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导数中八大切线问题题型总结
【考点预测】
1.在点的切线方程
切线方程 y- f(x0) = f (x0) (x- x0)的计算：函数 y= f(x)在点A(x0，f(x0))处的切线方程为 y- f(x0) = f
( ) ( - y = f(x )x0 x x )，抓住关键 0 00 k= ．f (x0)
2.过点的切线方程
设切点为P(x0，y0)，则斜率 k= f (x )，过切点的切线方程为：y- y = f 0 0 (x0) (x- x0)，
又因为切线方程过点A(m，n)，所以 n- y0= f (x0) (m- x0)然后解出 x0的值． (x0有几个值，就有几条切
线)
注意：在做此类题目时要分清题目提供的点在曲线上还是在曲线外．
【题型目录】
题型一：导数与切线斜率的关系
题型二：在点P处切线 (此类题目点P即为切点)
题型三：过点P的切线 (此类题目点P不一定为切点，需要设切点为 x0,y0 )
题型四：已知切线求参数问题
题型五：切线的条数问题 (判断切线条数以及由切线条数求范围)
题型六：公切线问题
题型七：切线平行、垂直、重合问题
题型八：与切线相关的最值问题
【典例例题】
题型一：导数与切线斜率的关系
【例1】(2022·全国·高三专题练习 (文))函数 y= f(x)的图像如图所示，下列不等关系正确的是 ( )
A. 0< f (2)< f (3)< f(3) - f(2)
B. 0< f (2)< f(3) - f(2)< f (3)
C. 0< f (3)< f(3) - f(2)< f (2)
D. 0< f(3) - f(2)< f (2)< f (3)
【答案】C
【解析】根据导数的几何意义和函数平均变化率的定义，结合图象，即可求解.
【详解】
如图所示，根据导数的几何意义，可得 f 2 表示切线 l1斜率 k1> 0，
f 3 表示切线 l3斜率 k3> 0，
f(3) - f(2)
又由平均变化率的定义，可得 3- 2 = f(3) - f(2)，表示割线 l2
的斜率 k2，
结合图象，可得 0< k3< k2< k1，即 0< f 3 < f 3 - f 2 < f 2 .
故选：C .
【例2】函数 y= f x 的图象如图所示，f′ x 是函数 f x 的导函数，则下列大小关系正确的是 ( )
A. 2f′ 4 < f 4 - f 2 < 2f′ 2
B. 2f′ 2 < f 4 - f 2 < 2f′ 4
C. 2f′ 4 < 2f′ 2 < f 4 - f 2
D. f 4 - f 2 < 2f′ 4 < 2f′ 2
【答案】B
【解析】由导数的几何意义判断
【详解】
由图象可知 f(x)在 (0,+∞)上单调递增，k1< kAB< k2，
′ ( )< f(4) - f(2)故 f 2 4- 2 < f′ (4)，即 2f′ 2 < f 4 - f 2 < 2f′ 4
故选：B
【题型专练】
1. (2021·福建·泉州鲤城北大培文学校高三期中) (多选题)已知函数 f x 的图象如图所示，f x 是 f x 的导
函数，则下列数值的排序正确的是 ( )
A. f 3 < f 2
B. f 3 < f 3 - f 2
C. f 2 < f 3 - f 2
D. f 3 - f 2 < 0
【答案】AB
【解析】根据导数的几何意义可得 f 2 > f 3 ，记A 2，f 2 ，B 3，f 3 ，作直线AB，根据两点坐标求出
直线AB的斜率，结合图形即可得出 f 3 - f 2 > f 3 .
【详解】
由函数的图象可知函数 f x 是单调递增的，所以函数图象上任意
一点处的导函数值都大于零，并且由图象可知，函数图象在 x= 2
处的切线斜率 k1大于在 x= 3处的切线斜率 k2，所以 f 2 >
f 3 ；
记A 2，f 2 ，B 3，f 3 ，作直线AB，则直线AB的斜率 k=
f 3 - f 2
3- 2 = f 3 - f 2 ，由函数图象，可知 k1> k> k2> 0，
即 f 2 > f 3 - f 2 > f 3 > 0.
故选：AB
2. (2022·黑龙江齐齐哈尔·高二期末)函数 y= f x 的图象如图所示，f x 是函数 f x 的导函数，则下列数
值排序正确的是 ( )
A. 2f 3 < f 5 - f 3 < 2f 5
B. 2f 3 < 2f 5 < f 5 - f 3
C. f 5 - f 3 < 2f 3 < 2f 5
D. 2f 3 < 2f 5 < f 5 - f 3
【答案】A
【分析】由 y= f x 图象的变化趋势，结合导函数的定义有 f (3)<
f(5) - f(3)
5- 3 < f (5)，即可得答案.
( )< f(5) - f(3)【详解】由图知：f 3 5- 3 < f (5)，即 2f
(3)< f(5) - f(3)< 2f (5).
故选：A
题型二：在点P处切线 (此类题目点P即为切点)
【例1】【2019年新课标 3卷理科】已知曲线 y= aex+ xlnx在点 1,ae 处的切线方程为 y= 2x+ b，则
A. a= e,b=-1 B. a= e,b= 1 C. a= e-1,b= 1 D. a= e-1,b=-1
【答案】D
【解析】通过求导数，确定得到切线斜率的表达式，求得 a，将点的坐标代入直线方程，求得 b．
【详解】
详解：y = aex+ lnx+ 1,
k= y |x=1= ae+ 1= 2，∴ a= e-1
将 (1,1)代入 y= 2x+ b得 2+ b= 1,b=-1，故选D．
【点睛】本题关键得到含有 a，b的等式，利用导数几何意义和点在曲线上得到方程关系．
【例2】(2022·全国·高三专题练习 (文))已知函数 f(x)是定义在R上的奇函数，且 f(x) =-2x3+ 3ax2- f (1)x，
则函数 f(x)的图象在点 (-2,f(-2))处的切线的斜率为 ( )
A. - 21 B. - 27 C. - 24 D. - 25
【答案】A
【解析】求导数得出 f (1)，结合奇函数定义得函数解析式，然后计算 f (-2)即可．
【详解】
f(x)是奇函数，
f(-x) = 2x3+ 3ax2+ f (1)x=-f(x) = 2x3- 3ax2+ f (1)x恒成立，所以 a= 0，
f(x) =-2x3- f (1)x，f (x) =-6x2- f (1)，
所以 f (1) =-6- f (1)，f (1) =-3，即 f (x) =-6x2+ 3，
f (-2) =-6× (-2)2+ 3=-21．
故选：A．
【例3】(2022·河南省浚县第一中学模拟预测 (理))曲线 y= xln(2x+ 5)在 x=-2处的切线方程为 ( )
A. 4x- y+ 8= 0 B. 4x+ y+ 8= 0 C. 3x- y+ 6= 0 D. 3x+ y+ 6= 0
【答案】B
【解析】将 x=-2代入曲线方程求得切点坐标，利用导数的几何意义求解切线斜率，利用直线方程点斜式
求解即可.
【详解】
解：因为 y= xln(2x+ 5)，所以 y = xln 2x 2x+ 5 = ln 2x+ 5 + 2x+ 5，所以 y
x=- =-4．2
又当 x=-2时，y= xln1= 0，故切点坐标为 (-2,0)，所以切线方程为 4x+ y+ 8= 0．
故选：B.
1
【例4】过函数 f(x) = 2 e
2x- x图像上一个动点作函数的切线，则切线领斜角范围为 ( )
A. 0,
3π
4 B. 0,
π
2 ∪
3π
4 ,π C.
3π π 3π
4 ,π D. 2 , 4
【答案】B
【解析】求得 f (x) = e2x- 1，根据指数函数的性质，得到 e2x- 1>-1，即切线的斜率 k>-1，进而得到 tanθ
>-1，即可求解.
【详解】
由题意，函数 f(x) = 12 e
2x- x，可得 f (x) = e2x- 1，
因为 e2x> 0，所以 e2x- 1>-1，即切线的斜率 k>-1，
设切线的倾斜角为 θ，则 tanθ>-1
又因为 0≤ θ< π，所以 0≤ θ< π2 或
3π
4 < θ< π，
即切线的倾斜角的范围为 0,
π 3π
2 ∪ 4 ,π .
故选：B.
2x+ a
【例5】(2022·安徽·巢湖市第一中学模拟预测 (文))曲线 y= x+ 2 在点 1,b 处的切线方程为 kx- y+ 6= 0，
则 k的值为 ( )
A. - 1 B. - 23 C.
1
2 D. 1
【答案】A
【解析】依据题意列出关于 a、b、k的方程组，即可求得 k的值
【详解】
由切点 1,b 在曲线上，得 b= 2+ a3 ①；
由切点 1,b 在切线上，得 k- b+ 6= 0②；
对曲线求导得 y = 4- a ，∴ y = 4- a+ 2 = 2 = k，即 4- a= 9k③， x 2 x 1 3
2+ a b= 3 a= 13联立①②③
k- b+ 6= 0
，解之得
- =
b= 5
4 a 9k k=-1
故选：A.
f 2
x2 x, x> 0
【例6】(2022·江西·丰城九中高二期末 (理))已知函数 f x = 3 图像关于原点对称，则 f(x)g x , x< 0
在 x=-1处的切线方程为 ( )
A. 3x- y+ 2= 0 B. 3x- y- 2= 0 C. 3x+ y+ 4= 0 D. 3x+ y- 4= 0
【答案】A
【分析】令 x= 2先求出 f(2)的值，再利用函数关于原点对称可求出 g(x),再利用导函数的几何意义即可求
出 f(x)在 x=-1处的切线方程.
( ) = f(2)【详解】由题意知：f 2 23 × 2 - 2 f(2) = 6.
2x2 - x, x> 0所以 f(x) = ;g(x), x< 0
令 x< 0，则-x> 0.
所以 f(-x) = 2x2+ x.
又函数 f(x)图像关于原点对称，即 f(-x) =-f(x).
所以当 x< 0时，f(x) =-2x2- x.
所以当 x< 0时，f (x) =-4x- 1.
f (-1) = 4- 1= 3,f(-1) =-2+ 1=-1;
所以 f(x)在 x=-1处的切线方程为：y+ 1= 3(x+ 1) 3x- y+ 2= 0.
故选：A.
【题型专练】
1.【2018年新课标 1卷理科】设函数 f x = x3+ a- 1 x2+ ax．若 f x 为奇函数，则曲线 y= f x 在点
0，0 处的切线方程为 (　　)
A. y=-2x B. y=-x C. y= 2x D. y= x
【答案】D
【解析】
分析：利用奇函数偶次项系数为零求得 a= 1，进而得到 f(x)的解析式，再对 f(x)求导得出切线的斜率 k，
进而求得切线方程.
详解：因为函数 f(x)是奇函数，所以 a- 1= 0，解得 a= 1，
所以 f(x) = x3+ x，f '(x) = 3x2+ 1，
所以 f '(0) = 1,f(0) = 0，
所以曲线 y= f(x)在点 (0,0)处的切线方程为 y- f(0) = f '(0)x，
化简可得 y= x，故选D.
点睛：该题考查的是有关曲线 y= f(x)在某个点 (x0,f(x0))处的切线方程的问题，在求解的过程中，首先需
要确定函数解析式，此时利用到结论多项式函数中，奇函数不存在偶次项，偶函数不存在奇次项，从而求得
相应的参数值，之后利用求导公式求得 f '(x)，借助于导数的几何意义，结合直线方程的点斜式求得结果.
2. 2x- 1【2021年甲卷理科】曲线 y= x+ 2 在点 -1,-3 处的切线方程为__________．
【答案】5x- y+ 2= 0
【解析】先验证点在曲线上，再求导，代入切线方程公式即可．
【详解】
由题，当 x=-1时，y=-3，故点在曲线上．
= 2 x+ 2 - 2x- 1求导得： y 5+ 2 = + 2 ，所以 y
|
x 2 x 2 x=-1
= 5．

故切线方程为 5x- y+ 2= 0．
故答案为：5x- y+ 2= 0．
3.【2019年新课标 1卷理科】曲线 y= 3(x2+ x)ex在点 (0,0)处的切线方程为___________．
【答案】3x- y= 0.
【解析】本题根据导数的几何意义，通过求导数，确定得到切线的斜率，利用直线方程的点斜式求得切线方
程
【详解】
详解：y/= 3(2x+ 1)ex+ 3(x2+ x)ex= 3(x2+ 3x+ 1)ex,
所以，k= y/|x=0= 3
所以，曲线 y= 3(x2+ x)ex在点 (0,0)处的切线方程为 y= 3x，即 3x- y= 0．
【点睛】准确求导数是进一步计算的基础，本题易因为导数的运算法则掌握不熟，二导致计算错误．求导要
“慢”，计算要准，是解答此类问题的基本要求．
4.【2018年新课标 2卷理科】曲线 y= 2ln(x+ 1)在点 (0,0)处的切线方程为__________．
【答案】y= 2x
【解析】先求导数，再根据导数几何意义得切线斜率，最后根据点斜式求切线方程.
【详解】
∵ y = 2x+ 1 ∴ k=
2
0+ 1 = 2∴ y= 2x
【点睛】求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异，过点P的切线中，点P不一定
是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点.
5.【2018年新课标 3卷理科】曲线 y= ax+ 1 ex在点 0，1 处的切线的斜率为-2，则 a=________．
【答案】-3
【解析】求导，利用导数的几何意义计算即可．
【详解】
解：y = aex+ ax+ 1 ex
则 f 0 = a+ 1=-2
所以 a=-3
故答案为-3.
【点睛】本题主要考查导数的计算和导数的几何意义，属于基础题
题型三：过点P的切线 (此类题目点P不一定为切点，需要设切点为 x0,y0 )
【例1】【2022年新高考 2卷】曲线 y= ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为____________，_____
_______．
【答案】 y= 1e x y=-
1
e x
【解析】分 x> 0和 x< 0两种情况，当 x> 0时设切点为 x0,lnx0 ，求出函数的导函数，即可求出切线的斜
率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出 x0，即可求出切线方程，当 x< 0时同理可得；
【详解】
解： 因为 y= ln x ，
当 x> 0时 y= lnx，设切点为 1 x ,lnx ，由 y = ，所以 y 0 0 x |
1
x=x = x ，所以切线方程为 y- lnx =0 00
1
x x- x0 ，0
又切线过坐标原点，所以-lnx0= 1x -x0 ，解得 x0= e，所以切线方程为 y- 1=
1
e x- e ，即 y=
1
0 e
x；
当 x< 0时 y= ln -x ，设切点为 1 x1,ln -x1 ，由 y = x，所以 y
|x=x = 1 ，所以切线方程为 y- ln -x1 x 1 1
= 1x x- x1 ，1
又切线过坐标原点，所以-ln -x 11 = x -x1 ，解得 x1=-e，所以切线方程为 y- 1=
1
1 -e
x+ e ，即 y=
- 1e x；
故答案为：y= 1 x；y=- 1e e x
【例2】(2022·四川·广安二中二模 (文))函数 f x = x2ex过点 0,0 的切线方程为 ( )
A. y= 0 B. ex+ y= 0 C. y= 0或 x+ ey= 0 D. y= 0或 ex+ y= 0
【答案】C
【解析】设切点 (m,m2em)，利用导数的几何意义求该切点上的切线方程，再由切线过 0,0 代入求参数m，
即可得切线方程.
【详解】
由题设 f (x) = (2x+ x2)ex，若切点为 (m,m2em)，则 f (m) = (2m+m2)em，
所以切线方程为 y-m2em= (2m+m2)em(x-m)，又切线过 0,0 ，
则m2em= (2+m)m2em，可得m= 0或m=-1，
当m= 0时，切线为 y= 0；当m=-1时，切线为 ey- 1=- (x+ 1)，整理得 x+ ey= 0.
故选：C
【例3】(2022· 1四川省成都市郫都区第一中学高三阶段练习 (文))若过点 2 ,0 的直线与函数 f(x) = xe
x的图
象相切，则所有可能的切点横坐标之和为 ( )
A. e+ 1 B. - 12 C. 1 D.
1
2
【答案】D
【解析】由已知，设出切点，写出切线方程，然后把点 12 ,0 代入方程，解出切点坐标即可完成求解.
【详解】
因为函数 f(x) = xex，所以 f x = (x+ 1)ex，
设切点为 (x ,x ex00 0 )，则切线方程为：y- x ex00 = (x0+ 1)ex0(x- x0)，
将点 1 x02 ,0 代入得-x0e = (x + 1)e
x0 10 2 - x0 ，
即-x0= (x 10+ 1) 2 - x0 ，解得 x0=-
1
2 或 x0= 1，
所以切点横坐标之和为- 12 + 1=
1
2
故选：D.
【例4】(2022·广东· 1 1佛山市南海区九江中学高二阶段练习)直线 y= 2 x- b与曲线 y=- 2 x+ lnx相切，则 b
的值为 ( )
A. 2 B. - 2 C. - 1 D. 1
【答案】D
【分析】求出 y =- 1 12 + x，设切点 x0,y0 ，由 y
x0 = 12 求出 x0,y
1
0 ，代入 y= 2 x- b可得答案.
【详解】y =- 12 +
1
x，设切点 x0,y0 ，由 y
x 1 0 =- 2 +
1
x =
1
0 2
，
所以 x0= 1,y =- 10 2，代入 y=
1
2 x- b，得 b= 1．
故选：D.
【题型专练】
1. (2022·陕西安康·高三期末 (文))曲线 y= 2xlnx+ 3 - 1过点 2 ,0 的切线方程是 ( )
A. 2x+ y+ 1= 0 B. 2x- y+ 1= 0 C. 2x+ 4y+ 1= 0 D. 2x- 4y+ 1= 0
【答案】B
【解析】设出切点，结合导数列方程，由此求出切点坐标并求出切线的斜率，进而可得切线方程.
【详解】
由题意可得点 - 12 ,0 不在曲线 y= 2xlnx+ 3上，
设切点为 x ,y ，因为 y 0 0 = 2lnx+ 2，
y 2y
所以所求切线的斜率 k= 2lnx0+ 2= 0 1 =
0
x + 2x0+ 1
，
0 2
所以 y0= 2x0lnx0+ 2x0+ lnx0+ 1.
因为点 x0,y0 是切点，所以 y0= 2x0lnx0+ 3，
所以 2x0lnx0+ 2x0+ lnx0+ 1= 2x0lnx0+ 3，即 2x0+ lnx0- 2= 0.
设 f x = 2x+ lnx- 2，明显 f x 在 0,+∞ 上单调递增，且 f 1 = 0，
所以 2x0+ lnx0- 2= 0有唯一解 x0= 1，则所求切线的斜率 k= 2，
故所求切线方程为 y= 2 x+ 12 = 2x+ 1.
故选：B.
2. (2022·广东茂名·二模)过坐标原点作曲线 y= lnx的切线，则切点的纵坐标为 ( )
A. e B. 1 C. 1 D. 1
e e
【答案】B
【解析】设出切点P x0,lnx0 x0> 0 ，利用导数得到切线的斜率，写出切线方程，将原点坐标代入切线方
程，解出即可.
【详解】
解：设切点P x0,lnx0 x0> 0 ，
由 y= lnx，得 y = 1x，所以 y
= 1 ，x=x0 x0
∴曲线在点P处的切线 l方程为 y- lnx 10= x x- x0 ，0
又 l过 (0，0)，∴-lnx 10= x -x0 ，解得 x0= e，0
∴切点P e,1 ，纵坐标为 1．
故选：B．
3.过点 (0，-1)作曲线 f(x) = xlnx的切线，则切线方程为 ( )
A. x+ y+ 1= 0 B. x- y- 1= 0 C. x+ 2y+ 2= 0 D. 2x- y- 1= 0
【答案】B
【解析】设切点为 (x0,y0)，再求出切点坐标，即得切线的斜率，再写出切线的方程即得解.
【详解】
f (x) = ln x+ 1，
设切点为 (x0,y0)，∴ y0= x0lnx0,
∴ y0+ 1x = ln x0+ 1，0
∴ x0ln x0+ 1= x0ln x0+ x0，∴ x0= 1，∴ y0= 0，
所以 k= f (x0) = 1，
∴切线方程为 y= x- 1，即 x- y- 1= 0，
故选：B.
【点睛】本题主要考查导数的几何意义，考查曲线的切线方程的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握
水平.
4.已知 f(x) = x2，则过点P(-1，0)且与曲线 y= f(x)相切的直线方程为 ( )
A. y= 0 B. 4x+ y+ 4= 0
C. y= 0或 4x+ y+ 4= 0 D. y= 0或 4x- y+ 4= 0
【答案】C
【解析】设切点为 x0,y0 则切线方程为 y- x20= 2x0 x- x0 ，将点P -1,0 代入解 x0，即可求切线方程.
【详解】
设切点为 x0,y0 ，则 y0= x2 0，切线斜率为 k= f x0 = 2x0
所以切线方程为 y- x20= 2x0 x- x0 ，因为过点P -1,0 则-x20= 2x0 -1- x0
解得 x0= 0或 x0=-2，所以切线方程为 y= 0或 4x+ y+ 4= 0
故选：C
题型四：已知切线求参数问题
【例1】(2022·湖南·模拟预测)已知P是曲线C :y= lnx+ x2+ 3- a x上的一动点，曲线C在P点处的切线
π π
的倾斜角为 θ，若 3 ≤ θ< 2 ，则实数 a的取值范围是 ( )
A. 2 3,0 B. 2 2,0 C. -∞,2 3 D. -∞,2 2
【答案】D
【解析】对函数求导，利用导数的几何意义以及给定倾斜角的范围，转化为恒成立问题求解 a的范围即可.
【详解】
因为 y= lnx+ x2+ 1 3- a x，所以 y = x + 2x+ 3- a，
因为曲线在M处的切线的倾斜角 θ∈ π , π 3 2 ，
所以 y ≥ tan π3 = 3对于任意的 x> 0恒成立，
即 1x + 2x+ 3- a≥ 3对任意 x> 0恒成立，
即 a≤ 2x+ 1 1 1x，又 2x+ x ≥ 2 2，当且仅当 2x= x，
即 x= 22 时，等号成立，故 a≤ 2 2，
所以 a的取值范围是 -∞,2 2 ．
故选：D．
【例2】(2022·广东·石门高级中学高二阶段练习)若直线 y= kx+ 1- ln2是曲线 y= lnx+ 2的切线，则 k=__
______．
【答案】2
【分析】设切点P1 x1,y1 ，根据导数的几何意义列式求解即可.
【详解】对函数 y= lnx+ 2求导得 y = 1x，设直线 y= kx+ 1- ln2与曲线 y= lnx+ 2相切于点P1 x1,y1 ，
则 y1= lnx1+ 2，由点P1 x1,y1 在切线上得 y- lnx + 2 1 11 = x x- x1 ，即 y=1 x
x+ lnx1+ 1，所以
1
1 = k
x1 ，解得 x1=
1
2，k= 2．1+ lnx1= 1- ln2
故答案为：2
【例3】(2022·陕西·千阳县中学高三阶段练习 (文))已知曲线 y= aex+ xlnx在点 1,ae 处的切线方程为 y=
2x+ b，则 b=_____
【答案】-1
【分析】先对函数求导，根据导数的几何意义，由题中条件，列出方程，求解，即可得出 a= e-1，再由切点坐
标，即可求出结果.
【详解】因为 y= aex+ xlnx的导数为 y = aex+ lnx+ 1，
又函数 y= aex+ xlnx在点 1,ae 处的切线方程为 y= 2x+ b，
可得 ae+ 0+ 1= 2，解得 a= e-1，
又切点为 1,1 ，可得 1= 2+ b，即 b=-1.
故答案为：-1.
【例4】(2022·江苏苏州·模拟预测)已知奇函数 f x = x2- 2x ax+ b a≠ 0 在点 a,f a 处的切线方程为
y= f a ，则 b= ( )
A. - 1 2 3 2 3或 1 B. - 3 或 3 C. - 2或 2 D. -
4 3 4 3
3 或 3
【答案】D
【解析】由函数为奇函数可得 b= 2a，根据切线的斜率为 0建立方程求出 a即可得解.
【详解】
由 f x = x2- 2x ax+ b a≠ 0 可得 f(x) = ax3+ (b- 2a)x2- 2bx，
因为 f -x =-f x ，所以 b- 2a= 0，解得 b= 2a.
所以 y= f a = a4- 4a2，故切线斜率 k= f (a) = 0，
又 f (x) = a(3x2- 4)，所以 f (a) = a(3a2- 4) = 0，解得 a= 2 33 或 a=-
2 3
3 ，
所以 b=- 4 3 4 33 或 3 .
故选：D
【题型专练】
1. (2022·云南·丽江市教育科学研究所高二期末)已知曲线 f(x) = (x+ a)ex在点 (-1,f(-1))处的切线与直线
2x+ y- 1= 0垂直，则实数 a的值为_________．
【答案】e2
【分析】由已知可得切线斜率，根据导数的几何意义列方程求解即可．
【详解】因为 f (x) = (x+ a+ 1)ex，所以切线的斜率为 k= f ' -1 = ae-1，
而切线与直线 2x+ y- 1= 0垂直，所以 ae-1 (-2) =-1，解得 a= e2，
故答案为：e2．
2. (2022·云南昆明·模拟预测 (文))若函数 f x = a x + lnx的图象在 x= 4处的切线方程为 y= x+ b，则
( )
A. a= 3，b= 2+ ln4 B. a= 3，b=-2+ ln4
C. a= 32 ，b=-1+ ln4 D. a=
3
2 ，b= 1+ ln4
【答案】A
【解析】利用导数的几何意义可求出结果.
【详解】
f(x)的定义域为 (0,+∞)，
f (x) = a + 1
2 x x
，
由题意可得 f
(4) = 1 a + 1 = 1 ，即 2 4 4
a= 3
f(4) = + ，解得 ，4 b a 4+ ln4= 4+ b b= 2+ ln4
故选：A
3. (2022·河南·方城第一高级中学模拟预测 (理))已知直线 l的斜率为 2，l与曲线C1：y= x 1+ lnx 和圆C2：
x2+ y2- 6x+n= 0均相切，则n= ( )
A. - 4 B. - 1 C. 1 D. 4
【答案】D
【解析】设曲线C1的切点，利用曲线的几何意义可得切点坐标，进而求得切线方程，再利用圆心到直线的距
离等于半径即可求得n值.
【详解】
设直线 l：2x- y+m= 0与曲线C1相切，切点为 x0,x0 1+ lnx0 ，因为 y= x 1+ lnx 的导数为 y = 2+
lnx，由 2+ lnx0= 2，解得 x0= 1，所以切点为 1,1 ，代入 2x- y+m= 0得m=-1，所以切线方程为 2x-
y- 1= 0.将 x2+ y2- 6x+n= 0化为标准方程为 x- 3 2+ y2= 9-n n< 9 ，因为 l与圆C2相切，所以
5 = 9-n，解得n= 4.
22+ 1
故选：D
题型五：切线的条数问题 (判断切线条数以及由切线条数求范围)
【例1】(2022·河南洛阳·三模 (文))若过点P 1,0 作曲线 y= x3的切线，则这样的切线共有 ( )
A. 0条 B. 1条 C. 2条 D. 3条
【答案】C
【解析】设切点为 x 30,x0 ，求出函数的导函数，即可求出切线方程，再根据点P在切线上，即可代入切线方
程，解得 x0，即可得解；
【详解】
解：设切点为 x ,x3 ，由 y= x3，所以 y 0 0 = 3x2，所以 y |x=x = 3x20，0
所以切线方程为 y- x3 2 2 30= 3x0 x- x0 ，即 y= 3x0x- 2x0，因为切线过点P 1,0 ，
所以 0= 3x20- 2x30，
解得 x0= 0或 x0= 32，
所以过点P 1,0 作曲线 y= x3的切线可以作 2条，
故选：C
【例2】(2022·全国·高三专题练习)若过点 (a,b)可以作曲线 y= lnx的两条切线，则 ( )
A. a< lnb B. b< lna C. lnb< a D. lna< b
【答案】D
【解析】设切点坐标为 (x0,y0)，由切点坐标求出切线方程，代入坐标 (a,b)，关于 x0的方程有两个不同的实数
解，变形后转化为直线与函数图象有两个交点，构造新函数由导数确定函数的图象后可得.
【详解】
设切点坐标为 (x0,y0)，由于 y = 1x，因此切线方程为 y- lnx =
1
0 x (x0
- x0)，又切线过点 (a,b)，则 b- lnx0=
a- x0
x ，b+ 1= lnx0+
a
x ，0 0
设 f(x) = lnx+ ax，函数定义域是 (0,+∞)，则直线 y= b+ 1与曲线 f
(x) = lnx+ a 有两个不同的交点，f x (x) =
1
x -
a
2 =
x- a
2 ，x x
当 a≤ 0时，f (x)> 0恒成立，f(x)在定义域内单调递增，不合题意；
当 a> 0时，0< x< a时，f (x)< 0，f(x)单调递减，
x> a时，f (x)> 0，f(x)单调递增，所以 f(x)min= f(a) = lna+ 1，结
合图像知 b+ 1> lna+ 1，即 b> lna.
故选：D.
【例3】【2021年新高考 1卷】若过点 a,b 可以作曲线 y= ex的两条切线，则 ( )
A. eb< a B. ea< b
C. 0< a< eb D. 0< b< ea
【答案】D
【解析】
解法一：根据导数几何意义求得切线方程，再构造函数，利用导数研究函数图
象，结合图形确定结果；
解法二：画出曲线 y= ex的图象，根据直观即可判定点 a,b 在曲线下方和 x
轴上方时才可以作出两条切线.
【详解】
在曲线 y= ex上任取一点P t,et ，对函数 y= ex求导得 y = ex，
所以，曲线 y= ex在点P处的切线方程为 y- et= et x- t ，即 y= etx+
1- t et，
由题意可知，点 a,b 在直线 y= etx+ 1- t et上，可得 b= aet+ 1- t et=
a+ 1- t et，
令 f t = a+ 1- t et，则 f t = a- t et.
当 t< a时，f t > 0，此时函数 f t 单调递增，
当 t> a时，f t < 0，此时函数 f t 单调递减，
所以，f t max= f a = ea，
由题意可知，直线 y= b与曲线 y= f t 的图象有两个交点，则 b< f t max=
ea，
当 t< a+ 1时，f t > 0，当 t> a+ 1时，f t < 0，作出函数 f t 的图象如下
图所示：
由图可知，当 0< b< ea时，直线 y= b与曲线 y= f t 的图象有两个交点.
故选：D.
解法二：画出函数曲线 y= ex的图象如图所示，根据直观即可判定点 a,b 在
曲线下方和 x轴上方时才可以作出两条切线.由此可知 0< b< ea.
故选：D.
【点睛】解法一是严格的证明求解方法，其中的极限处理在中学知识范围内需要用到指数函数的增长特性
进行估计，解法二是根据基于对指数函数的图象的清晰的理解与认识的基础上，直观解决问题的有效方法.
【例4】(2022·河南洛阳·三模 (理))若过点P 1,t 可作出曲线 y= x3的三条切线，则实数 t的取值范围是 ( )
A. -∞,1 B. 0,+∞ C. 0,1 D. 0,1
【答案】C
【解析】由已知，设出切点，然后写出切线方程，把点P带入切线方程中，然后对式子进行整理，分别设出两
个函数，y= t与 g(x) = 3x2- 2x3，借助导数研究函数 g(x)的单调性和极值，然后作图，看两个函数图象的
交点情况即可完成求解.
【详解】
由已知，曲线 y= x3，即令 f(x) = x3，则 f x = 3x2，
设切点为 (x ,x30 0)，切线方程的斜率为 f x0 = 3x20，
所以切线方程为：y- x30= 3x20(x- x0)，将点P 1,t 代入方程
得：t- x30= 3x20(1- x0)，整理得 t= 3x20- 2x30，
设函数 g(x) = 3x2- 2x3，过点P 1,t 可作出曲线 y= x3的三条
切线，
可知两个函数图像 y= t与 g(x) = 3x2- 2x3有三个不同的交点，
又因为 g x = 6x- 6x2，由 g x = 0，可得 x= 0或 x= 1，
所以函数 g(x)在 (-∞,0)，(1,+∞)上单调递减，在 (0,1)上单调
递增，
所以函数 g(x)的极大值为 g(1) = 3- 2= 1，函数 g(x)的极小值为 g(0) = 0- 0= 0，
如图所示，
当 t∈ 0,1 时，两个函数图像有三个不同的交点.
故选：C .
x
【例5】(2022·河北·高三阶段练习)若过点P(1,m)可以作三条直线与曲线C :y= x 相切，则m的取值范围为e
( )
A. -∞, 32 B. 0, 1e C. (-∞,0) D.
1
e ,
3
e e2
【答案】D
【解析】本题为过点P的切线，切点为 xx , 00 ，可得切线方程 x 1- xy- 0 = 0 x- x ，ex ex ex 00 0 0
2 2
代入点P坐标整理为m= x0- x0+ 1x ，即 y=m与 f(x) =
x - x+ 1
x 有三个交点．e 0 e
【详解】
由 y= x ，则 y = 1- x，设切点为 , x0 ，则切线斜率 = 1- xx k 0ex ex 0 ex0 ex0
则在点 , x0 的切线方程为 - x0 = 1- xx 00 x y x x x- x0 ，e 0 e 0 e 0
代入点P坐标得 - x0 1- xm 0x = x 1- xe e 0 0 0
x2整理为 = 0- x0+ 1m x ，即这个方程有三个不等式实根，e 0
x2令 f(x) = - x+ 1，则 f (x) = -x
2+ 3x- 2
x x ，e e
令 f (x)> 0则 1< x< 2
函数 f(x)在 (-∞,1)上单调递减，在 (1,2)上单调递增，在 (2,+∞)上单调递减，
故得 f(1)故选：D．
【例6】(2022·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高二期末)过直线 y= x- 1上一点P可以作曲线 f x = x- lnx的
两条切线，则点P横坐标 t的取值范围为 ( )
A. 0< t< 1 B. 1< t< e C. 0< t< e D. 1e < t< 1
【答案】C
【分析】根据导数的几何意义得出切线方程，再将方程 t= 2x0- x0lnx0的根的个数问题转化为函数 y= t与
函数 g(x) = 2x- xlnx的图象的交点个数问题，结合图象，即可得出答案.
【详解】解：由题意得P(t,t- 1)，设切点为A x0,y0 ，x0> 0，
∵ f ( ) = x - 1x 1- 1x，f
x
1
0 = 1- = 0x0 x
，
0
则过点P的切线方程为 y- x0+
x - 1
lnx = 00 x x- x0 ，整理得
x
y= 0- 1x x- lnx0+ 1，0 0
由点P在切线上，则 t- 1= x0- 1x t- lnx0+ 1，即 t= 2x0- x0lnx0，0
因为过直线 y= x- 1上一点P可以作曲线 f(x) = x- lnx两条切线，
所以关于 x0的方程 t= 2x0- x0lnx0有两个不等的实数根，
即函数 y= t与函数 g(x) = 2x- xlnx的图象有两个交点，
g (x) = 2- lnx- 1= 1- lnx，
g x > 0 0< x< e,g x 0 x e，
则函数 g(x)在 0，e 上单调递增，在 e,+∞ 上单调递减，且 g(e) = e，
x→ 0时，g(x) → 0；x→+∞时，g(x) →-∞，
则函数 y= t与函数 g x =-xlnx+ 2x的图象如下图所示：
由图可知，0< t< e，
【题型专练】
1. (2022·内蒙古呼和浩特·二模 (理))若过点P -1,m 可以作三条直线与曲线C：y= xex相切，则m的取值
范围是 ( )
A. - 32 ,+∞ B. - 1e e ,0 C. -
1 ,- 1e e2 D. -
3 ,- 1
e2 e
【答案】D
【解析】求出导函数,利用导数的几何意义列出方程，即可求解.
【详解】
设切点为 x0,y0 ,过点P的切线方程为 y= x + 1 ex00 x- x0 + x ex00 ,代入点P坐标，化简为m=
-x20- x0- 1 ex0，即这个方程有三个不等根即可.
令 f x = -x2- x- 1 ex,求导得：f x = -x- 1 x+ 2 ex.
令 f x > 0，解得：-2< x<-1，所以 f x 在 -2,-1 上递增；令 f x < 0，解得：x<-2或 x>-1，所
以 f x 在 -∞,-2 和 -1,+∞ 上递增.
要使方程m= -x20- x0- 1 ex0有三个不等根即可.
只需 f -2 故选：D
2. (2022·广东深圳·二模)已知 a> 0，若过点 (a,b)可以作曲线 y= x3的三条切线，则 ( )
A. b< 0 B. 0< b< a3 C. b> a3 D. b b- a3 = 0
【答案】B
2
【解析】设切点为 x ,x30 0 ，切线方程为 y= k x- + k= 3xa b，求出函数的导函数，即可得到 0 ，k x0- a + b= x30
整理得 2x3 20- 3ax0+ b= 0，令 g x = 2x3- 3ax2+ b，利用导数说明函数的单调性，即可求出函数的极值，依
题意 g x 有三个零点，即可得到不等式组，从而得解；
【详解】
解：设切点为 x0,x30 ，切线方程为 y= k x- a + b，由 y= x3，所以 y = 3x2，所以 y | 2x=x = 3x0，0
k= 3x
2
则 0 ，所以 2x3- + = 3 0- 3ax
2
k x a b x 0
+ b= 0，
0 0
令 g x = 2x3- 3ax2+ b，则 g x = 6x2- 6ax= 6x x- a ，
因为 a> 0，所以当 x< 0或 x> a时 g x > 0，当 0< x< a时 g x < 0，
所以 g x 在 -∞,0 和 a,+∞ 上单调递增，在 0,a 上单调递减，
所以当 x= 0时 g x 取得极大值，当 x= a时 g x 取得极小值，即 g x 极大值= g 0 = b，g x 极小值= g a =
b- a3，
依题意 g x = 2x3- 3ax2+ b有三个零点，所以 g x 极大值= g 0 = b> 0且 g x 3极小值= g a = b- a < 0，即
0< b< a3；
故选：B
3. (2022·安徽·安庆市第二中学高二期末)若过点 a,b a> 0 可以作曲线 y= xex的三条切线，则 ( )
A. 0< a< beb B. - aea< b< 0 C. 0< ae2< b+ 4 D. - a+ 4 < be2< 0
【答案】D
【分析】设切点为 x ,x ex0 ，利用导数的几何意义及条件可得关于 x 的方程 x2 x00 0 0 0- ax0- a e =-b有三个
不同的解，构造函数 f x = x2- ax- a ex，利用导数研究函数的性质利用数形结合即得.
【详解】由题可得 y = x+ 1 ex，
x ex0设切点 , x ，则 + x = 0 - b x x e 0 x 1 e 0 ，整理得 x2 x00 0 0 x - a 0- ax0- a e =-b，0
由题意知关于 x 2 x00的方程 x0- ax0- a e =-b有三个不同的解，
设 f x = x2- ax- a ex，f x = x+ 2 x- a ex，
由 f x = 0，得 x=-2或 x= a，又 a> 0，
所以当 x<-2时，f x > 0，f x 单调递增，当-2< x< a时，f x < 0，f x 单调递减，当 x> a时
f x > 0，f x 单调递增，
当 x→-∞时 f x → 0，
当 x→+∞时，f x →+∞，且 f -2 = 4+ a 2 ，f a =e
-aea< 0，
函数 f x 的大致图像如图所示，
因为 f x 的图像与直线 y=-b有三个交点，
所以 0<-b< 4+ a，即- a+ 4 < be2< 0.
e2
故选：D.
【点睛】利用导数研究零点问题：
(1)确定零点的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可用导数知识确定极
值点和单调区间从而确定其大致图像；
(2)方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理.可以通过
构造函数的方法，把问题转化为研究构造的函数的零点问题；
(3)利用导数研究函数零点或方程根，通常有三种思路：①利用最值或极值研究；②利用数形结合思想研
究；③构造辅助函数研究.
4. (2022·山东枣庄·高二期末)已知函数 f x = x+ 1 ex，过点M (1，t)可作 3条与曲线 y= f x 相切的直线，
则实数 t的取值范围是 ( )
A. - 42 ,0 B. - 4 2 6 6e e2 , e C. - 3 ,2e D. - 3 ,0e e
【答案】D
【分析】设切点为 (a,(a+ 1)ea)，利用导数的几何意义求出切线的斜率 k= f (a)，利用点斜式写出切线方程，
将点M的坐标代入切线方程，可得关于 a的方程有三个不同的解，利用参变分离可得 t= (3- a2)ea，令 g
(x) = (3- x2)ex，利用导数求出 g(x)的单调性和极值，则根据 y= g(x)与 y= t有三个不同的交点，即可求
出实数 t的取值范围
【详解】设切点为 (a,(a+ 1)ea)，
由 f x = x+ 1 ex，得 f x = ex+ x+ 1 ex= x+ 2 ex，
所以切线的斜率为 k= f a = a+ 2 ea，
所以切线方程为 y- (a+ 1)ea= (a+ 2)ea(x- a)，
因为点M (1，t)在切线上，
所以 t- (a+ 1)ea= (a+ 2)ea(1- a)，
化简整理得 t= (3- a2)ea，
令 g(x) = (3- x2)ex，则 g (x) = (3- 2x- x2)ex=- (x
- 1) (x+ 3)ex，
所以当 x<-3或 x> 1时，g (x)< 0，当-3< x< 1
时，g (x)> 0，
所以 g(x)在 (-∞,-3)和 (1,+∞)上递减，在 (-3,1)
上递增，
所以 g(x)的极小值为 g(-3) = (3- 9)e-3=- 63 ，极大e
值为 g(1) = 2e，
当 x<-3时，g(x)< 0，
所以 g(x)的图象如图所示，
因为过点M (1，t)可作 3条与曲线 y= f x 相切的直线，
所以 y= g(x)的图象与直线 y= t有三个不同的交点，
所以由图象可得- 63 < t< 0，e
故选：D
5. (2022·山东潍坊·三模)过点P 1,m m∈R 有 n条直线与函数 f x = xex的图像相切，当 n取最大值时，
m的取值范围为 ( )
A. - 52 5 【答案】B
【解析】求导分析 f x = xex的图象可得n= 3，再设切点坐标为 x0,y 2 x00 ，由题可得m= -x0+ x0+ 1 e
有三根，再构造函数 g x = -x2+ x+ 1 ex求导分析图象单调性与
最值即可
【详解】
由 f x = xex，f x = x+ 1 ex，故当 x<-1时，f x < 0，f x 单
调递减，且 f x < 0；当 x>-1时，f x > 0，f x 单调递增，结合图
象易得，过点P 1,m m∈R 至多有 3条直线与函数 f x = xex的
图像相切，故n= 3.
此时，设切点坐标为 x0,y0 ，则切线斜率 k= x0+ 1 ex0，所以切线方
程为 y- x x0 x0 2 x00e = x0+ 1 e x- x0 ，将P 1,m 代入得m= -x0+ x0+ 1 e ，存在三条切线即函数m=
-x2+ x+ 1 ex有三个不同的根，又 g x =- x- 1 x+ 2 ex，
易得在 -2,1 上，g x > 0，g x 单调递增；在 -∞,-2 和
1,+∞ 上，g x < 0，g x 单调递减，画出图象可得当 g -2 < 0，即- 52 故选：B
【点睛】本题主要考查了利用导数解决切线的问题，同时也考查了构
造函数，求导分析单调性，进而确定根的个数与参数取值范围的问
题，属于难题
题型六：公切线问题
【例1】(2023届贵州省遵义市新高考协作体）高三上学期入学质量监测数学 (理)试题)若直线 y= kx+ b是曲
线 y= ex+1的切线，也是 y= ex+ 2的切线，则 k= ( )
A. ln2 B. - ln2 C. 2 D. - 2
【答案】C
【分析】设直线 y= kx+ b与 y= ex+ 2和 y= ex+1的切点分别为 x1,ex1+ 2 ， x2,ex2+1 ，
分别求出切点处的直线方程，由已知切线方程，可得方程组，解方程可得切点的横坐标，即可得到 k的值.
【详解】设直线 y= kx+ b与 y= ex+ 2和 y= ex+1的切点分别为 x ,ex11 + 2 ， x ,ex2+12 ，
则切线方程分别为，
y- ex1+ 2 = ex1 x- x1 ，
y- ex2+1= ex2+1 x- x2 ，
化简得，
y= ex1x+ ex1+ 2- x x11e
y= ex2+1x- x ex2+1+ ex2+12
依题意上述两直线与 y= kx+ b是同一条直线，
ex1= ex2+1所以， x + - x =- x +1+ x +1，解得 x = ln2，e 1 2 x e 1 x e 2 e 2 11 2
所以 k= ex1= eln2= 2．
故选：C．
【例2】(2022·全国·高三专题练习)若函数 f x = lnx与函数 g(x) = x2+ x+ a(x< 0)有公切线，则实数 a的取
值范围是 ( )
A. ln 12e ,+∞ B. -1,+∞ C. 1,+∞ D. ln2,+∞
【答案】B
【解析】分别求出导数，设出各自曲线上的切点，得出两个切线方程，由两个切线方程可整理成 a关于一个
变量 x1的函数，利用导数求出函数的取值范围即可求解.
【详解】
设公切线与函数 f x = lnx切于点A(x1，lnx1) (x1> 0)，
f x = 1x，切线的斜率为
1
x ，1
则切线方程为 y- lnx 11= x (x- x1)，即 y=
1
x x+ lnx1- 11 1
设公切线与函数 g(x) = x2+ x+ a切于点B(x2,x22+ x2+ a) (x2< 0)，
g (x) = 2x+ 1，切线的斜率为 2x2+ 1，
则切线方程为 y- (x22+ x2+ a) = (2x2+ 1) (x- x2)，即 y= (2x2+ 1)x- x22+ a
1x = 2x2+ 1所以有 1lnx - 1=-x21 2+ a
因为 x1> 0，所以 2x2+ 1> 0，可得- 12 < x2< 0，0< 2x2+ 1< 1，即 0<
1
x < 1，1
由 1 1 1x = 2x2+ 1可得：x2=1 2x
-
1 2
，
所以 a= lnx + x2- 1= lnx + 1 - 1
2 2
1 2 1 2x 2 - 1=-ln
1
x +
1 14 x - 1 - 1，1 1 1
令 t= 1 ，则 t∈ 0,1 ，a= 1x t- 1
2- 1- lnt= 1 t2- 1 t- lnt- 3，
1 4 4 2 4
2
1 1 3 1 1 1 t2- t- 2 t-
1
2 -
9
设 h t 4 = t24 - 2 t- lnt- 4 0< t< 1 ，则 h
(t) = 2 t- 2 - t = 2t = 2t < 0，
所以 h t 在 0,1 上为减函数，
则 h t > h 1 = 1 4 -
1
2 -
3
4 =-1，所以 a>-1，
所以实数 a的取值范围是 -1,+∞ ，
故选：B．
【点睛】方法点睛：求曲线过点A a,b 的切线的方程的一般步骤是：
(1)设切点P(x0,f(x0))
(2)求出 y= f(x)在 x= x0处的导数 f x0 ，即 y= f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线斜率；
( ) = f(x0) - b3 构建关系 f x0 x - a 解得 x0；0
(4)由点斜式求得切线方程 y- b= f (x0) (x- a).
【例3】(2022·河北石家庄·高二期末)若两曲线 y= x2- 1与 y= alnx- 1存在公切线，则正实数 a的取值可能
是 ( )
A. 1.2 B. 4 C. 5.6 D. 2e
【答案】ABD
【分析】分别设切点分别为A x1,y1 ，B x2,y2 ，由导数的几何意义分别写出切线方程，由题意切线方程相
同，从而可得出 a=-4x22 lnx2- 1 ，设 g x = 4x2- 4x2lnx由导数求出其值域即可.
【详解】由 y= x2- 1，则 y = 2x，由 y= alnx- 1，则 y = ax
设切线与曲线 y= x2- 1相切于点A x1,y1 ，则斜率为 2x1，
所以切线方程为 y- x21- 1 = 2x1 x- x1 ，即 y= 2x1x- 1- x21 ①
设切线与曲线 y= alnx- 1相切于点B x a 2,y2 ，则斜率为：x ， 2
则切线方程为 y- alnx2- 1 = a x- x a x 2 ，即 y= x+ alnx - a- 1，②2 x2 2
2x = a
根据题意方程①，②表示同一条直线，则
1
x2alnx2- a=-x21
所以 a=-4x22 lnx 2 22- 1 ，令 g x = 4x - 4x lnx(x> 0)，
则 g x = 4x 1- 2lnx ，所以 g x 在 0, e 上单调递增，在 e,+∞ 上单调递减，g x max= g e =
2e，由题意 a∈ 0,2e .
故答案为：ABD
【例4】(2022·全国·高三专题练习)已知曲线C :f x = ex1 + a和曲线C2:g x = ln(x+ b) + a2 a,b∈R ，若存在
斜率为 1的直线与C1，C2同时相切，则 b的取值范围是 ( )
A. 9 - 4 ,+∞ B. 0,+∞ C. -∞,1 D. -∞,
9
4
【答案】D
【解析】分别求出两函数的导函数，再分别设直线与两曲线的切点的横坐标，由于斜率为 1即导数值为 1分
别求出切点横坐标，可得切线方程，再根据切线方程系数相等得 b与 a的关系式，再根据二次函数性质可求
出 b的取值范围．
【详解】
f x = ex，g x = 1 + ，设斜率为 1的切线在C1，C2上的切点横坐标分别为 xx b 1，x2，
由题知 ex1= 1+ = 1，∴ x1= 0，x2= 1- b，x2 b
两点处的切线方程分别为 y- 1+ a = x和 y- a2= x- 1- b ，
2
故 a+ 1= a2- 1+ b，即 b= 2+ a- a2=- a- 1 + 9 ≤ 92 4 4 .
故选：D.
【例5】(2022·江苏·南京外国语学校模拟预测)若两曲线 y= x2- 1与 y= alnx- 1存在公切线，则正实数 a的
取值范围为 ( )
A. 0,2e B. 0,e C. 2e,+∞ D. e,2e
【答案】A
【解析】分别求出导数，设出切点，得到切线方程，再由两点的斜率公式，结合切点满足曲线方程，运用导数
求的单调区间、极值、最值即可得出 a的取值范围.
【详解】
设A x1,x21- 1 ,B x2,alnx a a2- 1 ,y1= 2x,y2= x ,k1= 2x1,k2= x2
切线：y- x21- 1 = 2x1 x- x1 ，即 y= 2x1x- x21- 1
切线：y- alnx - 1 = a2 x x- x2 ，即 y=
a
x x- a+ alnx2- 1，∴2 2
2x a1=
x2 ,∴ a= 4x22 1- lnx2 -x21- 1=-a+ alnx2- 1
令 f x = 4x2 1- lnx ,f x = 8x 1- lnx + 4x2 - 1x
= 8x- 8xlnx- 4x= 4x- 8xlnx= 4x 1- 2lnx = 0,x= e
f x 在 0, e 上单调递增，在 e,+∞ 上单调递减，
所以 f(x)max= f e = 2e,∴ a∈ 0,2e .
故选：A．
【例6】(2022·重庆市育才中学高三阶段练习)若直线 l:y= kx+ b(k> 1)为曲线 f x = ex-1与曲线 g x = elnx
的公切线，则 l的纵截距 b= ( )
A. 0 B. 1 C. e D. - e
【答案】D
【解析】设切点分别为 (x1,y1)，(x2,y2)，分别求出切线方程，再令切线方程相等；
【详解】
设 l与 f x 的切点为 (x1,y1)，则由 f x = ex-1，有 l:y= xex1-1+ 1- x ex1-11 .
同理，设 l与 f x 的切点为 (x e e2,y2)，由 g x = x，有 l:y= x x+ e lnx2- 1 .2
ex1-1= ex , x = 1,故 1 2 解得 或
x1= 2,
= . = . 则 l:y= x或 y= ex- e. 1- x1 ex1-1= e lnx - 1 . x2 e x2 12
因 k> 1，所以 l为 y= x时不成立.故 b=-e，
故选：D.
【例7】(2022 ·河南 ·南阳中学高三阶段练习 (理))若直线 y = k 1 x+ 1 - 1与曲线 y = ex相切，直线 y =
k2 x+ 1 - 1与曲线 y= lnx相切，则 k1k2的值为 ( )
A. 12 B. 1 C. e D. e
2
【答案】B
【解析】设出切点，求出 k = ex11 ，k 12= x ，根据斜率列出方程，得到 x e
x1
1 = 1，x2lnx2= 1，构造 f x = xlnx，
2
利用函数单调性和图象特征，求出 x = ex12 ，从而求出答案.
【详解】
设直线 f= k1 x+ 1 - 1与曲线 y= ex相切于点 x1,ex1 ，
直线 y= k2 x+ 1 - 1与曲线 y= lnx相切于点 x2,lnx2 ，
x1
则 k x11= e ，且 k = e + 1，所以 x ex11 x1+ 1 1
= 1，
k2= 1x ，且
lnx + 1
k 22= x + 1 ，所以 x2lnx2= 1，2 2
令 f x = xlnx，f x = 1+ lnx，
当 x∈ 0, 1e 时，f
x < 0，f x 单调递减，
当 x∈ 1e ,+∞ 时，f
x > 0，f x 单调递增，
且 f 1 = 0，lim f x = 0，所以当 x∈ 0,1 时，f x < 0，
x→0
因为 f x2 = x2lnx2= 1，f ex1 = x1ex1= 1，即 f x2 = f ex1 = 1> 0，
所以 x2∈ 1,+∞ ,ex1∈ 1,+∞ ，
所以 x = ex12 ，故 k1k2= ex1 1x = 12
故选：B
【点睛】对于不知道切点的切线方程问题，要设出切点，再根据斜率列出方程，进行求解.
【题型专练】
1.已知函数 f x = xlnx，g x = ax2- x．若经过点A 1,0 存在一条直线 l与曲线 y= f x 和 y= g x 都相
切，则 a= ( )
A. - 1 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】B
【解析】先求得 f(x) 在A(1,0) 处的切线方程，然后与 g x = ax2- x联立，由Δ= 0 求解
【详解】
解析：∵ f x = xlnx，∴ f x = 1+ lnx，∴ f 1 = 1+ ln1= 1，∴ k= 1，∴曲线 y= f x 在A 1,0 处的切
线方程为 = - ，由 y= x- 1y x 1 2= 2- 得 ax - 2x+ 1= 0，由Δ= 4- 4a= 0，解得 a= 1．y ax x
故选：B
2.【2020 1年新课标 3卷理科】若直线 l与曲线 y= x和 x2+ y2= 5 都相切，则 l的方程为 ( )
A. y= 2x+ 1 B. y= 2x+ 12 C. y=
1
2 x+ 1 D. y=
1
2 x+
1
2
【答案】D
【解析】根据导数的几何意义设出直线 l的方程，再由直线与圆相切的性质，即可得出答案.
【详解】
设直线 l在曲线 y= x上的切点为 x0, x0 ，则 x0> 0，
函数 y= x的导数为 y = 1 ，则直线 l的斜率 k= 1 ，
2 x 2 x0
设直线 l的方程为 y- x = 10 x- x ，即 x- 2 x y+ x = 0，2 x 0 0 00
由于直线 l与圆 x2+ y2= 1 相切，则 x05 + =
1 ，
1 4x0 5
两边平方并整理得 5x20- 4x0- 1= 0，解得 x 10= 1，x0=- 5 (舍)，
则直线 l的方程为 x- 2y+ 1= 0，即 y= 12 x+
1
2 .
故选：D.
【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用以及直线与圆的位置的应用，属于中档题.
3. (2022·河北省唐县第一中学高三阶段练习)已知函数 f x = alnx，g x = bex，若直线 y= kx k> 0 与函
数 f x ，g x
1
的图象都相切，则 a+ 的最小值为 ( )b
A. 2 B. 2e C. e2 D. e
【答案】B
【解析】利用导数的几何意义分别得到 a= ek、b= ke，再运用基本不等式即可求解.
【详解】
设直线 y= kx与函数 f x ，g x 的图象相切的切点分别为A m,km ，B n,kn .
km= alnm
由 f x = a x，有 a = ，解得m= e，a= ek.m k
n
又由 g kn= be x = bex，有 k 1 e n= ，解得n= 1，b= e，可得 a+ = ek+ ≥ 2 e
2= 2e，当且仅当 a= e，b=
be k b k
1
e 时取“=”.
故选：B
4. (2022·全国·高三专题练习)若两曲线 y= lnx- 1与 y= ax2存在公切线，则正实数 a的取值范围是 ( )
A. 0,2e B. 1 -3 1 -3 2 e ,+∞ C. 0, 2 e D. 2e,+∞
【答案】B
【解析】设公切线与曲线的切点为 x1,lnx1- 1 ， x 22,ax2 ，利用导数的几何意义分别求 y= lnx- 1和 y=
ax2上的切线方程，由所得切线方程的相关系数相等列方程求参数关系，进而构造函数并利用导数研究单
调性求参数范围.
【详解】
设公切线与曲线 y= lnx- 1和 y= ax2的交点分别为 x1,lnx1- 1 ， x2,ax22 ，其中 x1> 0，
对于 y= lnx- 1有 y = 1x，则 y= lnx- 1上的切线方程为 y- lnx - 1
1 x
1 = x x- x1 ，即 y= x +1 1
lnx1- 2 ，
对于 y= ax2有 y = 2ax，则 y= ax2上的切线方程为 y- ax22= 2ax 22 x- x2 ，即 y= 2ax2x- ax2，
1 = 2ax
所以 2 1 1 x1 ，有- 2 = lnx1- 2，即 = 2x2 24ax 4a 1- x1lnx1 x1> 0 ，lnx - 2=-ax2 11 2
令 g x = 2x2- x2lnx，g x = 3x- 2xlnx= x 3- 2lnx ，
3
令 g x = 0，得 x= e2，
3
当 x∈ 0,e2 时，g x > 0，g x 单调递增，
3
当 x∈ e2,+∞ 时，g x < 0，g x 单调递减，
3
所以 g x 1 2 3max= g e = 2 e ，故 0<
1 ≤ 1 34a 2 e ，即 a≥
1 -3
2 e .
故选：B.
【点睛】关键点点睛：应用导数几何意义求两条曲线的含参切线方程，由公切线对应系数相等得到相关参数
方程，进而构造函数研究单调性求参数范围.
5. (2022·全国·高三专题练习)若仅存在一条直线与函数 f(x) = alnx(a> 0)和 g(x) = x2的图象均相切，则实
数 a= ( )
A. e B. e C. 2e D. 2 e
【答案】C
【解析】分别求出函数 f(x)上切点 x2,alnx2 处的切线方程和 g(x)上切点 x1,x21 处的切线方程，消去 x1，
得 a= 4x2- 4x22 2lnx2，该问题转化为 x2有唯一的值时，求 a值，即可通过导数研究函数 h x2 = 4x22-
4x22lnx2的单调性即可得到答案.
【详解】
设直线与 g(x) = x2的切点为 x ,x21 1 ，
由 g (x) = 2x可知，该直线的斜率为 2x1，即该直线的方程为 y- x21= 2x1 x- x1 ，
即为 y= 2x1x- x21，
设直线与 f(x) = alnx的切点为 x2,alnx2 ，
由 f (x) = ax 可知，该直线的斜率为
a
x ，即该直线的方程为 y- alnx
a
2= x x- x2 ，2 2
即为 y= ax x+ a lnx2- 1 ，2
∵仅存在一条直线与函数 f(x) = alnx(a> 0)和 g(x) = x2的图象均相切，
∴ 2x1= a x2 ，∴即 a= 4x22- 4x22lnx2，a lnx2- 1 =-x21
令 h x = 4x22 2- 4x22lnx2，则 h x2 = 8x2- 8x2lnx2- 4x2= 4x2 1- 2lnx2 ，
当 4x2 1- 2lnx2 > 0时，即 0< x2< e，当 4x2 1- 2lnx2 < 0时，即 e< x2，
即 h x2 在 0, e 上单调递增，在 e,+∞ 上单调递减，则 h x2 在 x= e处取得最大值，h e = 4e-
4e× 12 = 2e，图像为
∵切线只有一条，即 x2的值唯一，∴只有 a= 2e，
故选：C .
6.若曲线 y= lnx与曲线：y= x2 k有公切线，则实数 k的最大值为 ( )
A. 78 +
1
2 ln2 B.
7 - 18 2 ln2 C.
1 1
2 + 2 ln2 D.
1 1
2 + 2 ln2
【答案】C
1 = 2x
【解析】根据导数的几何意义求出两曲线在切点的切线方程，可得 2 x1 ，整理得 k= ln2x2-lnx1- 1=-x22- k
x22+ 1= f(x)，利用导数研究函数的单调性求出 f(x)max即可得出结果.
【详解】
设在曲线 y= lnx上的切点为 (x1,lnx1)，则切线斜率为 (lnx) = = 1x x1 x ，1
在曲线 y= x2- k上的切点为 (x 22,x2- k)，切线斜率为 (x2- k) |x=x = 2x2 2，
所以切线方程分别为 y- lnx 1 21= x (x- x1)、y- x2+ k= 2x2(x- x2)，1
即 y= 1x x+ lnx1- 1、y= 2x
2
2x- x2- k，
1
1x = 2x有 2 1 ，整理得 k= ln2x2- x22+ 1，lnx1- 1=-x22- k
2
设 f(x) = ln2x- x2+ 1(x> 0)，则 f (x) = 1x - 2x=
1- 2x
x ，
令 f (x)> 0 0< x< 22 ，令 f
(x)< 0 x> 22 ，
故函数 f(x)在 0, 22 上单调递增，在
2
2 ,+∞ 上单调递减，
所以在 (0,+∞)上 f(x)max= f 2 = 12 2 - ln
2 = 12 2 +
1
2 ln2，如图，
由图可知 k≤ 12 +
1
2 ln2，即 k的最大值为
1
2 +
1
2 ln2.
故选：C .
题型七：切线平行、垂直、重合问题
【例1】(2023·全国·高三专题练习)函数 f(x) = lnx+ ax存在与直线 2x- y= 0平行的切线，则实数 a的取值范
围是 ( )
A. (-∞,2] B. -∞,2- 1e ∪ 2-
1
e ,2
C. 2,+∞ D. 0,+∞
【答案】B
【分析】先求导数，利用导数的几何意义可求答案.
【详解】函数 f(x) = lnx+ ax存在与直线 2x- y= 0平行的切线，即 f x = 2在 0,+∞ 上有解，
而 f x = 1x + a，所以 a= 2-
1 ，因为 x> 0，所以 2- 1x x < 2，所以 a< 2．
所以 a的取值范围是 (-∞,2)．
当直线 2x- y= 0就是 f(x) = lnx+ ax的切线时，设切点坐标 (m,lnm+ am)，
1m + a= 2可得 ，解得m= e,a= 2-
1 ．
lnm+ am= 2m e
所以实数 a的取值范围是： -∞,2- 1 ∪ 2- 1e e ,2 ．
故选：B．
【例2】(2022·安徽·合肥一中模拟预测 (文))对于三次函数 f(x)，若曲线 y= f(x)在点 (0,0)处的切线与曲线 y
= xf(x)在点 (1,2)处点的切线重合，则 f′ (2) = ( )
A. - 34 B. - 14 C. - 4 D. 14
【答案】B
【解析】由 f(0) = 0得 d= 0，然后求得 f (x)，由 f (0) = 2- 01- 0 求得 c= 2，设 g(x) = xf(x)，由 g(1) = 2得 f(1)
= 2及 a+ b= 0，再由 g (1) = 2得 3a+ 2b+ 2= 0，解得 a,b后可得 f (2)．
【详解】
设 f(x) = ax3+ bx2+ cx+ d(a≠ 0)，
∵ f(0) = d= 0,∴ f(x) = ax3+ bx2+ cx,∴ f′ (x) = 3ax2+ 2bx+ c
∴ f′ (0) = c= 2- 01- 0 = 2，
设 g(x) = xf(x)，则 g(1) = f(1) = a+ b+ 2= 2，即 a+ b= 0 ①
又∵ g′ (x) = f(x) + xf ′ (x),∴ g′ (1) = f(1) + f′ (1) = 2,∴ f′ (1) = 0，即
3a+ 2b+ 2= 0 ②
由①②可得 a=-2,b= 2,c= 2，
∴ f′ (2) =-14.
故选：B.
【例3】(2022·全国·高三专题练习)若直线 x= a与两曲线 y= ex,y= lnx分别交于A,B两点，且曲线 y= ex在
点A处的切线为m，曲线 y= lnx在点B处的切线为n，则下列结论：
① a∈ 0,+∞ ，使得m n；②当m n时， AB 取得最小值；
5
③ AB 的最小值为 2；④ AB 最小值小于 2．
其中正确的个数是 ( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】先利用导数求得m,n两条切线方程，令 g x = km- kn,可知 g 12 < 0,g 1 > 0，故存在零点，①正
确； AB = ea- lna，通过求导讨论单调性可知 AB 有最小值，进而可以判断最小值范围，可以判断②正
确，③错误，④正确.
【详解】
解：由直线 x= a与两曲线 y= ex,y= lnx分别交于A,B两点可知：a> 0
曲线 y= ex上A点坐标 a,ea ，可求导数 y = ex，则切线m斜率 k = eam ，可知切线m：y- ea= ea x- a .
曲线 y= lnx上B点坐标 1 a,lna ，可求导数 y = x，则切线n斜率 k =
1
n a .
令 k = k ，则 ea= 1
1
m n a，令 g x = e
x- 1x x> 0 ，g
1
2 = e2- 2< 0,g 1 = e- 1> 0，
由零点存在定理， a∈ 12 ,1 使 g x = 0，即 a∈ 0,+∞ ，使 km= kn，即m n，故①正确.
AB = ea- lna，令 h a = ea- lna a> 0 ,∴ h a = ea- 1a，由 g x 同理可知有 a0∈
1 ,1 ，使 ea0= 12 a ，0
h a > 0 a> a
令 0 < < < ，∴ h a 在 a= a0处取最小值，即当m n时， AB 取得最小值，故②正确.h a 0 0 a a0
AB = ea0min - lna0,∵ ea0= 1 ,∴ a = ln 1 =-lna ,∴ AB = 1a 0 a 0 min a + a0是对勾函数，在 a0∈
1
2 ,1 上是减0 0 0
函数，∴ AB 1 1 1 5 min∈ 1 + 1, 1 + 2 AB min∈ 2, 2 ，故③错误，④正确.
2
故选：C
【题型专练】
1. (2022·山西太原·二模 (理))已知函数 f x = asinx+ bcosx+ cx图象上存在两条互相垂直的切线，且 a2+
b2= 1，则 a+ b+ c的最大值为 ( )
A. 2 3 B. 2 2 C. 3 D. 2
【答案】D
【解析】根据已知条件用换元法令 a= sinθ,b= cosθ，利用导数及三角函数的差的正弦公式即可得出导函
数的范围，根据已知条件得出 c，再利用辅助角公式及三角函数的性质即可求解.
【详解】
由 a2+ b2= 1，令 a= sinθ,b= cosθ，
由 f x = asinx+ bcosx+ cx，
得 f x = acosx- bsinx+ c= sinθcosx- cosθsinx+ c
= sin θ- x + c，所以 c- 1≤ f x ≤ c+ 1
由题意可知，存在 x ,x ，使得 f (x )f 1 2 1 (x2) =-1，
只需要 c- 1 c+ 1 = c2- 1 ≥ 1，即 c2- 1≤-1，所以 c2≤ 0，c= 0，
a+ b+ c= a+ b= sinθ+ cosθ= 2sin θ+ π4 ≤ 2
所以 a+ b+ c的最大值为 2.
故选: D.
【点睛】解决此题的关键是用换元思想，再利用存在两条互想垂直的直线进而得出 c，再利用三角函数的性
质即可求解.
2. (2022·全国·高三专题练习)已知函数 f(x) = x2+ 2x的图象在点A(x1，f(x1))与点B(x2，f(x2)) (x1< x2< 0)
处的切线互相垂直，则 x2- x1的最小值为 ( )
A. 12 B. 1 C.
3
2 D. 2
【答案】B
【解析】求出导函数 f (x)，由切线垂直斜率乘积为-1得 x1,x2的关系，计算 x2- x1，用基本不等式求最小值
得结论．
【详解】
因为 x1< x2< 0，f(x) = x2+ 2x，
所以 f′ (x) = 2x+ 2，
所以函数 f(x)在点A，B处的切线的斜率分别为 f′ (x1)，f′ (x2)，
因为函数 f(x)的图象在点A，B处的切线互相垂直，
所以 f′ (x1)f′ (x2) =-1．
所以 (2x1+ 2) (2x2+ 2) =-1，
所以 2x1+ 2< 0，2x2+ 2> 0，
所以 x2- x = 11 2 [- (2x1+ 2) + (2x2+ 2)]≥ - (2x1+ 2) (2x2+ 2) = 1，当且仅当- (2x1+ 2) = 2x2+ 2=
1，
即 x1=- 32，x2=-
1
2 时等号成立．
所以 x2- x1的最小值为 1．
故选：B．
2
x + x+ 2a (x< 0)3. (2022·全国·高三专题练习)已知函数 f(x) = 的图象上存在不同的两点A,B，使得曲- 1x (x> 0)
线 y= f(x)在这两点处的切线重合，则实数 a的取值范围是 ( )
A. -∞,- 1 B. -1, 18 8 C. (1,+∞) D. (-∞,1) ∪
1
8 ,+∞
【答案】B
【解析】先根据导数的几何意义写出函数 f(x)在点A、B处的切线方程，再利用两直线重合的充要条件：斜
率相等且纵截距相等，列出关系式，从而得出 2a= 1 (t4- 2t24 - 8t+ 1)，判断单调性，可得出 a的取值范围．
【详解】
解：当 x< 0时，f(x) = x2+ x+ 2a的导数为 f′ (x) = 2x+ 1；
当 x> 0时，f(x) =- 1x 的导数为 f′ (x) =
1
x2
，
设A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))为该函数图象上的两点，且 x1< x2，
当 x1< x2< 0，或 0< x1< x2时，f′ (x1) ≠ f′ (x2)，故 x1< 0< x2，
当 x1< 0时，函数 f(x)在点A(x1，f(x1))处的切线方程为：
y- (x21+ x1+ 2a) = (2x1+ 1) (x- x1)；
当 x2> 0时，函数 f(x)在点B(x2，f(x2))处的切线方程为 y+ 1 1x = 2 (x- xx 2)．2 2
两直线重合的充要条件是 12 = 2x1+ 1①，-
2 =-x2x 1+ 2a②，x2 2
由①及 x < 0< x 得 0< 11 2 x < 1，由①②令 t=
1
x ，则 0< t< 1，2 2
且 2a= 1 44 (t - 2t
2- 8t+ 1)，记 y= 14 (t
4- 2t2- 8t+ 1)
导数为 y′ = t3- t- 2，且 y′ < 0在 (0,1)恒成立，
则函数 y= 1 4 24 (t - 2t - 8t+ 1)在 (0,1)为减函数，
∴-2< 2a< 14，
∴实数 a的取值范围是 -1, 18 ．
故选：B
题型八：与切线相关的最值问题
【例1】(2022·全国·高三专题练习)若点P是曲线 y= 32 x
2- 2lnx上任意一点，则点P到直线 y= x- 3的距离
的最小值为 ( )
A. 7 24 B.
3 3
2 C. 2 D. 5
【答案】A
【解析】求出平行于直线 y= x- 3且与曲线 y= 3 22 x - 2lnx相切的切点坐标，再利用点到直线的距离公
式，即可求解.
【详解】
设平行于直线 y= x- 3且与曲线 y= 3 x22 - 2lnx相切的切线对
应切点为P(x,y)，
由 y= 3 x22 - 2lnx，则 y' = 3x-
2
x，
令 y' = 3x- 2x = 1，
解得 x= 1或 x=- 23 (舍去)，
故点P的坐标为 1, 32 ，
1- 3 - 3
故点P到直线 y= x- 3的最小值为： 2 = 7 24 .2
故选：A.
【例2】(2022·山东省淄博第一中学高三开学考试)动直线 l分别与直线 y= 2x- 1，曲线 y= 3 22 x - lnx相交于
A,B两点，则 AB 的最小值为 ( )
A. 510 B.
5
5 C. 1 D. 5
【答案】A
【解析】当点B处的切线和直线 y= 2x- 1平行时， AB 的值最小，结合导数和解析式求得点B，再由点到
直线距离公式即可求解.
【详解】
设点A是直线 y= 2x- 1上任意一点﹐点B是曲线 y= 32 x
2- lnx上任意一点，当点B处的切线和直线 y
= 2x- 1平行时，这两条平行线间的距离 AB 的值最小﹐
因为直线 y= 2x- 1的斜率等于 2，
曲线 y= 3 x22 - lnx的导数 y
= 3x- 1x，令 y
= 2，
2- 1- 3
可得 x= 1或 x=- 13 (舍去)，故此时点B的坐标为 1,
3 ， AB = 2 52 min =5 10 ，
故选：A.
【例3】(2022· ln x+ 1 + 1河南·许昌高中高三开学考试 (理))已知函数 y= e2x+1的图象与函数 y= 2 的图象关
于某一条直线 l对称，若P，Q分别为它们图象上的两个动点，则这两点之间距离的最小值为 ( )
2ln2 2ln2 2 4+ ln2 A. 2 B. 4 C. 2 D. 2 4+ ln2
【答案】A
【解析】由于P a,b 为函数 y= e2x+1图象上任意一点，关于直线 y= x+ 1的对称点为Q b- 1,a+ 1 在 y=
ln x+ 1 + 1 ln x+ 1 + 1
2 的图象上，所以函数 y= e
2x+1的图象与 = y 2 的图象关于直线 y= x+ 1对称，从
而将问题转化为这两点之间距离的最小值等于P到直线 y= x+ 1距离最小值的 2倍，然后利用导求出与
直线 y= x+ 1平行，且与曲线 y= e2x+1相切的直线，从而可求得答案
【详解】
设P a,b 为函数 y= e2x+1图象上任意一点，则 b= e2a+1，P a,b 关于直线 y= x+ 1的对称点为
Q b- 1,a+ 1 ，
设u= b- 1，v= a+ 1，则 a= v- 1，b=u+ 1，所以u+ 1= e2 v-1 +1，
= ln u+ 1所以 + 1v ，即函数 y= e2x+1 ln x+ 1 + 12 的图象与 =

y 2 的图象关于直线 y= x+ 1对称，
所以这两点之间距离的最小值等于P到直线 y= x+ 1距离最小值的 2倍.
函数 y= e2x+1在点P(x0,y0)处的切线斜率为 k= 2e2x0+1，令 k= 2e2x0+1= 1得,x =- 1+ ln20 2 ，y0=
1
2，
- 1+ ln2 - 1 + 1
所以点P到直线 y= x+ 1距离的最小值为 d= 2 2 = 2ln2
2 4
，
所以这两点之间距离的最小值为 2d= 2ln22 .
故选：A
【点睛】关键点点睛：此题考查导数的几何意义的应用，考查函数图象的对称问题，考查数学转化思想和计
= 2x+1 = ln x+ 1 + 1算能力，解题的关键是得到函数 y e 的图象与 y 2 的图象关于直线 y= x+ 1对称，从而
将问题转化为这两点之间距离的最小值等于P到直线 y= x+ 1距离最小值的 2倍，属于较难题
【例4】(2022·山东聊城·二模)实数 x1，x2，y1，y2满足：x 21 - lnx1- y1= 0，x2- y 22- 4 = 0，则 x1- x2 +
y1- y2 2的最小值为 ( )
A. 0 B. 2 2 C. 4 2 D. 8
【答案】D
【解析】由题设，将问题转化为求 y= x2- lnx上的点与 x- y- 4= 0上的点的距离的平方的最小值，利用
导数的几何意义求 y= x2- lnx上与 x- y- 4= 0平行的切线方程，应用点线距离公式求目标式的最值即
可.
【详解】
由 x21- lnx1- y1= 0，则 y1= x21- lnx1，又 x2- y2- 4= 0，
(x1- x 2 22) + (y1- y2) 的最小值转化为：
y= x2- lnx(x> 0)上的点与 x- y- 4= 0上的点的距离的平方的最小值，
由 y= x2- lnx，得：y = 2x- 1x，
与 x- y- 4= 0平行的直线的斜率为 1，
∴ 2x- 1x = 1，解得 x= 1或 x=-
1
2 (舍)，可得切点为 (1,1)，
切点到直线 x- y- 4= 0之间的距离的平方，即为 (x1- x2)2+ (y1- y )22 的最小值，
∴ ( - )2+ ( - )2 |-4|
2
x1 x2 y1 y2 的最小值为： 1+ = 8.1
故选：D.
【题型专练】
1. (2022·山西·高二期末)已知点P是曲线 y= x2- 3lnx上一点，若点P到直线 2x+ 2y+ 3= 0的距离最小，
则点P的坐标为___________.
【答案】 1,1
【分析】求出平行于直线 2x+ 2y+ 3= 0且与曲线 y= x2- 3lnx相切的切点坐标，此时曲线上的点P到直
线的距离最小.
【详解】解：由题意知，曲线 y= x2- 3lnx,x> 0，y = 2x- 3 = 2x
2- 3
x x ，令
y = 0，得 x= 62 ,x=-
6
2 (舍)，所以函数在 0,
6
2 上单调递减，在
62 ,+∞ 上单调递增，如下图所示，为曲线 y= x2- 3lnx与直线 2x+ 2y
+ 3= 0在坐标系中的位置.
在点P的切线与直线 2x+ 2y+ 3= 0平行时，此时曲线上的点P到直线
2x+ 2y+ 3= 0的距离最小.设P 3 x0,y0 x0> 0 ，则 y = 2x- x，则 2x0-
3
x =-1，解得 x0= 1(x
3
0=- 2 舍去)，所以P(1,1).0
故答案为： 1,1
2
2. (2022·江苏· a高三专题练习)已知 a，b为正实数，直线 y= x- a与曲线 y= ln(x+ b)相切，则 - 的取值2 b
范围是 ()
A. (0,+∞) B. (0,1) C. 0, 12 D. [1，+∞)
【答案】C
2 2
【解析】利用导数求切点坐标，再由切点在直线上可得 a+ b= 1，结合目标式有 a- =
a
1+ a，构造 g(a) =2 b
a2
1+ a 并研究单调性，进而求值域即可.
【详解】
函数 y= ln(x+ b)的导数为 y′ = 1+ = 1，则 x= 1- b，x b
∴切点为 (1- b,0)，代入 y= x- a，得 a+ b= 1，
∵ a、b为正实数，即 a,b∈ (0,1)，
∴ a
2 a2 2= a(a+ 2)- 1+ a，令 g(a) =
a 且 a∈ (0,1)，则 g (a) = > 0，即 g(a)为增函数，
2 b 1+ a (1+ a)2
2
∴ a
2- ∈b 0,
1
2 ．
故选：C．
3. (2022·全国·高三专题练习)曲线 y= e2x上的点到直线 2x- y- 4= 0的最短距离是 ( )
A. 5 B. 3 C. 2 D. 1
【答案】A
【解析】由题意可知曲线上的点到直线 2x- y- 4= 0的最短距离即与 2x- y- 4= 0平行的切线的切点到
直线 2x- y- 4= 0的距离，因此根据导数的几何意义先求出切点即可求出结果.
【详解】
y= e2x，所以 y = 2e2x，设曲线在P x ,e2x00 处的切线与直线 2x- y- 4= 0平行，则 2e2x0= 2，所以 2x0= 0,
x0= 0，切点P(0,1)，曲线 y= e2x上的点到直线 2x- y- 4= 0的最短距离即为切点P到直线 2x- y- 4= 0
|-1- 4|
的距离 d= = 5，
5
故选：A．
4. (2022· lnx河北衡水·高三阶段练习)已知函数 f(x) = 2x - 2x 在 x= 1处的切线为 l，第一象限内的点P(a,b)
1 1
在切线 l上，则 a+ 1 + + 的最小值为 ( )b 1
A. 2+ 3 24 B.
3+ 4 2
4 C.
4+ 2 3
5 D.
3+ 2
4
【答案】C
【解析】求出 x= 1处的导数值，根据点斜式直线方程写出 l的方程，从而得出 a，b之间的关系，运用基本不
等式即可求解.
【详解】
函数 f(x) = lnxx - 2x
2，
∴ f (x) = 1- lnx2 - 4x ，x
∴ f (1) =-3 ，f(1) =-2，
由点斜式直线方程得：切线 l的方程为 y+ 2=-3(x- 1)，3x+ y= 1 ，
由于点P在直线 l上，则 3a+ b= 1且 a,b> 0，即 3(a+ 1) + (b+ 1) = 5，
1 + 1 = 1 1 1 1 b+ 1 3(a+ 1)则 a+ 1 b+ 1 5 × 3(a+ 1) + (b+ 1) a+ 1 + + = ×b 1 5 4+ a+ 1 + b+ 1
≥ 1 × 4+ 2 b+ 1 3(a+ 1) = 4+ 2 3，当且仅当 b+ 1= 3(a+ 1)，即 a= 9- 5 3 ,b= 5 3- 75 a+ 1 b+ 1 5 6 2
时取等号；
故选：C .
5. (2022·河南·灵宝市第一高级中学模拟预测 (文))已知直线 y= kx+ b是曲线 y= x + 1的切线，则 k2+ b2
- 2b的最小值为 ( )
A. - 12 B. 0 C.
5
4 D. 3
【答案】A
【分析】
对曲线求导，求出其在 x0, x0+ 1 x0≥ 0 处的切线方程，从而得到了切线中 k,b的关系 k(b- 1) = 14，然
后将所求 k2+ b2- 2b进行构造，与已知条件建立联系，再用均值不等式求解最小值即可.
【详解】
设直线 y= kx+ b与曲线 y= x+ 1相切于点 x0, x0+ 1 x0≥ 0 ，
当 x0= 0时，直线 y= b不是曲线 y= x+ 1的切线，故 x0> 0，
由 y= x+ 1得 y = 1= ，所以切线方程为 y- x0+ 1 = 1 x- xx 1 0x x 2 x 2 x 0 ，即 y= x+ +0 0 0 2 x0 2
1，
k= 1
所以 2 x 0 ，所以 k(b- 1) =
1 ，所以 k2 24 + b - 2b= k
2+ (b- 1)2- 1≥ 2k(b- 1) - 1=- 12，= xb 02 + 1
当且仅当 k= b- 1= 12 即 x0= 1时，等号成立，
所以 k2+ b2- 2b的最小值为- 12 .故选：A导数中八大切线问题题型总结
【考点预测】
1.在点的切线方程
切线方程 y- f(x 0) = f (x0) (x- x0)的计算：函数 y= f(x)在点A(x 0，f(x0))处的切线方程为 y- f(x0) = f
(x0) ( - ) y0= f(x )x x0 ，抓住关键 0 ．k= f (x0)
2.过点的切线方程
设切点为P(x0，y0)，则斜率 k= f (x0)，过切点的切线方程为：y- y0= f (x0) (x- x0)，
又因为切线方程过点A(m，n)，所以 n- y = f 0 (x0) (m- x0)然后解出 x0的值． (x0有几个值，就有几条切
线)
注意：在做此类题目时要分清题目提供的点在曲线上还是在曲线外．
【题型目录】
题型一：导数与切线斜率的关系
题型二：在点P处切线 (此类题目点P即为切点)
题型三：过点P的切线 (此类题目点P不一定为切点，需要设切点为 x0,y0 )
题型四：已知切线求参数问题
题型五：切线的条数问题 (判断切线条数以及由切线条数求范围)
题型六：公切线问题
题型七：切线平行、垂直、重合问题
题型八：与切线相关的最值问题
【典例例题】
题型一：导数与切线斜率的关系
【例1】(2022·全国·高三专题练习 (文))函数 y= f(x)的图像如图所示，下列不等关系正确的是 ( )
A. 0< f (2)< f (3)< f(3) - f(2)
B. 0< f (2)< f(3) - f(2)< f (3)
C. 0< f (3)< f(3) - f(2)< f (2)
D. 0< f(3) - f(2)< f (2)< f (3)
【例2】函数 y= f x 的图象如图所示，f′ x 是函数 f x 的导函数，则下列大小关系正确的是 ( )
A. 2f′ 4 < f 4 - f 2 < 2f′ 2
B. 2f′ 2 < f 4 - f 2 < 2f′ 4
C. 2f′ 4 < 2f′ 2 < f 4 - f 2
D. f 4 - f 2 < 2f′ 4 < 2f′ 2
公众号：高中数学最新试题
【题型专练】
1. (2021·福建·泉州鲤城北大培文学校高三期中) (多选题)已知函数 f x 的图象如图所示，f x 是 f x 的导
函数，则下列数值的排序正确的是 ( )
A. f 3 < f 2
B. f 3 < f 3 - f 2
C. f 2 < f 3 - f 2
D. f 3 - f 2 < 0
2. (2022·黑龙江齐齐哈尔·高二期末)函数 y= f x 的图象如图所示，f x 是函数 f x 的导函数，则下列数
值排序正确的是 ( )
A. 2f 3 < f 5 - f 3 < 2f 5
B. 2f 3 < 2f 5 < f 5 - f 3
C. f 5 - f 3 < 2f 3 < 2f 5
D. 2f 3 < 2f 5 < f 5 - f 3
题型二：在点P处切线 (此类题目点P即为切点)
【例1】【2019年新课标 3卷理科】已知曲线 y= aex+ xlnx在点 1,ae 处的切线方程为 y= 2x+ b，则
A. a= e,b=-1 B. a= e,b= 1 C. a= e-1,b= 1 D. a= e-1,b=-1
【例2】(2022·全国·高三专题练习 (文))已知函数 f(x)是定义在R上的奇函数，且 f(x) =-2x3+ 3ax2- f (1)x，
则函数 f(x)的图象在点 (-2,f(-2))处的切线的斜率为 ( )
A. - 21 B. - 27 C. - 24 D. - 25
【例3】(2022·河南省浚县第一中学模拟预测 (理))曲线 y= xln(2x+ 5)在 x=-2处的切线方程为 ( )
A. 4x- y+ 8= 0 B. 4x+ y+ 8= 0 C. 3x- y+ 6= 0 D. 3x+ y+ 6= 0
4 f(x) = 1【例 】过函数 e2x2 - x图像上一个动点作函数的切线，则切线领斜角范围为 ( )
A. 0, 3π B. 0, π ∪ 3π 4 2 4 ,π C.
3π
4 ,π D.
π
2 ,
3π
4
2x+ a
【例5】(2022·安徽·巢湖市第一中学模拟预测 (文))曲线 y= x+ 2 在点 1,b 处的切线方程为 kx- y+ 6= 0，
则 k的值为 ( )
A. - 1 B. - 23 C.
1
2 D. 1
f 2
x2 x, x> 0
【例6】(2022·江西·丰城九中高二期末 (理))已知函数 f x = 3 图像关于原点对称，则 f(x)g x , x< 0
公众号：高中数学最新试题
在 x=-1处的切线方程为 ( )
A. 3x- y+ 2= 0 B. 3x- y- 2= 0 C. 3x+ y+ 4= 0 D. 3x+ y- 4= 0
【题型专练】
1.【2018年新课标 1卷理科】设函数 f x = x3+ a- 1 x2+ ax．若 f x 为奇函数，则曲线 y= f x 在点
0，0 处的切线方程为 (　　)
A. y=-2x B. y=-x C. y= 2x D. y= x
2.【2021 2x- 1年甲卷理科】曲线 y= x+ 2 在点 -1,-3 处的切线方程为__________．
3.【2019年新课标 1卷理科】曲线 y= 3(x2+ x)ex在点 (0,0)处的切线方程为___________．
4.【2018年新课标 2卷理科】曲线 y= 2ln(x+ 1)在点 (0,0)处的切线方程为__________．
5.【2018年新课标 3卷理科】曲线 y= ax+ 1 ex在点 0，1 处的切线的斜率为-2，则 a=________．
题型三：过点P的切线 (此类题目点P不一定为切点，需要设切点为 x0,y0 )
【例1】【2022年新高考 2卷】曲线 y= ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为____________，_____
_______．
【例2】(2022·四川·广安二中二模 (文))函数 f x = x2ex过点 0,0 的切线方程为 ( )
A. y= 0 B. ex+ y= 0 C. y= 0或 x+ ey= 0 D. y= 0或 ex+ y= 0
【例3】(2022· 1四川省成都市郫都区第一中学高三阶段练习 (文))若过点 2 ,0 的直线与函数 f(x) = xe
x的图
象相切，则所有可能的切点横坐标之和为 ( )
A. e+ 1 B. - 12 C. 1 D.
1
2
【例4】(2022·广东· 1 1佛山市南海区九江中学高二阶段练习)直线 y= 2 x- b与曲线 y=- 2 x+ lnx相切，则 b
的值为 ( )
A. 2 B. - 2 C. - 1 D. 1
【题型专练】
1. (2022·陕西安康·高三期末 (文))曲线 y= 2xlnx+ 3 1过点 - 2 ,0 的切线方程是 ( )
A. 2x+ y+ 1= 0 B. 2x- y+ 1= 0 C. 2x+ 4y+ 1= 0 D. 2x- 4y+ 1= 0
2. (2022·广东茂名·二模)过坐标原点作曲线 y= lnx的切线，则切点的纵坐标为 ( )
A. e B. 1 C. 1 D. 1
e e
3.过点 (0，-1)作曲线 f(x) = xlnx的切线，则切线方程为 ( )
A. x+ y+ 1= 0 B. x- y- 1= 0 C. x+ 2y+ 2= 0 D. 2x- y- 1= 0
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4.已知 f(x) = x2，则过点P(-1，0)且与曲线 y= f(x)相切的直线方程为 ( )
A. y= 0 B. 4x+ y+ 4= 0
C. y= 0或 4x+ y+ 4= 0 D. y= 0或 4x- y+ 4= 0
题型四：已知切线求参数问题
【例1】(2022·湖南·模拟预测)已知P是曲线C :y= lnx+ x2+ 3- a x上的一动点，曲线C在P点处的切线
π
的倾斜角为 θ，若 3 ≤ θ<
π
2 ，则实数 a的取值范围是 ( )
A. 2 3,0 B. 2 2,0 C. -∞,2 3 D. -∞,2 2
【例2】(2022·广东·石门高级中学高二阶段练习)若直线 y= kx+ 1- ln2是曲线 y= lnx+ 2的切线，则 k=__
______．
【例3】(2022·陕西·千阳县中学高三阶段练习 (文))已知曲线 y= aex+ xlnx在点 1,ae 处的切线方程为 y=
2x+ b，则 b=_____
【例4】(2022·江苏苏州·模拟预测)已知奇函数 f x = x2- 2x ax+ b a≠ 0 在点 a,f a 处的切线方程为
y= f a ，则 b= ( )
A. - 1或 1 B. - 2 3 2 33 或 3 C. - 2或 2 D. -
4 3 4 3
3 或 3
【题型专练】
1. (2022·云南·丽江市教育科学研究所高二期末)已知曲线 f(x) = (x+ a)ex在点 (-1,f(-1))处的切线与直线
2x+ y- 1= 0垂直，则实数 a的值为_________．
2. (2022·云南昆明·模拟预测 (文))若函数 f x = a x + lnx的图象在 x= 4处的切线方程为 y= x+ b，则
( )
A. a= 3，b= 2+ ln4 B. a= 3，b=-2+ ln4
C. a= 32 ，b=-1+ ln4 D. a=
3
2 ，b= 1+ ln4
3. (2022·河南·方城第一高级中学模拟预测 (理))已知直线 l的斜率为 2，l与曲线C1：y= x 1+ lnx 和圆C2：
x2+ y2- 6x+n= 0均相切，则n= ( )
A. - 4 B. - 1 C. 1 D. 4
题型五：切线的条数问题 (判断切线条数以及由切线条数求范围)
【例1】(2022·河南洛阳·三模 (文))若过点P 1,0 作曲线 y= x3的切线，则这样的切线共有 ( )
A. 0条 B. 1条 C. 2条 D. 3条
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【例2】(2022·全国·高三专题练习)若过点 (a,b)可以作曲线 y= lnx的两条切线，则 ( )
A. a< lnb B. b< lna C. lnb< a D. lna< b
【例3】【2021年新高考 1卷】若过点 a,b 可以作曲线 y= ex的两条切线，则 ( )
A. eb< a B. ea< b
C. 0< a< eb D. 0< b< ea
【例4】(2022·河南洛阳·三模 (理))若过点P 1,t 可作出曲线 y= x3的三条切线，则实数 t的取值范围是 ( )
A. -∞,1 B. 0,+∞ C. 0,1 D. 0,1
【例5】(2022·河北·高三阶段练习)若过点P(1,m)可以作三条直线与曲线C :y= xx 相切，则m的取值范围为e
( )
A. -∞, 32 B. 0, 1e C. (-∞,0) D.e
1 3
e , e2
【例6】(2022·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高二期末)过直线 y= x- 1上一点P可以作曲线 f x = x- lnx的
两条切线，则点P横坐标 t的取值范围为 ( )
A. 0< t< 1 B. 1< t< e C. 0< t< e D. 1e < t< 1
【题型专练】
1. (2022·内蒙古呼和浩特·二模 (理))若过点P -1,m 可以作三条直线与曲线C：y= xex相切，则m的取值
范围是 ( )
A. - 32 ,+∞ B. - 1e ,0 C. -
1
e ,-
1
2 D. - 3 1e e e2 ,- e
2. (2022·广东深圳·二模)已知 a> 0，若过点 (a,b)可以作曲线 y= x3的三条切线，则 ( )
A. b< 0 B. 0< b< a3 C. b> a3 D. b b- a3 = 0
3. (2022·安徽·安庆市第二中学高二期末)若过点 a,b a> 0 可以作曲线 y= xex的三条切线，则 ( )
A. 0< a< beb B. - aea< b< 0 C. 0< ae2< b+ 4 D. - a+ 4 < be2< 0
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4. (2022·山东枣庄·高二期末)已知函数 f x = x+ 1 ex，过点M (1，t)可作 3条与曲线 y= f x 相切的直线，
则实数 t的取值范围是 ( )
A. - 42 ,0 B. - 42 , 2e e e C. -
6
3 ,2e D. - 6e e3 ,0
5. (2022·山东潍坊·三模)过点P 1,m m∈R 有 n条直线与函数 f x = xex的图像相切，当 n取最大值时，
m的取值范围为 ( )
A. - 52 5 题型六：公切线问题
【例1】(2023届贵州省遵义市新高考协作体）高三上学期入学质量监测数学 (理)试题)若直线 y= kx+ b是曲
线 y= ex+1的切线，也是 y= ex+ 2的切线，则 k= ( )
A. ln2 B. - ln2 C. 2 D. - 2
【例2】(2022·全国·高三专题练习)若函数 f x = lnx与函数 g(x) = x2+ x+ a(x< 0)有公切线，则实数 a的取
值范围是 ( )
A. ln 12e ,+∞ B. -1,+∞ C. 1,+∞ D. ln2,+∞
【例3】(2022·河北石家庄·高二期末)若两曲线 y= x2- 1与 y= alnx- 1存在公切线，则正实数 a的取值可能
是 ( )
A. 1.2 B. 4 C. 5.6 D. 2e
【例4】(2022·全国·高三专题练习)已知曲线C :f x = ex1 + a和曲线C2:g x = ln(x+ b) + a2 a,b∈R ，若存在
斜率为 1的直线与C1，C2同时相切，则 b的取值范围是 ( )
A. - 9 ,+∞ B. 0,+∞ C. -∞,1 D. -∞, 9 4 4
【例5】(2022·江苏·南京外国语学校模拟预测)若两曲线 y= x2- 1与 y= alnx- 1存在公切线，则正实数 a的
取值范围为 ( )
A. 0,2e B. 0,e C. 2e,+∞ D. e,2e
【例6】(2022·重庆市育才中学高三阶段练习)若直线 l:y= kx+ b(k> 1)为曲线 f x = ex-1与曲线 g x = elnx
的公切线，则 l的纵截距 b= ( )
A. 0 B. 1 C. e D. - e
【例7】(2022 ·河南 ·南阳中学高三阶段练习 (理))若直线 y = k 1 x+ 1 - 1与曲线 y = ex相切，直线 y =
k2 x+ 1 - 1与曲线 y= lnx相切，则 k1k2的值为 ( )
A. 12 B. 1 C. e D. e
2
【题型专练】
1.已知函数 f x = xlnx，g x = ax2- x．若经过点A 1,0 存在一条直线 l与曲线 y= f x 和 y= g x 都相
切，则 a= ( )
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A. - 1 B. 1 C. 2 D. 3
2.【2020年新课标 3卷理科】若直线 l与曲线 y= x和 x2+ y2= 15 都相切，则 l的方程为 ( )
A. y= 2x+ 1 B. y= 2x+ 1 C. y= 12 2 x+ 1 D. y=
1
2 x+
1
2
3. (2022·河北省唐县第一中学高三阶段练习)已知函数 f x = alnx，g x = bex，若直线 y= kx k> 0 与函
数 f 1 x ，g x 的图象都相切，则 a+ 的最小值为 ( )b
A. 2 B. 2e C. e2 D. e
4. (2022·全国·高三专题练习)若两曲线 y= lnx- 1与 y= ax2存在公切线，则正实数 a的取值范围是 ( )
A. 0,2e B. 1 e-3 2 ,+∞ C. 0,
1 e-3 2 D. 2e,+∞
5. (2022·全国·高三专题练习)若仅存在一条直线与函数 f(x) = alnx(a> 0)和 g(x) = x2的图象均相切，则实
数 a= ( )
A. e B. e C. 2e D. 2 e
6.若曲线 y= lnx与曲线：y= x2 k有公切线，则实数 k的最大值为 ( )
A. 78 +
1
2 ln2 B.
7
8 -
1
2 ln2 C.
1 1 1
2 + 2 ln2 D. 2 +
1
2 ln2
题型七：切线平行、垂直、重合问题
【例1】(2023·全国·高三专题练习)函数 f(x) = lnx+ ax存在与直线 2x- y= 0平行的切线，则实数 a的取值范
围是 ( )
A. (-∞,2] B. -∞,2- 1e ∪ 2-
1
e ,2
C. 2,+∞ D. 0,+∞
【例2】(2022·安徽·合肥一中模拟预测 (文))对于三次函数 f(x)，若曲线 y= f(x)在点 (0,0)处的切线与曲线 y
= xf(x)在点 (1,2)处点的切线重合，则 f′ (2) = ( )
A. - 34 B. - 14 C. - 4 D. 14
【例3】(2022·全国·高三专题练习)若直线 x= a与两曲线 y= ex,y= lnx分别交于A,B两点，且曲线 y= ex在
点A处的切线为m，曲线 y= lnx在点B处的切线为n，则下列结论：
① a∈ 0,+∞ ，使得m n；②当m n时， AB 取得最小值；
③ AB 5 的最小值为 2；④ AB 最小值小于 2．
其中正确的个数是 ( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【题型专练】
1. (2022·山西太原·二模 (理))已知函数 f x = asinx+ bcosx+ cx图象上存在两条互相垂直的切线，且 a2+
b2= 1，则 a+ b+ c的最大值为 ( )
A. 2 3 B. 2 2 C. 3 D. 2
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2. (2022·全国·高三专题练习)已知函数 f(x) = x2+ 2x的图象在点A(x1，f(x1))与点B(x2，f(x2)) (x1< x2< 0)
处的切线互相垂直，则 x2- x1的最小值为 ( )
A. 12 B. 1 C.
3
2 D. 2
x2+ x+ 2a (x< 0)
3. (2022·全国·高三专题练习)已知函数 f(x) = 1 的图象上存在不同的两点A,B，使得曲- x (x> 0)
线 y= f(x)在这两点处的切线重合，则实数 a的取值范围是 ( )
A. -∞,- 18 B. -1,
1
8 C. (1,+∞) D. (-∞,1) ∪
1
8 ,+∞
题型八：与切线相关的最值问题
3
【例1】(2022·全国·高三专题练习)若点P是曲线 y= 22 x - 2lnx上任意一点，则点P到直线 y= x- 3的距离
的最小值为 ( )
A. 7 2 B. 3 34 2 C. 2 D. 5
【例2】(2022·山东省淄博第一中学高三开学考试)动直线 l分别与直线 y= 2x- 1，曲线 y= 3 x22 - lnx相交于
A,B两点，则 AB 的最小值为 ( )
A. 510 B.
5
5 C. 1 D. 5
ln x+ 1 + 1
【例3】(2022·河南·许昌高中高三开学考试 (理))已知函数 y= e2x+1的图象与函数 y= 2 的图象关
于某一条直线 l对称，若P，Q分别为它们图象上的两个动点，则这两点之间距离的最小值为 ( )
A. 2ln2 B. 2ln2
2 4+ ln2
2 4 C. 2 D. 2 4+ ln2
【例4】(2022·山东聊城·二模)实数 x1，x2，y1，y2满足：x 21 - lnx1- y1= 0，x2- y2- 4 = 0，则 x - x 21 2 +
y - y 21 2 的最小值为 ( )
A. 0 B. 2 2 C. 4 2 D. 8
【题型专练】
1. (2022·山西·高二期末)已知点P是曲线 y= x2- 3lnx上一点，若点P到直线 2x+ 2y+ 3= 0的距离最小，
则点P的坐标为___________.
2
2. (2022· · a江苏 高三专题练习)已知 a，b为正实数，直线 y= x- a与曲线 y= ln(x+ b)相切，则 - 的取值2 b
范围是 ()
A. (0,+∞) B. (0,1) C. 0, 12 D. [1，+∞)
3. (2022·全国·高三专题练习)曲线 y= e2x上的点到直线 2x- y- 4= 0的最短距离是 ( )
A. 5 B. 3 C. 2 D. 1
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4. (2022·河北衡水·高三阶段练习)已知函数 f(x) = lnxx - 2x
2在 x= 1处的切线为 l，第一象限内的点P(a,b)
1 1
在切线 l上，则 a+ 1 + + 的最小值为 ( )b 1
A. 2+ 3 2 B. 3+ 4 2 C. 4+ 2 3 D. 3+ 24 4 5 4
5. (2022·河南·灵宝市第一高级中学模拟预测 (文))已知直线 y= kx+ b是曲线 y= x + 1的切线，则 k2+ b2
- 2b的最小值为 ( )
A. - 12 B. 0 C.
5
4 D. 3
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