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第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布
专题5：离散型随机变量的分布列和数字特征
1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念.
2.理解并会求离散型随机变量的数字特征．
1．随机变量的有关概念
(1)随机变量：对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量．
(2)离散型随机变量：可能取值为有限个或可以 的随机变量．
提醒：若X是随机变量，则Y＝aX＋b(a，b为常数)也是随机变量．
2．离散型随机变量的分布列及性质
(1)一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，我们称X取每一个值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n为X的 ，简称分布列．
(2)离散型随机变量分布列的性质
①pi≥0，i＝1,2，…，n；
②p1＋p2＋…＋pn＝ .
3．两点分布
如果P(A)＝p，则P()＝1－p，那么X的分布列为
X 0 1
P 1－p p
我们称X服从两点分布或0－1分布．
提醒：随机变量X只取两个值的分布未必是两点分布．
4．离散型随机变量的均值与方差
离散型随机变量X的分布列为
X x1 x2 … xn
P p1 p2 … pn
(1)均值
称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＝ 为随机变量X的 或 ，数学期望简称期望．它反映了离散型随机变量取值的 ．
(2)方差
称D(X)＝ 为随机变量X的方差，可以用来度量随机变量X取值与其均值E(X)的 ，并称 为随机变量X的标准差，记为σ(X)．
5．均值与方差的性质
(1)E(aX＋b)＝ .(a，b为常数)
(2)D(aX＋b)＝ ．(a，b为常数)
1．若X1，X2相互独立，则E(X1·X2)＝E(X1)·E(X2)．
2．均值与方差的关系：D(X)＝E(X2)－(E(X))2.
关．
考点一 离散型随机变量的分布列的性质
1．（2022·江苏·金沙中学高二阶段练习）已知离散型随机变量的分布列如表：
0 1 2 3
则实数等于（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据概率之和等于1，列方程求解即可.
【详解】解：由题可知，解得.
故选：A.
2．（2022·全国·高二课时练习）设随机变量的分布列为，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AB
【分析】利用随机变量分布列的概率和为，计算出值，判断出A正确；由且，可求出选项B，C，D中的的值，并分别计算出其概率．
【详解】由题意，得，解得，故A正确；
，故B正确；
易知，故C错误；，故D错误；
故选：AB．
设离散型随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P 0.2 0.1 0.1 0.3 m
(1)求随机变量Y＝2X＋1的分布列；
(2)求随机变量η＝|X－1|的分布列；
(3)求随机变量ξ＝X2的分布列．
【解析】(1)由分布列的性质知，
0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，得m＝0.3.
首先列表为：
X 0 1 2 3 4
2X＋1 1 3 5 7 9
从而Y＝2X＋1的分布列为
Y 1 3 5 7 9
P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3
(2)列表为
X 0 1 2 3 4
|X－1| 1 0 1 2 3
∴P(η＝0)＝P(X＝1)＝0.1，
P(η＝1)＝P(X＝0)＋P(X＝2)＝0.2＋0.1＝0.3，
P(η＝2)＝P(X＝3)＝0.3，
P(η＝3)＝P(X＝4)＝0.3.
故η＝|X－1|的分布列为
η 0 1 2 3
P 0.1 0.3 0.3 0.3
(3)首先列表为
X 0 1 2 3 4
X2 0 1 4 9 16
从而ξ＝X2的分布列为
ξ 0 1 4 9 16
P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3
分布列性质的两个作用
(1)利用分布列中各事件概率之和为1可求参数的值及检查分布列的正确性．
(2)随机变量X所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求随机变量在某个范围内的概率．
考点二　离散型随机变量的分布列
（2022·重庆南开中学高三阶段练习）北苑食堂为了了解同学在高峰期打饭的时间，故安排一名食堂阿姨随机收集了在食堂某窗口打饭的100位同学的相关数据（假设同学们打饭所用时间均为下表列出时间之一），如下表所示.
学生数（人） 25 10
打饭时间（秒/人） 10 15 20 25
已知这100位同学的打饭时间从小排到大的第65百分位数为秒.
(1)确定的值；
(2)若各学生的结算相互独立，记为该窗口开始打饭至20秒末已经打饭结束的学生人数，求的分布列及数学期望.（注；将频率视为概率）
【答案】(1)；
(2)分布列见解析；数学期望.
【分析】（1）根据百分位数的概念结合条件可得，即得；
（2）由题可知的可能取值为，然后根据独立事件及互斥事件概率公式求概率，进而可得分布列及期望.
（1）因为第65百分位数为，
所以，
所以；
（2）由已知得
打饭时间为10秒的概率为：，
打饭时间为15秒的概率为：，
打饭时间为20秒的概率为：，
打饭时间为25秒的概率为：，
由题可知的可能取值为，
，
，
，
分布列如下
0 1 2
.
离散型随机变量分布列的求解步骤
考点三 离散型随机变量的数字特征　
数字特征的计算
1．（2022·安徽·高三开学考试）为了监控某一条生产线的生产过程， 从其产品中随机抽取100件，测量这些产品的质量指标值，由测量结果得到如图所示的频率分布直方图，其中质量指标值落在区间内的频率是公比为的等比数列.
(1)求这些产品质量指标值落在区间内的频率;
(2)若将频率视为概率，从该条生产线的这种产品中随机抽取3件，记这3件产品中质量指标位于区间内的产品件数为，求的分布列与数学期望.
【答案】(1)0.05
(2)分布列见解析，1.8
【分析】（1）长方形面积为对应区间的概率，概率之和为1，那么面积之和为1，结合质量指标值落在区间内，，的频率为等比数列，即可求出对应区间的概率；
（2）根据直方图求出位于区间内的概率为，写出的可能取值即可得到分布列，根据二项分布的期望公式可以得到数学期望.
（1）设这些产品质量指标值落在区间内的频率为，则在区间，内的频率分别为和．
依题意得，解得．
所以这些产品质量指标值落在区间内的频率为．
（2）由（1）得， 这此产品质量指标值落在区间内的频率为，将频率视为概率得.
从该企业生产的该种产品中随机抽取3件， 相当于进行了3次独立重复试验，
所以 其中.
因为的所有可能取值为0，1，2，3，
且，
，
，
.
所以的分布列为
0 1 2 3
0.064 0.288 0.432 0.216
根据二项分布期望公式可知，的数学期望为.
2．（2022·全国·高二课时练习）某网约车司机统计了自己一天中出车一次的总路程X（单位：km）的可能取值是20，22，24，26，28，30，它们出现的概率依次是0.1，0.2，0.3，0.1，t，2t．
(1)求X的分布列，并求X的均值和方差；
(2)若网约车计费细则如下：起步价为5元，行驶路程不超过3km时，收费5元，行驶路程超过3km时，则按每超出1km（不足1km也按1km计程）收费3元计费．试计算此人一天中出车一次收入的均值和方差．
【答案】(1)分布列见解析，，；
(2)均值为71元，方差为.
【分析】（1）利用概率和为1求出的值，然后可得X的分布列，然后算出其期望方差即可；
（2）设此人一天中出车一次的收入为Y元，则，然后利用期望方差的性质可算出答案.
（1）由题意，得．∴．
∴X的分布列为
X 20 22 24 26 28 30
P 0.1 0.2 0.3 0.1 0.1 0.2
∴，
．
（2）设此人一天中出车一次的收入为Y元，则，
∴，．
故此人一天中出车一次收入的均值为71元，方差为95.4．
数字特征在决策中的应用
1．（2022·安徽·高三开学考试）国庆节期间，某大型服装团购会举办了一次“你消费我促销”活动，顾客消费满300元（含300元） 可抽奖一次， 抽奖方案有两种（顾客只能选择其中的一种）.
方案一: 从装有5个形状、大小完全相同的小球（其中红球1个， 黑球4个）的抽奖盒中，有放回地摸出3个球，每摸出1次红球，立减100元.
方案二: 从装有10个形状，大小完全相同的小球（其中红球2个，白球1个，黑球7个）的抽奖盒中， 不放回地摸出3个球，中多规则为:若摸出2个红球，1个白球，享受免单优惠;若摸出2个红球和1个黑球则打5折;若摸出1个红球，1个白球和1个黑球，则打7.5折;其余情况不打折.
(1)某顾客恰好消费300元，选择抽奖方案一，求他实付金额的分布列和期望;
(2)若顾客消费500元，试从实付金额的期望值分析顾客选择何种抽奖方案更合理
【答案】(1)分布列见解析，240元
(2)选择方案一更合理.
【分析】（1）确定的可能的取值，求出每个值对应的概率，即可得分布列，根据期望公式求得期望；
（2）计算两种方案下的实付金额的期望值，比较其大小，即可作出判断.
（1）设实付金额为元， 可能的取值为0，100，200，300，
则 ，
，
故的分布列为
0 100 200 300
所以（元）.
（2）若选择方案一， 设摸到红球的个数为，实付金额为， 则，
由题意可得 ， 故，
所以（元）；
若选择方案二， 设实付金额为元，可能的取值为0，250，375，500，
则，
故的分布列为
0 250 375 500
所以（元）.
因为，
故从实付金额的期望值分析顾客选择方案一更合理.
2．（2022·全国·高二单元测试）2021年新高考数学试卷中对每道多选题的得分规定：全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．小明在做多选题的第11题、第12题时通常有两种策略：
策略为避免选错只选出一个最有把握的选项．这种策略每个题耗时约3min．
策略选出自己认为正确的全部选项．这种策略每个题耗时约6min．
某次数学考试临近，小明通过前期大量模拟训练得出了两种策略下第11题和第12题的作答情况如下：
第11题：如果采用策略，选对的概率为0.8，采用策略，部分选对的概率为0.5，全部选对的概率为0.4．
第12题：如果采用策略，选对的概率为0.7，采用策略，部分选对的概率为0.6，全部选对的概率为0.3．
如果这两题总用时超过10min，其他题目会因为时间紧张少得2分．假设小明作答两题的结果互不影响．
(1)若小明同学此次考试中决定第11题采用策略、第12题采用策略，设此次考试他第11题和第12题总得分为，求的分布列．
(2)小明考前设计了以下两种方案：
方案1：第11题采用策略，第12题采用策略；
方案2：第11题和第12题均采用策略．
如果你是小明的指导老师，从整张试卷尽可能得分更高的角度出发，你赞成他的哪种方案？并说明理由．
【答案】(1)分布列见解析
(2)赞成小明的方案1，理由见解析
【分析】（1）分析可知随机变量的可能取值有、、、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列；
（2）计算出两种方案下得分的期望和所用的时间，结合题意可得出结论.
（1）解：设事件为“第11题得0分”，为“第11题得2分”，为“第11题得5分”，为“第12题得2分”，为“第12题得0分”，
所以，，，，．
由题意可知的可能取值为、、、、，
，
，
，
，
，
所以的分布列为：
0 2 4 5 7
0.03 0.22 0.35 0.12 0.28
（2）解：设随机变量为第11题采用策略的得分，为第题采用策略的得分，为第12题采用策略的得分．
的分布列为
0 2 5
0.1 0.5 0.4
所以．
的分布列为
0 2
0.3 0.7
所以.
的分布列为
0 2 5
P 0.1 0.6 0.3
所以.
若采用方案1，两题总得分均值为（分），
若采用方案2，两题总得分均值为（分），
但方案2因时间超过10min，后面的题得分少分，相当于得分均值为分．
因为，所以我赞成小明的方案1．
离散型随机变量的期望和方差应用问题的解题策略
(1)求离散型随机变量的期望与方差关键是确定随机变量的所有可能值，写出随机变量的分布列，正确运用期望、方差公式进行计算．注意E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2D(X)的应用．
(2)在实际问题中，若两个随机变量ξ1，ξ2，有E(ξ1)＝E(ξ2)或E(ξ1)与E(ξ2)较为接近时，就需要用D(ξ1)与D(ξ2)来比较两个随机变量的稳定程度．即一般地将期望最大(或最小)的方案作为最优方案，若各方案的期望相同，则选择方差最小(或最大)的方案作为最优方案．
1．（2022·全国·高考真题（理））甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立．
(1)求甲学校获得冠军的概率；
(2)用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望．
2．（2022·浙江·高考真题）现有7张卡片，分别写上数字1，2，2，3，4，5，6．从这7张卡片中随机抽取3张，记所抽取卡片上数字的最小值为，则__________，_________．
3．（2021·浙江·高考真题）袋中有4个红球m个黄球，n个绿球.现从中任取两个球，记取出的红球数为，若取出的两个球都是红球的概率为，一红一黄的概率为，则___________，___________.
一、单选题
1．设随机变量的分布列为，,分别为随机变量的数学期望与方差，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知随机变量的分布列如表所示：若，则的值为（ ）
1 2 3 4 5
0.1 0.2 0.4 0.2 0.1
A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4
3．一台机器生产某种产品，如果生产出一件甲等品可获利50元，生产出一件乙等品可获利30元，生产一件次品，要赔20元，已知这台机器生产出甲等、乙等和次品的概率分别为0.6、0.3和0.1，则这台机器每生产一件产品，平均预期可获利（ ）
A．36元 B．37元 C．38元 D．39元
4．甲、乙两人进行羽毛球比赛，现采用三局两胜的比赛制度，规定每局比赛都没有平局（必须分出胜负），且每一局甲赢的概率都是，随机变量表示最终的比赛局数，若，则的数学期望的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．已知随机变量X的分布列为，，则等于（ ）
A． B． C． D．
6．互不相等的正实数是的任意顺序排列，设随机变量满足：则（ ）
A． B．
C． D．
7．已知随机变量的分布列如下表所示：
0 1 2
若，则（ ）
A．>，> B．<，>
C．>，< D．<，<
二、多选题
8．2022年冬奥会在北京举办，为了弘扬奥林匹克精神，某市多所中小学开展了冬奥会项目科普活动．为了调查学生对冰壶这个项目的了解情况，在该市中小学中随机抽取了10所学校，10所学校中了解这个项目的人数如图所示：
若从这10所学校中随机选取2所学校进行这个项目的科普活动，记为被选中的学校中了解冰壶的人数在30以上的学校所数，则（ ）
A．的可能取值为0，1，2，3 B．
C． D．
9．一盒中有8个乒乓球，其中6个未使用过，2个已使用过．现从盒中任取3个球来用，用完后再装回盒中，记盒中已使用过的球的个数为X，则（ ）
A．X的所有可能取值是3，4，5 B．X最有可能的取值是5
C．X等于3的概率为 D．X的均值是
10．设，随机变量的分布列为：
0 m 1
P
则当m在（0，1）上增大时，（ ）A．减小 B．增大
C．先增后减，最大值为 D．先减后增，最小值为
11．年6月，上海市要求复工复产的相关人员须持小时核酸检测阴性证明方能进入工厂.现有两种检测方式：（1）逐份检测；（2）混合检测：即将其中份核酸样本混合在一起检测，若检测结果为阴性，则这份核酸全为阴性，如果检测结果为阳性，则需要对这份核酸再逐份检测.假设检测的核酸样本中，每份样本的检测结果相互独立，且每份样本是阳性的概率都为，若，则能使得混合检测比逐份检测更方便的的值可能是（ ）（参考数据
A． B． C． D．
12．某城市在天内完成了全城多万人的检测，高效率的秘密在于“混采检测”．某兴趣小组利用“混采检测”进行试验，已知只动物中有只患有某种疾病，需要通过血液化验来确定患病的动物，血液化验结果呈阳性的为患病动物，下面是两种化验方案：
方案甲：将各个动物的血液逐个化验，直到查出患病动物为止
方案乙：先取只动物的血液混在一起化验，若呈阳性，则对这只动物的血液逐个化验，直到查出患病动物；若不呈阳性，则对剩下的只动物逐个化验，直到查出患病动物．则下列说法正确的是（ ）
A．若利用方案甲，平均化验次数为
B．若利用方案乙，化验次数为次的概率为
C．若利用方案甲，化验次数为次的概率为
D．方案乙比方案甲更好
三、填空题
13．袋中有4个红球，m个黄球，现从中任取两个球，记取出的红球个数为.若取出的两个球都是红球的概率为，则______.
14．随机变量的分布列如下表，则___________.
0 1 2
0.4 0.2
15．已知随机变量的概率分布列为：
2 3 4 5
已知的数学期望为，则____________.
16．随机变量的概率分布满足（，1，2，…，10），则的值为___________.
四、解答题
17．某校举办传统文化知识竞赛， 从该校参赛学生中随机抽取 100 名学生， 根据他们的竞赛成绩(满分： 100 分)， 按分成五组， 得到如图所示的频率分布直方图．
(1)估计该校学生成绩的中位数；
(2)已知样本中竞赛成绩在的女生有3人，从样本中竞赛成绩在的学生中随机抽取4人进行调查，记抽取的女生人数为，求的分布列及期望．
18．某班级体育课进行一次篮球定点投篮测试，规定每人最多投3次，每次投篮的结果相互独立.在A处每投进一球得3分，在B处每投进一球得2分，否则得0分.将学生得分逐次累加并用X表示，如果X的值不低于3分就判定为通过测试，立即停止投篮，否则应继续投篮，直到投完三次为止.现有两种投篮方案：方案1：先在A处投一球，以后都在B处投；方案2：都在B处投篮.已知甲同学在A处投篮的命中率为，在B处投篮的命中率为.
(1)若甲同学选择方案1，求他测试结束后所得总分X的分布列和数学期望E（X）；
(2)你认为甲同学选择哪种方案通过测试的可能性更大？说明理由.
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第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布
专题5：离散型随机变量的分布列和数字特征
1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念.
2.理解并会求离散型随机变量的数字特征．
1．随机变量的有关概念
(1)随机变量：对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量．
(2)离散型随机变量：可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量．
提醒：若X是随机变量，则Y＝aX＋b(a，b为常数)也是随机变量．
2．离散型随机变量的分布列及性质
(1)一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，我们称X取每一个值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n为X的概率分布列，简称分布列．
(2)离散型随机变量分布列的性质
①pi≥0，i＝1,2，…，n；
②p1＋p2＋…＋pn＝1.
3．两点分布
如果P(A)＝p，则P()＝1－p，那么X的分布列为
X 0 1
P 1－p p
我们称X服从两点分布或0－1分布．
提醒：随机变量X只取两个值的分布未必是两点分布．
4．离散型随机变量的均值与方差
离散型随机变量X的分布列为
X x1 x2 … xn
P p1 p2 … pn
(1)均值
称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＝xipi为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称期望．它反映了离散型随机变量取值的平均水平．
(2)方差
称D(X)＝(xi－E(X))2pi为随机变量X的方差，可以用来度量随机变量X取值与其均值E(X)的偏离程度，并称为随机变量X的标准差，记为σ(X)．
5．均值与方差的性质
(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b.(a，b为常数)
(2)D(aX＋b)＝a2D(X)．(a，b为常数)
1．若X1，X2相互独立，则E(X1·X2)＝E(X1)·E(X2)．
2．均值与方差的关系：D(X)＝E(X2)－(E(X))2.
关．
考点一 离散型随机变量的分布列的性质
1．（2022·江苏·金沙中学高二阶段练习）已知离散型随机变量的分布列如表：
0 1 2 3
则实数等于（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据概率之和等于1，列方程求解即可.
【详解】解：由题可知，解得.
故选：A.
2．（2022·全国·高二课时练习）设随机变量的分布列为，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AB
【分析】利用随机变量分布列的概率和为，计算出值，判断出A正确；由且，可求出选项B，C，D中的的值，并分别计算出其概率．
【详解】由题意，得，解得，故A正确；
，故B正确；
易知，故C错误；，故D错误；
故选：AB．
设离散型随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P 0.2 0.1 0.1 0.3 m
(1)求随机变量Y＝2X＋1的分布列；
(2)求随机变量η＝|X－1|的分布列；
(3)求随机变量ξ＝X2的分布列．
【解析】(1)由分布列的性质知，
0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，得m＝0.3.
首先列表为：
X 0 1 2 3 4
2X＋1 1 3 5 7 9
从而Y＝2X＋1的分布列为
Y 1 3 5 7 9
P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3
(2)列表为
X 0 1 2 3 4
|X－1| 1 0 1 2 3
∴P(η＝0)＝P(X＝1)＝0.1，
P(η＝1)＝P(X＝0)＋P(X＝2)＝0.2＋0.1＝0.3，
P(η＝2)＝P(X＝3)＝0.3，
P(η＝3)＝P(X＝4)＝0.3.
故η＝|X－1|的分布列为
η 0 1 2 3
P 0.1 0.3 0.3 0.3
(3)首先列表为
X 0 1 2 3 4
X2 0 1 4 9 16
从而ξ＝X2的分布列为
ξ 0 1 4 9 16
P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3
分布列性质的两个作用
(1)利用分布列中各事件概率之和为1可求参数的值及检查分布列的正确性．
(2)随机变量X所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求随机变量在某个范围内的概率．
考点二　离散型随机变量的分布列
（2022·重庆南开中学高三阶段练习）北苑食堂为了了解同学在高峰期打饭的时间，故安排一名食堂阿姨随机收集了在食堂某窗口打饭的100位同学的相关数据（假设同学们打饭所用时间均为下表列出时间之一），如下表所示.
学生数（人） 25 10
打饭时间（秒/人） 10 15 20 25
已知这100位同学的打饭时间从小排到大的第65百分位数为秒.
(1)确定的值；
(2)若各学生的结算相互独立，记为该窗口开始打饭至20秒末已经打饭结束的学生人数，求的分布列及数学期望.（注；将频率视为概率）
【答案】(1)；
(2)分布列见解析；数学期望.
【分析】（1）根据百分位数的概念结合条件可得，即得；
（2）由题可知的可能取值为，然后根据独立事件及互斥事件概率公式求概率，进而可得分布列及期望.
（1）因为第65百分位数为，
所以，
所以；
（2）由已知得
打饭时间为10秒的概率为：，
打饭时间为15秒的概率为：，
打饭时间为20秒的概率为：，
打饭时间为25秒的概率为：，
由题可知的可能取值为，
，
，
，
分布列如下
0 1 2
.
离散型随机变量分布列的求解步骤
考点三 离散型随机变量的数字特征　
数字特征的计算
1．（2022·安徽·高三开学考试）为了监控某一条生产线的生产过程， 从其产品中随机抽取100件，测量这些产品的质量指标值，由测量结果得到如图所示的频率分布直方图，其中质量指标值落在区间内的频率是公比为的等比数列.
(1)求这些产品质量指标值落在区间内的频率;
(2)若将频率视为概率，从该条生产线的这种产品中随机抽取3件，记这3件产品中质量指标位于区间内的产品件数为，求的分布列与数学期望.
【答案】(1)0.05
(2)分布列见解析，1.8
【分析】（1）长方形面积为对应区间的概率，概率之和为1，那么面积之和为1，结合质量指标值落在区间内，，的频率为等比数列，即可求出对应区间的概率；
（2）根据直方图求出位于区间内的概率为，写出的可能取值即可得到分布列，根据二项分布的期望公式可以得到数学期望.
（1）设这些产品质量指标值落在区间内的频率为，则在区间，内的频率分别为和．
依题意得，解得．
所以这些产品质量指标值落在区间内的频率为．
（2）由（1）得， 这此产品质量指标值落在区间内的频率为，将频率视为概率得.
从该企业生产的该种产品中随机抽取3件， 相当于进行了3次独立重复试验，
所以 其中.
因为的所有可能取值为0，1，2，3，
且，
，
，
.
所以的分布列为
0 1 2 3
0.064 0.288 0.432 0.216
根据二项分布期望公式可知，的数学期望为.
2．（2022·全国·高二课时练习）某网约车司机统计了自己一天中出车一次的总路程X（单位：km）的可能取值是20，22，24，26，28，30，它们出现的概率依次是0.1，0.2，0.3，0.1，t，2t．
(1)求X的分布列，并求X的均值和方差；
(2)若网约车计费细则如下：起步价为5元，行驶路程不超过3km时，收费5元，行驶路程超过3km时，则按每超出1km（不足1km也按1km计程）收费3元计费．试计算此人一天中出车一次收入的均值和方差．
【答案】(1)分布列见解析，，；
(2)均值为71元，方差为.
【分析】（1）利用概率和为1求出的值，然后可得X的分布列，然后算出其期望方差即可；
（2）设此人一天中出车一次的收入为Y元，则，然后利用期望方差的性质可算出答案.
（1）由题意，得．∴．
∴X的分布列为
X 20 22 24 26 28 30
P 0.1 0.2 0.3 0.1 0.1 0.2
∴，
．
（2）设此人一天中出车一次的收入为Y元，则，
∴，．
故此人一天中出车一次收入的均值为71元，方差为95.4．
数字特征在决策中的应用
1．（2022·安徽·高三开学考试）国庆节期间，某大型服装团购会举办了一次“你消费我促销”活动，顾客消费满300元（含300元） 可抽奖一次， 抽奖方案有两种（顾客只能选择其中的一种）.
方案一: 从装有5个形状、大小完全相同的小球（其中红球1个， 黑球4个）的抽奖盒中，有放回地摸出3个球，每摸出1次红球，立减100元.
方案二: 从装有10个形状，大小完全相同的小球（其中红球2个，白球1个，黑球7个）的抽奖盒中， 不放回地摸出3个球，中多规则为:若摸出2个红球，1个白球，享受免单优惠;若摸出2个红球和1个黑球则打5折;若摸出1个红球，1个白球和1个黑球，则打7.5折;其余情况不打折.
(1)某顾客恰好消费300元，选择抽奖方案一，求他实付金额的分布列和期望;
(2)若顾客消费500元，试从实付金额的期望值分析顾客选择何种抽奖方案更合理
【答案】(1)分布列见解析，240元
(2)选择方案一更合理.
【分析】（1）确定的可能的取值，求出每个值对应的概率，即可得分布列，根据期望公式求得期望；
（2）计算两种方案下的实付金额的期望值，比较其大小，即可作出判断.
（1）设实付金额为元， 可能的取值为0，100，200，300，
则 ，
，
故的分布列为
0 100 200 300
所以（元）.
（2）若选择方案一， 设摸到红球的个数为，实付金额为， 则，
由题意可得 ， 故，
所以（元）；
若选择方案二， 设实付金额为元，可能的取值为0，250，375，500，
则，
故的分布列为
0 250 375 500
所以（元）.
因为，
故从实付金额的期望值分析顾客选择方案一更合理.
2．（2022·全国·高二单元测试）2021年新高考数学试卷中对每道多选题的得分规定：全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．小明在做多选题的第11题、第12题时通常有两种策略：
策略为避免选错只选出一个最有把握的选项．这种策略每个题耗时约3min．
策略选出自己认为正确的全部选项．这种策略每个题耗时约6min．
某次数学考试临近，小明通过前期大量模拟训练得出了两种策略下第11题和第12题的作答情况如下：
第11题：如果采用策略，选对的概率为0.8，采用策略，部分选对的概率为0.5，全部选对的概率为0.4．
第12题：如果采用策略，选对的概率为0.7，采用策略，部分选对的概率为0.6，全部选对的概率为0.3．
如果这两题总用时超过10min，其他题目会因为时间紧张少得2分．假设小明作答两题的结果互不影响．
(1)若小明同学此次考试中决定第11题采用策略、第12题采用策略，设此次考试他第11题和第12题总得分为，求的分布列．
(2)小明考前设计了以下两种方案：
方案1：第11题采用策略，第12题采用策略；
方案2：第11题和第12题均采用策略．
如果你是小明的指导老师，从整张试卷尽可能得分更高的角度出发，你赞成他的哪种方案？并说明理由．
【答案】(1)分布列见解析
(2)赞成小明的方案1，理由见解析
【分析】（1）分析可知随机变量的可能取值有、、、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列；
（2）计算出两种方案下得分的期望和所用的时间，结合题意可得出结论.
（1）解：设事件为“第11题得0分”，为“第11题得2分”，为“第11题得5分”，为“第12题得2分”，为“第12题得0分”，
所以，，，，．
由题意可知的可能取值为、、、、，
，
，
，
，
，
所以的分布列为：
0 2 4 5 7
0.03 0.22 0.35 0.12 0.28
（2）解：设随机变量为第11题采用策略的得分，为第题采用策略的得分，为第12题采用策略的得分．
的分布列为
0 2 5
0.1 0.5 0.4
所以．
的分布列为
0 2
0.3 0.7
所以.
的分布列为
0 2 5
P 0.1 0.6 0.3
所以.
若采用方案1，两题总得分均值为（分），
若采用方案2，两题总得分均值为（分），
但方案2因时间超过10min，后面的题得分少分，相当于得分均值为分．
因为，所以我赞成小明的方案1．
离散型随机变量的期望和方差应用问题的解题策略
(1)求离散型随机变量的期望与方差关键是确定随机变量的所有可能值，写出随机变量的分布列，正确运用期望、方差公式进行计算．注意E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2D(X)的应用．
(2)在实际问题中，若两个随机变量ξ1，ξ2，有E(ξ1)＝E(ξ2)或E(ξ1)与E(ξ2)较为接近时，就需要用D(ξ1)与D(ξ2)来比较两个随机变量的稳定程度．即一般地将期望最大(或最小)的方案作为最优方案，若各方案的期望相同，则选择方差最小(或最大)的方案作为最优方案．
1．（2022·全国·高考真题（理））甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立．
(1)求甲学校获得冠军的概率；
(2)用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望．
【答案】(1)；
(2)分布列见解析，.
【分析】（1）设甲在三个项目中获胜的事件依次记为，再根据甲获得冠军则至少获胜两个项目，利用互斥事件的概率加法公式以及相互独立事件的乘法公式即可求出；
（2）依题可知，的可能取值为，再分别计算出对应的概率，列出分布列，即可求出期望．
（1）设甲在三个项目中获胜的事件依次记为，所以甲学校获得冠军的概率为．
（2）依题可知，的可能取值为，所以，,，，.即的分布列为
0 10 20 30
0.16 0.44 0.34 0.06
期望.
2．（2022·浙江·高考真题）现有7张卡片，分别写上数字1，2，2，3，4，5，6．从这7张卡片中随机抽取3张，记所抽取卡片上数字的最小值为，则__________，_________．
【答案】 ，
【分析】利用古典概型概率公式求，由条件求分布列，再由期望公式求其期望.
【详解】从写有数字1,2,2,3,4,5,6的7张卡片中任取3张共有种取法，其中所抽取的卡片上的数字的最小值为2的取法有种，所以，
由已知可得的取值有1，2，3，4，
，，
，
所以,
故答案为：，.
3．（2021·浙江·高考真题）袋中有4个红球m个黄球，n个绿球.现从中任取两个球，记取出的红球数为，若取出的两个球都是红球的概率为，一红一黄的概率为，则___________，___________.
【答案】 1
【分析】根据古典概型的概率公式即可列式求得的值，再根据随机变量的分布列即可求出．
【详解】，所以，
, 所以, 则．
由于
．
故答案为：1；．
一、单选题
1．设随机变量的分布列为，,分别为随机变量的数学期望与方差，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用分布列的性质概率之和为1，得出，利用概率的性质可判断A选项，再利用均值方差定义公式以及其性质逐项判断BCD即可.
【详解】因为随机变量的分布列为，由分布列的性质可知，，解得，
对于A，，故A不正确；
对于B，，
，故B不正确；
对于C，，故C正确；
对于D，，，故D不正确.
故选：C
2．已知随机变量的分布列如表所示：若，则的值为（ ）
1 2 3 4 5
0.1 0.2 0.4 0.2 0.1
A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4
【答案】A
【分析】利用，求出的值，根据随机变量的分布列即可求解.
【详解】解：因为，则当时，，所以.
故选：A.
3．一台机器生产某种产品，如果生产出一件甲等品可获利50元，生产出一件乙等品可获利30元，生产一件次品，要赔20元，已知这台机器生产出甲等、乙等和次品的概率分别为0.6、0.3和0.1，则这台机器每生产一件产品，平均预期可获利（ ）
A．36元 B．37元 C．38元 D．39元
【答案】B
【分析】根据离散型随机变量的分布列，即可根据期望的公式进行求解.
【详解】由题意可得：设这台机器每生产一件产品可获利X，则X可能取的数值为50，30，，所以X的分布列为：，，，所以这台机器每生产一件产品平均预期可获利为：（元）
故选：B
4．甲、乙两人进行羽毛球比赛，现采用三局两胜的比赛制度，规定每局比赛都没有平局（必须分出胜负），且每一局甲赢的概率都是，随机变量表示最终的比赛局数，若，则的数学期望的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由三局两胜的比赛制度可得随机变量可能的取值为2和3，分别求出概率，列出分布列，利用离散型随机变量的期望公式计算并化简，根据，得出数学期望的取值范围．
【详解】随机变量可能的取值为2，3．
．
，
故的分布列为：
2 3
故．因为，故．故选：A．
5．已知随机变量X的分布列为，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据分布列的概率求解方式即可得出答案.
【详解】解：由题意得：
．
故选:A
6．互不相等的正实数是的任意顺序排列，设随机变量满足：则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据题意，分或， 或， 或，得到X，Y的分布列求解.
【详解】解：因为随机变量满足：
所以当或时，；
当或时，；
当或时，；
所以X，Y的分布列为：
X 2 3
P
Y 2 3
P
所以，
，
所以，
故选：C
7．已知随机变量的分布列如下表所示：
0 1 2
若，则（ ）
A．>，> B．<，>
C．>，< D．<，<
【答案】A
【分析】通过计算期望和方差来求得正确答案.
【详解】，
，
由于，所以.
，
同理可得.
，
所以.
故选：A
二、多选题
8．2022年冬奥会在北京举办，为了弘扬奥林匹克精神，某市多所中小学开展了冬奥会项目科普活动．为了调查学生对冰壶这个项目的了解情况，在该市中小学中随机抽取了10所学校，10所学校中了解这个项目的人数如图所示：
若从这10所学校中随机选取2所学校进行这个项目的科普活动，记为被选中的学校中了解冰壶的人数在30以上的学校所数，则（ ）
A．的可能取值为0，1，2，3 B．
C． D．
【答案】BD
【分析】由题知的可能取值为0，1，2，且服从超几何分布，进而求分布列，计算期望方差即可判断.
【详解】解：根据题意，的可能取值为0，1，2，其中了解冰壶的人数在30以上的学校有4所，了解冰壶的人数在30以下的学校有6所，
所以，，，
所以，的概率分布列为：
所以，，，
所以，BD选项正确，AC选项错误.
故选：BD．
9．一盒中有8个乒乓球，其中6个未使用过，2个已使用过．现从盒中任取3个球来用，用完后再装回盒中，记盒中已使用过的球的个数为X，则（ ）
A．X的所有可能取值是3，4，5 B．X最有可能的取值是5
C．X等于3的概率为 D．X的均值是
【答案】ACD
【分析】由题意可以判断A，再分别计算出X取3，4，5时的概率结合均值公式即可判断B，C，D.
【详解】易知X的所有可能取值是3，4，5．，，，
所以X最有可能的取值是4，，则B错误，ACD正确．
故选：ACD
10．设，随机变量的分布列为：
0 m 1
P
则当m在（0，1）上增大时，（ ）A．减小 B．增大
C．先增后减，最大值为 D．先减后增，最小值为
【答案】BD
【分析】首先根据分布列的性质求，再分别求期望和方差，根据函数特征判断选项.
【详解】由题意得，，得，，
，增大；
，
当实数m在上增大时，先减小后增大，当时，取最小值.
故选：BD.
11．年6月，上海市要求复工复产的相关人员须持小时核酸检测阴性证明方能进入工厂.现有两种检测方式：（1）逐份检测；（2）混合检测：即将其中份核酸样本混合在一起检测，若检测结果为阴性，则这份核酸全为阴性，如果检测结果为阳性，则需要对这份核酸再逐份检测.假设检测的核酸样本中，每份样本的检测结果相互独立，且每份样本是阳性的概率都为，若，则能使得混合检测比逐份检测更方便的的值可能是（ ）（参考数据
A． B． C． D．
【答案】AB
【分析】求出混检总次数Y的期望，逐份检测总次数X的期望，再根据给定条件列出不等式求解作答.
【详解】设混合检测样本需要检测的总次数为，的可能值为1和，
的分布列为：
1 21
，
设逐份检测样本需要检测的总次数为，则，要使得混合检测方式优于逐份检测方式，有，
则有，
又，即，
因此，解得，即，C，D不满足，A，B满足..
故选：.
12．某城市在天内完成了全城多万人的检测，高效率的秘密在于“混采检测”．某兴趣小组利用“混采检测”进行试验，已知只动物中有只患有某种疾病，需要通过血液化验来确定患病的动物，血液化验结果呈阳性的为患病动物，下面是两种化验方案：
方案甲：将各个动物的血液逐个化验，直到查出患病动物为止
方案乙：先取只动物的血液混在一起化验，若呈阳性，则对这只动物的血液逐个化验，直到查出患病动物；若不呈阳性，则对剩下的只动物逐个化验，直到查出患病动物．则下列说法正确的是（ ）
A．若利用方案甲，平均化验次数为
B．若利用方案乙，化验次数为次的概率为
C．若利用方案甲，化验次数为次的概率为
D．方案乙比方案甲更好
【答案】ABD
【分析】由已知，设方案甲的化验次数为，根据的可能取值列出概率，进而可求平均化验次数，判断出AC选项；对于B，化验次数为次的有种情况，分别求出概率并求和，可判断正误；设利用方案乙的化验次数为，根据的可能取值列出概率，求出平均化验次数与方案甲的平均化验次数比较，判断出选项D．
【详解】对于A，C，设化验次数为，则的可能取值为，且，，
所以方案甲的平均化验次数，A正确，C错误；
对于B，化验次数为次，有种情况：
①若先取的只均为阴性，则化验次数为次的概率；
②若先取的只有阳性，则化验次数为次的概率为，
所以化验次数为次的概率为，B正确；
对于D，若利用方案乙，设化验次数为，则的可能取值有，所以，，，，
所以，又，所以利用方案乙更好，D正确．
故选：ABD．
三、填空题
13．袋中有4个红球，m个黄球，现从中任取两个球，记取出的红球个数为.若取出的两个球都是红球的概率为，则______.
【答案】
【分析】由即可求出的值，则可求出，的值，即可求出答案.
【详解】由题意知：，
所以，，
所以 .
故答案为：
14．随机变量的分布列如下表，则___________.
0 1 2
0.4 0.2
【答案】20
【分析】由概率和为1求出a，先求出和，进而求出.
【详解】由，所以，，
故答案为：20
15．已知随机变量的概率分布列为：
2 3 4 5
已知的数学期望为，则____________.
【答案】
【分析】根据的数学期望和分布列的概率之和为1列出方程组，求出，进而计算出
【详解】，
又，
解得：，
则
故答案为：
16．随机变量的概率分布满足（，1，2，…，10），则的值为___________.
【答案】1024
【分析】由分布列的概率之和为1即可求得答案.
【详解】由题意.
故答案为：1024.
四、解答题
17．某校举办传统文化知识竞赛， 从该校参赛学生中随机抽取 100 名学生， 根据他们的竞赛成绩(满分： 100 分)， 按分成五组， 得到如图所示的频率分布直方图．
(1)估计该校学生成绩的中位数；
(2)已知样本中竞赛成绩在的女生有3人，从样本中竞赛成绩在的学生中随机抽取4人进行调查，记抽取的女生人数为，求的分布列及期望．
【答案】(1)75；
(2)分布列见解析；期望为1
【分析】（1）结合频率分布直方图的性质，以及中位数公式，即可求解；
（2）由题意可推得，的所有可能取值为0，1，2，3，分别求出对应的概率，即可求得分布列，再结合期望公式，即可求解．
（1）
解：因为 ，
所以中位数在[70，80)内．
设中位数为， 则 ， 解得=75．
（2）
解： 由题意可知的所有可能取值为．
，
，
．
则的分布列为：
0 1 2 3
故 ．
18．某班级体育课进行一次篮球定点投篮测试，规定每人最多投3次，每次投篮的结果相互独立.在A处每投进一球得3分，在B处每投进一球得2分，否则得0分.将学生得分逐次累加并用X表示，如果X的值不低于3分就判定为通过测试，立即停止投篮，否则应继续投篮，直到投完三次为止.现有两种投篮方案：方案1：先在A处投一球，以后都在B处投；方案2：都在B处投篮.已知甲同学在A处投篮的命中率为，在B处投篮的命中率为.
(1)若甲同学选择方案1，求他测试结束后所得总分X的分布列和数学期望E（X）；
(2)你认为甲同学选择哪种方案通过测试的可能性更大？说明理由.
【答案】(1)分布列见解析，.
(2)甲同学选择方案2通过初赛的可能性更大，理由见解析.
【分析】（1）利用相互独立事件的概率乘法公式、互斥事件的概率加法公式求出概率，再写成分布列，求出数学期望.
（2）利用相互独立事件的概率乘法公式、互斥事件的概率加法公式求出概率，再进行比较即可.
（1）设甲同学在A处投中为事件A，在处第i次投中为事件，由已知，，的取值为0，2，3，4.
则，
，
，
，
所以的分布列为：
0 2 3 4
所以的数学期望为：.
（2）设甲同学选择方案1通过初赛的概率为，选择方案2通过初赛的概率为，
则由（1）有：，
又
，
所以，所以甲同学选择方案2通过初赛的可能性更大.

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