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第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布
专题6：二项分布、超几何分布与正态分布
1.理解二项分布、超几何分布的概念，能解决一些简单的实际问题.
2.借助正态曲线了解正态分布的概念，并进行简单应用．
1．n重伯努利试验与二项分布
(1)n重伯努利试验
把只包含 结果的试验叫做伯努利试验．
将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为 ．
(2)二项分布
在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0＜p＜1)，
用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n，则称随机变量X服从 ，记作X～ ．
(3)两点分布与二项分布的均值、方差
①若随机变量X服从两点分布，那么E(X)＝p，D(X)＝ ．
②若X～B(n，p)，则E(X)＝ ，D(X)＝ ．
提醒：在实际应用中，往往出现数量“较大”“很大”“非常大”等字眼，这表明试验可视为独立重复试验，进而判定是否服从二项分布．
2．超几何分布
(1)定义
在含有M件次品的N件产品中，任取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X＝k)＝ ，k＝m，m＋1，m＋2，…，r，其中n，M，N∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}，称随机变量X服从超几何分布．
(2)超几何分布的均值
若X服从参数为N，M，n的超几何分布，则E(X)＝ .
提醒：超几何分布与二项分布的区别与联系
超几何分布 二项分布
特征 描述的是不放回抽样问题(总体在变化) 描述的是有放回抽样问题(总体不改变)
考察对象分为两类 每一次试验是独立重复试验
已知各类对象的个数
联系 (当总体容量很大时)超几何分布可近似看作二项分布
3.正态曲线与正态分布
(1)我们称f(x)＝e，x∈R，其中μ∈R，σ>0为参数，为正态密度函数，称其图象为正态密度曲线，简称正态曲线．
(2)若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为X～N(μ，σ2)．特别地，当μ＝ ，σ＝ 时，称随机变量X服从标准正态分布．
(3)正态曲线的特点
①曲线是单峰的，它关于直线 对称；
②曲线在x＝μ处达到峰值；
③当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴．
(4)正态变量在三个特殊区间内取值的概率
①P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈ ；
②P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈ ；
③P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈ .
在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取[μ－3σ，μ＋3σ]中的值，这在统计学中称为3σ原则．
(5)正态分布的均值与方差
若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝ ，D(X)＝ .
考点一 n重伯努利试验与二项分布
n重伯努利试验及其概率
甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别为和.假设两人射击是否击中目标相互之间没有影响，每人每次射击是否击中目标相互之间也没有影响．
(1)求甲射击4次，至少有1次未击中目标的概率；
(2)求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率；
(3)假设每人连续2次未击中目标，则终止其射击．问：乙恰好射击5次后，被终止射击的概率为多少？
【解析】(1)记“甲射击4次，至少有1次未击中目标”为事件A1，则事件A1的对立事件1为“甲射击4次，全部击中目标”．由题意可知，射击4次相当于做了4重伯努利试验，
故P(1)＝C×＝.
所以P(A1)＝1－P(1)＝1－＝.
所以甲射击4次，至少有1次未击中目标的概率为.
(2)记“甲射击4次，恰好击中目标2次”为事件A2，“乙射击4次，恰好击中目标3次”为事件B2，
则P(A2)＝C×＝，
P(B2)＝C×＝.
由于甲、乙射击相互独立，
故P(A2B2)＝P(A2)P(B2)＝×＝.
所以两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率为.
(3)记“乙恰好射击5次后，被终止射击”为事件A3，“乙第i次射击未击中”为事件Di(i＝1,2,3,4,5)，
则A3＝D5D43(2 1∪2D1∪D21)，
且P(Di)＝.
由于各事件相互独立，故
P(A3)＝P(D5)P(D4)P(3)P(21＋2D1＋D21)＝×××＝.
所以乙恰好射击5次后，被终止射击的概率为.
二项分布的均值与方差
(2021·天津宝坻区模拟)冠状病毒是一个大型病毒家族，已知可引起感冒以及中东呼吸综合征(MERS)和严重急性呼吸综合征(SARS)等较严重疾病，而新型冠状病毒(nCoV)是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株，人感染了新型冠状病毒后常见体征有呼吸道症状，发热、咳嗽、气促和呼吸困难等．在较严重病例中，感染可导致肺炎，严重急性呼吸综合征，肾衰竭，甚至死亡．假如某医药研究机构合成了甲、乙两种抗“新冠病毒”的药物．经试验，服用甲、乙两种药物痊愈的概率分别为，，现已进入药物临床试用阶段．每个试用组由4位该病毒的感染者组成．其中2人试用甲种抗病毒药物，2人试用乙种抗病毒药物．如果试用组中，甲种抗病毒药物治愈人数超过乙种抗病毒药物的治愈人数，则称该组为“甲类组”．
(1)求一个试用组为“甲类组”的概率；
(2)观察3个试用组，用ξ表示这3个试用组“甲类组”的个数，求ξ的分布列和数学期望．
【解析】(1)设Ai表示事件“一个试验组中，服用甲种抗病毒药物有效的人数i人”，i＝0,1,2，
Bi表示事件“一个试验组中，服用乙种抗病毒药物有效的人有i人”，i＝0,1,2.
依题意有
P＝2××＝，
P＝×＝，
P＝×＝，
P＝2××＝，
所求的概率为
P＝P＋P＋P
＝×＋×＋×＝.
(2)ξ的可能值为0,1,2,3，且ξ～B.
P＝C＝，
P＝C＝，
P＝C＝，
P＝C＝，
ξ的分布列为
ξ 0 1 2 3
P
数学期望E＝3×＝.
（2022·山东枣庄·高二期末）某校组织数学知识竞赛活动，比赛共4道必答题，答对一题得4分，答错一题扣2分．学生甲参加了这次活动，假设每道题甲能答对的概率都是，且各题答对与否互不影响．设甲答对的题数为，甲做完4道题后的总得分为．
(1)试建立关于的函数关系式，并求；
(2)求的分布列及 ．
【答案】(1)，
(2)分布列见解析，
【分析】（1）答对的题数和得分列很容易列出一次函数关系，在利用二项分布的概率公式求；
（2）根据（1）中的关系，及二项分布的概率公式来写出分布列，然后先求，利用数学期望运算性质求出.
(1)由题意，
由，得．所以，而，
所以．
(2)由题意，知．
的对应值表为：
0 1 2 3 4
－8 －2 4 10 16
于是，；
；
；
；
．
判断某随机变量是否服从二项分布的关键点
(1)在每一次试验中，事件发生的概率相同．
(2)各次试验中的事件是相互独立的．
(3)在每一次试验中，试验的结果只有两个，即发生与不发生．
提醒：求随机变量ξ的期望与方差时，可首先分析ξ是否服从二项分布，如果ξ～B(n，p)，则用公式E(ξ)＝np，D(ξ)＝np(1－p)求解，可大大减少计算量．
考点二　超几何分布
（2022·北京延庆·高二期末）袋中有个白球、个黑球，从中随机地连续抽取次，每次取个球．
(1)若每次抽取后都放回，求恰好取到个黑球的概率；
(2)若每次抽取后都不放回，设取到黑球的个数为，求的分布列．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）法一：根据古典概型的公式，求的总数和符合题意事件的个数，可得答案；
法二：根据独立重复实验的概率公式，先求一次实验的概率，可得答案.
（2）根据超几何分布的概念及其概率公式，可得答案.
（1）
法一：有放回地抽取3次，取法总数为种，
设恰好取出一个黑球为事件，
中包含有种取法，所以．
法二：抽取1次取出黑球的概率为，
设连续抽取3次中恰有1次抽出黑球为事件，
则．
（2）
从6个球中任意取出3个球的取法总数为，的取值范围是
，，，
所以的分布列为：
超几何分布的求解步骤
(1)辨模型：结合实际情景分析所求概率分布的问题是否具有明显的两部分组成．
(2)算概率：可以直接借助公式P(X＝k)＝(n，N，M∈N*，n≤N，m≤N)求解， (3)列分布列：把求得的概率值通过表格表示出来．
考点三 正态分布
设两个正态分布N(μ1，σ)(σ1>0)和N(μ2，σ)(σ2>0)的密度函数图象如图所示，则有(　　)
A．μ1<μ2，σ1<σ2 B．μ1<μ2，σ1>σ2
C．μ1>μ2，σ1<σ2 D．μ1>μ2，σ1>σ2
【答案】A　
【解析】根据正态分布的性质：对称轴方程x＝μ，σ表示正态曲线的形状．由题图可得，选A．
2．（甘肃省临夏回族自治州2021-2022学年高二下学期期末数学理科试题）设随机变量服从正态分布，函数有零点的概率是0.5，则等于（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【分析】由二次函数的性质，可得，再根据正态曲线的对称性，即可求解.
【详解】函数有零点，
即方程有实根，得，即，
因为函数有零点的概率是0.5，
所以，由正态曲线的对称性知．
故选：B
3．（2021·青海·西宁市海湖中学高三开学考试（理））已知随机变量服从正态分布，若，则（ ）
A．0.15 B．0.30 C．0.70 D．0.75
【答案】D
【分析】由正态分布曲线的对称性可知，在正态分布中概率关于对称，由此即可计算出答案.
【详解】
故选：D.
4．（2021·山东·临沂市兰山区教学研究室高三开学考试）某校高三年级有500名学生，一次考试的语文成绩服从正态分布，数学成绩的频率分布表如下：
数学成绩
频率 0.16 0.168 0.48 0.16 0.032
(1)如果成绩高于130分为特别优秀，则本次考试语文、数学成绩特别优秀的学生大约各多少人？
(2)如果语文和数学两科成绩都特别优秀的共有6人，从（1）中的这些学生中随机抽取3人，设3人中两科成绩都特别优秀的人数为，求的分布列和数学期望.
参考公式及数据：
若，则，，.
【答案】(1)语文10人，数学16人
(2)分布列见解析，
【分析】（1）根据正态分布的对称性即可求解语文优秀的人数，根据频率可求数学优秀的人数，
（2）根据超几何分布的概率公式求解概率，进而可求分布列和期望.
（1）因为语文成绩服从正态分布，
所以语文成绩特别优秀的概率.
由频率估计概率，得数学成绩特别优秀的概率，
所以语文成绩特别优秀的学生大约有（人），
数学成绩特别优秀的学生大约有（人）.
（2）语文和数学成绩都特别优秀的有6人，则单科成绩特别优秀的有14人，可取的值有0，1，2，3，
所以，
，
，
，
故的分布列为
0 1 2 3
P
正态分布下两类常见的概率计算
(1)利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线x＝μ对称，曲线与x轴之间的面积为1；
(2)利用3σ原则求概率问题时，要注意把给出的区间或范围与正态变量的μ，σ进行对比联系，确定他们属于[μ－σ，μ＋σ]，[μ－2σ，μ＋2σ]，[μ－3σ，μ＋3σ]中的哪一个．
　
1．（2021·全国·高考真题）某物理量的测量结果服从正态分布，下列结论中不正确的是（ ）
A．越小，该物理量在一次测量中在的概率越大
B．该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5
C．该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等
D．该物理量在一次测量中落在与落在的概率相等
2．（2022·全国·高考真题）已知随机变量X服从正态分布，且，则____________．
3．（2021·天津·高考真题）甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方获胜，否则本次平局，已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为和，且每次活动中甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影响，则一次活动中，甲获胜的概率为____________，3次活动中，甲至少获胜2次的概率为______________．
一、单选题
1．已知随机变量X服从二项分布，则（ ）
A． B． C． D．
2．下列正确命题的个数是（ ）
①已知随机变量X服从二项分布，若，，则；
②将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变；
③在某市组织的一次联考中，全体学生的数学成绩，若，现从参加考试的学生中随机抽取3人，并记数学成绩不在的人数为，则；
④某人在12次射击中，击中目标的次数为X，，则当或概率最大．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．为了检测自动流水线生产的食盐质量，检验员每天从生产线上随机抽取包食盐，并测量其质量（单位：g）．由于存在各种不可控制的因素，任意抽取的一袋食盐的质量与标准质量之间存在一定的误差，已知这条生产线在正常状态下，每包食盐的质量服从正态分布．假设生产状态正常，记X表示每天抽取的k包食盐中质量在之外的包数，若X的数学期望，则k的最小值为（ ）
附：若随机变量X服从正态分布，则．
A．8 B．10 C．12 D．14
4．随机变量的概率分布密度函数，其图象如图所示，设，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
5．随机变量，若，则（ ）
A． B． C． D．
6．设10件同类型的零件中有2件是不合格品，从其中任取3件，以X表示取出的3件中的不合格的件数，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知6件产品中有2件次品，4件正品，检验员从中随机抽取3件进行检测，记取到的正品数为X，则（ ）
A．2 B．1 C． D．
8．某校为全体高中学生开设了15门校本课程，其中人文社科类6门，科学技术类6门，体育美育类3门.学校要求每位高中学生需在高中三年内选学其中的8门课程.从全校高中学生中随机抽取一名学生，设该学生选择的人文社科类的校本课程为门，则下列概率中等于的是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．2021年10月16日，搭载神舟十三号载人飞船的火箭发射升空，这是一件让全国人民关注的大事，因此每天有很多民众通过手机、电视、报纸了解有关新闻，某组织随机选取10人调查民众了解这一新闻的方式，其中喜欢用电视、手机、报纸了解这一新闻的分别有3人、6人、1人，现随机选出2人，则（ ）
A．有1人喜欢用电视的方式的概率是
B．有2人喜欢用电视的方式的概率是
C．至多有1人喜欢用电视的方式的概率是
D．至少有1人喜欢用手机的方式的概率是
10．中秋节又称祭月节 仲秋节 拜月节 团圆节等，是中国民间的传统节日 中秋节自古便有祭月 赏月 吃月饼等民俗，流传至今，经久不息.在一个食盒中装有大小一样的五仁月饼6个，鲜肉月饼4个，小明同学从中一次性任取4个月饼，设取出的4个月饼中鲜肉月饼的个数为，则下列结论正确的是（ ）
A． B．随机变量服从二项分布
C．随机变量服从超几何分布. D．
11．已知随机变量，，，，记，其中，，则（ ）
A． B．
C． D．若，则
12．下列说法正确的是（ ）
A．若随机变量，,则
B．若随机变量，则
C．以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，将其变换后得到线性方程， 则c，k的值分别是 ，0.5
D．3个人坐在一排5个座位上，空位不相邻的坐法有72种
三、填空题
13．已知随机变量，若，则的最小值为__________.
14．在一次新兵射击能力检测中，每人都可打5枪，只要击中靶标就停止射击，合格通过；5次全不中，则不合格．新兵A参加射击能力检测，假设他每次射击相互独立，且击中靶标的概率均为，若当时，他至少射击4次合格通过的概率最大，则___________．
15．把半圆弧分成等份，以这些分点（包括直径的两端点）为顶点，作出三角形，从中任取个不同的三角形，则这个不同的三角形中钝角三角形的个数不少于的概率为______．
16．某人参加一次测试，在备选的10道题中，他能答对其中的5道题．现从这10道题中随机抽出3道题进行测试，规定至少答对2道题才算合格．则他此次测试合格的概率为______．
四、解答题
17．某市移动公司为了提高服务质量，决定对使用A，B两种套餐的集团用户进行调查，准备从本市n（）个人数超过1000人的大集团和4个人数低于200人的小集团中随机抽取若干个集团进行调查，若一次抽取2个集团，全是小集团的概率为.
(1)在取出的2个集团是同一类集团的情况下，求全为大集团的概率；
(2)若一次抽取3个集团，假设取出小集团的个数为X，求X的分布列和期望.
18．已知小田开小汽车上班的道路A有5个红绿灯路口（只有红灯和绿灯），小田到达每一个路口遇到红灯的概率都为，遇到绿灯的概率都为．
(1)若小田从出门到第一个路口和最后一个路口到办公室各需要5min，在路口遇到红灯的平均等待时间为1min，每两个路口之间的行驶时间为2min，求小田从出门到办公室的平均时间．
(2)小田骑电动车上班的道路B只有3个红绿灯路口（只有红灯和绿灯）．
①若小田到达第一个路口遇到红灯、绿灯的概率都为，一个路口遇到红灯时下一个路口遇到红灯和一个路口遇到绿灯时下一个路口遇到绿灯的概率都为，求小田遇到红灯个数的平均值；
②若小田从出门到第一个路口和最后一个路口到办公室各需要4min，在路口遇到红灯的平均等待时间为1min，每两个路口之间的行驶时间为5min，从时间来考虑，请问小田上班是开小汽车好，还是骑电动车好？
19．为应对气候变化，我国计划在2030年前实现碳排放量到达峰值，2060年前实现“碳中和”.某市为了解本市企业碳排放情况，从本市320家年碳排放量超过2万吨的企业中随机抽取50家企业进行了调查，得到如下频数分布表，并将年碳排放量大于18万吨的企业确定为“超标”企业：
硫排放量X [2.55.5） [5.5，8.5） [8.5，115） [115，14.5） [14.5.175） [175，20.5） [20.523.5）
频数 5 6 9 12 8 6 4
(1)假设该市这320家企业的年碳排放量大致服从正态分布，其中近似为样本平均值，近似为样本方差，经计算得，.试估计这320家企业中“超标”企业的家数；
(2)通过研究样本原始数据发现，抽取的50家企业中共有8家“超标”企业，市政府决定对这8家“超标”企业进行跟踪调查，现计划在这8家“超标”企业中任取5家先进行跟踪调查，设Y为抽到的年碳排放量至少为20.5万吨的企业家数，求Y的分布列与数学期望.
（参考数据：若X~，则，，.）中小学教育资源及组卷应用平台
第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布
专题6：二项分布、超几何分布与正态分布
1.理解二项分布、超几何分布的概念，能解决一些简单的实际问题.
2.借助正态曲线了解正态分布的概念，并进行简单应用．
1．n重伯努利试验与二项分布
(1)n重伯努利试验
把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验．
将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验．
(2)二项分布
在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0＜p＜1)，
用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n，则称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)．
(3)两点分布与二项分布的均值、方差
①若随机变量X服从两点分布，那么E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)．
②若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．
提醒：在实际应用中，往往出现数量“较大”“很大”“非常大”等字眼，这表明试验可视为独立重复试验，进而判定是否服从二项分布．
2．超几何分布
(1)定义
在含有M件次品的N件产品中，任取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X＝k)＝，k＝m，m＋1，m＋2，…，r，其中n，M，N∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}，称随机变量X服从超几何分布．
(2)超几何分布的均值
若X服从参数为N，M，n的超几何分布，则E(X)＝.
提醒：超几何分布与二项分布的区别与联系
超几何分布 二项分布
特征 描述的是不放回抽样问题(总体在变化) 描述的是有放回抽样问题(总体不改变)
考察对象分为两类 每一次试验是独立重复试验
已知各类对象的个数
联系 (当总体容量很大时)超几何分布可近似看作二项分布
3.正态曲线与正态分布
(1)我们称f(x)＝e，x∈R，其中μ∈R，σ>0为参数，为正态密度函数，称其图象为正态密度曲线，简称正态曲线．
(2)若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为X～N(μ，σ2)．特别地，当μ＝0，σ＝1时，称随机变量X服从标准正态分布．
(3)正态曲线的特点
①曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；
②曲线在x＝μ处达到峰值；
③当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴．
(4)正态变量在三个特殊区间内取值的概率
①P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7；
②P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5；
③P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3.
在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取[μ－3σ，μ＋3σ]中的值，这在统计学中称为3σ原则．
(5)正态分布的均值与方差
若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝μ，D(X)＝σ2.
考点一 n重伯努利试验与二项分布
n重伯努利试验及其概率
甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别为和.假设两人射击是否击中目标相互之间没有影响，每人每次射击是否击中目标相互之间也没有影响．
(1)求甲射击4次，至少有1次未击中目标的概率；
(2)求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率；
(3)假设每人连续2次未击中目标，则终止其射击．问：乙恰好射击5次后，被终止射击的概率为多少？
【解析】　(1)记“甲射击4次，至少有1次未击中目标”为事件A1，则事件A1的对立事件1为“甲射击4次，全部击中目标”．由题意可知，射击4次相当于做了4重伯努利试验，
故P(1)＝C×＝.
所以P(A1)＝1－P(1)＝1－＝.
所以甲射击4次，至少有1次未击中目标的概率为.
(2)记“甲射击4次，恰好击中目标2次”为事件A2，“乙射击4次，恰好击中目标3次”为事件B2，
则P(A2)＝C×＝，
P(B2)＝C×＝.
由于甲、乙射击相互独立，
故P(A2B2)＝P(A2)P(B2)＝×＝.
所以两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率为.
(3)记“乙恰好射击5次后，被终止射击”为事件A3，“乙第i次射击未击中”为事件Di(i＝1,2,3,4,5)，
则A3＝D5D43(2 1∪2D1∪D21)，
且P(Di)＝.
由于各事件相互独立，故
P(A3)＝P(D5)P(D4)P(3)P(21＋2D1＋D21)＝×××＝.
所以乙恰好射击5次后，被终止射击的概率为.
二项分布的均值与方差
(2021·天津宝坻区模拟)冠状病毒是一个大型病毒家族，已知可引起感冒以及中东呼吸综合征(MERS)和严重急性呼吸综合征(SARS)等较严重疾病，而新型冠状病毒(nCoV)是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株，人感染了新型冠状病毒后常见体征有呼吸道症状，发热、咳嗽、气促和呼吸困难等．在较严重病例中，感染可导致肺炎，严重急性呼吸综合征，肾衰竭，甚至死亡．假如某医药研究机构合成了甲、乙两种抗“新冠病毒”的药物．经试验，服用甲、乙两种药物痊愈的概率分别为，，现已进入药物临床试用阶段．每个试用组由4位该病毒的感染者组成．其中2人试用甲种抗病毒药物，2人试用乙种抗病毒药物．如果试用组中，甲种抗病毒药物治愈人数超过乙种抗病毒药物的治愈人数，则称该组为“甲类组”．
(1)求一个试用组为“甲类组”的概率；
(2)观察3个试用组，用ξ表示这3个试用组“甲类组”的个数，求ξ的分布列和数学期望．
【解析】(1)设Ai表示事件“一个试验组中，服用甲种抗病毒药物有效的人数i人”，i＝0,1,2，
Bi表示事件“一个试验组中，服用乙种抗病毒药物有效的人有i人”，i＝0,1,2.
依题意有
P＝2××＝，
P＝×＝，
P＝×＝，
P＝2××＝，
所求的概率为
P＝P＋P＋P
＝×＋×＋×＝.
(2)ξ的可能值为0,1,2,3，且ξ～B.
P＝C＝，
P＝C＝，
P＝C＝，
P＝C＝，
ξ的分布列为
ξ 0 1 2 3
P
数学期望E＝3×＝.
（2022·山东枣庄·高二期末）某校组织数学知识竞赛活动，比赛共4道必答题，答对一题得4分，答错一题扣2分．学生甲参加了这次活动，假设每道题甲能答对的概率都是，且各题答对与否互不影响．设甲答对的题数为，甲做完4道题后的总得分为．
(1)试建立关于的函数关系式，并求；
(2)求的分布列及 ．
【答案】(1)，
(2)分布列见解析，
【分析】（1）答对的题数和得分列很容易列出一次函数关系，在利用二项分布的概率公式求；
（2）根据（1）中的关系，及二项分布的概率公式来写出分布列，然后先求，利用数学期望运算性质求出.
(1)由题意，
由，得．所以，而，
所以．
(2)由题意，知．
的对应值表为：
0 1 2 3 4
－8 －2 4 10 16
于是，；
；
；
；
．
判断某随机变量是否服从二项分布的关键点
(1)在每一次试验中，事件发生的概率相同．
(2)各次试验中的事件是相互独立的．
(3)在每一次试验中，试验的结果只有两个，即发生与不发生．
提醒：求随机变量ξ的期望与方差时，可首先分析ξ是否服从二项分布，如果ξ～B(n，p)，则用公式E(ξ)＝np，D(ξ)＝np(1－p)求解，可大大减少计算量．
考点二　超几何分布
（2022·北京延庆·高二期末）袋中有个白球、个黑球，从中随机地连续抽取次，每次取个球．
(1)若每次抽取后都放回，求恰好取到个黑球的概率；
(2)若每次抽取后都不放回，设取到黑球的个数为，求的分布列．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）法一：根据古典概型的公式，求的总数和符合题意事件的个数，可得答案；
法二：根据独立重复实验的概率公式，先求一次实验的概率，可得答案.
（2）根据超几何分布的概念及其概率公式，可得答案.
（1）
法一：有放回地抽取3次，取法总数为种，
设恰好取出一个黑球为事件，
中包含有种取法，所以．
法二：抽取1次取出黑球的概率为，
设连续抽取3次中恰有1次抽出黑球为事件，
则．
（2）
从6个球中任意取出3个球的取法总数为，的取值范围是
，，，
所以的分布列为：
超几何分布的求解步骤
(1)辨模型：结合实际情景分析所求概率分布的问题是否具有明显的两部分组成．
(2)算概率：可以直接借助公式P(X＝k)＝(n，N，M∈N*，n≤N，m≤N)求解， (3)列分布列：把求得的概率值通过表格表示出来．
考点三 正态分布
设两个正态分布N(μ1，σ)(σ1>0)和N(μ2，σ)(σ2>0)的密度函数图象如图所示，则有(　　)
A．μ1<μ2，σ1<σ2 B．μ1<μ2，σ1>σ2
C．μ1>μ2，σ1<σ2 D．μ1>μ2，σ1>σ2
【答案】A　
【解析】根据正态分布的性质：对称轴方程x＝μ，σ表示正态曲线的形状．由题图可得，选A．
2．（甘肃省临夏回族自治州2021-2022学年高二下学期期末数学理科试题）设随机变量服从正态分布，函数有零点的概率是0.5，则等于（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【分析】由二次函数的性质，可得，再根据正态曲线的对称性，即可求解.
【详解】函数有零点，
即方程有实根，得，即，
因为函数有零点的概率是0.5，
所以，由正态曲线的对称性知．
故选：B
3．（2021·青海·西宁市海湖中学高三开学考试（理））已知随机变量服从正态分布，若，则（ ）
A．0.15 B．0.30 C．0.70 D．0.75
【答案】D
【分析】由正态分布曲线的对称性可知，在正态分布中概率关于对称，由此即可计算出答案.
【详解】
故选：D.
4．（2021·山东·临沂市兰山区教学研究室高三开学考试）某校高三年级有500名学生，一次考试的语文成绩服从正态分布，数学成绩的频率分布表如下：
数学成绩
频率 0.16 0.168 0.48 0.16 0.032
(1)如果成绩高于130分为特别优秀，则本次考试语文、数学成绩特别优秀的学生大约各多少人？
(2)如果语文和数学两科成绩都特别优秀的共有6人，从（1）中的这些学生中随机抽取3人，设3人中两科成绩都特别优秀的人数为，求的分布列和数学期望.
参考公式及数据：
若，则，，.
【答案】(1)语文10人，数学16人
(2)分布列见解析，
【分析】（1）根据正态分布的对称性即可求解语文优秀的人数，根据频率可求数学优秀的人数，
（2）根据超几何分布的概率公式求解概率，进而可求分布列和期望.
（1）因为语文成绩服从正态分布，
所以语文成绩特别优秀的概率.
由频率估计概率，得数学成绩特别优秀的概率，
所以语文成绩特别优秀的学生大约有（人），
数学成绩特别优秀的学生大约有（人）.
（2）语文和数学成绩都特别优秀的有6人，则单科成绩特别优秀的有14人，可取的值有0，1，2，3，
所以，
，
，
，
故的分布列为
0 1 2 3
P
正态分布下两类常见的概率计算
(1)利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线x＝μ对称，曲线与x轴之间的面积为1；
(2)利用3σ原则求概率问题时，要注意把给出的区间或范围与正态变量的μ，σ进行对比联系，确定他们属于[μ－σ，μ＋σ]，[μ－2σ，μ＋2σ]，[μ－3σ，μ＋3σ]中的哪一个．
　
1．（2021·全国·高考真题）某物理量的测量结果服从正态分布，下列结论中不正确的是（ ）
A．越小，该物理量在一次测量中在的概率越大
B．该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5
C．该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等
D．该物理量在一次测量中落在与落在的概率相等
【答案】D
【分析】由正态分布密度曲线的特征逐项判断即可得解.
【详解】对于A，为数据的方差，所以越小，数据在附近越集中，所以测量结果落在内的概率越大，故A正确；
对于B，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量大于10的概率为，故B正确；
对于C，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果大于的概率与小于的概率相等，故C正确；
对于D，因为该物理量一次测量结果落在的概率与落在的概率不同，所以一次测量结果落在的概率与落在的概率不同，故D错误.
故选：D.
2．（2022·全国·高考真题）已知随机变量X服从正态分布，且，则____________．
【答案】
【分析】根据正态分布曲线的性质即可解出．
【详解】因为，所以，因此．
故答案为：．
3．（2021·天津·高考真题）甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方获胜，否则本次平局，已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为和，且每次活动中甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影响，则一次活动中，甲获胜的概率为____________，3次活动中，甲至少获胜2次的概率为______________．
【答案】
【分析】根据甲猜对乙没有猜对可求出一次活动中，甲获胜的概率；在3次活动中，甲至少获胜2次分为甲获胜2次和3次都获胜求解.
【详解】由题可得一次活动中，甲获胜的概率为；
则在3次活动中，甲至少获胜2次的概率为.
故答案为：；.
一、单选题
1．已知随机变量X服从二项分布，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据二项分布有关的公式求得正确答案.
【详解】由，
得．
故选：C
2．下列正确命题的个数是（ ）
①已知随机变量X服从二项分布，若，，则；
②将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变；
③在某市组织的一次联考中，全体学生的数学成绩，若，现从参加考试的学生中随机抽取3人，并记数学成绩不在的人数为，则；
④某人在12次射击中，击中目标的次数为X，，则当或概率最大．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】对①：利用二项分布的期望与方差公式，列出方程求解即可判断；对②：根据方差公式可知方差恒不变；对③：根据正态分布的对称性即可求解；对④：根据二项分布概率的性质求解即可判断．
【详解】解：对于①：因为随机变量服从二项分布，，，
所以，，解得，故①错误；
对于②：根据方差公式（，为常数），可得将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差不变，故②正确；
对于③：因为随机变量服从正态分布，由，
则，则成绩不在的概率，
则，故③正确；
对于④：因为在次射击中，击中目标的次数，
所以对应的概率，
当，时，令，
即，即，
解得，因为时，
所以当时，概率最大，故④错误．
故选：B．
3．为了检测自动流水线生产的食盐质量，检验员每天从生产线上随机抽取包食盐，并测量其质量（单位：g）．由于存在各种不可控制的因素，任意抽取的一袋食盐的质量与标准质量之间存在一定的误差，已知这条生产线在正常状态下，每包食盐的质量服从正态分布．假设生产状态正常，记X表示每天抽取的k包食盐中质量在之外的包数，若X的数学期望，则k的最小值为（ ）
附：若随机变量X服从正态分布，则．
A．8 B．10 C．12 D．14
【答案】C
【分析】求出抽取的食盐质量在之外的概率，则随机变量服从分布，应用二项分布期望公式列不等式求k范围.
【详解】由题设，抽取的食盐质量在之外的概率，
所以随机变量，即，
故，即，又，则k的最小值为12.
故选：C
4．随机变量的概率分布密度函数，其图象如图所示，设，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据正态分布的性质即可求解.
【详解】解：由题意可知，则，
故图中阴影部分的面积为.
故选：C.
5．随机变量，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据正态分布的对称性得出，的值，从而得出答案．
【详解】解：随机变量，，
，，
，
故选：D．
6．设10件同类型的零件中有2件是不合格品，从其中任取3件，以X表示取出的3件中的不合格的件数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据超几何分布的概率公式求解即可
【详解】由题意，
故选：A
7．已知6件产品中有2件次品，4件正品，检验员从中随机抽取3件进行检测，记取到的正品数为X，则（ ）
A．2 B．1 C． D．
【答案】A
【分析】X服从超几何分布，求出X的分布列，根据数学期望的计算方法计算即可．
【详解】X可能取1，2，3，其对应的概率为
，
，
，
∴．
故选：A
8．某校为全体高中学生开设了15门校本课程，其中人文社科类6门，科学技术类6门，体育美育类3门.学校要求每位高中学生需在高中三年内选学其中的8门课程.从全校高中学生中随机抽取一名学生，设该学生选择的人文社科类的校本课程为门，则下列概率中等于的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用超几何分布的概率求解.
【详解】解：某校开设了15门校本课程，要求每位高中学生需在高中三年内选学其中的8门课程则有种选法，
因为人文社科类6门，该学生选择的人文社科类的校本课程为5门则有种选法，
然后从其他9门课程中选3门有选法，
所以该学生选择的人文社科类的校本课程为5门的概率为，
故选：D
二、多选题
9．2021年10月16日，搭载神舟十三号载人飞船的火箭发射升空，这是一件让全国人民关注的大事，因此每天有很多民众通过手机、电视、报纸了解有关新闻，某组织随机选取10人调查民众了解这一新闻的方式，其中喜欢用电视、手机、报纸了解这一新闻的分别有3人、6人、1人，现随机选出2人，则（ ）
A．有1人喜欢用电视的方式的概率是
B．有2人喜欢用电视的方式的概率是
C．至多有1人喜欢用电视的方式的概率是
D．至少有1人喜欢用手机的方式的概率是
【答案】AC
【分析】设选出的2人中喜欢用电视的方式的人数为X，则X的可能取值为0，1，2，求出每个变量对应的概率，可判断A、B、C；求出这2人中至少有1人喜欢用手机的方式的概率可判断D.
【详解】设选出的2人中喜欢用电视的方式的人数为X，则X的可能取值为0，1，2，
则，，，
A正确，B错误．
这2人中至多有1人喜欢用电视的方式的概率是，C正确．
这2人中至少有1人喜欢用手机的方式的概率为，D错误．
故选：AC．
10．中秋节又称祭月节 仲秋节 拜月节 团圆节等，是中国民间的传统节日 中秋节自古便有祭月 赏月 吃月饼等民俗，流传至今，经久不息.在一个食盒中装有大小一样的五仁月饼6个，鲜肉月饼4个，小明同学从中一次性任取4个月饼，设取出的4个月饼中鲜肉月饼的个数为，则下列结论正确的是（ ）
A． B．随机变量服从二项分布
C．随机变量服从超几何分布. D．
【答案】ACD
【分析】根据题意随机变量服从超几何分布可判断BC，再由超几何分布计算时的概率即可判断AD.
【详解】由题意知，随机变量服从超几何分布，故B错误，C正确；
，，
所以，故AD正确．
故选：ACD
11．已知随机变量，，，，记，其中，，则（ ）
A． B．
C． D．若，则
【答案】ABD
【分析】利用随机变量概率的性质证明选项A判断正确；利用二项分布数学期望的性质证明选项B判断正确；举反例否定选项C；利用单调性证明选项D判断正确.
【详解】对于A，，所以A正确；
对于B，因为，所以B正确；
对于C，当时，，所以C错误；
对于D，因为，所以当时，最大，所以D正确；
证明如下：若，则，
若，则，解得，
故当时，单调递增，当时，单调递减，
即当为整数时，或时，取得最大值，
当不为整数，k为的整数部分时，取得最大值．
故选：ABD．
12．下列说法正确的是（ ）
A．若随机变量，,则
B．若随机变量，则
C．以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，将其变换后得到线性方程， 则c，k的值分别是 ，0.5
D．3个人坐在一排5个座位上，空位不相邻的坐法有72种
【答案】AC
【分析】对于A选项：利用正态分布的对称性即可判断结果.
对于B选项：利用随机变量的方差公式,再由即可算出答案.
对于C选项：对两边同取对数，再由对应系数相等，即可求出答案.
对于D选项：先排出3个人坐在一排5个座位上的所有情况，再减去两个空位想邻的情况即为空位不相邻的坐法.
【详解】随机变量，,则.故A正确.
随机变量，则，.故B错误.
因为，两边取对数得，
令，则.
又因为.
所以，
所以.故C正确.
3个人坐在一排5个座位上，共有种，其中两个空位相邻的共有种，则空位不相邻的坐法有种.故D错误.
故选：AC.
三、填空题
13．已知随机变量，若，则的最小值为__________.
【答案】
【分析】根据正态分布的性质可得，再利用乘“1”法及基本不等式计算可得.
【详解】解：因为随机变量，且，
所以，
所以，
当且仅当，即、时取等号，所以的最小值为.
故答案为：.
14．在一次新兵射击能力检测中，每人都可打5枪，只要击中靶标就停止射击，合格通过；5次全不中，则不合格．新兵A参加射击能力检测，假设他每次射击相互独立，且击中靶标的概率均为，若当时，他至少射击4次合格通过的概率最大，则___________．
【答案】
【分析】由题设至少射击4次合格通过，即第4或5枪击中靶标，可得，利用导数研究函数在上的最值，根据最值成立的条件即得.
【详解】至少射击4次合格通过的概率为，
所以，令，解得，
故在上单调递增，在上单调递减，
当时得最大值，故．
故答案为：
15．把半圆弧分成等份，以这些分点（包括直径的两端点）为顶点，作出三角形，从中任取个不同的三角形，则这个不同的三角形中钝角三角形的个数不少于的概率为______．
【答案】
【分析】确定三角形的个数，以及直角三角形、钝角三角形的个数，利用组合计数原理以及古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.
【详解】如下图所示，设为半圆弧的直径，、、为半圆弧另外的三个四等分点，
从、、、、这个点任取个点构成三角形，一共能组成三角形的个数为.
其中直角三角形有：、、，共个，钝角三角形的个数为，
由题意可知，，，
因此，所求概率为.
故答案为：.
16．某人参加一次测试，在备选的10道题中，他能答对其中的5道题．现从这10道题中随机抽出3道题进行测试，规定至少答对2道题才算合格．则他此次测试合格的概率为______．
【答案】
【分析】根据题意求10道题中随机抽出3道题的总情况数，再求答对其中2，3道的情况数即可
【详解】由题意，10道题中随机抽出3道题的总情况数为，答对其中2道的情况数为种，答对其中3道的情况数为种，故合格的概率
．
故答案为：
四、解答题
17．某市移动公司为了提高服务质量，决定对使用A，B两种套餐的集团用户进行调查，准备从本市n（）个人数超过1000人的大集团和4个人数低于200人的小集团中随机抽取若干个集团进行调查，若一次抽取2个集团，全是小集团的概率为.
(1)在取出的2个集团是同一类集团的情况下，求全为大集团的概率；
(2)若一次抽取3个集团，假设取出小集团的个数为X，求X的分布列和期望.
【答案】(1)
(2)X的分布列见解析，
【分析】（1）由题意根据全是小集团的概率列方程求出的值，根据条件概率的概率公式计算全为大集团的概率值；
（2）由题意知随机变量的可能取值，计算对应的概率值，写出分布列，求出数学期望值．
（1）由题意知共有个集团，取出2个集团的方法总数是，其中全是小集团的情况有，故全是小集团的概率是，
整理得到即，解得．
若2个全是大集团，共有种情况；
若2个全是小集团，共有种情况；
故在取出的2个集团是同一类集团的情况下，全为大集团的概率为．
（2）由题意知，随机变量的可能取值为，
计算，，
，，
故的分布列为：
0 1 2 3
数学期望为．
18．已知小田开小汽车上班的道路A有5个红绿灯路口（只有红灯和绿灯），小田到达每一个路口遇到红灯的概率都为，遇到绿灯的概率都为．
(1)若小田从出门到第一个路口和最后一个路口到办公室各需要5min，在路口遇到红灯的平均等待时间为1min，每两个路口之间的行驶时间为2min，求小田从出门到办公室的平均时间．
(2)小田骑电动车上班的道路B只有3个红绿灯路口（只有红灯和绿灯）．
①若小田到达第一个路口遇到红灯、绿灯的概率都为，一个路口遇到红灯时下一个路口遇到红灯和一个路口遇到绿灯时下一个路口遇到绿灯的概率都为，求小田遇到红灯个数的平均值；
②若小田从出门到第一个路口和最后一个路口到办公室各需要4min，在路口遇到红灯的平均等待时间为1min，每两个路口之间的行驶时间为5min，从时间来考虑，请问小田上班是开小汽车好，还是骑电动车好？
【答案】(1)20min.
(2)①；②小田上班骑电动车较好．
【分析】（1）利用二项分布以及均值的性质求解.
（2）利用概率的乘法公式求出概率，求出均值，比较均值进行判断.
（1）设小田遇到红灯的个数为，则，
设小田从出门到办公室的时间为X min，则，
所以，
所以小田从出门到办公室的平均时间为20min．
（2）①设小田骑电动车遇到红灯的个数为，则的可能取值为0，1，2，3，
，
，
，
，
所以，
所以小田遇到红灯个数的平均值为．
②设小田骑电动车从出门到办公室的时间为Y min，
则，
所以，
所以小田上班骑电动车较好．
19．为应对气候变化，我国计划在2030年前实现碳排放量到达峰值，2060年前实现“碳中和”.某市为了解本市企业碳排放情况，从本市320家年碳排放量超过2万吨的企业中随机抽取50家企业进行了调查，得到如下频数分布表，并将年碳排放量大于18万吨的企业确定为“超标”企业：
硫排放量X [2.55.5） [5.5，8.5） [8.5，115） [115，14.5） [14.5.175） [175，20.5） [20.523.5）
频数 5 6 9 12 8 6 4
(1)假设该市这320家企业的年碳排放量大致服从正态分布，其中近似为样本平均值，近似为样本方差，经计算得，.试估计这320家企业中“超标”企业的家数；
(2)通过研究样本原始数据发现，抽取的50家企业中共有8家“超标”企业，市政府决定对这8家“超标”企业进行跟踪调查，现计划在这8家“超标”企业中任取5家先进行跟踪调查，设Y为抽到的年碳排放量至少为20.5万吨的企业家数，求Y的分布列与数学期望.
（参考数据：若X~，则，，.）
【答案】(1)51
(2)分布列答案见解析，数学期望：
【分析】（1）根据正态分布的规律以及计算公式求解即可；
（2）Y的可能取值为1，2，3，4，再由超几何分布概率的计算方法求出对应的概率即可求解
（1）由已知，得，，
所以
因为
所以这320家企业中“超标”企业的家数约为51.
（2）由频数分布表可知，8家“超标”企业中碳排放量至少为20.5万吨的企业有4家，所以Y的可能取值为1，2，3，4，且
所以Y的分布列为
Y 1 2 3 4
P
所以.

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