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第二章 相互作用
第一节弹力 摩擦力
【考点突破】
考点一 弹力的分析与计算
1.“三法”判断弹力的有无
2.常见弹力的方向
【】　如图所示，小车上固定着一根弯成α角的曲杆，杆的另一端固定一个质量为m的球.试分析下列几种情况下杆对球的弹力的大小和方向：
（1）小车处于静止状态；
（2）小车以加速度a水平向右做匀加速直线运动；
（3）小车以大小为gtan α的加速度向右做匀加速直线运动.
考点二 摩擦力的分析与计算
1.摩擦力方向的判断方法
（1）静摩擦力的方向:假设法、二力平衡
（2）滑动摩擦力的方向.
滑动摩擦力的方向总与物体间的相对运动方向相反，而“相对运动”的含义是指相对跟它接触的物体而言，与运动方向（对地）无必然联系.
2.摩擦力大小的计算
（1）滑动摩擦力的大小：F＝μFN 或者利用二力平衡和牛顿第二定律列方程解决
（2）静摩擦力的大小.
①物体处于平衡状态（静止或匀速直线运动），利用力的平衡条件求解.
②物体有加速度时，应用牛顿第二定律F合＝ma求解.
③最大静摩擦力与接触面间的压力成正比，其值略大于滑动摩擦力，但通常认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力.
【典例1】　如图所示，与水平面夹角为30°的固定斜面上有一质量m＝1.0 kg的物体.细绳的一端与物体相连，另一端经摩擦不计的定滑轮与固定的弹簧测力计相连（细绳与弹簧测力计的轴线重合）.物体静止在斜面上，弹簧测力计的示数为9.8 N.g取9.8 m/s2，关于物体受力的判断，下列说法正确的是（　　）
A.斜面对物体的摩擦力大小为9.8 N
B.斜面对物体的摩擦力大小为4.9 N，方向沿斜面向下
C.斜面对物体的支持力大小为4.9 N，方向竖直向上
D.斜面对物体的支持力大小为4.9 N，方向垂直斜面向上
【典例2】表面粗糙的长直木板的上表面一端放有一个木块，如图所示，木板由水平位置缓慢向上转动（即木板与地面的夹角α变大，最大静摩擦力大于滑动摩擦力），另一端不动，则木块受到的摩擦力Ff随角度α变化的图象是下列图中的（　　）
A　　　　　　　B
C　　　　　　　D
【强化训练】
1.（多选）如图甲所示，A、B两个物体叠放在水平面上，B的上下表面均水平，A物体与一拉力传感器相连接，连接力传感器和物体A的细绳保持水平.从t＝0时刻起，用一水平向右的力F＝kt（k为常数）作用在B物体上，力传感器的示数随时间变化的图线如图乙所示，已知k、t1、t2，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力.据此可求（　　）
　　　 　　甲　　　　　　　　　　　　　乙
A.A、B之间的最大静摩擦力
B.水平面与B之间的滑动摩擦力
C.A、B之间的动摩擦因数μAB
D.B与水平面间的动摩擦因数μ
2.（多选）如图甲、图乙所示，倾角为θ的斜面上放置一滑块M，在滑块M上放置一个质量为m的物块，M和m相对静止，一起沿斜面匀速下滑，下列说法正确的是（　　）
A.图甲中物块m受到摩擦力
B.图乙中物块m受到摩擦力
C.图甲中物块m受到水平向左的摩擦力
D.图乙中物块m受到与斜面平行向上的摩擦力
4.如图所示，与竖直墙壁成53°角的轻杆一端斜插入墙中并固定，另一端固定一个质量为m的小球，水平轻质弹簧处于压缩状态，弹簧弹力大小为mg（g表示重力加速度），则轻杆对小球的弹力大小为（　　）
A.mg　　　　　　　　B.mg C.mg D.mg
5.
（全国卷Ⅱ）如图，一物块在水平拉力F的作用下沿水平桌面做匀速直线运动.若保持F的大小不变，而方向与水平面成60°角，物块也恰好做匀速直线运动.则物块与桌面间的动摩擦因数为（　　）
A.2－ B.
C. D.
6.如图所示，质量为mB＝24 kg的木板B放在水平地面上，质量为mA＝22 kg的木箱A放在木板B上.一根轻绳一端拴在木箱上，另一端拴在天花板上，轻绳与水平方向的夹角为θ＝37°.已知木箱A与木板B之间的动摩擦因数μ1＝0.5.现用水平向右、大小为200 N的力F将木板B从木箱A下面匀速抽出（sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，重力加速度g取10 m/s2），则木板B与地面之间的动摩擦因数μ2的大小为（　　）
A.0.3 B.0.4
C.0.5 D.0.6
7.（多选）如图所示，将两相同的木块a、b置于粗糙的水平地面上，中间用一轻弹簧连接，两侧用细绳固定于墙壁.开始时a、b均静止.弹簧处于伸长状态，两细绳均有拉力，a所受的摩擦力Ffa≠0，b所受的摩擦力Ffb＝0，现将右侧细绳剪断，则剪断瞬间（　　）
A.Ffa大小不变 B.Ffa方向改变
C.Ffb仍然为零 D.Ffb方向向右
8.（多选）如图所示，将一劲度系数为k的轻弹簧一端固定在内壁光滑的半球形容器底部O′处（O为球心），弹簧另一端与质量为m的小球相连，小球静止于P点.已知容器半径为R、与水平面间的动摩擦因数为μ，OP与水平方向的夹角为θ＝30°.下列说法正确的是（重力加速度为g）（　　）
A.容器相对于水平面有向左的运动趋势
B.容器对小球的作用力指向球心O
C.轻弹簧对小球的作用力大小为mg
D.弹簧原长为R＋
9.如图所示，跨过定滑轮的轻绳两端分别系着物体A和B，物体A放在倾角为θ的斜面上.已知物体A的质量为m，物体A与斜面间的最大静摩擦力是与斜面间弹力的μ倍（μ＜tan θ），滑轮与轻绳间的摩擦不计，绳的OA段平行于斜面，OB段竖直，要使物体A静止在斜面上，则物体B质量mB的取值范围为多少？
第二节　力的合成和分解
【考点突破】
考点一 共点力的合成
1.两个共点力的合成
|F1－F2|≤F合≤F1＋F2，即两个力大小不变时，其合力随夹角的增大而减小，当两力反向时，合力最小；当两力同向时，合力最大.
2.三个共点力的合成
（1）最大值：三个力共线且同向时，其合力最大，为F1＋F2＋F3.
（2）最小值：任取两个力，求出其合力的范围，如果第三个力在这个范围以内，则三个力的合力的最小值为零；如果第三个力不在这个范围内，则合力的最小值为最大的一个力减去另外两个较小的力的大小之和.
3.力的合成的几种特殊情况
项目 图示 合力的计算
两力相互垂直 F＝， tan θ＝
两力等大夹角为θ F′＝2Fcos ， F′与每一个分力的 夹角为
两力等大夹角为120° F′＝2Fcos ＝F，即合力与分力等大
　如图所示，两根立杆相距d，顶端各固定一个力传感器，一条结实的细绳两端分别系在两力传感器的挂钩上，在绳上挂一重力为G的钩码，钩码挂钩与绳之间的摩擦力可忽略不计.若改变绳子的长度l，力传感器的示数F也随着绳长的改变而改变.在所挂钩码重力不变的情况下，力传感器示数F与绳长l之间的关系正确的是（　　）
A.F与l无关　　　 B.F与l成反比
C.F与l2成反比 D.若l＝2d，则F＝G
考点二 力的分解
1.原则
（1）平行四边形定则；
（2）三角形定则.
2.力的分解常用的方法
项目 正交分解法 效果分解法
分解 方法 将一个力沿着两个互相垂直的方向进行分解的方法 根据一个力产生的实际效果进行分解
实例 分析 x轴方向上的分力： Fx＝Fcos θ； y轴方向上的分力： Fy＝Fsin θ 压紧斜面的分力： F1＝； 压紧竖直挡板的分力 F2＝Gtan θ
【典例1】（多选）（天津卷）明朝谢肇淛的《五杂组》中记载：“明姑苏虎丘寺塔倾侧，议欲正之，非万缗不可.一游僧见之曰：无烦也，我能正之.”游僧每天将木楔从塔身倾斜一侧的砖缝间敲进去，经月余扶正了塔身.假设所用的木楔为等腰三角形，木楔的顶角为θ，现在木楔背上加一力F，方向如图所示，木楔两侧产生推力FN，则（　　）
A.若F一定，θ大时FN大
B.若F一定，θ小时FN大
C.若θ一定，F大时FN大
D.若θ一定，F小时FN大
【典例2】已知两个共点力的合力为50 N，分力F1的方向与合力F的方向成30°角，分力F2的大小为30 N.则（　　）
A.F1的大小是唯一的　　 B.F2的方向是唯一的
C.F2有两个可能的方向 D.F2可取任意方向
【强化训练】
1.（多选）一物体静止于水平桌面上，两者之间的最大静摩擦力为5 N，现将水平面内三个力同时作用于物体的同一点，三个力的大小分别为2 N、2 N、3 N.下列关于物体的受力情况和运动情况判断正确的是（　　）
A.物体所受静摩擦力可能为2 N
B.物体所受静摩擦力可能为4 N
C.物体可能仍保持静止
D.物体一定被拉动
2.（多选）已知力F，且它的一个分力F1跟F成30°角，大小未知，另一个分力F2的大小为F，方向未知，则F1的大小可能是（　　）
A.　　　　　　 B. C. D.F
3.水平横梁一端插在墙壁内，另一端装光滑小滑轮且一轻绳的一端C固定于墙壁上，另一端跨过滑轮后悬挂一质量m＝10 kg的重物，∠CBA＝30°，如图所示，则滑轮受到绳子的作用力为（g取10 m/s2）（　　）
A.50 N B.50 N
C.100 N D.100 N
4.如图所示，墙上有两个钉子a和b，它们的连线与水平方向的夹角为45°，两者的高度差为l.一条不可伸长的轻质细绳一端固定于a点，另一端跨过光滑钉子b悬挂一质量为m1的重物.在绳上距a端的c点有一固定绳圈.若绳圈上悬挂质量为m2的钩码，平衡后绳的ac段正好水平，则重物和钩码的质量比为（　　）
A.　　　B.2　　　C.　　　D.
5.（多选）如图，一光滑的轻滑轮用细绳OO′悬挂于O点；另一细绳跨过滑轮，其一端悬挂物块a，另一端系一位于水平粗糙桌面上的物块b.外力F向右上方拉b，整个系统处于静止状态.若F方向不变，大小在一定范围内变化，物块b仍始终保持静止，则（　　）
A.绳OO′的张力也在一定范围内变化
B.物块b所受到的支持力也在一定范围内变化
C.连接a和b的绳的张力也在一定范围内变化
D.物块b与桌面间的摩擦力也在一定范围内变化
6.（多选）如图所示，在“验证力的平行四边形定则”的实验中，用A、B两弹簧测力计拉橡皮条结点，使其到达O点处，此时α＋β＞90°，然后保持弹簧测力计B的示数不变而减小β时，为保持结点O位置不变，可采取的方法是（　　）
A.减小A的读数，同时减小α角
B.减小A的读数，同时增大α角
C.增大A的读数，同时减小α角
D.增大A的读数，同时增大α角
7.如图甲所示，质量为M的直角劈B放在水平面上，在劈的斜面上放一个质量为m的物体A，用一个竖直向下的力F作用于A上，物体A刚好沿斜面匀速下滑.若改用一个斜向下的力F′作用在A时，物体A加速下滑，如图乙所示，则在图乙中关于地面对劈的摩擦力Ff及支持力FN的结论正确的是（　　）
　　
A.Ff＝0，FN＞Mg B.Ff＝0，FN＜Mg
C.Ff向右，FN＜Mg D.Ff向左，FN＞Mg
第三节　共点力的平衡
【考点突破】
考点一 物体的受力分析
整体法和隔离法在受力分析中的应用
(1)整体法：将加速度相同的几个相关联物体作为一个整体来分析的方法。
（2）隔离法；将研究对象与周围物体分隔来分析的方法
　（多选）如图所示，斜面小车M静止在光滑水平面上，M左边紧贴墙壁，若在M斜面上放一个物体m，当m沿着M的斜面加速下滑时，M始终静止不动，则M和m受力个数可能为（　　）
A.5个和2个　　　　 B.5个和3个
C.4个和2个 D.4个和3个
考点二 平衡条件的应用
平衡条件的推论
（1）二力平衡：如果物体在两个共点力的作用下处于平衡状态，这两个力必定大小相等，方向相反.
（2）三力平衡：如果物体在三个共点力的作用下处于平衡状态，其中任何一个力与另外两个力的合力大小相等，方向相反，并且这三个力的矢量可以形成一个封闭的矢量三角形.
（3）多力平衡：如果物体在多个共点力的作用下处于平衡状态，其中任何一个力与另外几个力的合力大小相等，方向相反.
【1】（全国卷Ⅲ）一根轻质弹性绳的两端分别固定在水平天花板上相距80 cm的两点上，弹性绳的原长也为80 cm.将一钩码挂在弹性绳的中点，平衡时弹性绳的总长度为100 cm；再将弹性绳的两端缓慢移至天花板上的同一点，则弹性绳的总长度变为（弹性绳的伸长始终处于弹性限度内）（　　）
A.86 cm　　　　　　 B.92 cm C.98 cm D.104 cm
【2】（多选）（全国卷Ⅰ）如图，柔软轻绳ON的一端O固定，其中间某点M拴一重物，用手拉住绳的另一端N.初始时，OM竖直且MN被拉直，OM与MN之间的夹角为α.现将重物向右上方缓慢拉起，并保持夹角α不变.在OM由竖直被拉到水平的过程中（　　）
A.MN上的张力逐渐增大
B.MN上的张力先增大后减小
C.OM上的张力逐渐增大
D.OM上的张力先增大后减小
【3】　（二模）如图所示，在倾角为θ的粗糙斜面上，有一个质量为m的物体被水平力F推着静止于斜面上，物体与斜面间的动摩擦因数为μ，且μ＞tan θ，物体所受的最大静摩擦力等于滑动摩擦力.求：
（1）力F多大时，物体不受摩擦力；
（2）为使物体静止在斜面上，力F的取值范围.
【强化训练】
1.（多选）如图所示，小车M在恒力的作用下，沿水平地面做直线运动，由此可判断（　　）
A.若地面光滑，则小车一定受三个力作用
B.若在地面粗糙，则小车可能受三个力作用
C.若小车做匀速运动，则小车一定受四个力作用
D.若小车做加速运动，则小车可能受三个力作用
2.如图所示，两段等长细线串接着两个质量相等的小球a、b，悬挂于O点.现在两个小球上分别加上水平的外力，其中作用在b球上的力大小为F、作用在a球上的力大小为2F，则此装置平衡时的位置可能是（　　）
A　　　　　　　　　　B
C　　　　　　　　　　D
3.如图所示，一只半径为R的半球形碗倒扣在水平桌面上，处于静止状态.一质量为m的蚂蚁（未画出）在离桌面高度为R时恰能停在碗的外壁上，则蚂蚁受到的最大静摩擦力大小为（　　）
A.0.6mg　　　　　　　　B.0.8mg C.0.4mg D.0.75mg
4.如图，两个轻环a和b套在位于竖直面内的一段固定圆弧上，一细线穿过两轻环，其两端各系一质量为m的小球.在a和b之间的细线上悬挂一小物块.平衡时，a、b间的距离恰好等于圆弧的半径.不计所有摩擦.小物块的质量为（　　）
A. B.m
C.m D.2m
5.（多选）（天津卷）如图所示，轻质不可伸长的晾衣绳两端分别固定在竖直杆M、N上的a、b两点，悬挂衣服的衣架挂钩是光滑的，挂于绳上处于静止状态.如果只人为改变一个条件，当衣架静止时，下列说法正确的是（　　）
A.绳的右端上移到b′，绳子拉力不变
B.将杆N向右移一些，绳子拉力变大
C.绳的两端高度差越小，绳子拉力越小
D.若换挂质量更大的衣服，则衣架悬挂点右移
6.（多选）如图所示，在固定好的水平和竖直的框架上，A、B两点连接着一根绕过光滑的轻小滑轮的不可伸长的细绳，重物悬挂于滑轮下，处于静止状态.若按照以下的方式缓慢移动细绳的端点，则下列判断正确的是（　　）
A.只将绳的左端移向A′点，拉力变小
B.只将绳的左端移向A′点，拉力不变
C.只将绳的右端移向B′点，拉力变小
D.只将绳的右端移向B′点，拉力变大
7.重力都为G的两个小球A和B用三段轻绳如图所示连接后悬挂在O点上，O、B间的绳子长度是A、B间的绳子长度的2倍，将一个拉力F作用到小球B上，使三段轻绳都伸直且O、A间和A、B间的两段绳子分别处于竖直和水平方向上，则拉力F的最小值为（　　）
A.G B.G
C.G D.G
8.如图所示，质量为m（可以看成质点）的小球P，用两根轻绳OP和O′P在P点拴结后再分别系于竖直墙上相距0.4 m的O、O′两点上，绳OP长0.5 m，绳O′P长0.3 m，今在小球上施加一方向与水平成θ＝37°角的拉力F，将小球缓慢拉起.绳O′P刚拉直时，OP绳拉力为FT1，绳OP刚松弛时，O′P绳拉力为FT2，则FT1∶FT2为（sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8）（　　）
A.3∶4 B.4∶3
C.3∶5 D.4∶5
9.如图甲所示，轻绳AD跨过固定在水平横梁BC右端的定滑轮挂住一个质量为M1的物体，∠ACB＝30°；如图乙中轻杆HG一端用铰链固定在竖直墙上，另一端G通过轻绳EG拉住，EG与水平方向也成30°，轻杆的G点用轻绳GF拉住一个质量为M2的物体，求：
　　　　　　　图甲　　　　　　　　　　图乙
（1）轻绳AC段的张力TAC与轻绳EG的张力TEG之比；
（2）轻杆BC对C端的支持力；
（3）轻杆HG对G端的支持力.
10.如图所示，两个相同的小物块P、Q静止在斜面上，P与Q之间的弹簧A处于伸长状态，Q与挡板间的弹簧B处于压缩状态，则以下判断正确的是（　　）
A.撤去弹簧A，物块P将下滑，物块Q将静止
B.撤去弹簧A，弹簧B的弹力将变小
C.撤去弹簧B，两个物块均保持静止
D.撤去弹簧B，弹簧A的弹力将变小
11.如图所示，轻绳OA一端固定在天花板上，另一端系一光滑的圆环，一根系着物体的轻绳穿过圆环后，另一端固定在墙上B点，且OB处于水平.现将A点缓慢沿天花板水平向右移动，且OB段的轻绳始终保持水平，则OA、OB段轻绳所受的拉力的大小FTA、FTB的变化情况是（　　）
A.FTA增大，FTB不变 B.FTA、FTB均不变
C.FTA不变，FTB增大 D.FTA、FTB均减小
12.质量为M的木楔倾角为θ，在水平面上保持静止.当将一质量为m的木块放在木楔斜面上时，它正好匀速下滑.如果用与木楔斜面成α角的力F拉着木块匀速上升，如图所示（已知木楔在整个过程中始终静止）.
（1）当α＝θ时，拉力F有最小值，求此最小值；
（2）当α＝θ时，木楔对水平面的摩擦力是多大？第二章 相互作用
第一节弹力 摩擦力
【考点突破】
考点一 弹力的分析与计算
1.“三法”判断弹力的有无
2.常见弹力的方向
【】　如图所示，小车上固定着一根弯成α角的曲杆，杆的另一端固定一个质量为m的球.试分析下列几种情况下杆对球的弹力的大小和方向：
（1）小车处于静止状态；
（2）小车以加速度a水平向右做匀加速直线运动；
（3）小车以大小为gtan α的加速度向右做匀加速直线运动.
[思维点拨]　小球受重力和杆对球的作用力，杆对球的作用力方向是不确定的，但合力可以确定.
解析：（1）处于静止状态时，小球所受的重力与杆对球的弹力F是一对平衡力，所以F＝mg，方向竖直向上.
（2）以加速度a水平向右匀加速运动时，小球的合力F合＝ma，方向水平向右，如图所示，则F＝m；设F与水平方向的夹角为θ，
则tan θ＝＝.
（3）当a＝gtan α时，tan θ＝＝，
所以θ与α互余，F沿杆向上；则F＝.
答案：（1）mg　竖直向上　（2）m　与水平方向夹角θ满足tan θ＝　（3）　沿杆向上
考点二 摩擦力的分析与计算
1.摩擦力方向的判断方法
（1）静摩擦力的方向:假设法、二力平衡
（2）滑动摩擦力的方向.
滑动摩擦力的方向总与物体间的相对运动方向相反，而“相对运动”的含义是指相对跟它接触的物体而言，与运动方向（对地）无必然联系.
2.摩擦力大小的计算
（1）滑动摩擦力的大小：F＝μFN 或者二力平衡、牛顿第二定律
（2）静摩擦力的大小.
①物体处于平衡状态（静止或匀速直线运动），利用力的平衡条件求解.
②物体有加速度时，应用牛顿第二定律F合＝ma求解.
③最大静摩擦力与接触面间的压力成正比，其值略大于滑动摩擦力，但通常认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力.
【典例1】　如图所示，与水平面夹角为30°的固定斜面上有一质量m＝1.0 kg的物体.细绳的一端与物体相连，另一端经摩擦不计的定滑轮与固定的弹簧测力计相连（细绳与弹簧测力计的轴线重合）.物体静止在斜面上，弹簧测力计的示数为9.8 N.g取9.8 m/s2，关于物体受力的判断，下列说法正确的是（　　）
A.斜面对物体的摩擦力大小为9.8 N
B.斜面对物体的摩擦力大小为4.9 N，方向沿斜面向下
C.斜面对物体的支持力大小为4.9 N，方向竖直向上
D.斜面对物体的支持力大小为4.9 N，方向垂直斜面向上
解析：假设物体受到斜面的摩擦力Ff沿斜面向上，对于物体由平衡条件有F＋Ff－mgsin 30°＝0，FN－mgcos 30°＝0，解得Ff＝－4.9 N，FN＝4.9 N，则Ff方向沿斜面向下，FN方向垂直斜面向上，选项B正确，A、C、D错误.
答案：B
【典例2】表面粗糙的长直木板的上表面一端放有一个木块，如图所示，木板由水平位置缓慢向上转动（即木板与地面的夹角α变大，最大静摩擦力大于滑动摩擦力），另一端不动，则木块受到的摩擦力Ff随角度α变化的图象是下列图中的（　　）
A　　　　　　　B
C　　　　　　　D
解析：木板由水平位置刚开始转动时，α＝0，Ff静＝0.
从木板开始转动到木板与木块发生相对滑动前，木块所受的是静摩擦
力.由于木板缓慢转动，木块处于平衡状态，受力分析如图，由平衡条件可知，静摩擦力大小等于木块重力沿斜面向下的分力，Ff静＝mgsinα，因此，静摩擦力随α的增大而增大，它们满足正弦规律变化.
木块相对于木板刚好要滑动而没滑动时，木块此时所受的静摩擦力为最大静摩擦力Ffmax.α继续增大，木块将开始滑动，静摩擦力变为滑动摩擦力，且满足Ffmax＞Ff滑.
木块相对于木板开始滑动后，Ff滑＝μmgcos α，此时，滑动摩擦力随α的增大而减小，满足余弦规律变化.
最后，α＝，Ff滑＝0.
综上分析可知选项C正确.
答案：C
【强化训练】
1.（多选）如图甲所示，A、B两个物体叠放在水平面上，B的上下表面均水平，A物体与一拉力传感器相连接，连接力传感器和物体A的细绳保持水平.从t＝0时刻起，用一水平向右的力F＝kt（k为常数）作用在B物体上，力传感器的示数随时间变化的图线如图乙所示，已知k、t1、t2，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力.据此可求（　　）
　　　　　 甲　　　　　　　　　　　　　乙
A.A、B之间的最大静摩擦力
B.水平面与B之间的滑动摩擦力
C.A、B之间的动摩擦因数μAB
D.B与水平面间的动摩擦因数μ
解析：当B与水平面间静摩擦力达最大后，力传感器才有示数，故水平面对B的最大静摩擦力为Ffm＝kt1，A、B相对滑动后，力传感器的示数保持不变，则t2时A、B间恰达到最大静摩擦力，故A、B间的最大静摩擦力FfAB＝kt2－kt1，选项A、B正确；由于A、B的质量未知，则μAB和μ不能求出，选项C、D错误.
答案：AB
2.（多选）如图甲、图乙所示，倾角为θ的斜面上放置一滑块M，在滑块M上放置一个质量为m的物块，M和m相对静止，一起沿斜面匀速下滑，下列说法正确的是（　　）
　图甲　　　　　　　　　图乙
A.图甲中物块m受到摩擦力
B.图乙中物块m受到摩擦力
C.图甲中物块m受到水平向左的摩擦力
D.图乙中物块m受到与斜面平行向上的摩擦力
解析：对题图甲：设物块m受到摩擦力，则物块m受到重力、支持力、摩擦力，而重力、支持力平衡，若受到摩擦力作用，其方向与接触面相切，方向水平，则物块m受力将不平衡，与题中条件矛盾，故假设不成立，A、C错误.对题图乙：设物块m不受摩擦力，由于m匀速下滑，m必受力平衡，若m只受重力、支持力作用，由于支持力与接触面垂直，故重力、支持力不可能平衡，故假设不成立，由受力分析知：m受到与斜面平行向上的摩擦力，B、D正确.
答案：BD
3.如图所示，与竖直墙壁成53°角的轻杆一端斜插入墙中并固定，另一端固定一个质量为m的小球，水平轻质弹簧处于压缩状态，弹簧弹力大小为mg（g表示重力加速度），则轻杆对小球的弹力大小为（　　）
A.mg　　　　　　　　B.mg
C.mg D.mg
答案：D
4.（全国卷Ⅱ）如图，一物块在水平拉力F的作用下沿水平桌面做匀速直线运动.若保持F的大小不变，而方向与水平面成60°角，物块也恰好做匀速直线运动.则物块与桌面间的动摩擦因数为（　　）
A.2－ B.
C. D.
解析：设物块的质量为m，据平衡条件及摩擦力公式有：
拉力F水平时，F＝μmg，①
拉力F与水平面成60°角时，
Fcos 60°＝μ（mg－Fsin 60°），②
联立①②式解得μ＝，故选项C正确.
答案：C
5.如图所示，质量为mB＝24 kg的木板B放在水平地面上，质量为mA＝22 kg的木箱A放在木板B上.一根轻绳一端拴在木箱上，另一端拴在天花板上，轻绳与水平方向的夹角为θ＝37°.已知木箱A与木板B之间的动摩擦因数μ1＝0.5.现用水平向右、大小为200 N的力F将木板B从木箱A下面匀速抽出（sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，重力加速度g取10 m/s2），则木板B与地面之间的动摩擦因数μ2的大小为（　　）
A.0.3 B.0.4
C.0.5 D.0.6
解析：对A受力分析如图甲所示，由题意得
FTcos θ＝Ff1，①
FN1＋FTsin θ＝mAg，②
Ff1＝μ1FN1，③
由①②③得：FT＝100 N.
　　　　　 图甲　　　　　　　　　图乙
对A、B整体受力分析如图乙所示，由题意得
FTcos θ＋Ff2＝F，④
FN2＋FTsin θ＝（mA＋mB）g，⑤
Ff2＝μ2FN2，⑥
由④⑤⑥得：μ2＝0.3.故A正确.
答案：A
6.（多选）如图所示，将两相同的木块a、b置于粗糙的水平地面上，中间用一轻弹簧连接，两侧用细绳固定于墙壁.开始时a、b均静止.弹簧处于伸长状态，两细绳均有拉力，a所受的摩擦力Ffa≠0，b所受的摩擦力Ffb＝0，现将右侧细绳剪断，则剪断瞬间（　　）
A.Ffa大小不变 B.Ffa方向改变
C.Ffb仍然为零 D.Ffb方向向右
解析：剪断右侧细绳瞬间，b木块仍受弹簧向左的拉力，故此时Ffb不等于零，其方向水平向右，与弹簧拉力方向相反.a木块在剪断细绳瞬间与剪断前受力情况没有发生变化，故Ffa的大小、方向均没有变化.选项A、D正确.
答案：AD
7.（多选）如图所示，将一劲度系数为k的轻弹簧一端固定在内壁光滑的半球形容器底部O′处（O为球心），弹簧另一端与质量为m的小球相连，小球静止于P点.已知容器半径为R、与水平面间的动摩擦因数为μ，OP与水平方向的夹角为θ＝30°.下列说法正确的是（重力加速度为g）（　　）
A.容器相对于水平面有向左的运动趋势
B.容器对小球的作用力指向球心O
C.轻弹簧对小球的作用力大小为mg
D.弹簧原长为R＋
解析：容器和小球组成的系统与水平面间的摩擦力为零，没有相对水平面的运动趋势，A错误；容器对小球的弹力沿容器半径指向球心O，B正确；由FNsin θ＋F弹sin θ＝mg，FNcos θ＝F弹cos θ，可得：F弹＝FN＝mg，C错误；由F弹＝kx可得弹簧的压缩量x＝，弹簧的原长L0＝LO′P＋x＝R＋，D正确.
答案：BD
8.如图所示，跨过定滑轮的轻绳两端分别系着物体A和B，物体A放在倾角为θ的斜面上.已知物体A的质量为m，物体A与斜面间的最大静摩擦力是与斜面间弹力的μ倍（μ＜tan θ），滑轮与轻绳间的摩擦不计，绳的OA段平行于斜面，OB段竖直，要使物体A静止在斜面上，则物体B质量mB的取值范围为多少？
解析：设绳中张力为T，先以B为研究对象，因为B静止，所以有
T＝mBg，
再以A为研究对象，若A处于不上滑的临界状态时，则有T＝fm＋mgsin θ，而fm＝μN，N＝mgcos θ
解得mB＝m（sin θ＋μcos θ）.
同理，若A处于不下滑的临界状态时，则有
T＋fm＝mgsin θ，
可得mB＝m（sin θ－μcos θ），
故mB应满足的条件为m（sin θ－μcos θ）≤mB≤m（sin θ＋μcos θ）.
答案：m（sin θ－μcos θ）≤mB≤m（sin θ＋μcos θ）
第二节　力的合成和分解
【考点突破】
考点一 共点力的合成
1.两个共点力的合成
|F1－F2|≤F合≤F1＋F2，即两个力大小不变时，其合力随夹角的增大而减小，当两力反向时，合力最小；当两力同向时，合力最大.
2.三个共点力的合成
（1）最大值：三个力共线且同向时，其合力最大，为F1＋F2＋F3.
（2）最小值：任取两个力，求出其合力的范围，如果第三个力在这个范围以内，则三个力的合力的最小值为零；如果第三个力不在这个范围内，则合力的最小值为最大的一个力减去另外两个较小的力的大小之和.
3.力的合成的几种特殊情况
项目 图示 合力的计算
两力相互垂直 F＝， tan θ＝
两力等大夹角为θ F′＝2Fcos ， F′与每一个分力的 夹角为
两力等大夹角为120° F′＝2Fcos ＝F，即合力与分力等大
　如图所示，两根立杆相距d，顶端各固定一个力传感器，一条结实的细绳两端分别系在两力传感器的挂钩上，在绳上挂一重力为G的钩码，钩码挂钩与绳之间的摩擦力可忽略不计.若改变绳子的长度l，力传感器的示数F也随着绳长的改变而改变.在所挂钩码重力不变的情况下，力传感器示数F与绳长l之间的关系正确的是（　　）
A.F与l无关　　　 B.F与l成反比
C.F与l2成反比 D.若l＝2d，则F＝G
解析：对钩码受力分析如图甲所示，绳子拉力与钩码重力G的关系是Fcos θ＝G，由图乙得sin θ＝＝，得cos θ＝＝，所以F＝＝，若l＝2d，得F＝G，D正确.
　　　　　 　　甲　　　　　　　　　乙
答案：D
考点二 力的分解
1.原则
（1）平行四边形定则；
（2）三角形定则.
2.力的分解常用的方法
项目 正交分解法 效果分解法
分解 方法 将一个力沿着两个互相垂直的方向进行分解的方法 根据一个力产生的实际效果进行分解
实例 分析 x轴方向上的分力： Fx＝Fcos θ； y轴方向上的分力： Fy＝Fsin θ 压紧斜面的分力： F1＝； 压紧竖直挡板的分力 F2＝Gtan θ
【典例1】（多选）（天津卷）明朝谢肇淛的《五杂组》中记载：“明姑苏虎丘寺塔倾侧，议欲正之，非万缗不可.一游僧见之曰：无烦也，我能正之.”游僧每天将木楔从塔身倾斜一侧的砖缝间敲进去，经月余扶正了塔身.假设所用的木楔为等腰三角形，木楔的顶角为θ，现在木楔背上加一力F，方向如图所示，木楔两侧产生推力FN，则（　　）
A.若F一定，θ大时FN大
B.若F一定，θ小时FN大
C.若θ一定，F大时FN大
D.若θ一定，F小时FN大
解析：根据力F的作用效果将力F分解为垂直于木楔两侧的力FN，如图所示.
则＝sin ，
即FN＝，
所以当F一定时，θ越小，FN越大；当θ一定时，F越大，FN越大.故选项B、C正确.
答案：BC
【典例2】已知两个共点力的合力为50 N，分力F1的方向与合力F的方向成30°角，分力F2的大小为30 N.则（　　）
A.F1的大小是唯一的　　 B.F2的方向是唯一的
C.F2有两个可能的方向 D.F2可取任意方向
解析：由F1、F2和F的矢量三角形图可以看出：
因F2＝30 N>F20＝Fsin 30°＝25 N，
且F2答案：C
【强化训练】
1.（多选）一物体静止于水平桌面上，两者之间的最大静摩擦力为5 N，现将水平面内三个力同时作用于物体的同一点，三个力的大小分别为2 N、2 N、3 N.下列关于物体的受力情况和运动情况判断正确的是（　　）
A.物体所受静摩擦力可能为2 N
B.物体所受静摩擦力可能为4 N
C.物体可能仍保持静止
D.物体一定被拉动
解析：两个2 N力的合力范围为0～4 N，然后与3 N的力合成，则三个力的合力范围为0～7 N，由于最大静摩擦力为5 N，因此可判定A、B、C正确，D错误.
答案：ABC
2.（多选）已知力F，且它的一个分力F1跟F成30°角，大小未知，另一个分力F2的大小为F，方向未知，则F1的大小可能是（　　）
A.　　　　　　 B.
C. D.F
答案：AC
3.水平横梁一端插在墙壁内，另一端装光滑小滑轮且一轻绳的一端C固定于墙壁上，另一端跨过滑轮后悬挂一质量m＝10 kg的重物，∠CBA＝30°，如图所示，则滑轮受到绳子的作用力为（g取10 m/s2）（　　）
A.50 N B.50 N
C.100 N D.100 N
答案：C
4.如图所示，墙上有两个钉子a和b，它们的连线与水平方向的夹角为45°，两者的高度差为l.一条不可伸长的轻质细绳一端固定于a点，另一端跨过光滑钉子b悬挂一质量为m1的重物.在绳上距a端的c点有一固定绳圈.若绳圈上悬挂质量为m2的钩码，平衡后绳的ac段正好水平，则重物和钩码的质量比为（　　）
A.　　　B.2　　　C.　　　D.
解析：钩码的拉力F等于钩码重力m2g，将F沿ac和bc方向分解，两个分力分别为Fa、Fb，如图所示，其中Fb＝m1g，由几何关系可得cos θ＝＝，又由几何关系得cos θ＝，联立解得＝.
　答案：C
5.（多选）如图，一光滑的轻滑轮用细绳OO′悬挂于O点；另一细绳跨过滑轮，其一端悬挂物块a，另一端系一位于水平粗糙桌面上的物块b.外力F向右上方拉b，整个系统处于静止状态.若F方向不变，大小在一定范围内变化，物块b仍始终保持静止，则（　　）
A.绳OO′的张力也在一定范围内变化
B.物块b所受到的支持力也在一定范围内变化
C.连接a和b的绳的张力也在一定范围内变化
D.物块b与桌面间的摩擦力也在一定范围内变化
解析：因为物块a、b始终保持静止，所以绳OO′的张力不变，连接a和b的绳的张力也不变，选项A、C错误；拉力F大小变化，F的水平分量和竖直分量都发生变化，由共点力的平衡条件知，物块b受到的支持力和摩擦力在一定范围内变化，选项B、D正确.
答案：BD
6.（多选）如图所示，在“验证力的平行四边形定则”的实验中，用A、B两弹簧测力计拉橡皮条结点，使其到达O点处，此时α＋β＞90°，然后保持弹簧测力计B的示数不变而减小β时，为保持结点O位置不变，可采取的方法是（　　）
A.减小A的读数，同时减小α角
B.减小A的读数，同时增大α角
C.增大A的读数，同时减小α角
D.增大A的读数，同时增大α角
解析：保持O点的位置不变，即保持两弹簧测力计的合力不变，当保持弹簧测力计B的示数不变时，由平行四边形定则作图可知A、B正确，C、D错误.
答案：AB
7.如图甲所示，质量为M的直角劈B放在水平面上，在劈的斜面上放一个质量为m的物体A，用一个竖直向下的力F作用于A上，物体A刚好沿斜面匀速下滑.若改用一个斜向下的力F′作用在A时，物体A加速下滑，如图乙所示，则在图乙中关于地面对劈的摩擦力Ff及支持力FN的结论正确的是（　　）
　　　 图甲　　　　　　　　　　　图乙
A.Ff＝0，FN＞Mg B.Ff＝0，FN＜Mg
C.Ff向右，FN＜Mg D.Ff向左，FN＞Mg
解析：设斜面的倾角为θ，对于题图甲，以A为研究对象，分析受力，作出力图如图1.
根据平衡条件得（mg＋F）sin θ＝μ（mg＋F）cos θ，
得到μ＝tan θ.
对于题图乙，以B为研究对象，分析受力，作出力图如图2.
设地面对B的摩擦力方向水平向右，根据平衡条件得
水平方向：Ff＝Ff1cos θ－FN1sin θ，
又Ff1＝μFN1，
得到Ff＝μFN1cos θ－FN1sin θ
＝tan θ·FN1cos θ－FN1sin θ＝0，
竖直方向：FN＞Mg.
故A正确.
　　　　　　 　图1　　　　　　　图2
答案：A
第三节　共点力的平衡
【考点突破】
考点一 物体的受力分析
1.整体法和隔离法在受力分析中的应用
项目 整体法 隔离法
概念 将加速度相同的几个相关联物体作为一个整体来分析的方法 将研究对象与周围物体分隔来分析的方法
选用 原则 研究系统外的物体对系统整体的作用力或系统整体的加速度 研究系统内物体之间的相互作用力
注意问题 受力分析时不要再考虑系统内物体间的相互作用 一般隔离受力较少的物体
　（多选）如图所示，斜面小车M静止在光滑水平面上，M左边紧贴墙壁，若在M斜面上放一个物体m，当m沿着M的斜面加速下滑时，M始终静止不动，则M和m受力个数可能为（　　）
A.5个和2个　　　　 B.5个和3个
C.4个和2个 D.4个和3个
[思维点拨]　本题的两个物体运动状态不同，只能用隔离法，先选受力少的；由于没有说明m与M间是否光滑，所以要分两种情况分析.
解析：小车一定受到竖直向下的重力、地面的支持力、物体m对小车的压力.当斜面光滑时，m加速下滑，则m存在一个沿斜面向下加速度，该加速度可分解为水平方向上的加速度和竖直方向上的加速度，故墙面对小车有弹力作用，故小车受4个力作用；此时m受重力和斜面的支持力两个力的作用，故选项C正确.若m与M之间有摩擦，m加速下滑时，则m存在一个沿斜面向下的加速度，该加速度可分解为水平方向上的加速度和竖直方向上的加速度，故墙面对小车有弹力作用，还有m对M的摩擦力，小车共受5个力作用；此时m受到重力、支持力和摩擦力三个力的作用，故选项B正确.
答案：BC
考点二 平衡条件的应用
平衡条件的推论
（1）二力平衡：如果物体在两个共点力的作用下处于平衡状态，这两个力必定大小相等，方向相反.
（2）三力平衡：如果物体在三个共点力的作用下处于平衡状态，其中任何一个力与另外两个力的合力大小相等，方向相反，并且这三个力的矢量可以形成一个封闭的矢量三角形.
（3）多力平衡：如果物体在多个共点力的作用下处于平衡状态，其中任何一个力与另外几个力的合力大小相等，方向相反.
【1】　（全国卷Ⅲ）一根轻质弹性绳的两端分别固定在水平天花板上相距80 cm的两点上，弹性绳的原长也为80 cm.将一钩码挂在弹性绳的中点，平衡时弹性绳的总长度为100 cm；再将弹性绳的两端缓慢移至天花板上的同一点，则弹性绳的总长度变为（弹性绳的伸长始终处于弹性限度内）（　　）
A.86 cm　　　　　　 B.92 cm
C.98 cm D.104 cm
解析：轻质弹性绳的两端分别固定在相距80 cm的两点上，钩码挂在弹性绳的中点，平衡时弹性绳的总长度为100 cm，以钩码为研究对象，受力如图所示，由胡克定律知弹性绳的张力F＝k（l－l0）＝0.2k，由共点力的平衡条件和几何知识得F＝＝；再将弹性绳的两端缓慢移至天花板上的同一点，设弹性绳的总长度变为l′，由胡克定律得F′＝k（l′－l0），由共点力的平衡条件得F′＝，联立上面各式解得l′＝92 cm.
答案：B
【2】（多选）（全国卷Ⅰ）如图，柔软轻绳ON的一端O固定，其中间某点M拴一重物，用手拉住绳的另一端N.初始时，OM竖直且MN被拉直，OM与MN之间的夹角为α.现将重物向右上方缓慢拉起，并保持夹角α不变.在OM由竖直被拉到水平的过程中（　　）
A.MN上的张力逐渐增大
B.MN上的张力先增大后减小
C.OM上的张力逐渐增大
D.OM上的张力先增大后减小
[思维点拨]　重物所受三个力中只有重力恒定不变，且要求OM、MN两力的夹角不变，两力的大小、方向都在变.方法一：正交分解列方程，解出力随夹角变化的函数，然后由函数讨论；方法二：利用矢量圆，三力合力为零，能构成封闭的三角形，再借助圆，同一圆弧对应圆周角不变.
解析：重物受重力mg的大小、方向不变，OM绳上有拉力F2，MN绳上有拉力F1，由题意知，三个力的合力始终为零，可用矢量三角形如图表示，在单位圆中，重力代表的弦不变，则其圆周角也不变，在F2转至水平的过程中，MN上的张力F1对应的弦的长度逐渐增大，OM上的张力F2对应的弦的穬先增大后减小.
答案：AD
【3】（二模）如图所示，在倾角为θ的粗糙斜面上，有一个质量为m的物体被水平力F推着静止于斜面上，物体与斜面间的动摩擦因数为μ，且μ＞tan θ，物体所受的最大静摩擦力等于滑动摩擦力.求：
（1）力F多大时，物体不受摩擦力；
（2）为使物体静止在斜面上，力F的取值范围.
[思维点拨]　找出临界状态，找准临界条件是解决临界极值问题的关键.本题的临界状态是物体刚好不上滑或刚好不下滑，对应的临界条件是摩擦力达到最大静摩擦力.
甲
解析：（1）物体不受摩擦力时受力如图甲所示.
由平衡条件得：
Fcos θ＝mgsin θ，
解得：F＝mgtan θ.
（2）当物体即将下滑时，有方向沿斜面向下的最大静摩擦力，物体受力如图乙所示.
由平衡条件得：
乙
沿斜面方向上：Fmin cos θ＋Ffm＝mgsin θ，
垂直于斜面方向上：Fmin sin θ＋mgcos θ＝FN，又Ffm＝μFN，
解得：Fmin＝.
物体即将上移时，有方向沿斜面向下的静摩擦力，物体受力如图丙所示.
由平衡条件得：
沿斜面方向上：Fmax cos θ＝Ffm＋mgsin θ
丙
垂直斜面方向上：Fmax sin θ＋mgcos θ＝FN，
又Ffm＝μFN，
解得：Fmax＝.
为使物体静止在斜面上，力F的取值范围是：
≤F≤
答案：（1）mgtan θ
（2）≤F≤
【强化训练】
1.（多选）如图所示，小车M在恒力的作用下，沿水平地面做直线运动，由此可判断（　　）
A.若地面光滑，则小车一定受三个力作用
B.若在地面粗糙，则小车可能受三个力作用
C.若小车做匀速运动，则小车一定受四个力作用
D.若小车做加速运动，则小车可能受三个力作用
答案：CD
2.如图所示，两段等长细线串接着两个质量相等的小球a、b，悬挂于O点.现在两个小球上分别加上水平的外力，其中作用在b球上的力大小为F、作用在a球上的力大小为2F，则此装置平衡时的位置可能是（　　）
A　　　　　　　　　　B
C　　　　　　　　　　D
解析：设每个球的质量为m，Oa与ab和竖直方向的夹角分别为α、β.
　　　　　　　甲　　　　　　　　　　　乙
以两个小球组成的整体为研究对象，分析受力情况，如图甲所示，根据平衡条件可知，Oa绳的方向不可能沿竖直方向，否则整体的合力不为零，不能保持平衡.
由平衡条件得：tan α＝.
以b球为研究对象，分析受力情况，如图乙所示，由平衡条件得：tan β＝，则α＜β，故A正确.
答案：A
3.如图所示，一只半径为R的半球形碗倒扣在水平桌面上，处于静止状态.一质量为m的蚂蚁（未画出）在离桌面高度为R时恰能停在碗的外壁上，则蚂蚁受到的最大静摩擦力大小为（　　）
A.0.6mg　　　　　　　　B.0.8mg
C.0.4mg D.0.75mg
解析：蚂蚁受重力、支持力和静摩擦力，根据平衡条件有Ffm＝mgsin θ，而cos θ＝＝0.8，故θ＝37°，所以Ffm＝mgsin θ＝0.6mg.
答案：A
4.如图，两个轻环a和b套在位于竖直面内的一段固定圆弧上，一细线穿过两轻环，其两端各系一质量为m的小球.在a和b之间的细线上悬挂一小物块.平衡时，a、b间的距离恰好等于圆弧的半径.不计所有摩擦.小物块的质量为（　　）
A. B.m
C.m D.2m
解析：如图所示，由于不计摩擦，线上张力处处相等且等于mg.选挂钩所在处的O点为研究对象，根据题意∠aOb＝120°，O点受到两侧细绳的拉力FT＝mg和挂钩向下的拉力F′T＝m′g，由于FT、FT与F′T三力互为120°，故F′T＝FT＝mg，所以小物块的质量m′＝m.
答案：C
5.（多选）（天津卷）如图所示，轻质不可伸长的晾衣绳两端分别固定在竖直杆M、N上的a、b两点，悬挂衣服的衣架挂钩是光滑的，挂于绳上处于静止状态.如果只人为改变一个条件，当衣架静止时，下列说法正确的是（　　）
A.绳的右端上移到b′，绳子拉力不变
B.将杆N向右移一些，绳子拉力变大
C.绳的两端高度差越小，绳子拉力越小
D.若换挂质量更大的衣服，则衣架悬挂点右移
解析：衣架挂钩为“活结”模型，Oa、Ob为一根绳，两端拉力相等，设绳aOb长为L，M、N的水平距离为d，bO延长线交M于a′，由几何知识知a′O＝aO，sin θ＝，由平衡条件有2Fcos θ＝mg，则F＝，当b上移到b′时，d、L不变，θ不变，故F不变，选项A正确，C错误.将杆N向右移一些，L不变，d变大，θ变大，cos θ变小，则F变大，选项B正确.只改变m，其他条件不变，则sin θ不变，θ不变，衣架悬挂点不变，选项D错误.
答案：AB
6.（多选）如图所示，在固定好的水平和竖直的框架上，A、B两点连接着一根绕过光滑的轻小滑轮的不可伸长的细绳，重物悬挂于滑轮下，处于静止状态.若按照以下的方式缓慢移动细绳的端点，则下列判断正确的是（　　）
A.只将绳的左端移向A′点，拉力变小
B.只将绳的左端移向A′点，拉力不变
C.只将绳的右端移向B′点，拉力变小
D.只将绳的右端移向B′点，拉力变大
解析：设滑轮两侧绳子与竖直方向的夹角为α，绳子的长度为L，B点到墙壁的距离为s，根据几何知识和对称性，得
sin α＝，①
以滑轮为研究对象，设绳子拉力大小为FT，根据平衡条件得：
2FTcos α＝mg，
得FT＝，②
当只将绳的左端移向A′点，s和L均不变，则由②式知，FT不变，故A错误，B正确.当只将绳的右端移向B′点，s增加，而L不变，则由①式知，α增大，cos α减小，则由②式知，FT增大.故C错误，D正确.
答案：BD
7.重力都为G的两个小球A和B用三段轻绳如图所示连接后悬挂在O点上，O、B间的绳子长度是A、B间的绳子长度的2倍，将一个拉力F作用到小球B上，使三段轻绳都伸直且O、A间和A、B间的两段绳子分别处于竖直和水平方向上，则拉力F的最小值为（　　）
A.G B.G
C.G D.G
解析：对A球受力分析可知，因O、A间绳竖直，则A、B间绳上的拉力为0.对B球受力分析如图所示，则可知当F与O、B间绳垂直时F最小，Fmin＝Gsin θ，其中sin θ＝＝，则Fmin＝G，故A项正确.
答案：A
8.如图所示，质量为m（可以看成质点）的小球P，用两根轻绳OP和O′P在P点拴结后再分别系于竖直墙上相距0.4 m的O、O′两点上，绳OP长0.5 m，绳O′P长0.3 m，今在小球上施加一方向与水平成θ＝37°角的拉力F，将小球缓慢拉起.绳O′P刚拉直时，OP绳拉力为FT1，绳OP刚松弛时，O′P绳拉力为FT2，则FT1∶FT2为（sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8）（　　）
A.3∶4 B.4∶3
C.3∶5 D.4∶5
解析：绳O′P刚拉直时，由几何关系可知此时OP绳与竖直方向夹角为37°，小球受力如图甲，则FT1＝mg.绳OP刚松弛时，小球受力如图乙，则FT2＝mg.则FT1∶FT2＝3∶5，选项C正确.
　　　　　 甲　 　　　　　　乙
答案：C
9.如图甲所示，轻绳AD跨过固定在水平横梁BC右端的定滑轮挂住一个质量为M1的物体，∠ACB＝30°；如图乙中轻杆HG一端用铰链固定在竖直墙上，另一端G通过轻绳EG拉住，EG与水平方向也成30°，轻杆的G点用轻绳GF拉住一个质量为M2的物体，求：
　　　　　　　图甲　　　　　　　　　　图乙
（1）轻绳AC段的张力TAC与轻绳EG的张力TEG之比；
（2）轻杆BC对C端的支持力；
（3）轻杆HG对G端的支持力.
解析：（1）题图甲中轻绳AD跨过定滑轮拉住质量为M1的物体，物体处于平衡状态，绳AC段的拉力TAC＝TCD＝M1g；题图乙中由于TEGsin 30°＝M2g，得TEG＝2M2g，所以得TAC∶TEG＝M1∶2M2.
甲　　　　　　　　　　乙
（2）图甲中，根据平衡条件和平行四边形定则可得，NC＝TAC＝M1g，方向和水平方向成30°斜向右上方；
（3）图乙中，根据平衡条件有：
TEGsin 30°＝M2g，TEGcos30°＝NG，
所以NG＝＝M2g，方向水平向右.
答案：（1）M1∶2M2
（2）M1g，方向和水平方向成30°斜向右上方
（3）M2g，方向水平向右
10.如图所示，两个相同的小物块P、Q静止在斜面上，P与Q之间的弹簧A处于伸长状态，Q与挡板间的弹簧B处于压缩状态，则以下判断正确的是（　　）
A.撤去弹簧A，物块P将下滑，物块Q将静止
B.撤去弹簧A，弹簧B的弹力将变小
C.撤去弹簧B，两个物块均保持静止
D.撤去弹簧B，弹簧A的弹力将变小
解析：由于物块Q受弹簧A、B的弹力及重力沿斜面的分力方向都沿斜面向下，仍能保持静止，则不论撤去弹簧A，还是弹簧B，两物块一定都能保持静止，由于物块静止，弹簧形变不改变，弹力不变.所以选项A、B、D错误，C正确.
答案：C
11.如图所示，轻绳OA一端固定在天花板上，另一端系一光滑的圆环，一根系着物体的轻绳穿过圆环后，另一端固定在墙上B点，且OB处于水平.现将A点缓慢沿天花板水平向右移动，且OB段的轻绳始终保持水平，则OA、OB段轻绳所受的拉力的大小FTA、FTB的变化情况是（　　）
A.FTA增大，FTB不变 B.FTA、FTB均不变
C.FTA不变，FTB增大 D.FTA、FTB均减小
解析：因为圆环光滑，则OC、OB段轻绳所受的拉力的大小FTC、FTB始终相等，且等于物体的重力.又OB段轻绳始终保持水平，OC段轻绳始终保持竖直，则A点缓慢右移，圆环也随之右移，角θ不变，由平衡条件可知OA段绳上所受的拉力不变.故B项正确.
答案：B
12.质量为M的木楔倾角为θ，在水平面上保持静止.当将一质量为m的木块放在木楔斜面上时，它正好匀速下滑.如果用与木楔斜面成α角的力F拉着木块匀速上升，如图所示（已知木楔在整个过程中始终静止）.
（1）当α＝θ时，拉力F有最小值，求此最小值；
（2）当α＝θ时，木楔对水平面的摩擦力是多大？
解析：（1）木块在木楔斜面上匀速向下运动时，有
mgsin θ＝μmgcos θ，
即μ＝tan θ.
木块在力F作用下沿斜面向上匀速运动，有
Fcos α＝mgsin θ＋Ff，
Fsin α＋FN＝mgcos θ，
Ff＝μFN，
解得F＝＝＝
，
则当α＝θ时，F有最小值，Fmin＝mgsin 2θ.
（2）因为木块及木楔均处于平衡状态，整体受到的地面摩擦力等于F的水平分力，即
F′f＝Fcos（α＋θ）.
当α＝θ时，F取最小值mgsin2θ，
F′fm＝Fmincos2θ＝mg·sin2θ·cos2θ＝mgsin4θ.
答案：（1）mgsin2θ　（2）mgsin4θ

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