析：(1)2 s～4 s内a＝＝2 m/s2，
4 s～6 s内a′＝＝－4 m/s2.
(2)第3 s末物体的速度vt＝(4＋2×1) m/s＝6 m/s.
(3)0～2 s内，x1＝4×2 m＝8 m，2 s～4 s内，x2＝(4×2＋)m＝12 m.
二、 匀变速直线运动的位移与时间的关系
1.关于物体运动的下述说法中正确的是（ ）
A.物体运动的速度不变，在相等时间内位移相同，通过路程相等?
B.物体运动的速度大小不变，在相等时间内位移相同，通过路程相等?
C.匀速直线运动的物体的速度方向不会改变
D.在相等的时间内通过的路程相等，则此运动一定是匀速直线运动?
.A C 解析：物体运动的速度不变，在相等时间内位移相同，通过的路程相等，因此，选项A正确，选项B错误.匀速直线运动是指物体的速度大小和方向都不会改变的运动，因此，选项C正确.在相等的时间内通过的路程相等，此运动有可能是匀速直线运动，选项D错误.
2.某质点沿一条直线运动，它在前2 s的位移为2 m，前5 s的位移为5 m，前10 s的位移为10 m，则该质点的运动（ ）
A. 一定是匀速直线运动
B. 可能是匀速直线运动
C. 若是匀速直线运动，它在前6s内的位移是6 m
D. 若是匀速直线运动，它在每秒内的位移都是1 m
.BCD 解析：匀速直线运动的定义是：任何相等的时间内的位移相等.题设中的条件并不能得到这个结论.比如前2 s位移2 m，有可能第1 s位移1.5 m，第2 s位移0.5 m，这样也能得到前2 s位移2 m，所以B、C、D正确.
4.如图1所示为甲、乙两物体的-图象，则（ ）
A. 甲、乙两物体都做匀速直线运动
B. 若甲、乙两物体在同一直线上运动，则一定会相遇
C. 在时刻t1甲、乙相遇
D. 在时刻t2甲、乙相遇
ABC 解析：这是一个位移—时间图象，从图象中可以直观地看出某时刻所对应的物体相对于坐标原点的位移以及位移的变化情况.图中甲、乙的函数图象都是一条直线，表示纵坐标随横坐标均匀变化，即位移随时间均匀变化，这样的运动就是匀速直线运动.两图线的交点表示相同的时刻有相同的位移，即相同的时刻处于相同的位置，物体相遇.选A、B、C.
10.如图2所示的四个图象中，能表示质点做往返运动的是（ ）
图2
.ABC 解析：A图中物体位移为正且均增大，说明物体在原点正方向一侧且沿正方向做匀速直线运动，一段时间后位移仍为正但在均匀减小，说明物体仍在正方向一侧，沿反方向匀速直线运动往原点走，但没有返回到原点； B图表示先从出发点沿正方向运动后再返回原点，接着再沿负方向运动也返回原点，做往返运动；C图表示从出发点沿正方向连续往返运动；而D图表示先静止不动，再向某方向运动，没有往返.
三、 匀变速直线运动的速度与位移的关系
1.如图1示，一小球从A点由静止开始沿斜面做匀变速直线运动，若到达B点时速度为v，到达C点时速度为2v，则XAB:XBC等于（C ）
A. 1∶1 B. 1∶2 C. 1∶3 D. 1∶4
2.物体从静止开始做匀加速直线运动，已知第4 s内与第2 s内的位移之差是12 m，则可知 （ ）
A. 第1 s内的位移为3 m
B. 第2 s末的速度为8 m／s
C. 物体运动的加速度为2 m／s2
D. 物体在5 s内的平均速度为15 m／s
. AD 解析：物体从静止开始做匀加速直线运动，已知第4 s内与第2 s内的位移之差是12 m，则由运动学公式的推论可知因此，第1秒的位移为，选项A正确，选项C错误.第2 s末的速度为 m/s选项B错误.物体在5 s内的位移为：m，因此平均速度为，选项D正确.
4.以20km/h的速度行驶的汽车，制动后能在2 m内停下来，如以40 km/h的速度行驶，则它的制动距离应该是（ D ）
A.2 m B.4 m C.6 m D.8 m
5.汽车进行刹车实验，若速率从8 m/s匀减速至零要用时1 s，按规定速率为8 m/s的汽车刹车后拖行路程不得越过5.9 m，那么上述刹车实验的拖行路程是否符合规定（ C ）
A.拖行路程8 m，符合规定
B.拖行路程为8 m，不符合规定
C.拖行路程为4 m，符合规定
D.拖行路程为4 m，不符合规定
6．为了测定某轿车在平直路上启动阶段的加速度(轿车启动时的运动可近似看成是匀加速直线运动)，某人拍摄一张在同一底片上多次曝光的照片，如图3所示，如果拍摄时每隔2 s曝光一次，轿车车身总长为4.5 m，那么这辆轿车的加速度为(　　)
图3
A．1 m/s2 B．2.25 m/s2
C．3 m/s2 D．4.25 m/s2
解析：据匀变速直线运动规律，Δx＝x2－x1＝aT2，读出x1、x2，代入即可计算．轿车总长4.5 m，相当于提示我们图中每一小格为1.5 m，由此可算出两段距离分别为x1＝12 m和x2＝21 m，又T＝2 s，则a＝＝＝ m/s2＝2.25 m/s2.故选B.
四、 自由落体运动 伽利略对自由落体运动的研究
1．从同一高度处，先后释放两个重物，甲释放一段时间后，再释放乙，则以乙为参考系，甲的运动形式是(　D　)
A．自由落体运动 B．匀加速直线运动aC．匀加速直线运动a>g D．匀速直线运动
2．在一根轻绳的两端各拴一个小球，一人用手拿着绳上端的小球站在三层楼的阳台上，放手让小球自由下落，两个球相继落地的时间差为ΔT.如果站在四层楼的阳台上，同样放手让小球自由下落，则两球相继落地的时间差将会(　C　)
A．不变
B．变大
C．变小
D．由于层高不知，无法比较
3．某科技馆中有一个展品，该展品放在较暗处，有一 个不断均匀滴水的水龙头(刚滴出的水滴速度为零)在平行光源的照射下，可以观察到一种奇特的现象：只要耐心地缓慢调节水滴下落的时间间隔，在适当的情况下，看到的水滴好像都静止在各自固定的位置不动(如图2中A、B、C、D所示，图中数值的单位是cm)．要想出现这一现象，所用光源应满足的条件是(g取10 m/s2)(　　)
A．普通白炽灯光源即可
B．频闪发光，间歇时间为0.14 s
C．频闪发光，间歇时间为0.20 s
D．频闪发光，间歇时间为1.5 s
. B 解析：水滴在不断下落，照明光源应为一种间歇发光的光源．当水龙头中每产生一个水滴时，恰好闪光一次；当再一次闪光时，这个水滴就从A点运动到B点，第三次闪光时，它运动到了C点，第4次闪光时，则运动到了D点，而此时A、B、C、D各点也均有水滴．水滴运动时灯不亮，观察者看不到，看到的只是在固定的位置有一滴水，由于自由落体运动在相同的时间间隔内的位移之比是1∶3∶5∶，所以，图中各水滴处在10 cm、40 cm、90 cm位置处，则水滴从开始运动到90 cm 位置处所经历的时间为t＝＝  s≈0.42 s，于是每段的时间间隔为T＝＝0.14 s．综上所述，选项B正确．
4．（2013·淮南模拟）小球做自由落体运动，与地面发生碰撞，反弹时速度大小与落地速度大小相等，若从释放小球时开始计时，且不计小球与地面发生碰撞的时间，则小球运动的速度图线可能是图K3－2中的(　　)

　　　　　 A　　　　　　　　　　　B
　　　　　 C　　　　　　　　　　　D
图K3－2
D　[解析]自由落体运动初速度为零，据此可排除选项C；小球与地面碰撞瞬间速度突然反向，据此可排除选项A、B.综上分析可知本题正确选项为D.
【基础知识整合】
一、匀变速直线运动的常规应用
〈一〉、匀变速直线运动两个基本公式的应用
例1　一辆汽车从静止出发做加速直线运动．在第一段时间间隔t0内，汽车的加速度保持为a不变，在第二个时间间隔t0内，加速度变为2a且方向不变．求：
(1)第一段时间间隔t0内的位移及t0末的速度；
(2)第二段时间间隔t0内的位移；
(3)这两段时间间隔内的总位移．
解析　(1)在第一段t0内加速度为a，初速度为0，由位移公式得x1＝at，由速度公式得v1＝at0.
(2)第二段t0内加速度为2a，初速度为v1＝at0，由位移公式得x2＝v1t0＋×2at＝at＋at＝2at
(3)这两段时间间隔内的总位移x＝x1＋x2＝at＋2at＝at
规律总结　1.对于公式v＝v0＋at和x＝v0t＋at2，要理解好各个物理量的含义及其对应的关系．
2．解决运动学问题的基本思路为：审题→画过程草图→判断运动性质→选取正方向(或选取坐标轴)→选用公式列方程→求解方程，必要时对结果进行讨论．
〈二〉、三个导出公式的应用
例2　一列火车做匀变速直线运动驶来，一人在轨道旁边观察火车运动，发现在相邻的两个10 s内，火车从他跟前分别驶过8节车厢和6节车厢，每节车厢长8 m(相邻车厢连接处长度不计)，求：
(1)火车加速度的大小；
(2)这20 s内中间时刻的瞬时速度；
(3)人刚开始观察时火车速度的大小．
解析　(1)由题知，火车做匀减速运动，设火车加速度大小为a，人开始观察时火车速度大小为v0，车厢长L＝8 m，则
Δx＝aT2,8L－6L＝a×102，
解得a＝＝ m/s2＝0.16 m/s2
(2)由于 ＝＝＝ m/s＝5.6 m/s
(3)由 －v＝2·(－a)·8L得v0＝ ＝7.2 m/s
(还可以：由 ＝v0－aT得v0＝ ＋aT＝(5.6＋0.16×10) m/s＝7.2 m/s)
规律总结　1.Δx＝aT2适用于匀变速直线运动，Δx为连续相等的时间间隔内的位移差．进一步的推论有xm－xn＝(m－n)aT2[意义为：在匀变速直线运动中，有连续相等的一系列的时间间隔T，第m个时间T内的位移为xm，第n个时间T内的位移为xn，则有xm－xn＝(m－n)aT2]．
2.＝普遍适用于各种运动，而＝ ＝只适用于匀变速直线运动，利用＝和＝ 可以很轻松地求出中间时刻的瞬时速度．
3．如果问题的已知量和未知量都不涉及时间，利用关系式
v2－v＝2ax往往会使问题变得简单．
〈三〉、初速度为零的匀变速直线运动的几个比例式
初速度为0的匀加速直线运动，以T为时间单位，下列比例式均成立：
(1)T末、2T末、3T末、…、nT末的瞬时速度之比为：
v1∶v2∶v3∶…∶vn＝_________________.
(2)T内、2T内、3T内、…、nT内的位移之比为：
x1∶x2∶x3∶…∶xn＝_____________________.
(3)第一个T内、第二个T内、第三个T内、…、第n个T内的位移之比为：
x1∶x2∶x3∶…∶xn＝______________________．
(4)通过连续相同的位移所用时间之比为：
t1∶t2∶t3∶…∶tn＝______________________________________．
例3　一小球沿斜面由静止开始匀加速滚下(斜面足够长)，已知小球在第4 s末的速度为4 m/s.求：
(1)第6 s末的速度；(2)前6 s内的位移；(3)第6 s内的位移．
解析　由v1＝at1得，a＝＝＝1 m/s2
所以第1 s内的位移x1＝a×12 m＝0.5 m
(1)由于第4 s末与第6 s末的速度之比
v1∶v2＝4∶6＝2∶3，故第6 s末的速度v2＝v1＝6 m/s
(2)第1 s内与前6 s内的位移之比x1∶x6＝12∶62
故前6 s内小球的位移x6＝36x1＝18 m
(3)第1 s内与第6 s内的位移之比
x1′∶x6′＝1∶(2×6－1)，故第6 s内的位移
x6′＝11x1′＝5.5 m
针对训练　
1．一个物体做匀变速直线运动，若运动的时间之比为t1∶t2∶t3∶…＝1∶2∶3∶…，下面有三种说法：
①相应的运动距离之比一定是x1∶x2∶x3∶…＝1∶4∶9∶…
②相邻的相同时间内的位移之比一定是x1∶x2∶x3∶…＝1∶3∶5∶…
③相邻的相同时间内位移差值一定是Δx＝aT2，其中T为相同的时间间隔
以上说法正确的是 (　A　)
A．只有③正确 B．只有②③正确
C．都是不正确的 D．都是正确的
2．飞机的起飞过程是从静止出发，在直跑道上加速前进，当达到一定速度时离地升空．已知飞机加速前进路程为1 600 m，所用时间为40 s，若这段运动为匀加速运动，用a表示加速度，v表示离地时的速度，则 (　　)
A．a＝2 m/s2，v＝80 m/s B．a＝2 m/s2，v＝40 m/s
C．a＝1 m/s2，v＝40 m/s D．a＝1 m/s2，v＝80 m/s
解析　题目所给的有用信息为x＝1 600 m，t＝40 s，灵活选用公式x＝at2，可求得a＝＝ m/s2＝2 m/s2，则v＝at＝80 m/s.故选A.
3、一观察者站在第一节车厢前端，当列车从静止开始做匀加速运动时 (　　)
A．每节车厢末端经过观察者的速度之比是1∶∶∶…∶
B．每节车厢末端经过观察者的时间之比是1∶3∶5∶…∶n
C．在相等时间里经过观察者的车厢数之比是1∶3∶5∶…
D．在相等时间里经过观察者的车厢数之比是1∶2∶3∶…
解析　设每节车厢为l，由2ax＝v2得第一节车厢经过观察者时v1＝，同理，第二节经过观察者时v2＝……第n节经过观察者时，vn＝，所以有v1∶v2∶v3∶…∶vn＝1∶∶∶…∶，选项A正确．相等时间里经过观察者的车厢数之比是1∶3∶5∶…，选项C正确．
4．汽车刹车后7 s内停下来，设刹车过程汽车做的是匀减速运动且最后1 s内的位移是1 m，则汽车刹车过程中的位移是多少？
解析　汽车匀减速到零的过程和初速度为零的(加速度大小相同)匀加速过程具有对称性，所以由x＝at2知＝，所以＝，即x7＝1×72 m＝49 m.
二、匀变速直线运动规律的综合应用
〈一〉、逆向思维法
例1　一辆汽车以10 m/s的速度匀速运动，遇紧急情况刹车后做匀减速直线运动，经过5 s停止运动，求：
(1)汽车刹车的加速度的大小；
(2)汽车在最后连续的三个1 s内的位移之比x1∶x2∶x3.
解析　(1)由a＝得a＝＝－2 m/s2，负号表示方向与初速度方向相反
(2)刹车过程的逆过程是初速度为零的匀加速直线运动过程，根据初速度为零的匀加速直线运动的特点，该逆过程在三个连续1 s内的位移之比为1∶3∶5，所以汽车在最后连续的三个1 s 内的位移之比为x1∶x2∶x3＝5∶3∶1.
〈二〉、追及和相遇问题
例2　一辆汽车以3 m/s2的加速度开始启动的瞬间，另一辆以6 m/s的速度做匀速直线运动的自行车恰好从汽车的旁边通过．
(1)汽车一定能追上自行车吗？若能追上，汽车经多长时间追上？追上时汽车的瞬时速度多大？
(2)当v汽v自时，两者距离如何变化？汽车追上自行车前多长时间与自行车相距最远？此时的距离是多大？
解析　(1)因为汽车做加速运动，故汽车一定能追上自行车．汽车追上自行车时，两者位移相等，x汽＝x自，即at2＝v自t，
得：t＝＝ s＝4 s
v汽＝at＝3×4 m/s＝12 m/s
(2)开始阶段，v汽v自，两者距离又逐渐减小．所以当v汽＝v自时，两者距离最大．
设经过时间t1，汽车速度等于自行车速度，则
at1＝v自，
代入得t1＝2 s
此时x自＝v自t1＝6×2 m＝12 m
x汽＝at＝×3×22 m＝6 m
〈三〉、刹车问题
例3　一汽车以12 m/s的速度在平直公路上匀速行驶，刹车后经2 s速度变为8 m/s，求：(1)刹车的加速度大小及刹车所用时间；
(2)刹车后前进11 m所用的时间；
(3)刹车后8 s内前进的距离．
解析　(1)取初速度方向为正方向，汽车刹车后做匀减速直线运动，由v＝v0＋at得a＝＝ m/s2＝－2 m/s2
负号表示加速度方向与初速度方向相反
再由t＝得刹车时间t＝ s＝6 s
(2)由位移公式x＝v0t＋at2可得11＝12t＋×(－2)t2
解得t1＝1 s，t2＝11 s(不符合实际，舍去)，即前进11 m所用时间为1 s.
(3)由于刹车时间为6 s，故在8 s内位移即为6 s内位移
x′＝v0t′＋at′2＝12×6 m＋×(－2)×62 m＝36 m
〈四〉、运动图象
例4　如图1所示，表示一质点在6 s内的x－t图象，试据此分析质点的运动情况并画出它的v－t图象．
图1
解析　x－t图象上直线斜率表示速度，所以
0～2 s的速度v1＝＝3 m/s
2 s～4 s的速度v2＝0
4 s～6 s的速度v3＝＝－6 m/s
质点的运动情况：0～2 s内做匀速直线运动，速度大小为3 m/s，2 s末离开出发点6 m；2 s～4 s内物体静止于离出发点6 m处；4 s～5 s质点反方向做匀速直线运动，速度大小为6 m/s,5 s末回到出发点，5 s～6 s质点继续以6 m/s的速度反方向做匀速直线运动，6 s末位移为－6 m．v－t图象如图所示．
规律总结　在运动学中，图象主要是指x－t图象和v－t图象．
x－t图象：图象上某点切线的斜率表示该时刻物体的速度，图象上一个点对应物体某一时刻的位移．
v－t图象：图象上某点切线的斜率表示该时刻物体的加速度，图象上一个点对应物体某一时刻的速度；某段时间，图线与时间轴围成图形的面积值表示该段时间内物体通过的位移的大小．
形状一样的图线，在不同图象中所表示的物理意义不同，因此在应用时要特别注意看清楚图象的纵、横轴所描述的是什么物理量．
1．逆向思维法
逆向思维法即逆着原来的过程考虑，把复杂的过程转换为一个较简单的过程．例如，汽车刹车至速度为零的过程，逆着车行驶的方向考虑时就把原来的匀减速运动过程转化为初速度为零的匀加速运动过程，从而方便问题的求解．
2．追及和相遇问题
要抓住一个条件、两个关系
(1)一个条件：速度相等．
(2)两个关系：位移关系和时间关系，特别是位移关系．
3．刹车问题 防错措施：计算刹车时间．
4．运动图象
遇到直线运动的运动图象问题时，首先要看清楚图象的纵、横轴所描述的是什么物理量，然后再根据图象的“点”、“线”、“斜率”、“面积”等的物理意义解决问题.

针对训练　
1．甲、乙两位同学进行百米赛跑，假如把
他们的运动近似当做匀速直线运动来处
理，他们同时从起跑线起跑，经过一段
时间后他们的位置如图2所示，分别作 图2
出在这段时间内两人运动的位移x、速度v与时间t的关系图象，正确的是 (　B　)
2．当交叉路口的绿灯亮时，一辆客车以a＝2 m/s2的加速度由静止启动，在同一时刻，一辆货车以10 m/s的恒定速度从客车旁边同向驶过(不计车长)，则：
(1)客车追上货车时离路口多远？
(2)在客车追上货车前，两车的最大距离是多少？
解析　(1)客车追上货车的过程中，两车所用时间相等，位移也相等，即v2t1＝at，代入数据解得
t1＝10 s，x＝at＝×2×102 m＝100 m.
(2)两车距离最大时，两车应具有相等的速度，即v2＝at2，代入数据解得t2＝5 s.
Δx＝v2t2－at＝10×5 m－×2×52 m＝25 m.
3．一滑块在水平面上以10 m/s的初速度做匀减速直线运动，加速度大小为2 m/s2.求：
(1)滑块经3 s时的速度；
(2)滑块经10 s时的速度及位移．
解析　取初速度方向为正方向，则v0＝10 m/s，
a＝－2 m/s2
由t1＝得滑块停止所用时间t1＝ s＝5 s
由v＝v0＋at得滑块经3 s时的速度
v1＝10 m/s＋(－2)×3 m/s＝4 m/s
(2)因为滑块经5 s时已经停止，所以经10 s时滑块的速度为0,10 s时的位移也就是5 s时的位移，由x＝t得x＝×5 m＝25 m
【基本方法的应用】
匀变速直线运动规律的灵活应用
1．匀变速直线运动的规律、公式较多，在解答具体问题时，灵活采用不同的思路和方法，能优化解题程序，缩短思维过程，提高解题的速度，下面是几种常见的解题方法。
(1)公式法：规定好正方向后，直接应用公式列方程计算。
(2)逆向思维法：物体做匀减速直线运动时，若末速度为零，则可以按照初速度为零反向的匀加速直线运动来处理。
(3)图象法：根据物体的运动情况，画出其运动图象，利用图象的特点分析问题，这种方法往往可以使解题过程变得直观、简捷。
(4)比例法：初速度为零的匀变速直线运动中，有很多以比例形式给出的二级结论，灵活运用这些结论常能简化解题过程。
(5)参考系变换法：参考系选取的不同，物体运动的描述就不同，因此可以根据实际情况合理地选用参考系，往往会使运动的描述变得简单，从而给解题带来方便。
2．应用公式时应注意的问题
(1)要注意公式的适用条件，做到具体问题具体分析。如平均速度公式v＝只适用于匀变速直线运动，常犯的错误就是不管什么性质的变速运动都用此公式求平均速度。
(2)在处理多阶段的复杂过程问题时，要注意在过程中随着条件的变化，规律的适用性也随之变化，切忌不加思索，一套到底。如在“刹车”类问题中，可以用匀减速直线运动的位移公式x＝v0t－at2计算位移，但是时间条件如果给的过长，汽车(飞机)速度为零后不会倒行，公式适用条件就不存在了，如果硬套公式就会导致错误。
1.一物体以某一初速度冲上一光滑斜面，前4s的位移为1.6m，随后4s的位移为零，那么物体的初速度和加速度各为多大？
[解析]　设物体的初速度为v0，加速度为a，依题意有T＝4s，
x1＝1.6m，x2＝0。
方法一：基本公式法
物体沿斜面上升做匀减速运动的加速度和沿斜面返回时的加速度相等，根据运动的对称性可得物体上升到斜面最高处所需要的时间为t＝T＋＝6s
由匀变速直线运动的速度公式和位移公式分别得
0＝v0＋at
x1＝v0T＋aT2
联立以上三式，将数据代入解得v0＝0.6m/s
a＝－0.1m/s2
即物体的初速度和加速度大小分别为0.6m/s,0.1m/s2。
方法二：平均速度法
物体在前4s内的平均速度等于该段时间内中间时刻的瞬时速度，即v＝＝＝v0＋a·
对于物体沿斜面的整个上升过程，由匀变速直线运动的速度公式得0＝v0＋a(T＋)
将数据代入解得v0＝0.6m/s，a＝－0.1m/s2。
方法三：利用Δx＝aT2求解
由Δx＝aT2得
a＝＝＝m/s2＝－0.1m/s2
再由x1＝v0T＋aT2得v0＝
将数据代入解得v0＝0.6m/s。
方法四：逆向思维法及比例法
将该物体沿斜面向上做匀减速直线运动的“末态”看做“初态”，即将物体沿斜面向上的过程看做反方向的初速度为零的匀加速直线运动，若设加速度为a，“最初2s”内的位移为x，则根据推论：xⅠ∶xⅡ∶ xⅢ∶… ∶xn＝1 ∶3 ∶5 ∶… ∶(2n－1) 得：3x＋5x＝1.6m，解得x＝0.2m，
而x＝a()2，故a＝＝m/s2＝0.1m/s2
由匀变速直线运动的速度公式得
v0＝a×3×＝0.1×3×2m/s＝0.6m/s。
[总结评述]　匀变速直线运动的规律可以用多个公式描述，对于不同的题设条件选用不同的公式，这样解题会更加方便简捷。在一般情况下，若出现相等的时间间隔及所对应的位移，应优先考虑应用推论求解。对于初速度为零的匀加速直线运动，应优先考虑应用比例式求解。
2.一辆汽车以72km/h的速度正在平直公路上匀速行驶，突然发现前方45m处有需要紧急停车的危险信号，司机立即采取刹车措施。已知该车在刹车过程中加速度的大小为5m/s2，求从刹车开始经过5s时汽车前进的距离是多少，此时是否已经到达危险区域？
[解析]　设汽车由刹车开始至停车运动所用的时间为t0，选初速度方向为正方向，由于汽车做匀减速直线运动，加速度a＝－5m/s2
则由vt＝v0＋at0，得t0＝＝4s
可见，该汽车刹车后经过4s就已停下，其后的时间内汽车是静止的。由运动学公式知x＝v0t＋at2，刹车后经过5s时汽车通过的距离为x＝v0t0＋at＝40m
即汽车此时未到达危险区域。
【原创小题欣赏】
1．环球网国际军情中心2013年8月28日消息：8月26日，歼—20战斗机在成都某机场再次进行试飞，在空中的歼—20姿态优美，做出各种机动动作．假设歼—20战斗机起飞前从静止开始做匀加速直线运动，达到起飞速度v所需时间t，飞行一段时间后返回飞机场，以速度v做匀减速直线运动，经过时间t恰好停下，则(　　)
图K2－1
A．起飞前的运动距离为vt
B．起飞前的运动距离为
C．匀减速直线运动的位移是2vt
D．起飞前的匀加速直线运动和返回后的匀减速直线运动的位移大小相等
BD　[解析] 由匀加速直线运动的位移公式可知x＝t＝t＝vt，选项A错误，选项B正确；匀减速直线运动可以看成初速度为0的匀加速直线运动的逆过程，故返回后的加速度、位移的大小和起飞前相同，选项C错误，选项D正确．
2．给滑块一初速度v0，使它沿光滑斜面向上做匀减速运动，加速度大小为，当滑块速度大小变为时，所用时间可能是(　　)
A.　　　B.　　　C.　　　D.
．BC　[解析] 当滑块速度大小变为时，其方向可能与初速度方向相同，也可能与初速度方向相反，因此要考虑两种情况，即v＝或v＝，代入公式t＝得，t＝或t＝，故选项B、C正确

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