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第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布
专题3.1：随机事件、频率与概率
1.结合具体实例，理解样本点和有限样本空间的含义，理解随机事件与样本点的关系.
2.了解随机事件的并、交与互斥的含义，掌握随机事件概率的运算法则.
3.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义以及频率与概率的区别．
1．随机试验及其特点
(1)定义：对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验，常用字母E表示．
(2)特点：
①试验可以在相同条件下重复进行；
②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；
③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果．
2．样本空间
(1)随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，常用ω表示；
(2)全体样本点的集合称为试验E的样本空间，常用Ω表示样本空间，称样本空间Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}为有限样本空间．
3．事件的分类
(1)随机事件
我们将样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件．随机事件一般用大写字母A，B，C，…表示．在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生．
(2)必然事件
Ω作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以Ω总会发生，我们称Ω为必然事件．
(3)不可能事件
空集 不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称 为不可能事件．
4．两个事件的关系和运算
事件的关 系或运算 含义 符号表示 图形表示
包含 A发生导致 B发生 A B
并事件 (和事件) A与B至少一个发生 A∪B或A＋B
交事件 (积事件) A与B同时发生 A∩B或AB
互斥(互 不相容) A与B不能同时发生 A∩B＝
互为对立 A与B有且仅有一个发生 A∩B＝ ，A∪B＝Ω
提醒：对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件．
5．频率与概率
(1)事件的概率
对随机事件发生可能性大小的度量(数值)称为事件的概率，事件A的概率用P(A)表示．
(2)频率的稳定性
一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A)．我们称频率的这个性质为频率的稳定．
考点一 随机事件与样本空间
1．下列事件中是必然事件的是(　　)
A．任意买一张电影票，座位号是2的倍数
B．13个人中至少有两个人生肖相同
C．车辆随机到达一个路口，遇到红灯
D．明天一定下雨
【答案】B　
【解析】生肖有12个，因此13个人中必定至少有2个人的生肖相同，所以“13个人中至少有两个人生肖相同”是必然事件．
2. (多选)袋中装有标号分别为1、3、5、7的四个相同的小球，从中取出两个，下列事件是基本事件的是(　　)
A．取出的两球标号为3和7
B．取出的两球标号的和为4
C．取出的两球的标号都大于3
D．取出的两球的标号的和为8
【答案】ABC　
【解析】基本事件即只含有一个样本点的事件，选项A，B，C都只含有一个样本点，是基本事件，D中包含取出标号为1和7,3和5两个样本点，所以D不是基本事件．]
3．从1,2,3，…，10中任意选一个数，这个试验的样本空间为________，“它是偶数”这一事件包含的样本点个数为________．
【答案】Ω＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}　5　
【解析】任选一个数，共有10种不同选法，故样本空间为Ω＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，其中偶数共有5种，故“它是偶数”这一事件包含的样本点个数为5.
1.判断事件类型要看事件的发生是否具有随机性，搞清事件的条件．
2．确定样本空间的方法
(1)必须明确事件发生的条件；
(2)根据题意，按一定的次序列出问题的答案．特别要注意结果出现的机会是均等的，按规律去写，要做到既不重复也不遗漏．
考点二　事件的关系与运算
1．（2022·全国·高一课时练习）设M，N为两个随机事件，如果M，N为互斥事件，那么（ ）
A．是必然事件 B．是必然事件
C．与一定为互斥事件 D．与一定不为互斥事件
【答案】A
【分析】根据对立事件和互斥事件的定义，再借助维恩图即可求解.
【详解】因为M，N为互斥事件，则有以下两种情况，如图所示
（第一种情况）
（第二种情况）
无论哪种情况，均是必然事件．故A正确．如果是第一种情况，不是必然事件，故B不正确，如果是第一种情况，与不一定为互斥事件，故C不正确，如果是第二种情况，与一定为互斥事件，故D不正确.
故选：A.
2．（2022·全国·高一课时练习）对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设“两次都击中飞机”，“两次都没击中飞机”，“恰有一次击中飞机”，“至少有一次击中飞机”，下列关系不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据事件的描述，判断事件间的关系，进而确定各选项的正误.
【详解】A：事件A包含于事件D，正确．
B：由事件B，D不能同时发生，所以，正确．
C：事件指至少有一次击中飞机，即事件D，正确．
D：由至少有一次击中飞机，不是必然事件；而为必然事件，所以，不正确．
故选：D．
3．（2022·贵州遵义·高一期末）若事件与相互独立，且，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用和事件及独立事件概率公式即得.
【详解】∵事件与相互独立，且，，
∴.
故选：D.
4．（2022·江苏·金沙中学高一期末）（多选）某校高一（17）班有甲、乙、丙三名学生参加数学竞赛，记事件为“三名学生都是女生”，事件为“三名学生都是男生”，事件为“三名学生至少有一名是男生”，事件为“三名学生不都是女生”，则（ ）
A． B．事件与事件互斥
C． D．事件与事件对立
【答案】ABD
【分析】由独立乘法公式求，根据事件的描述，结合互斥、对立事件的概念判断B、C、D即可.
【详解】由甲、乙、丙为女生的概率均为，则，A正确；
两事件不可能同时发生，为互斥事件，B正确；
事件包含：三名学生有一名男生、三名学生有两名男生、三名学生都是男生，其对立事件为，D正确；
事件包含：三名学生都是男生、三名学生有一名男生、三名学生有两名男生，与事件含义相同，故，C错误；
故选：ABD
5．（2022·全国·高一课时练习）（多选）一批产品共有100件，其中5件是次品，95件是合格品．从这批产品中任意抽取5件，给出以下四个事件：
事件A：恰有一件次品；
事件B：至少有两件次品；
事件C：至少有一件次品；
事件D：至多有一件次品．
下列选项正确的是（ ）
A． B．是必然事件
C． D．
【答案】AB
【分析】根据已知条件以及利用和事件、积事件的定义进行判断.
【详解】对于A选项，事件指至少有一件次品，即事件C，故A正确；
对于B选项，事件指至少有两件次品或至多有一件次品，次品件数包含0到5，即代表了所有情况，故B正确；
对于C选项，事件A和B不可能同时发生，即事件，故C错误；
对于D选项，事件指恰有一件次品，即事件A，而事件A和C不同，故D错误．
故选：AB．
1．判断互斥、对立事件的两种方法
(1)定义法：判断互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件．
(2)集合法：①由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，则事件互斥．
②事件A的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集．
2．进行事件的运算时，一是要紧扣运算的定义，二是要全面考虑同一条件下的试验可能出现的全部结果，必要时可列出全部的试验结果进行分析．也可类比集合的关系和运算用Venn图分析事件．
考点三 随机事件的频率与概率　
1．（2022·全国·高一课时练习）某人将一枚硬币连抛20次，正面朝上的情况出现了12次.若用A表示事件“正面向上”，则A的（ ）
A．频率为 B．概率为 C．频率为 D．概率接近
【答案】A
【分析】根据频率和概率的知识确定正确选项.
【详解】依题意可知，事件的频率为，概率为.
所以A选项正确，BCD选项错误.
故选：A
2．（2022·全国·高一课时练习）将容量为100的样本数据，由小到大排列，分成8个小组，如下表所示：
组号 1 2 3 4 5 6 7 8
频数 10 13 14 14 15 13 12 9
第3组的频率和累积频率分别为（ ）
A．0.14，0.37 B．， C．0.03，0.06 D．，
【答案】A
【分析】根据频数分布表和频率概念求解即可。
【详解】由表可知，第3组的频率为，累积频率为。
故选：A
3．（2022·全国·高一课时练习）（多选）下列命题中正确的有（ ）
A．设有一批产品，其次品率为0.05，则从中任取200件，必有10件是次品
B．做100次抛硬币的试验，结果51次出现正面，因此，出现正面的概率是
C．用某种药物对患有胃溃疡的500名病人进行治疗，结果有380人有明显的疗效．现在胃溃疡的病人服用此药，则有明显疗效的可能性为
D．抛掷骰子100次，得点数是1的结果18次，则出现1点的频率是
【答案】CD
【分析】频率在一定程度上反映了事件发生的可能性大小，频率是概率的一个近似。频率是一个对象出现的频数和总数的比值，概率则是一个事件自身的属性，仔细分析题意即可求解.
【详解】次品率为0.05，只是反映次品在这批产品中的占比情况，从中任取200件，不一定有10件是次品，A错误. 做100次抛硬币的试验，结果51次出现正面,只能说正面的频率是，而概率是，B错误. 对患有胃溃疡的500名病人进行治疗，结果有380人有明显的疗效,可以说有明显疗效的可能性为，C正确. 抛掷骰子100次，得点数是1的结果18次，出现1点的频率是，D正确.
故选：CD
4．（2022·全国·高一课时练习）某篮球运动员在最近几场大赛中投篮进球次数的统计结果如下：
投篮次数 8 10 12 9 10 16 15 13
进球次数 6 8 9 7 7 12 11 10
进球频率
(1)在表中直接填写进球的频率；
(2)这位运动员投篮一次进球的概率约是多少？
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意得:频率，分别算出即可.
（2）在同一条件下进行大量试验，频率会稳定在一个常数附近，将这个常数视作频率的估计值即可.
（1）表中从左到右依次填:.
（2）由于进球频率都在左右摆动，故这位运动员投篮一次进球的概率约是.
频率与概率的区别
频率 本身是随机的，在试验之前是无法确定的，在相同的条件下做同样次数的重复试验，得到的事件的频率值也可能会不同
概率 本身是一个在[0,1]内的确定值，不随试验结果的改变而改变
1．（2022·全国·高考真题（理））某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为，且．记该棋手连胜两盘的概率为p，则（ ）
A．p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关 B．该棋手在第二盘与甲比赛，p最大
C．该棋手在第二盘与乙比赛，p最大 D．该棋手在第二盘与丙比赛，p最大
【答案】D
【分析】该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘.分别求得该棋手在第二盘与甲比赛且连胜两盘的概率；该棋手在第二盘与乙比赛且连胜两盘的概率；该棋手在第二盘与丙比赛且连胜两盘的概率.并对三者进行比较即可解决
【详解】该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘，
记该棋手在第二盘与甲比赛，比赛顺序为乙甲丙及丙甲乙的概率均为，
则此时连胜两盘的概率为
则
；
记该棋手在第二盘与乙比赛，且连胜两盘的概率为，
则
记该棋手在第二盘与丙比赛，且连胜两盘的概率为
则
则
即，，
则该棋手在第二盘与丙比赛，最大.选项D判断正确；选项BC判断错误；
与该棋手与甲、乙、丙的比赛次序有关.选项A判断错误.
故选：D
2．（2020·天津·高考真题）已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为和．假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为_________；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为_________．
【答案】
【分析】根据相互独立事件同时发生的概率关系，即可求出两球都落入盒子的概率；同理可求两球都不落入盒子的概率，进而求出至少一球落入盒子的概率.
【详解】甲、乙两球落入盒子的概率分别为，
且两球是否落入盒子互不影响，
所以甲、乙都落入盒子的概率为，
甲、乙两球都不落入盒子的概率为，
所以甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为.
故答案为：；.
3．（2022·全国·高考真题）在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图：
(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
(2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间的概率；
(3)已知该地区这种疾病的患病率为，该地区年龄位于区间的人口占该地区总人口的.从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间，求此人患这种疾病的概率．（以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.0001）.
【答案】(1)岁；
(2)；
(3)．
【分析】（1）根据平均值等于各矩形的面积乘以对应区间的中点值的和即可求出；
（2）设{一人患这种疾病的年龄在区间}，根据对立事件的概率公式即可解出；
（3）根据条件概率公式即可求出．
（1）平均年龄 （岁）．
（2）设{一人患这种疾病的年龄在区间}，所以．
（3）设“任选一人年龄位于区间[40,50)”，“从该地区中任选一人患这种疾病”，则由已知得：,则由条件概率公式可得从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间，此人患这种疾病的概率为．
一、选择题
1．下列说法正确的是(　　)
A．某人打靶，射击10次，中靶7次，则此人中靶的概率为0.7
B．一位同学做抛硬币试验，抛6次，一定有3次“正面朝上”
C．某地发行一种彩票，回报率为47%，若有人花了100元钱买此种彩票，则一定会有47元的回报
D．用某种药物对患有胃溃疡的500名病人进行治疗，结果有380人有明显的疗效，现在胃溃疡病人服用此药，则可估计有明显疗效的概率约为0.76
【答案】D　
【解析】A项，此人中靶的频率为0.7，是一个随机事件，错误；B项是一个随机事件，不一定有3次“正面向上”，错误；C项是一个随机事件，中奖或不中奖都有可能，但事先无法预料，错误；D正确．
2．某校高一年级要组建数学、计算机、航空模型三个兴趣小组，某学生只选报其中的2个，则样本点共有(　　)
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
【答案】C　
【解析】该生选报的所有可能情况是：数学和计算机、数学和航空模型、计算机和航空模型，所以样本点有3个．
3．在手工课上，老师将5个环(颜色分别为蓝、黑、红、黄、绿)分发给甲、乙、丙、丁、戊五位同学加工制作，每人分得一个，则事件“甲分得红环”与“乙分得红环”(　　)
A．是对立事件
B．是不可能事件
C．是互斥但不是对立事件
D．不是互斥事件
【答案】C　
【解析】甲、乙不可能同时得到红环，因而这两个事件是互斥事件；又甲、乙可能都得不到红环，即“甲或乙分得红环”事件不是必然事件，故这两个事件不是对立事件．故选C．
4．向上抛掷一枚均匀的骰子两次，事件A表示两次点数之和小于10，事件B表示两次点数之和能被5整除，则事件B用样本点表示为(　　)
A．{(5,5)} B．{(4,6)，(5,5)}
C．{(6,5)，(5,5)} D．{(4,6)，(6,4)，(5,5)}
【答案】　D
5．在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1 200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压．为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作．已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1 600份的概率为0.05.志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者(　　)
A．10名 B．18名
C．24名 D．32名
【答案】B　
【解析】由题意知超市第二天能完成1 200份订单的配货，如果没有志愿者帮忙，则超市第二天共会积压超过500＋(1 600－1 200)＝900(份)订单的概率为0.05，因此要使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，至少需要志愿者＝18(名)，故选B．
6．有一批货物需要用汽车从生产商所在城市甲运至销售商所在城市乙，已知从城市甲到城市乙只有两条公路，据调查统计，通过这两条公路从城市甲到城市乙的200辆汽车所用时间的频数分布情况如下表所示：
所用时间(天数) 10 11 12 13
通过公路1的频数 20 40 20 20
通过公路2的频数 10 40 40 10
假设汽车A只能在约定日期(某月某日)的前11天出发，汽车B只能在约定日期的前12天出发(将频率视为概率)，为了在各自允许的时间内将货物运至城市乙，汽车A和汽车B选择的最佳路径分别为(　　)
A．公路1和公路2 B．公路2和公路1
C．公路2和公路2 D．公路1和公路1
【答案】A　
【解析】通过公路1到城市乙用时10,11,12,13天的频率分别为0.2,0.4,0.2,0.2；
通过公路2到城市乙用时10,11,12,13天的频率分别为0.1,0.4,0.4,0.1，
设A1，A2分别表示汽车A在约定日期前11天出发，选择公路1,2将货物运往城市乙．
B1，B2分别表示汽车B在约定日期前12天出发选择公路1,2将货物运往城市乙，
则P(A1)＝0.2＋0.4＝0.6，P(A2)＝0.1＋0.4＝0.5，
P(B1)＝0.2＋0.4＋0.2＝0.8，P(B2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9，
所以汽车A最好选择公路1，汽车B最好选择公路2.
7．(多选)下列各组事件中是互斥事件的是(　　)
A．一个射手进行一次射击，命中环数大于8与命中环数小于6
B．统计一个班的数学成绩，平均分不低于90分与平均分不高于90分
C．播种100粒菜籽，发芽90粒与发芽80粒
D．检验某种产品，合格率高于70%与合格率低于70%
【答案】ACD　
【解析】对于A，一个射手进行一次射击，命中环数大于8与命中环数小于6，不可能同时发生，故A中两事件为互斥事件；对于B，设事件A1为平均分不低于90分，事件A2为平均分不高于90分，则A1∩A2为平均分等于90分，A1，A2可能同时发生，故它们不是互斥事件；对于C，播种菜籽100粒，发芽90粒与发芽80粒，不可能同时发生，故C中两事件为互斥事件；对于D，检验某种产品，合格率高于70%与合格率低于70%，不可能同时发生，故D中两事件为互斥事件．
8．(多选)下列说法正确的是(　　)
A．若事件A与B互斥，则A∪B是必然事件
B．《西游记》《三国演义》《水浒传》《红楼梦》是我国四大名著．若在这四大名著中，甲、乙、丙、丁分别任取一本进行阅读，设事件E＝“甲取到《红楼梦》”，事件F＝“乙取到《红楼梦》”，则E与F是互斥但不对立事件
C．掷一枚骰子，记录其向上的点数，记事件A＝“向上的点数不大于5”，事件B＝“向上的点数为质数”，则B A
D．10个产品中有2个次品，从中抽取一个产品检查其质量，则样本空间含有2个样本点
【答案】BCD　
【解析】对于A，事件A与B互斥时，A∪B不一定是必然事件，故A不正确；对于B，事件E与F不会同时发生，所以E与F是互斥事件，但除了事件E与F之外还有“丙取到红楼梦”“丁取到红楼梦”，所以E与F不是对立事件，故E与F是互斥不对立事件，B正确；对于C，事件A＝{1,2,3,4,5}，事件B＝{2,3,5}，所以B包含于A，C正确；对于D，样本空间Ω＝{正品，次品}，含有2个样本点，故D正确．
二、填空题
9．我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为____________．
【答案】0.98　
【解析】经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为＝0.98.
10．袋中装有红、白、黄、黑除颜色外其他方面都相同的四个小球，从中任取一球的样本空间Ω1＝________，从中任取两球的样本空间Ω2＝________.
【答案】{红，白，黄，黑}　{(红，白)，(红，黄)，(红，黑)，(白，黄)，(白，黑)，(黄，黑)}　
【解析】从中任取一球有4种可能，分别为红、白、黄、黑，构成的样本空间Ω1＝{红，白，黄，黑}．从中任取两球有6种可能，分别为(红，白)，(红，黄)，(红，黑)，(白，黄)，(白，黑)，(黄，黑)，构成的样本空间Ω2＝{(红，白)，(红，黄)，(红，黑)，(白，黄)，(白，黑)，(黄，黑)}．
11．某种心脏病手术，成功率为0.6，现准备进行3例此种手术，利用计算机取整数值随机数模拟，用0,1,2,3代表手术不成功，用4,5,6,7,8,9代表手术成功，产生20组随机数；
966,907,191,924,270,832,912,468,578,582,134,370,113,573,998,397,027,488,703,725，则恰好成功1例的概率为________．
【答案】0.4　
【解析】设恰好成功1例的事件为A，A所包含的样本点为{191,270,832,912,134,370,027,703}，共8个．则恰好成功1例的概率为P(A)＝＝0.4.
三、解答题
12．用红、黄、蓝三种不同的颜色给大小相同的三个圆随机涂色，每个圆只涂一种颜色．设事件A＝“三个圆的颜色全不相同”，事件B＝“三个圆的颜色不全相同”，事件C＝“其中两个圆的颜色相同”，事件D＝“三个圆的颜色全相同”．
(1)写出试验的样本空间；
(2)用集合的形式表示事件A，B，C，D；
(3)事件B与事件C有什么关系？事件A和B的交事件与事件D有什么关系？
【解析】(1)用数组(a，b，c)表示可能的结果，a，b，c分别表示三个圆所涂的颜色，则试验的样本空间
Ω＝{(红，红，红)，(黄，黄，黄)，(蓝，蓝，蓝)，(红，红，黄)，(红，红，蓝)，(蓝，蓝，红)，(蓝，蓝，黄)，(黄，黄，红)，(黄，黄，蓝)，(红，黄，蓝)}．
(2)A＝{(红，黄，蓝)}，B＝{(红，红，黄)，(红，红，蓝)，(蓝，蓝，红)，(蓝，蓝，黄)，(黄，黄，红)，(黄，黄，蓝)，(红，黄，蓝)}，C＝{(红，红，黄)，(红，红，蓝)，(蓝，蓝，红)，(蓝，蓝，黄)，(黄，黄，红)，(黄，黄，蓝)}，D＝{(红，红，红)，(黄，黄，黄)，(蓝，蓝，蓝)}．
(3)由(2)可知C B，A∩B＝A，A与D互斥，所以事件B包含事件C，事件A和B的交事件与事件D互斥．
13. 某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品(单位：件)按标准分为A，B，C，D四个等级．加工业务约定：对于A级品、B级品、C级品，厂家每件分别收取加工费90元，50元，20元；对于D级品，厂家每件要赔偿原料损失费50元．该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务．甲分厂加工成本费为25元/件，乙分厂加工成本费为20元/件．厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了100件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下：
甲分厂产品等级的频数分布表
等级 A B C D
频数 40 20 20 20
乙分厂产品等级的频数分布表
等级 A B C D
频数 28 17 34 21
(1)分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率；
(2)分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应选哪个分厂承接加工业务？
【解析】(1)由试加工产品等级的频数分布表知，
甲分厂加工出来的一件产品为A级品的概率的估计值为＝0.4；
乙分厂加工出来的一件产品为A级品的概率的估计值为＝0.28.
(2)由数据知甲分厂加工出来的100件产品利润的频数分布表为
利润 65 25 －5 －75
频数 40 20 20 20
因此甲分厂加工出来的100件产品的平均利润为＝15.
由数据知乙分厂加工出来的100件产品利润的频数分布表为
利润 70 30 0 －70
频数 28 17 34 21
因此乙分厂加工出来的100件产品的平均利润为
＝10.
比较甲、乙两分厂加工的产品的平均利润，厂家应选甲分厂承接加工业务．
14．某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
最高气温 [10,15) [15,20) [20,25) [25,30) [30,35) [35,40)
天数 2 16 36 25 7 4
以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率．
(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；
(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)．当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率．
【解析】　(1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25，由表格数据知，最高气温低于25的频率为＝0.6，所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6.
(2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时，
若最高气温不低于25，则Y＝6×450－4×450＝900；
若最高气温位于区间[20,25)，则Y＝6×300＋2×(450－300)－4×450＝300；
若最高气温低于20，则Y＝6×200＋2×(450－200)－4×450＝－100.
所以，Y的所有可能值为900,300，－100.
Y大于零当且仅当最高气温不低于20，由表格数据知，最高气温不低于20的频率为＝0.8，因此Y大于零的概率的估计值为0.8.中小学教育资源及组卷应用平台
第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布
专题3.1：随机事件、频率与概率
1.结合具体实例，理解样本点和有限样本空间的含义，理解随机事件与样本点的关系.
2.了解随机事件的并、交与互斥的含义，掌握随机事件概率的运算法则.
3.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义以及频率与概率的区别．
1．随机试验及其特点
(1)定义：对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验，常用字母E表示．
(2)特点：
①试验可以在相同条件下 进行；
②试验的所有可能结果是 ，并且 ；
③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果．
2．样本空间
(1)随机试验E的每个可能的 称为样本点，常用ω表示；
(2) 的集合称为试验E的样本空间，常用Ω表示样本空间，称样本空间Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}为有限样本空间．
3．事件的分类
(1)随机事件
我们将 称为随机事件，简称事件，并把 称为基本事件．随机事件一般用大写字母A，B，C，…表示．在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生．
(2)必然事件
Ω作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以Ω总会发生，我们称 为必然事件．
(3)不可能事件
空集 不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称 为不可能事件．
4．两个事件的关系和运算
事件的关 系或运算 含义 符号表示 图形表示
包含 A发生导致 B发生
并事件 (和事件) A与B至少一个发生
交事件 (积事件) A与B同时发生
互斥(互 不相容) A与B不能同时发生
互为对立 A与B有且仅有一个发生 A∩B＝ ，A∪B＝Ω
提醒：对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件．
5．频率与概率
(1)事件的概率
对随机事件 称为事件的概率，事件A的概率用P(A)表示．
(2)频率的稳定性
一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会 ，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐 事件A发生的概率P(A)．我们称频率的这个性质为频率的稳定．
考点一 随机事件与样本空间
1．下列事件中是必然事件的是(　　)
A．任意买一张电影票，座位号是2的倍数
B．13个人中至少有两个人生肖相同
C．车辆随机到达一个路口，遇到红灯
D．明天一定下雨
【答案】B　
【解析】生肖有12个，因此13个人中必定至少有2个人的生肖相同，所以“13个人中至少有两个人生肖相同”是必然事件．
2. (多选)袋中装有标号分别为1、3、5、7的四个相同的小球，从中取出两个，下列事件是基本事件的是(　　)
A．取出的两球标号为3和7
B．取出的两球标号的和为4
C．取出的两球的标号都大于3
D．取出的两球的标号的和为8
【答案】ABC　
【解析】基本事件即只含有一个样本点的事件，选项A，B，C都只含有一个样本点，是基本事件，D中包含取出标号为1和7,3和5两个样本点，所以D不是基本事件．]
3．从1,2,3，…，10中任意选一个数，这个试验的样本空间为________，“它是偶数”这一事件包含的样本点个数为________．
【答案】Ω＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}　5　
【解析】任选一个数，共有10种不同选法，故样本空间为Ω＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，其中偶数共有5种，故“它是偶数”这一事件包含的样本点个数为5.
1.判断事件类型要看事件的发生是否具有随机性，搞清事件的条件．
2．确定样本空间的方法
(1)必须明确事件发生的条件；
(2)根据题意，按一定的次序列出问题的答案．特别要注意结果出现的机会是均等的，按规律去写，要做到既不重复也不遗漏．
考点二　事件的关系与运算
1．（2022·全国·高一课时练习）设M，N为两个随机事件，如果M，N为互斥事件，那么（ ）
A．是必然事件 B．是必然事件
C．与一定为互斥事件 D．与一定不为互斥事件
【答案】A
【分析】根据对立事件和互斥事件的定义，再借助维恩图即可求解.
【详解】因为M，N为互斥事件，则有以下两种情况，如图所示
（第一种情况）
（第二种情况）
无论哪种情况，均是必然事件．故A正确．如果是第一种情况，不是必然事件，故B不正确，如果是第一种情况，与不一定为互斥事件，故C不正确，如果是第二种情况，与一定为互斥事件，故D不正确.
故选：A.
2．（2022·全国·高一课时练习）对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设“两次都击中飞机”，“两次都没击中飞机”，“恰有一次击中飞机”，“至少有一次击中飞机”，下列关系不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据事件的描述，判断事件间的关系，进而确定各选项的正误.
【详解】A：事件A包含于事件D，正确．
B：由事件B，D不能同时发生，所以，正确．
C：事件指至少有一次击中飞机，即事件D，正确．
D：由至少有一次击中飞机，不是必然事件；而为必然事件，所以，不正确．
故选：D．
3．（2022·贵州遵义·高一期末）若事件与相互独立，且，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用和事件及独立事件概率公式即得.
【详解】∵事件与相互独立，且，，
∴.
故选：D.
4．（2022·江苏·金沙中学高一期末）（多选）某校高一（17）班有甲、乙、丙三名学生参加数学竞赛，记事件为“三名学生都是女生”，事件为“三名学生都是男生”，事件为“三名学生至少有一名是男生”，事件为“三名学生不都是女生”，则（ ）
A． B．事件与事件互斥
C． D．事件与事件对立
【答案】ABD
【分析】由独立乘法公式求，根据事件的描述，结合互斥、对立事件的概念判断B、C、D即可.
【详解】由甲、乙、丙为女生的概率均为，则，A正确；
两事件不可能同时发生，为互斥事件，B正确；
事件包含：三名学生有一名男生、三名学生有两名男生、三名学生都是男生，其对立事件为，D正确；
事件包含：三名学生都是男生、三名学生有一名男生、三名学生有两名男生，与事件含义相同，故，C错误；
故选：ABD
5．（2022·全国·高一课时练习）（多选）一批产品共有100件，其中5件是次品，95件是合格品．从这批产品中任意抽取5件，给出以下四个事件：
事件A：恰有一件次品；
事件B：至少有两件次品；
事件C：至少有一件次品；
事件D：至多有一件次品．
下列选项正确的是（ ）
A． B．是必然事件
C． D．
【答案】AB
【分析】根据已知条件以及利用和事件、积事件的定义进行判断.
【详解】对于A选项，事件指至少有一件次品，即事件C，故A正确；
对于B选项，事件指至少有两件次品或至多有一件次品，次品件数包含0到5，即代表了所有情况，故B正确；
对于C选项，事件A和B不可能同时发生，即事件，故C错误；
对于D选项，事件指恰有一件次品，即事件A，而事件A和C不同，故D错误．
故选：AB．
1．判断互斥、对立事件的两种方法
(1)定义法：判断互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件．
(2)集合法：①由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，则事件互斥．
②事件A的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集．
2．进行事件的运算时，一是要紧扣运算的定义，二是要全面考虑同一条件下的试验可能出现的全部结果，必要时可列出全部的试验结果进行分析．也可类比集合的关系和运算用Venn图分析事件．
考点三 随机事件的频率与概率　
1．（2022·全国·高一课时练习）某人将一枚硬币连抛20次，正面朝上的情况出现了12次.若用A表示事件“正面向上”，则A的（ ）
A．频率为 B．概率为 C．频率为 D．概率接近
【答案】A
【分析】根据频率和概率的知识确定正确选项.
【详解】依题意可知，事件的频率为，概率为.
所以A选项正确，BCD选项错误.
故选：A
2．（2022·全国·高一课时练习）将容量为100的样本数据，由小到大排列，分成8个小组，如下表所示：
组号 1 2 3 4 5 6 7 8
频数 10 13 14 14 15 13 12 9
第3组的频率和累积频率分别为（ ）
A．0.14，0.37 B．， C．0.03，0.06 D．，
【答案】A
【分析】根据频数分布表和频率概念求解即可。
【详解】由表可知，第3组的频率为，累积频率为。
故选：A
3．（2022·全国·高一课时练习）（多选）下列命题中正确的有（ ）
A．设有一批产品，其次品率为0.05，则从中任取200件，必有10件是次品
B．做100次抛硬币的试验，结果51次出现正面，因此，出现正面的概率是
C．用某种药物对患有胃溃疡的500名病人进行治疗，结果有380人有明显的疗效．现在胃溃疡的病人服用此药，则有明显疗效的可能性为
D．抛掷骰子100次，得点数是1的结果18次，则出现1点的频率是
【答案】CD
【分析】频率在一定程度上反映了事件发生的可能性大小，频率是概率的一个近似。频率是一个对象出现的频数和总数的比值，概率则是一个事件自身的属性，仔细分析题意即可求解.
【详解】次品率为0.05，只是反映次品在这批产品中的占比情况，从中任取200件，不一定有10件是次品，A错误. 做100次抛硬币的试验，结果51次出现正面,只能说正面的频率是，而概率是，B错误. 对患有胃溃疡的500名病人进行治疗，结果有380人有明显的疗效,可以说有明显疗效的可能性为，C正确. 抛掷骰子100次，得点数是1的结果18次，出现1点的频率是，D正确.
故选：CD
4．（2022·全国·高一课时练习）某篮球运动员在最近几场大赛中投篮进球次数的统计结果如下：
投篮次数 8 10 12 9 10 16 15 13
进球次数 6 8 9 7 7 12 11 10
进球频率
(1)在表中直接填写进球的频率；
(2)这位运动员投篮一次进球的概率约是多少？
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意得:频率，分别算出即可.
（2）在同一条件下进行大量试验，频率会稳定在一个常数附近，将这个常数视作频率的估计值即可.
（1）表中从左到右依次填:.
（2）由于进球频率都在左右摆动，故这位运动员投篮一次进球的概率约是.
频率与概率的区别
频率 本身是随机的，在试验之前是无法确定的，在相同的条件下做同样次数的重复试验，得到的事件的频率值也可能会不同
概率 本身是一个在[0,1]内的确定值，不随试验结果的改变而改变
1．（2022·全国·高考真题（理））某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为，且．记该棋手连胜两盘的概率为p，则（ ）
A．p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关 B．该棋手在第二盘与甲比赛，p最大
C．该棋手在第二盘与乙比赛，p最大 D．该棋手在第二盘与丙比赛，p最大
【答案】D
【分析】该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘.分别求得该棋手在第二盘与甲比赛且连胜两盘的概率；该棋手在第二盘与乙比赛且连胜两盘的概率；该棋手在第二盘与丙比赛且连胜两盘的概率.并对三者进行比较即可解决
【详解】该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘，
记该棋手在第二盘与甲比赛，比赛顺序为乙甲丙及丙甲乙的概率均为，
则此时连胜两盘的概率为
则
；
记该棋手在第二盘与乙比赛，且连胜两盘的概率为，
则
记该棋手在第二盘与丙比赛，且连胜两盘的概率为
则
则
即，，
则该棋手在第二盘与丙比赛，最大.选项D判断正确；选项BC判断错误；
与该棋手与甲、乙、丙的比赛次序有关.选项A判断错误.
故选：D
2．（2020·天津·高考真题）已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为和．假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为_________；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为_________．
【答案】
【分析】根据相互独立事件同时发生的概率关系，即可求出两球都落入盒子的概率；同理可求两球都不落入盒子的概率，进而求出至少一球落入盒子的概率.
【详解】甲、乙两球落入盒子的概率分别为，
且两球是否落入盒子互不影响，
所以甲、乙都落入盒子的概率为，
甲、乙两球都不落入盒子的概率为，
所以甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为.
故答案为：；.
3．（2022·全国·高考真题）在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图：
(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
(2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间的概率；
(3)已知该地区这种疾病的患病率为，该地区年龄位于区间的人口占该地区总人口的.从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间，求此人患这种疾病的概率．（以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.0001）.
【答案】(1)岁；
(2)；
(3)．
【分析】（1）根据平均值等于各矩形的面积乘以对应区间的中点值的和即可求出；
（2）设{一人患这种疾病的年龄在区间}，根据对立事件的概率公式即可解出；
（3）根据条件概率公式即可求出．
（1）平均年龄 （岁）．
（2）设{一人患这种疾病的年龄在区间}，所以．
（3）设“任选一人年龄位于区间[40,50)”，“从该地区中任选一人患这种疾病”，则由已知得：,则由条件概率公式可得从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间，此人患这种疾病的概率为．
一、选择题
1．下列说法正确的是(　　)
A．某人打靶，射击10次，中靶7次，则此人中靶的概率为0.7
B．一位同学做抛硬币试验，抛6次，一定有3次“正面朝上”
C．某地发行一种彩票，回报率为47%，若有人花了100元钱买此种彩票，则一定会有47元的回报
D．用某种药物对患有胃溃疡的500名病人进行治疗，结果有380人有明显的疗效，现在胃溃疡病人服用此药，则可估计有明显疗效的概率约为0.76
2．某校高一年级要组建数学、计算机、航空模型三个兴趣小组，某学生只选报其中的2个，则样本点共有(　　)
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
3．在手工课上，老师将5个环(颜色分别为蓝、黑、红、黄、绿)分发给甲、乙、丙、丁、戊五位同学加工制作，每人分得一个，则事件“甲分得红环”与“乙分得红环”(　　)
A．是对立事件
B．是不可能事件
C．是互斥但不是对立事件
D．不是互斥事件
　
【解析】甲、乙不可能同时得到红环，因而这两个事件是互斥事件；又甲、乙可能都得不到红环，即“甲或乙分得红环”事件不是必然事件，故这两个事件不是对立事件．故选C．
4．向上抛掷一枚均匀的骰子两次，事件A表示两次点数之和小于10，事件B表示两次点数之和能被5整除，则事件B用样本点表示为(　　)
A．{(5,5)} B．{(4,6)，(5,5)}
C．{(6,5)，(5,5)} D．{(4,6)，(6,4)，(5,5)}
5．在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1 200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压．为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作．已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1 600份的概率为0.05.志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者(　　)
A．10名 B．18名
C．24名 D．32名
6．有一批货物需要用汽车从生产商所在城市甲运至销售商所在城市乙，已知从城市甲到城市乙只有两条公路，据调查统计，通过这两条公路从城市甲到城市乙的200辆汽车所用时间的频数分布情况如下表所示：
所用时间(天数) 10 11 12 13
通过公路1的频数 20 40 20 20
通过公路2的频数 10 40 40 10
假设汽车A只能在约定日期(某月某日)的前11天出发，汽车B只能在约定日期的前12天出发(将频率视为概率)，为了在各自允许的时间内将货物运至城市乙，汽车A和汽车B选择的最佳路径分别为(　　)
A．公路1和公路2 B．公路2和公路1
C．公路2和公路2 D．公路1和公路1
7．(多选)下列各组事件中是互斥事件的是(　　)
A．一个射手进行一次射击，命中环数大于8与命中环数小于6
B．统计一个班的数学成绩，平均分不低于90分与平均分不高于90分
C．播种100粒菜籽，发芽90粒与发芽80粒
D．检验某种产品，合格率高于70%与合格率低于70%
　
【解析】对于A，一个射手进行一次射击，命中环数大于8与命中环数小于6，不可能同时发生，故A中两事件为互斥事件；对于B，设事件A1为平均分不低于90分，事件A2为平均分不高于90分，则A1∩A2为平均分等于90分，A1，A2可能同时发生，故它们不是互斥事件；对于C，播种菜籽100粒，发芽90粒与发芽80粒，不可能同时发生，故C中两事件为互斥事件；对于D，检验某种产品，合格率高于70%与合格率低于70%，不可能同时发生，故D中两事件为互斥事件．
8．(多选)下列说法正确的是(　　)
A．若事件A与B互斥，则A∪B是必然事件
B．《西游记》《三国演义》《水浒传》《红楼梦》是我国四大名著．若在这四大名著中，甲、乙、丙、丁分别任取一本进行阅读，设事件E＝“甲取到《红楼梦》”，事件F＝“乙取到《红楼梦》”，则E与F是互斥但不对立事件
C．掷一枚骰子，记录其向上的点数，记事件A＝“向上的点数不大于5”，事件B＝“向上的点数为质数”，则B A
D．10个产品中有2个次品，从中抽取一个产品检查其质量，则样本空间含有2个样本点
二、填空题
9．我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为____________．
10．袋中装有红、白、黄、黑除颜色外其他方面都相同的四个小球，从中任取一球的样本空间Ω1＝________，从中任取两球的样本空间Ω2＝________.
11．某种心脏病手术，成功率为0.6，现准备进行3例此种手术，利用计算机取整数值随机数模拟，用0,1,2,3代表手术不成功，用4,5,6,7,8,9代表手术成功，产生20组随机数；
966,907,191,924,270,832,912,468,578,582,134,370,113,573,998,397,027,488,703,725，则恰好成功1例的概率为________．
三、解答题
12．用红、黄、蓝三种不同的颜色给大小相同的三个圆随机涂色，每个圆只涂一种颜色．设事件A＝“三个圆的颜色全不相同”，事件B＝“三个圆的颜色不全相同”，事件C＝“其中两个圆的颜色相同”，事件D＝“三个圆的颜色全相同”．
(1)写出试验的样本空间；
(2)用集合的形式表示事件A，B，C，D；
(3)事件B与事件C有什么关系？事件A和B的交事件与事件D有什么关系？
13. 某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品(单位：件)按标准分为A，B，C，D四个等级．加工业务约定：对于A级品、B级品、C级品，厂家每件分别收取加工费90元，50元，20元；对于D级品，厂家每件要赔偿原料损失费50元．该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务．甲分厂加工成本费为25元/件，乙分厂加工成本费为20元/件．厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了100件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下：
甲分厂产品等级的频数分布表
等级 A B C D
频数 40 20 20 20
乙分厂产品等级的频数分布表
等级 A B C D
频数 28 17 34 21
(1)分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率；
(2)分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应选哪个分厂承接加工业务？
14．某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
最高气温 [10,15) [15,20) [20,25) [25,30) [30,35) [35,40)
天数 2 16 36 25 7 4
以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率．
(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；
(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)．当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率．

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