资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布
专题4：事件的相互独立性、条件概率与全概率公式
1.了解两个事件相互独立的含义.
2.理解随机事件的独立性和条件概率的关系，会利用全概率公式计算概率．
1．事件的相互独立性
概念 对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝P(A)·P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立
性质 若事件A与事件B相互独立，则A与B]，与B，与也都相互独立，P(B|A)＝P(B)，P(A|B)＝P(A)
2.条件概率
(1)概念：一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称P(B|A)＝为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率．
提醒： P(B|A)与P(A|B)的意义不同，“|”后面的表示条件，一般情况下，二者不相等．
(2)性质：设P(B|A)>0，则
①P(Ω|A)＝1；
②任何事件的条件概率都在0和1之间，即0≤P(B|A)≤1；
③如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)；
④设和B互为对立事件，则P(|A)＝1－P(B|A)．
3．概率的乘法公式
由条件概率的定义知，若P(A)>0，则P(AB)＝P(A)P(B|A)，我们称该式为概率的乘法公式．
4．全概率公式
一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1,2，…，n，则对任意的事件B Ω，有P(B)＝P (Ai)P(B|Ai)，
我们称上面的公式为全概率公式．
5．贝叶斯公式(选学内容，不作考试要求)
(1)一般地，当0＜P(A)＜1且P(B)＞0时，有
P(A|B)＝
＝.
(2)定理2　若样本空间Ω中的事件A1，A2，…，An满足：
①任意两个事件均互斥，即AiAj＝ ，i，j＝1,2，…，n，i≠j；
②A1＋A2＋…＋An＝Ω；
③1＞P(Ai)＞0，i＝1,2，…，n.
则对Ω中的任意概率非零的事件B，B Ω，且P(B)＞0，有
P(Aj|B)＝＝.
提醒：贝叶斯公式充分体现了P(A|B)，P(A)，P(B)，P(B|A)，P(B|)，P(AB)之间的转化．即P(A|B)＝，P(AB)＝P(A|B)P(B)＝P(B|A)P(A)，P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)之间的内在联系．
相互独立事件与互斥事件的概率计算
概率 A，B互斥 A，B相互独立
P(A∪B) P(A)＋P(B) 1－P()P()
P(AB) 0 P(A)P(B)
P(A] ) 1－[P(A)＋P(B)] P()P()
P(AB]∪B) P(A)＋P(B) P(A)P()＋P()P(B)
考点一 事件的相互独立性
事件独立性的判定－－公式法
(2021·新高考Ⅰ卷)有6个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则(　　)
A．甲与丙相互独立　 B．甲与丁相互独立
C．乙与丙相互独立 D．丙与丁相互独立
【答案】B　
【解析】事件甲发生的概率P(甲)＝，事件乙发生的概率P(乙)＝，事件丙发生的概率P(丙)＝＝，事件丁发生的概率P(丁)＝＝.事件甲与事件丙同时发生的概率为0，P(甲丙)≠P(甲)P(丙)，故A错误；事件甲与事件丁同时发生的概率为＝，P(甲丁)＝P(甲)P(丁)，故B正确；事件乙与事件丙同时发生的概率为＝，P(乙丙)≠P(乙)P(丙)，故C错误；事件丙与事件丁是互斥事件，不是相互独立事件，故D错误．故选B．
(2021·枣庄期末)一个袋子中有标号分别为1,2,3,4的4个球，除标号外没有其他差异．采用不放回方式从中任意摸球两次，每次摸出一个球．记事件A＝“第一次摸出球的标号小于3”， 事件B＝“第二次摸出球的标号小于3”，事件C＝“摸出的两个球的标号之和为6”，事件D＝“摸出的两个球的标号之和不超过4”，则(　　)
A．A与B相互独立 B．A与D相互独立
C．B与C相互独立 D．B与D相互独立
【答案】C
【解析】设采用不放回方式从中任意摸球两次，每次摸出一个球，全部的基本事件有：
，，，，，，，，， ，，，共12个，
事件A发生包含的基本事件有：
，，，，，有6个，
事件B发生包含的基本事件有：，，，，，有6个，
所以P＝P＝＝，
事件C发生包含的基本事件：，有2个，P＝＝，
事件D发生包含的基本事件：，，，有4个，P＝＝，
事件AB发生包含的基本事件：，有2个，P＝＝，
因为PP＝×＝≠P，所以A与B相互独立不正确，故选项A错误；
事件AD发生包含的基本事件：，，有3个，P＝＝，
因为PP＝×＝≠P，所以A与D相互独立不正确，故选项B错误；
事件BC发生包含的基本事件：有1个，所以P＝，
因为PP＝×＝＝P，所以B与C相互独立，故选项C正确；
事件BD发生包含的基本事件：，，有3个，所以P＝＝，
因为PP＝×＝≠P，所以B与D相互独立不正确，故选项D错误．故选C．
相互独立事件的概率计算
(2019·全国Ⅱ卷)11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10∶10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束．甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立．在某局双方10∶10平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束．
(1)求P(X＝2)；
(2)求事件“X＝4且甲获胜”的概率．
【解析】　(1)X＝2就是10∶10平后，两人又打了2个球该局比赛结束，则这2个球均由甲得分，或者均由乙得分．因此P(X＝2)＝0.5×0.4＋(1－0.5)×(1－0.4)＝0.5.
(2)X＝4且甲获胜，就是10∶10平后，两人又打了4个球该局比赛结束，且这4个球的得分情况为前两球是甲、乙各得1分，后两球均为甲得分．
因此所求概率为
[0.5×(1－0.4)＋(1－0.5)×0.4]×0.5×0.4＝0.1.
1．两个事件是否相互独立的判断
(1)直接法：由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响．
(2)公式法：若P(AB)＝P(A)P(B)，则事件A，B为相互独立事件．
2．求相互独立事件同时发生的概率的方法
(1)首先判断几个事件的发生是否相互独立．
(2)求相互独立事件同时发生的概率的方法主要有：
①利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解．
②正面计算较繁或难以入手时，可从其对立事件入手计算．
考点二　条件概率
1．（2022·全国·高二课时练习）同时抛掷两个质地均匀的四面分别标有1，2，3，4的正四面体一次，记事件A表示“第一个四面体向下的一面出现偶数”，事件B表示“第二个四面体向下的一面出现奇数”，事件C表示“两个四面体向下的一面同时出现奇数或者同时出现偶数”，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AB
【分析】由相互独立事件的乘法公式可判断A、C、D；由条件概率公式可判断B；
【详解】由题意，，，
,故A正确．
所以，，所以，故B正确．
事件A，B，C不可能同时发生，故，故C错误；
，故D错误．
故选：AB．
2．（2022·浙江·高三开学考试）2022年8月7日是中国传统二十四节气“立秋”，该日，“秋天的第一杯奶茶”再度出圈，据此，学校社会实践小组随机调查了该地区100位奶茶爱好者的年龄，得到如下样本数据频率分布直方图.
(1)估计奶茶爱好者的平均年龄；（同一组数据用该区间的中点值作代表）
(2)估计奶茶爱好者年龄位于区间的概率；
(3)已知奶茶爱好者喜欢浙江奶茶品牌“古茗”的概率为，该地区奶茶爱好者年龄位于区间的人口数占该地区奶茶爱好者总人口数的，从该地区选出1名奶茶爱好者，若此人的年龄位于区间，求此人喜欢古茗的概率.
【答案】(1)（岁）
(2)
(3)
【分析】（1）根据频率分布直方图计算平均数即可；
（2）根据频率分布直方图计算奶茶爱好者年龄位于区间的频率即可求解；
（3）利用条件概率的概率公式即可求解.
（1）解：估计奶茶爱好者的平均年龄（岁）
（2）解：由题图，得奶茶爱好者年龄位于区间的频率为，
故奶茶爱好者年龄位于区间的概率为.
（3）解：设任选一名奶茶爱好者年龄位于区间,
设任选一名奶茶爱好者喜欢“古茗”
由条件概率公式可得：.
3．（2022·江苏·苏州中学高二期末）某校从学生会宣传部6名成员（其中男生4人，女生2人）中，任选3人参加某省举办的演讲比赛活动.
(1)设所选3人中女生人数为，求的分布列及数学期望；
(2)设“男生甲被选中”为事件，“女生乙被选中”为事件，求和.
【答案】(1)分布列答案见解析；数学期望.
(2)，
【分析】（1）的所有可能取值为0，1，2，计算出取不同值时的概率，即可得出分布列并求数学期望.
（2）根据古典概型和条件概率的计算公式计算即可.
（1）宣传部6名成员中有男生4人，女生2人.所以的所有可能取值为0，1，2.
则,,
所以随机变量的分布列为：
0 1 2
数学期望
（2）根据题意,,,
所以
求条件概率的两种方法
(1)利用定义，分别求P(A)和P(AB)，得P(B|A)＝，这是求条件概率的通法．
(2)缩小样本空间法，借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再求事件A与事件B的交事件中包含的基本事件数n(AB)，得P(B|A)＝.
考点三 全概率公式的应用
1．（2022·江苏·金沙中学高二阶段练习）一份新高考数学试卷中有8道单选题，小胡对其中5道题有思路，3道题完全没有思路.有思路的题做对的概率是，没有思路的题只能猜一个答案，猜对答案的概率为，则小胡从这8道题目中随机抽取1道做对的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用全概率公式求解即可.
【详解】设事件表示“考生答对”， 设事件表示“考生选到有思路的题”.
则小胡从这8道题目中随机抽取1道做对的概率为：
故选：C.
2．（2022·全国·高二课时练习）冬天的北方室外温度极低，若轻薄保暖的石墨烯发热膜能用在衣服上，将会大大地方便人们的出行．某科研人员制作石墨烯发热膜的过程分为三步，且第一步成功的概率为，若第一步成功，第二步失败的概率为，若前两步成功，第三步失败的概率为，则这位科研人员成功制作出石墨烯发热膜的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由对立事件、条件概率、全概率的公式代入即可得出答案.
【详解】记事件表示“制作石墨烯发热膜第i步时失败”（i＝1，2，3），
记事件B表示“成功制作出石墨烯发热膜”．因为，
所以．
故选：B.
3．（2022·全国·高二课时练习）甲、乙两人比赛乒乓球，甲先发球．假设甲发球不会失误，乙接甲发球的失误率为0.3，接甲回球的成功率为0.5，若乙回球成功后，甲回球的失误率为0.4，则乙在两个回合中丢分的概率为_______．
【答案】0.51
【分析】乙失误的情况有两种：①乙在第一次接球时失误；②乙在第二次回球时失误，即甲发球成功后，乙第一次回球成功，然后甲回球成功，乙回球失误．由条件概率和全概率公式分别求出其概率即可得出答案.
【详解】设事件表示“乙接甲发球成功”，事件A表示“甲第一次回球成功”，
事件表示“乙第二次回球成功”，
故乙在两个回合中丢分的概率，易知，，，
则，
故．
4．（2022·湖南师大附中高一期末）甲 乙两人组成“星队”参加趣味知识竞赛.比赛分两轮进行，每轮比赛答一道趣味题.在第一轮比赛中，答对题者得2分，答错题者得0分；在第二轮比赛中，答对题者得3分，答错题者得0分.已知甲 乙两人在第一轮比赛中答对题的概率都为p，在第二轮比赛中答对题的概率都为q.且在两轮比赛中答对与否互不影响.设定甲 乙两人先进行第一轮比赛，然后进行第二轮比赛，甲 乙两人的得分之和为“星队”总得分.已知在一次比赛中甲得2分的概率为，乙得5分的概率为.
(1)求p，q的值；
(2)求“星队”在一次比赛中的总得分为5分的概率.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据甲得2分的概率为，乙得5分的概率为，结合概率的公式求解即可；
（2）设分别表示在一次比赛中甲得分的事件，分别表示在一次比赛中乙得分的事件，根据题意可得所有可能的情况为，再计算即可
(1)设分别表示在一次比赛中甲得分的事件，分别表示在一次比赛中乙得分的事件.
因为在一次比赛中甲得2分的概率为，乙得5分的概率为，
所以，即，解得.
(2)由已知得，
，
，
，
设为“6星队'在一次比赛中的总得分为5分"，
则，
则
，
所以“星队”在一次比赛中的总得分为5分的概率是.
“化整为零”求多事件的全概率问题
(1)如图，P(B)＝P(Ai)P(B|Ai)．
(2)已知事件B的发生有各种可能的情形Ai(i＝1,2，…，n)，事件B发生的可能性，就是各种可能情形Ai发生的可能性与已知在Ai发生的条件下事件B发生的可能性的乘积之和．
1．（2022·全国·高考真题）一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据：
不够良好 良好
病例组 40 60
对照组 10 90
(1)能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？
(2)从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该疾病”．与的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R．
（ⅰ）证明：；
（ⅱ）利用该调查数据，给出的估计值，并利用（ⅰ）的结果给出R的估计值．
附，
0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
【答案】(1)答案见解析
(2)（i）证明见解析；(ii)；
【分析】(1)由所给数据结合公式求出的值，将其与临界值比较大小，由此确定是否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异；(2)(i) 根据定义结合条件概率公式即可完成证明；(ii)根据（i）结合已知数据求.
（1）由已知，
又，，
所以有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异.
（2）(i)因为，
所以
所以，
(ii)
由已知，，
又，，
所以
2．（2022·天津·高考真题）52张扑克牌，没有大小王，无放回地抽取两次，则两次都抽到A的概率为____________；已知第一次抽到的是A，则第二次抽取A的概率为____________
【答案】
【分析】由题意结合概率的乘法公式可得两次都抽到A的概率，再由条件概率的公式即可求得在第一次抽到A的条件下，第二次抽到A的概率.
【详解】由题意，设第一次抽到A的事件为B,第二次抽到A的事件为C,
则.
故答案为：；.
一、单选题
1．甲 乙两人进行五局三胜制的乒乓球单打比赛，每局甲获胜的概率为.已知在第一局和第二局比赛中甲均获胜，则继续比赛下去，甲最终赢得比赛的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】因为已经赢了第一和第二局，只要在后面3局中再赢一局即可赢得比赛.
【详解】第三局赢得概率为 ，第三局输第四局赢的概率为 ，
第三局和第四局输第五局赢的概率为 ，
所以甲赢的概率为；
故选：B.
2．“五一”劳动节放假期间，甲、乙、丙去北京旅游的概率分别为，，，假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】结合对立事件以及相互独立事件概率计算公式，计算出正确答案.
【详解】∵甲、乙、丙去北京旅游的概率分别为，，．
∴他们不去北京旅游的概率分别为，，．
∵至少有1人去北京旅游的对立事件是没有人去北京旅游，
∴至少有1人去北京旅游的概率为：．
故选：B
3．若，，，则事件与的关系是（ ）
A．事件与互斥 B．事件与对立
C．事件与相互独立 D．事件与既互斥又相互独立
【答案】C
【分析】结合互斥事件、对立事件、相互独立事件的知识求得正确答案.
【详解】∵，
∴，
∴事件与相互独立、事件与不互斥，故不对立.
故选：C
4．袋内有个白球和个黑球，从中有放回地摸球，用表示“第一次摸得白球”，如果“第二次摸得白球”记为，“第二次摸得黑球”记为，那么事件与，与间的关系是（ ）
A．与，与均相互独立 B．与相互独立，与互斥
C．与，与均互斥 D．与互斥，与相互独立
【答案】A
【分析】根据相互独立和互斥的定义即可判断，或者根据概率的乘法公式验证也可判断相互独立.
【详解】方法一：由于摸球是有放回的，故第一次摸球的结果对第二次摸球的结果没有影响，故与，与C均相互独立．而与，与均能同时发生，从而不互斥．
方法二：标记1，2，3表示3个白球，4，5表示2个黑球，全体样本点为，
用古典概型概率计算公式易得．而事件表示“第一次摸得白球且第二次摸得白球”，所以，所以与相互独立：同理，事件表示“第一次摸得白球且第二次摸得黑球”，，所以与相互独立．
故选:A．
5．先把一正六面体的六个面分别写上数字1到6，然后任意抛掷一次，把它与地面接触的面上的数字记为X，则，定义事件：，事件：，事件：，则下列判断正确的是（ ）
A． B．
C． D．A，B，C两两相互独立
【答案】C
【分析】根据古典概型求解概率判断A，B，C选项，利用相互独立的公式验证D选项
【详解】由题意，，，，
所以，同理，，
由，则，故A错误；
由，则，而，故B错误；
由，则，故C正确；
由A选项中，所以事件A，B，C不两两相互独立，故D错误.
故选：C
6．抛掷两枚均匀的硬币，出现恰好有一枚硬币正面向上的概率记为；有四个阄，其中只有一个代表奖品，四个人按序依次抓阄决定奖品的归属，第三个人中奖的概率记为．则与满足（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】抛硬币利用列举法可求得，因为只有一个奖品，第三个人中奖时，前两人均没有中奖，由此可求出，进而可得答案
【详解】解：设两枚硬币分别为A，B，则可能出现的情况只有4种：
AB都是正面；AB都是反面；A正面B反面；A反面B正面，
所以，
四个人按序依次抓阄，则第三个人中奖的概率，
所以，
故选：D
7．深受广大球迷喜爱的某支足球队在对球员的安排上总是进行数据分析，根据以往的数据统计，乙球员能够胜任前锋、中锋和后卫三个位置，且出场率分别为0.2，0.5，0.3，当乙球员担当前锋、中锋以及后卫时，球队输球的概率依次为0.4，0.2，0.8．当乙球员参加比赛时．该球队这场比赛不输球的概率为（ ）
A．0.32 B．0.68 C．0.58 D．0.64
【答案】C
【分析】设事件表示“乙球员担当前锋”，事件表示“乙球员担当中锋”，事件表示“乙球员担当后卫”，事件B表示“当乙球员参加比赛时，球队输球”，利用全概率公式计算出，然后可得答案.
【详解】设事件表示“乙球员担当前锋”，事件表示“乙球员担当中锋”，事件表示“乙球员担当后卫”，事件B表示“当乙球员参加比赛时，球队输球”．
则，
所以当乙球员参加比赛时，该球队这场比赛不输球的概率为．
故选：C．
8．已知甲袋中有6个红球，4个白球；乙袋中有8个红球，6个白球，随机取一只袋子，再从该袋中随机取一个球，则该球是红球的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设事件表示“选中甲袋”，事件表示“选中乙袋”，事件表示“取到红球”，利用全概率计算公式能求出取到的球是红球的概率．
【详解】设事件表示“选中甲袋”，事件表示“选中乙袋”，事件表示“取到红球”，
则， ，，，
则取到的球是红球的概率为：．
故选：A．
9．从5名男同学和4名女同学中任选2名同学，在选到的都是同性别同学的条件下，都是男同学的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据已知条件及古典概型公式，结合条件概率的计算公式即可求解.
【详解】设“任选2名同学，都是男同学”的事件为，
设“任选2名同学，都是同性别同学”的事件为，
所以，，
所以在选到的都是同性别同学的条件下，都是男同学的概率为
.
故选：D.
10．设，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用条件概率的公式算出，也利用条件概率公式算出最终答案
【详解】因为，且，所以
，所以，
故选：D.
二、多选题
11．设M、N是两个随机事件，则下列等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】CD
【分析】对A，根据是否互斥判断即可；
对B，举反例判断即可
对CD，根据条件概率的公式判断即可
【详解】对A，当不互斥时，不成立，故A错误；
对B，当为对立事件时，，则不成立，故B错误；
对C，当时，成立，当时，根据条件概率的公式可得成立，故C正确；
对D，根据条件概率的公式，结合C选项可得成立，故D正确；
故选：CD
12．甲箱中有个红球，个白球和个黑球，乙箱中有个红球，个白球和个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别以和表示由甲箱取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以表示由乙箱取出的球是红球的事件，则（ ）
A．事件与事件相互独立 B．
C． D．
【答案】BD
【分析】由全概率公式可计算得到D正确；根据贝叶斯公式可知B正确；根据可知C错误；由可知A错误.
【详解】由题意知：，，，，，，
，D正确；
，B正确；
，C错误；
，，
，事件与事件不相互独立，A错误.
故选：BD.
13．抛掷一枚质地均匀的骰子所得的样本空间为，令事件，，，则下列说法中错误的有（ ）
A．A与B独立 B．A与C独立 C．B与C独立 D．
【答案】AC
【分析】根据事件相互独立的定义和事件之间的关系的定义判断即可.
【详解】由题意得，则，，，，．故只有A与C独立．B正确.
事件，，满足，D正确.
故选：AC
三、填空题
14．某大学新成立3个社团，若每位同学参加各个社团的可能性相同，每位同学必须参加社团且只能参加其中一个社团，则甲、乙两位同学参加同一社团的概率为________．
【答案】
【分析】根据独立事件的概率及互斥事件的概率公式即得.
【详解】记3个社团分别为A，B，C，依题意知甲参加A社团的概率为，参加A社团的概率为，
所以甲和乙都参加A社团的概率为，
同理可得，甲和乙都参加B社团的概率为，甲和乙都参加C社团的概率为，
所以甲、乙两位同学参加同一社团的概率为．
故答案为：．
15．记为事件的对立事件，且，则___________.
【答案】
【分析】利用条件概率公式可得，进而即得.
【详解】因为，
∴，
∴.
故答案为：.
16．某训练小组有20名射手，其中一、二、三级射手分别有6名、9名、5名，若选择一、二、三级射手参加比赛，且在比赛中击中目标的概率分别为0.9、0.8、0.6.现从该小组随机选一人参加比赛，则在比赛中击中目标的概率为____________.
【答案】0.78
【分析】利用全概率的计算公式即可求解.
【详解】一、二、三级射手占比分别为且一、二、三级射手在比赛中射中目标的概率分别为0.9、0.8、0.6，所以从该小组随机选一人参加比赛，则在比赛中射中目标的概率为.
故答案为：.
四、解答题
17．两批同种规格的产品，第一批占，次品率为；第二批占，次品率为．将两批产品混合，从混合产品中任取一件．
(1)求这件产品是次品的概率；
(2)已知取到的是次品，求它取自第一批产品的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设事件为“取到的产品是次品”，为“取到的产品来自第批”，利用条件概率公式可得的值；
（2）利用条件概率的性质和公式可求得所求事件的概率.
(1)解：设事件为“取到的产品是次品”，为“取到的产品来自第批”．
则，，，，
由全概率公式，所求概率为
．
(2)解：所求概率为.
18．甲、乙两人用4张扑克牌（分别是红桃2、红桃3、红桃4、方片4）玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张．
(1)写出甲、乙两人抽到的牌的样本空间．
(2)若甲抽到红桃3，则乙抽到的牌的牌面数字比3大的概率是多少？
(3)甲、乙约定：若甲抽到的牌的牌面数字比乙大，则甲胜，反之则乙胜，你认为此游戏是否公平？并说明你的理由．
【答案】(1)答案详见解析（答案不唯一）
(2)
(3)不公平，理由见解析
【分析】（1）根据抽取的方法写出样本空间.
（2）根据古典概型的概率问题计算公式，计算出所求答案.
（3）根据甲、乙的胜率进行说明.
（1）用a表示方片4，2，3，4分别表示红桃2、红桃3、红桃4，
则甲、乙两人抽到的牌的样本空间为：
．
（2）甲抽到3，乙抽到的只能是2，4，a，所以乙抽到的牌的牌面数字大于3的概率为．
（3）甲抽到的牌的牌面数字比乙大的样本点有，
所以甲胜的概率为，乙胜的概率为，故游戏不公平．
19．已知甲、乙两人分别位于图中的M、N两点，每隔1分钟，甲、乙两人分别向东、南、西、北四个方向中的一个方向行走1格，且甲向四个方向行走的概率是相等的，乙向东、向西行走的概率都是，向北行走的概率是．
(1)分别求出甲、乙向南行走的概率；
(2)求两人经过1分钟相遇的概率．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据概率的知识求得正确答案.
（2）根据相遇点进行分类讨论，由此求得两人经过1分钟相遇的概率.
（1）由于甲向四个方向行走的概率是相等的，故甲向南行走的概率为．
乙向南行走的概率为．
（2）两人经过1分钟相遇的地点是题图中的点E或点F，在点E相遇的概率为，
在点F相遇的概率为，故两人经过1分钟相遇的概率为．中小学教育资源及组卷应用平台
第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布
专题4：事件的相互独立性、条件概率与全概率公式
1.了解两个事件相互独立的含义.
2.理解随机事件的独立性和条件概率的关系，会利用全概率公式计算概率．
1．事件的相互独立性
概念 对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝ 成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立
性质 若事件A与事件B相互独立，则A与B]，与B，与也都相互独立，P(B|A)＝ ，P(A|B)＝
2.条件概率
(1)概念：一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称P(B|A)＝为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率．
提醒： P(B|A)与P(A|B)的意义不同，“|”后面的表示条件，一般情况下，二者不相等．
(2)性质：设P(B|A)>0，则
①P(Ω|A)＝ ；
②任何事件的条件概率都在0和1之间，即0≤P(B|A)≤1；
③如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝ ；
④设和B互为对立事件，则P(|A)＝ ．
3．概率的乘法公式
由条件概率的定义知，若P(A)>0，则P(AB)＝ ，我们称该式为概率的乘法公式．
4．全概率公式
一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1,2，…，n，则对任意的事件B Ω，有P(B)＝P (Ai)P(B|Ai)，
我们称上面的公式为全概率公式．
5．贝叶斯公式(选学内容，不作考试要求)
(1)一般地，当0＜P(A)＜1且P(B)＞0时，有
P(A|B)＝
＝.
(2)定理2　若样本空间Ω中的事件A1，A2，…，An满足：
①任意两个事件均互斥，即AiAj＝ ，i，j＝1,2，…，n，i≠j；
②A1＋A2＋…＋An＝Ω；
③1＞P(Ai)＞0，i＝1,2，…，n.
则对Ω中的任意概率非零的事件B，B Ω，且P(B)＞0，有
P(Aj|B)＝＝.
提醒：贝叶斯公式充分体现了P(A|B)，P(A)，P(B)，P(B|A)，P(B|)，P(AB)之间的转化．即P(A|B)＝，P(AB)＝P(A|B)P(B)＝P(B|A)P(A)，P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)之间的内在联系．
相互独立事件与互斥事件的概率计算
概率 A，B互斥 A，B相互独立
P(A∪B) P(A)＋P(B) 1－P()P()
P(AB) 0 P(A)P(B)
P(A] ) 1－[P(A)＋P(B)] P()P()
P(AB]∪B) P(A)＋P(B) P(A)P()＋P()P(B)
考点一 事件的相互独立性
事件独立性的判定－－公式法
(2021·新高考Ⅰ卷)有6个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则(　　)
A．甲与丙相互独立　 B．甲与丁相互独立
C．乙与丙相互独立 D．丙与丁相互独立
【答案】B　
【解析】事件甲发生的概率P(甲)＝，事件乙发生的概率P(乙)＝，事件丙发生的概率P(丙)＝＝，事件丁发生的概率P(丁)＝＝.事件甲与事件丙同时发生的概率为0，P(甲丙)≠P(甲)P(丙)，故A错误；事件甲与事件丁同时发生的概率为＝，P(甲丁)＝P(甲)P(丁)，故B正确；事件乙与事件丙同时发生的概率为＝，P(乙丙)≠P(乙)P(丙)，故C错误；事件丙与事件丁是互斥事件，不是相互独立事件，故D错误．故选B．
(2021·枣庄期末)一个袋子中有标号分别为1,2,3,4的4个球，除标号外没有其他差异．采用不放回方式从中任意摸球两次，每次摸出一个球．记事件A＝“第一次摸出球的标号小于3”， 事件B＝“第二次摸出球的标号小于3”，事件C＝“摸出的两个球的标号之和为6”，事件D＝“摸出的两个球的标号之和不超过4”，则(　　)
A．A与B相互独立 B．A与D相互独立
C．B与C相互独立 D．B与D相互独立
【答案】C
【解析】设采用不放回方式从中任意摸球两次，每次摸出一个球，全部的基本事件有：
，，，，，，，，， ，，，共12个，
事件A发生包含的基本事件有：
，，，，，有6个，
事件B发生包含的基本事件有：，，，，，有6个，
所以P＝P＝＝，
事件C发生包含的基本事件：，有2个，P＝＝，
事件D发生包含的基本事件：，，，有4个，P＝＝，
事件AB发生包含的基本事件：，有2个，P＝＝，
因为PP＝×＝≠P，所以A与B相互独立不正确，故选项A错误；
事件AD发生包含的基本事件：，，有3个，P＝＝，
因为PP＝×＝≠P，所以A与D相互独立不正确，故选项B错误；
事件BC发生包含的基本事件：有1个，所以P＝，
因为PP＝×＝＝P，所以B与C相互独立，故选项C正确；
事件BD发生包含的基本事件：，，有3个，所以P＝＝，
因为PP＝×＝≠P，所以B与D相互独立不正确，故选项D错误．故选C．
相互独立事件的概率计算
(2019·全国Ⅱ卷)11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10∶10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束．甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立．在某局双方10∶10平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束．
(1)求P(X＝2)；
(2)求事件“X＝4且甲获胜”的概率．
【解析】　(1)X＝2就是10∶10平后，两人又打了2个球该局比赛结束，则这2个球均由甲得分，或者均由乙得分．因此P(X＝2)＝0.5×0.4＋(1－0.5)×(1－0.4)＝0.5.
(2)X＝4且甲获胜，就是10∶10平后，两人又打了4个球该局比赛结束，且这4个球的得分情况为前两球是甲、乙各得1分，后两球均为甲得分．
因此所求概率为
[0.5×(1－0.4)＋(1－0.5)×0.4]×0.5×0.4＝0.1.
1．两个事件是否相互独立的判断
(1)直接法：由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响．
(2)公式法：若P(AB)＝P(A)P(B)，则事件A，B为相互独立事件．
2．求相互独立事件同时发生的概率的方法
(1)首先判断几个事件的发生是否相互独立．
(2)求相互独立事件同时发生的概率的方法主要有：
①利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解．
②正面计算较繁或难以入手时，可从其对立事件入手计算．
考点二　条件概率
1．（2022·全国·高二课时练习）同时抛掷两个质地均匀的四面分别标有1，2，3，4的正四面体一次，记事件A表示“第一个四面体向下的一面出现偶数”，事件B表示“第二个四面体向下的一面出现奇数”，事件C表示“两个四面体向下的一面同时出现奇数或者同时出现偶数”，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AB
【分析】由相互独立事件的乘法公式可判断A、C、D；由条件概率公式可判断B；
【详解】由题意，，，
,故A正确．
所以，，所以，故B正确．
事件A，B，C不可能同时发生，故，故C错误；
，故D错误．
故选：AB．
2．（2022·浙江·高三开学考试）2022年8月7日是中国传统二十四节气“立秋”，该日，“秋天的第一杯奶茶”再度出圈，据此，学校社会实践小组随机调查了该地区100位奶茶爱好者的年龄，得到如下样本数据频率分布直方图.
(1)估计奶茶爱好者的平均年龄；（同一组数据用该区间的中点值作代表）
(2)估计奶茶爱好者年龄位于区间的概率；
(3)已知奶茶爱好者喜欢浙江奶茶品牌“古茗”的概率为，该地区奶茶爱好者年龄位于区间的人口数占该地区奶茶爱好者总人口数的，从该地区选出1名奶茶爱好者，若此人的年龄位于区间，求此人喜欢古茗的概率.
【答案】(1)（岁）
(2)
(3)
【分析】（1）根据频率分布直方图计算平均数即可；
（2）根据频率分布直方图计算奶茶爱好者年龄位于区间的频率即可求解；
（3）利用条件概率的概率公式即可求解.
（1）解：估计奶茶爱好者的平均年龄（岁）
（2）解：由题图，得奶茶爱好者年龄位于区间的频率为，
故奶茶爱好者年龄位于区间的概率为.
（3）解：设任选一名奶茶爱好者年龄位于区间,
设任选一名奶茶爱好者喜欢“古茗”
由条件概率公式可得：.
3．（2022·江苏·苏州中学高二期末）某校从学生会宣传部6名成员（其中男生4人，女生2人）中，任选3人参加某省举办的演讲比赛活动.
(1)设所选3人中女生人数为，求的分布列及数学期望；
(2)设“男生甲被选中”为事件，“女生乙被选中”为事件，求和.
【答案】(1)分布列答案见解析；数学期望.
(2)，
【分析】（1）的所有可能取值为0，1，2，计算出取不同值时的概率，即可得出分布列并求数学期望.
（2）根据古典概型和条件概率的计算公式计算即可.
（1）宣传部6名成员中有男生4人，女生2人.所以的所有可能取值为0，1，2.
则,,
所以随机变量的分布列为：
0 1 2
数学期望
（2）根据题意,,,
所以
求条件概率的两种方法
(1)利用定义，分别求P(A)和P(AB)，得P(B|A)＝，这是求条件概率的通法．
(2)缩小样本空间法，借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再求事件A与事件B的交事件中包含的基本事件数n(AB)，得P(B|A)＝.
考点三 全概率公式的应用
1．（2022·江苏·金沙中学高二阶段练习）一份新高考数学试卷中有8道单选题，小胡对其中5道题有思路，3道题完全没有思路.有思路的题做对的概率是，没有思路的题只能猜一个答案，猜对答案的概率为，则小胡从这8道题目中随机抽取1道做对的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用全概率公式求解即可.
【详解】设事件表示“考生答对”， 设事件表示“考生选到有思路的题”.
则小胡从这8道题目中随机抽取1道做对的概率为：
故选：C.
2．（2022·全国·高二课时练习）冬天的北方室外温度极低，若轻薄保暖的石墨烯发热膜能用在衣服上，将会大大地方便人们的出行．某科研人员制作石墨烯发热膜的过程分为三步，且第一步成功的概率为，若第一步成功，第二步失败的概率为，若前两步成功，第三步失败的概率为，则这位科研人员成功制作出石墨烯发热膜的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由对立事件、条件概率、全概率的公式代入即可得出答案.
【详解】记事件表示“制作石墨烯发热膜第i步时失败”（i＝1，2，3），
记事件B表示“成功制作出石墨烯发热膜”．因为，
所以．
故选：B.
3．（2022·全国·高二课时练习）甲、乙两人比赛乒乓球，甲先发球．假设甲发球不会失误，乙接甲发球的失误率为0.3，接甲回球的成功率为0.5，若乙回球成功后，甲回球的失误率为0.4，则乙在两个回合中丢分的概率为_______．
【答案】0.51
【分析】乙失误的情况有两种：①乙在第一次接球时失误；②乙在第二次回球时失误，即甲发球成功后，乙第一次回球成功，然后甲回球成功，乙回球失误．由条件概率和全概率公式分别求出其概率即可得出答案.
【详解】设事件表示“乙接甲发球成功”，事件A表示“甲第一次回球成功”，
事件表示“乙第二次回球成功”，
故乙在两个回合中丢分的概率，易知，，，
则，
故．
4．（2022·湖南师大附中高一期末）甲 乙两人组成“星队”参加趣味知识竞赛.比赛分两轮进行，每轮比赛答一道趣味题.在第一轮比赛中，答对题者得2分，答错题者得0分；在第二轮比赛中，答对题者得3分，答错题者得0分.已知甲 乙两人在第一轮比赛中答对题的概率都为p，在第二轮比赛中答对题的概率都为q.且在两轮比赛中答对与否互不影响.设定甲 乙两人先进行第一轮比赛，然后进行第二轮比赛，甲 乙两人的得分之和为“星队”总得分.已知在一次比赛中甲得2分的概率为，乙得5分的概率为.
(1)求p，q的值；
(2)求“星队”在一次比赛中的总得分为5分的概率.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据甲得2分的概率为，乙得5分的概率为，结合概率的公式求解即可；
（2）设分别表示在一次比赛中甲得分的事件，分别表示在一次比赛中乙得分的事件，根据题意可得所有可能的情况为，再计算即可
(1)设分别表示在一次比赛中甲得分的事件，分别表示在一次比赛中乙得分的事件.
因为在一次比赛中甲得2分的概率为，乙得5分的概率为，
所以，即，解得.
(2)由已知得，
，
，
，
设为“6星队'在一次比赛中的总得分为5分"，
则，
则
，
所以“星队”在一次比赛中的总得分为5分的概率是.
“化整为零”求多事件的全概率问题
(1)如图，P(B)＝P(Ai)P(B|Ai)．
(2)已知事件B的发生有各种可能的情形Ai(i＝1,2，…，n)，事件B发生的可能性，就是各种可能情形Ai发生的可能性与已知在Ai发生的条件下事件B发生的可能性的乘积之和．
1．（2022·全国·高考真题）一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据：
不够良好 良好
病例组 40 60
对照组 10 90
(1)能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？
(2)从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该疾病”．与的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R．
（ⅰ）证明：；
（ⅱ）利用该调查数据，给出的估计值，并利用（ⅰ）的结果给出R的估计值．
附，
0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
2．（2022·天津·高考真题）52张扑克牌，没有大小王，无放回地抽取两次，则两次都抽到A的概率为____________；已知第一次抽到的是A，则第二次抽取A的概率为____________
一、单选题
1．甲 乙两人进行五局三胜制的乒乓球单打比赛，每局甲获胜的概率为.已知在第一局和第二局比赛中甲均获胜，则继续比赛下去，甲最终赢得比赛的概率为（ ）
A． B． C． D．
2．“五一”劳动节放假期间，甲、乙、丙去北京旅游的概率分别为，，，假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为（ ）
A． B． C． D．
3．若，，，则事件与的关系是（ ）
A．事件与互斥 B．事件与对立
C．事件与相互独立 D．事件与既互斥又相互独立
4．袋内有个白球和个黑球，从中有放回地摸球，用表示“第一次摸得白球”，如果“第二次摸得白球”记为，“第二次摸得黑球”记为，那么事件与，与间的关系是（ ）
A．与，与均相互独立 B．与相互独立，与互斥
C．与，与均互斥 D．与互斥，与相互独立
5．先把一正六面体的六个面分别写上数字1到6，然后任意抛掷一次，把它与地面接触的面上的数字记为X，则，定义事件：，事件：，事件：，则下列判断正确的是（ ）
A． B．
C． D．A，B，C两两相互独立
6．抛掷两枚均匀的硬币，出现恰好有一枚硬币正面向上的概率记为；有四个阄，其中只有一个代表奖品，四个人按序依次抓阄决定奖品的归属，第三个人中奖的概率记为．则与满足（ ）
A． B． C． D．
7．深受广大球迷喜爱的某支足球队在对球员的安排上总是进行数据分析，根据以往的数据统计，乙球员能够胜任前锋、中锋和后卫三个位置，且出场率分别为0.2，0.5，0.3，当乙球员担当前锋、中锋以及后卫时，球队输球的概率依次为0.4，0.2，0.8．当乙球员参加比赛时．该球队这场比赛不输球的概率为（ ）
A．0.32 B．0.68 C．0.58 D．0.64
8．已知甲袋中有6个红球，4个白球；乙袋中有8个红球，6个白球，随机取一只袋子，再从该袋中随机取一个球，则该球是红球的概率是（ ）
A． B． C． D．
9．从5名男同学和4名女同学中任选2名同学，在选到的都是同性别同学的条件下，都是男同学的概率是（ ）
A． B． C． D．
10．设，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
11．设M、N是两个随机事件，则下列等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
12．甲箱中有个红球，个白球和个黑球，乙箱中有个红球，个白球和个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别以和表示由甲箱取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以表示由乙箱取出的球是红球的事件，则（ ）
A．事件与事件相互独立 B．
C． D．
13．抛掷一枚质地均匀的骰子所得的样本空间为，令事件，，，则下列说法中错误的有（ ）
A．A与B独立 B．A与C独立 C．B与C独立 D．
三、填空题
14．某大学新成立3个社团，若每位同学参加各个社团的可能性相同，每位同学必须参加社团且只能参加其中一个社团，则甲、乙两位同学参加同一社团的概率为________．
15．记为事件的对立事件，且，则___________.
16．某训练小组有20名射手，其中一、二、三级射手分别有6名、9名、5名，若选择一、二、三级射手参加比赛，且在比赛中击中目标的概率分别为0.9、0.8、0.6.现从该小组随机选一人参加比赛，则在比赛中击中目标的概率为____________.
四、解答题
17．两批同种规格的产品，第一批占，次品率为；第二批占，次品率为．将两批产品混合，从混合产品中任取一件．
(1)求这件产品是次品的概率；
(2)已知取到的是次品，求它取自第一批产品的概率．
18．甲、乙两人用4张扑克牌（分别是红桃2、红桃3、红桃4、方片4）玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张．
(1)写出甲、乙两人抽到的牌的样本空间．
(2)若甲抽到红桃3，则乙抽到的牌的牌面数字比3大的概率是多少？
(3)甲、乙约定：若甲抽到的牌的牌面数字比乙大，则甲胜，反之则乙胜，你认为此游戏是否公平？并说明你的理由．
19．已知甲、乙两人分别位于图中的M、N两点，每隔1分钟，甲、乙两人分别向东、南、西、北四个方向中的一个方向行走1格，且甲向四个方向行走的概率是相等的，乙向东、向西行走的概率都是，向北行走的概率是．
(1)分别求出甲、乙向南行走的概率；
(2)求两人经过1分钟相遇的概率．

展开更多......

收起↑