资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
第八章 直线和圆、圆锥曲线
专题1：直线的方程
1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素.
2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式.
3.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)．
1．直线的方向向量
(1)设A，B是直线上的两点，则就是这条直线的方向向量．
(2)若直线l的斜率为k，则直线l的一个方向向量为(1，k)．
2．直线的倾斜角
(1)定义：当直线l与x轴相交时，以x轴作为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．
(2)范围：直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°.
3．直线的斜率
(1)定义：把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率．斜率常用小写字母k表示，即k＝tan α(α≠90°)．
(2)过两点的直线的斜率公式
如果直线经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，其斜率k＝.
4．直线方程的五种形式
名称 方程 适用范围
点斜式 y－y0＝k(x－x0) 不含直线x＝x0
斜截式 y＝kx＋b 不含垂直于x轴的直线
两点式 ＝ (x1≠x2，y1≠y2) 不含直线x＝x1 和直线y＝y1
截距式 ＋＝1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式 Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0) 平面直角坐标系内的直线都适用
提醒：“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正、可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数．
1．直线的斜率k和倾斜角α之间的函数关系
如图，当α∈时，斜率k∈[0，＋∞)；当α＝时，斜率不存在；当α∈时，斜率k∈(－∞，0)．
2．特殊直线的方程
(1)直线过点P1(x1，y1)，垂直于x轴的方程为x＝x1；
(2)直线过点P1(x1，y1)，垂直于y轴的方程为y＝y1；
(3)y轴的方程为x＝0；
(4)x轴的方程为y＝0.
考点一　直线的倾斜角与斜率
1．（2022·湖南师大附中高一期末）已知直线l：在x轴上的截距的取值范围是（，3），则其斜率的取值范围是（ ）
A． B．或
C．或 D．或
【答案】D
【分析】先求出含参数的直线所过定点坐标，然后求出直线两端点的斜率，
画出示意图，写出范围即可.
【详解】已知直线l：(2+a)x+(a 1)y 3a=0，所以(x+y-3)a+2x-y=0
，所以直线过点，
由题知，在轴上的截距取值范围是，
所以直线端点的斜率分别为：，如图：
或.
故选：D.
2．（2022·全国·高二课时练习）已知两点，，直线l过点且与线段AB有交点，则直线l的斜率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据斜率的公式，数形结合分析临界条件求解即可.
【详解】如图所示，直线PA的斜率为，直线PB的斜率为．由图可知，当直线l与线段AB有交点时，直线l的斜率．
故选：A．
3．（2022·全国·高二课时练习）下列说法中正确的是（ ）
A．若两条直线斜率相等，则它们互相平行
B．若，则
C．若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条直线相交
D．若两条直线的斜率都不存在，则它们相互平行
【答案】C
【分析】根据直线平行和斜率之间的关系对选项一一判断即可得出答案.
【详解】若两条直线斜率相等，则它们互相平行或重合，A错误；
若，则或，的斜率都不存在，B错误；
若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条直线相交，C正确；
若两条直线的斜率都不存在，则它们互相平行或重合，D错误．
故选：C.
4．（2022·江苏省木渎高级中学高一阶段练习）已知点，则直线的倾斜角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】求出直线的斜率，根据倾斜角的范围可得答案.
【详解】因为点，所以，
设直线的倾斜角为，则，
所以.
故选：A.
斜率取值范围的两种求法
数形结合法 作出直线在平面直角坐标系中可能的位置，借助图形，结合正切函数的单调性确定
函数图象法 根据正切函数图象，由倾斜角范围求斜率范围，反之亦可
考点二　直线方程的求法
1．（2022·全国·高二课时练习）已知直线l的斜率是直线的斜率的相反数，在y轴上的截距为2，则直线l的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】求得直线斜率，由斜截式得直线方程．
【详解】直线的斜率是，因此直线的斜率是，又在y轴上的截距为2，
所以直线方程为，
故选：C．
2．（2022·全国·高二课时练习）（多选）已知等边三角形ABC的两个顶点，，则BC边所在直线的方程可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】由题得直线BC的倾斜角为60°或120°，由点斜式直线方程得解.
【详解】解：由题得直线BC的倾斜角为60°或120°，故直线BC斜率为或，
由点斜式得所求直线的方程为或．
故选：BC
3．（2022·全国·高二课时练习）过点，且在轴与轴上的截距的绝对值相等的直线方程是________．
【答案】，或
【分析】分直线过原点和直线不过原点两种情况讨论，分别设出直线方程，代入点坐标，可求得直线方程．
【详解】若该直线过原点，设直线的方程为，则，故直线的方程为；
若该直线不过原点，设直线的方程为或，又直线过点，所以，解得；或，解得，所以直线的方程为或；
故答案为：，或．
4．（2022·全国·高二课时练习）已知三角形ABC，，，，以BA，BC为邻边作平行四边形ABCD．
(1)求点D的坐标：
(2)过点A的直线l交线段BC于点E．若，求直线l的方程．
【答案】(1)
(2)x＝1
【分析】（1）根据平行四边形得到，列出方程组，求出D点的横纵坐标；
（2）根据面积的倍数关系得到，设出E点坐标，从而列出方程组，求出E点的横纵坐标，从而得到直线l的方程.
（1）
由题可知，以BA，BC为邻边的平行四边形ABCD满足，
所以，所以．
（2）
要使，点E在线段BC上，则，
设，
则，
又直线l过，故直线l的方程为：x＝1．
求直线方程的两种方法
考点三　直线方程的综合应用
1．（2023·全国·高三专题练习）已知点A在直线上，点B在直线上，线段AB的中点为，且满足，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设出点的坐标和中点，用表示出坐标，将坐标代入对应直线方程即可得到的表达式， 联立得到表达式代入求解即可.
【详解】解：设，，则 ，
的中点为， ，
分别在直线和，
，，
，即.
，即 ，
又，，即 ，
所以，即 ，
所以，
解得.
故选：A.
2．（2022·山东淄博·高二期末）已知：，，，，，一束光线从F点出发射到BC上的D点经BC反射后，再经AC反射，落到线段AE上（不含端点），则FD斜率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据光线的入射光线和反射光线之间的规律，可先求F点关于直线BC的对称点P，再求P关于直线AC的对称点M,由此可确定动点D在直线BC上的变动范围，进而求的其斜率的取值范围.
【详解】由题意可知：直线 的方程为 ，直线的方程为，如图：
设关于直线的对称点为，则,
解得，故，
同理可求关于直线的对称点为,
连接,交于N，
而MN方程为y=2,联立得N点坐标为，
连接，分别交于,
方程为：，和直线方程联立，
解得H点坐标为,
PN的方程为x=2,和直线方程联立解得，
连接,则之间即为动点D点的变动范围，
而 ,
故FD斜率的取值范围是 ，
故选B.
3．（2022·重庆·高二期末）对于直线.以下说法正确的有（ ）
A．的充要条件是
B．当时，
C．直线一定经过点
D．点到直线的距离的最大值为5
【答案】BD
【分析】求出的充要条件即可判断A;验证时，两直线斜率之积是否为-1，判断B;求出直线经过的定点即可判断C;判断何种情况下点到直线的距离最大，并求出最大值，可判断D.
【详解】当时， 解得 或，
当时，两直线为 ，符合题意；
当时，两直线为 ，符合题意，故A错误；
当时，两直线为， ，
所以，故B正确；
直线即直线，故直线过定点，C错误；
因为直线过定点，当直线与点和的连线垂直时，到直线的距离最大，最大值为 ，
故D正确，
故选：BD.
4．（2022·全国·高二课时练习）过点作直线l分别交x轴、y轴的正半轴于A，B两点.
(1)求的最小值，及此时直线l的截距式方程；
(2)求的最小值，及此时直线l的截距式方程.
【答案】(1)8，
(2)4，
【分析】（1）根据题意可设直线l的方程为，代入点结合基本不等式可求出结果.
（2）由（1）可得，则可推出，结合基本不等式可求出结果.
（1）根据题意可设直线l的方程为，则，，因为直线l过点，所以，又（当且仅当，即，时取等号），所以，即，所以的最小值为8，此时直线l的截距式方程为.
（2）由（1）可知，所以，则，所以，当且仅当，即时取等号.所以的最小值为4，此时，，直线l的截距式方程为.
处理直线方程综合应用的两大策略
(1)求解与直线方程有关的最值问题，先求出斜率或设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值．
(2)含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要能够整理成过定点(或平行)的直线系，即能够看出“动中有定”．
1．（2020·山东·高考真题）直线关于点对称的直线方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】设对称的直线方程上的一点的坐标为,则其关于点对称的点的坐标为，代入已知直线即可求得结果.
【详解】设对称的直线方程上的一点的坐标为，
则其关于点对称的点的坐标为，
因为点在直线上，
所以即.
故选：D.
2．（2020·山东·高考真题）已知直线的图像如图所示，则角是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
【答案】D
【分析】本题可根据直线的斜率和截距得出、，即可得出结果.
【详解】结合图像易知，，，
则角是第四象限角，
故选：D.
3．（2015·山东·高考真题）如下图，直线的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由图得到直线的倾斜角为30，进而得到斜率，然后由直线与轴交点为求解.
【详解】由图可得直线的倾斜角为30°，
所以斜率，
所以直线与轴的交点为，
所以直线的点斜式方程可得：，
即．
故选：D
一、单选题
1．已知点为直线上的动点，，则m的最小值为（ ）
A．5 B．6 C． D．
【答案】C
【分析】根据两点之间距离最小结合点关于直线的对称性即可根据两点间距离公式求解.
【详解】表示点到点和点的距离之和．因为点关于直线的对称点为，所以m的最小值为点与点之间的距离，即．此时点为与的交点.
故选：C
2．已知，，则在y轴上的截距是－3，且经过线段AB的中点的直线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据中点坐标公式可得直线在轴截距，根据截距式即可求解直线的截距式方程.
【详解】由中点坐标公式可得线段AB的中点为，故可知轴上的截距为4，故直线的方程为.
故选：B
3．若直线l过点和，且点在直线l上，则b的值为（ ）
A．183 B．182 C．181 D．180
【答案】A
【分析】根据两点坐标可利用两点式求直线的方程，代入即可求解.
【详解】因为直线l过点和，由直线的两点式方程，得直线l的方程为，即.由于点直线l上，所以，解得.
故选:A.
4．已知点为抛物线上的动点，设点到的距离为，到直线的距离为，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】直线为抛物线的准线，点到准线的距离等于点到焦点的距离，过焦点作直线的垂线，此时最小，再根据点到直线距离公式即可求解.
【详解】直线为抛物线的准线，点到准线的距离等于点到焦点的距离，过焦点作直线的垂线，
如下图所示，此时最小，为点到直线的距离.
，则．
故选：B．
5．方程表示（ ）
A．通过点的所有直线 B．通过点且不垂直于y轴的所有直线
C．通过点且不垂直于x轴的所有直线 D．通过点且除去x轴的所有直线
【答案】C
【分析】根据直线的点斜式方程的知识确定正确答案.
【详解】为直线的点斜式方程，只能表示斜率存在的直线，且直线过点．
故选：C
6．经过点，且倾斜角为45°的直线方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据直线的点斜式方程进行求解.
【详解】因为所求直线的倾斜角为45°，所以所求直线的斜率，所以直线方程为．故A，C，D错误.
故选：B.
7．若“”是“一次函数的图象不经过第一象限”的充分不必要条件，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据直线的性质可得一次函数的图象不经过第一象限时实数的取值范围，再根据充分与必要条件的性质求解即可.
【详解】若一次函数的图象不经过第一象限，则有，解得，故“一次函数的图象不经过第一象限”的充要条件是“”．因此，如果“”是“一次函数的图象不经过第一象限”的充分不必要条件，则．
故选：D．
8．如果且，那么直线不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【分析】通过直线经过的点来判断象限.
【详解】由且，可得同号，异号，所以也是异号；
令，得；令，得；
所以直线不经过第三象限.
故选：C.
二、多选题
9．已知抛物线上的四点，，，，直线，是圆的两条切线，直线、与圆分别切于点、，则下列说法正确的有（ ）
A．当劣弧的弧长最短时， B．当劣弧的弧长最短时，
C．直线的方程为 D．直线的方程为
【答案】BD
【分析】对于AB选项，当劣弧最短时，即最小，最大，最小，根据二倍角公式及三角函数可得，设点，求的最小值即可得解；对于CD选项，根据相切可得直线与的方程，进而可得点与点的坐标，即可得直线.
【详解】由已知得抛物线过点，即，所以，
即抛物线为，
对于AB选项，如图所示，
设点当劣弧的弧长最短时，最小，
又，所以最大，即最小，
又，
又圆，所以圆心，半径，
，
又，
所以当时，取最小值为，此时最小为，
所以A选项错误，B选项正确；
对于CD选项，设过点作圆切线的方程为，即，
所以，解得，
则直线的方程为：，即，
直线的方程为：，即，
联立直线与抛物线，得，
故，，，
同理可得，
所以，
直线的方程为，即，所以C选项错误，D选项正确；
故选：BD.
10．已知点与直线，下列说法正确的是（ ）
A．过点P且截距相等的直线与直线l一定垂直
B．过点P且与坐标轴围成三角形的面积为2的直线有4条
C．点P关于直线l的对称点坐标为
D．直线l关于点P对称的直线方程为
【答案】CD
【分析】对于A，当截距为0时，直线与直线l平行,即可判断；对于B，可设直线方程为，根据条件求a,b,根据解的情况进行判断；对于C，求点P关于直线l的对称点坐标即可判断；对于D，求直线l关于点P对称的直线方程即可判断.
【详解】对于A，当截距为0时，直线与直线l平行，故A错误．
对于B，设直线方程为，因为直线过点，所以①，
又过点P的直线与坐标轴围成三角形的面积为，所以②，
由①②，得，或，共有3组解，所以符合题意的直线有3条，
故B错误．
对于C，设点P关于直线l的对称点坐标为，则，解得，
即点P关于直线l的对称点坐标为，故C正确．
对于D，设直线l关于点P对称的直线方程为，
则有，解得，
即直线l关于点P对称的直线方程为，故D正确．
故选：CD
11．已知直线，则下述正确的是（ ）
A．直线的斜率可以等于 B．直线的斜率有可能不存在
C．直线可能过点 D．直线的横、纵截距可能相等
【答案】BD
【分析】根据斜率的定义和截距的定义即可求得答案.
【详解】解：因为直线，
若，则直线的斜率不存在，故B正确；
若，则直线的斜率存在，且斜率，不可能为，故A错误；
将点代入直线方程得，故C错误；
令，则直线方程为，横纵截距均为，故D正确．
故选：BD
12．已知直线l过点，且与直线以及x轴围成一个底边在x轴上的等腰三角形，则（ ）
A．直线l的方程为 B．直线l与直线的倾斜角互补
C．直线l在y轴上的截距为1 D．这样的直线l有两条
【答案】ABC
【分析】由题意可得l与的倾斜角互补，所以可求出直线的方程，然后逐个分析判断
【详解】因为直线l与及x轴围成一个底边在x轴上的等腰三角形，所以l与的倾斜角互补，故B正确；
由直线的斜率为，知直线l的斜率为，可得直线l的方程为，即l的方程为，故A正确；
令，得，所以l在y轴上的截距为1，故C正确；
过点且斜率为的直线只有一条，故D错误．
故选：ABC．
三、填空题
13．已知直线与x轴的交点为F，A，B是直线l上的两个动点，点P是线段AB上的任意一点，点P到直线的距离为d.若恒成立，则线段AB的最大长度为___________.
【答案】8
【分析】设，则可得设，，然后由，可求出的范围，从而可求出点的范围，进而可求得线段AB的最大长度.
【详解】设，则，
对于，由，得，所以，
所以，
因为，所以，
所以，得，
解得，
将代入，得，
将代入，得，
所以，
所以线段AB的最大长度为8，
故答案为：8.
14．过点且斜率为的直线l与x，y轴分别交于点P，Q，过点P，Q作直线的垂线，垂足分别为R，S，则四边形PRSQ面积的最小值为________．
【答案】
【分析】设出直线 l的方程，即可分别求出点、的坐标，进而求出直线PR和QS的方程，接着可求出点和点到直线的距离以及直线和直线的距离，最后利用梯形的面积公式即可得到四边形PRSQ面积的表达式，利用基本不等式即可求最值.
【详解】由已知得直线 l的方程为，则，，
由此可得直线PR和QS的方程分别为和，
点到直线的距离为，同理，
直线和直线的距离为，
故
,
当且仅当，即时等号成立.
故答案为：.
15．已知点，，直线，点P为直线l上一点，则的最大值为________．
【答案】
【分析】作B关于l的对称点，利用对称关系求出其坐标，则由图可得，从而可求得结果
【详解】如图，作B关于l的对称点，设，
则，解得，
所以．
因为与B关于l对称，所以，
所以，
当且仅当P为与l的交点时取等号．
所以的最大值为，
故答案为：
16．若直线m经过直线与直线的交点，且点到直线m的距离为1，则直线m的方程为________．
【答案】或
【分析】先求出交点坐标.讨论直线的斜率是否存在，利用点到直线的距离为1，即可求出直线.
【详解】方法一：由，得两直线的交点坐标为．
当直线m的斜率存在时，设直线m的方程为，
则，解得，
此时直线m的方程为；
当直线m的斜率不存在时，，点到直线m的距离等于1，满足条件．
综上，直线m的方程为或．
方法二：设直线m的方程为，即，则，
解得或，
所以直线m的方程为或．
故答案为：或
四、解答题
17．已知直线和点，．
(1)在直线l上求一点P，使的值最小；
(2)在直线l上求一点P，使的值最大．
【答案】(1)
(2)．
【分析】（1）通过找出点A关于直线l的对称点为，将的最小值转化为的最小值，利用三角形三边的关系可知，即可求点P的坐标;
（2）利用三角形的三边关系可知，再求出直线AB的方程，即可求出点P的坐标.
（1）
设A关于直线l的对称点为，则，
解得，故，
又∵P为直线l上的一点，则，
当且仅当B，P，三点共线时等号成立，此时取得最小值，
点P即是直线与直线l的交点．
由 ，解得，
故所求的点P的坐标为．
（2）由题意，知A，B两点在直线l的同侧，P是直线l上的一点，
则，当且仅当A，B，P三点共线时等号成立，
此时取得最大值，点P即是直线AB与直线l的交点,
又∵直线AB的方程为，
∴由 ，解得，
故所求的点P的坐标为．
18．已知两条直线，．
(1)证明直线过定点，并求出该定点的坐标．
(2)若，不重合，且垂直于同一条直线，求a的值．
(3)从①直线l过坐标原点，②直线l在y轴上的截距为2，③直线l与坐标轴形成的三角形的面积为1这三个条件中选择一个补充在下面问题中，并作答．
若，直线l与垂直，且________，求直线l的方程．
【答案】(1)证明见解析，
(2)-1
(3)答案见解析．
【分析】（1）将直线的方程变形为，由此可求得直线所过的定点；
（2）由已知得，根据两直线平行的条件可求得答案；
（3）选条件①．由两直线垂直的条件求得直线l的斜率为．再由直线l过坐标原点，可求得直线l的方程．
选条件②．设直线l的方程为，令，则，求解可得直线l的方程．
选条件③．设直线l的方程为，令，则，令，则，由三角形的面积公式可求得，得直线l的方程．
（1）∵变形为，
∴直线过定点，定点的坐标为．
（2）∵，不重合，且垂直于同一条直线，∴，
∴，∴．
（3）方案一：选条件①．
∵，∴直线，其斜率为2，
又直线l与垂直，∴直线l的斜率为．
∵直线l过坐标原点，
∴直线l的方程为，即．
方案二：选条件②．
由题意设直线l的方程为，
令，则，则，即，
∴直线l的方程为．
方案三：选条件③．
由题意设直线l的方程为，
令，则，令，则，
∴，解得，
∴直线l的方程为．中小学教育资源及组卷应用平台
第八章 直线和圆、圆锥曲线
专题1：直线的方程
1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素.
2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式.
3.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)．
1．直线的方向向量
(1)设A，B是直线上的两点，则就是这条直线的方向向量．
(2)若直线l的斜率为k，则直线l的一个方向向量为 ．
2．直线的倾斜角
(1)定义：当直线l与x轴相交时，以x轴作为基准， 与直线l 的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．
(2)范围：直线的倾斜角α的取值范围为 .
3．直线的斜率
(1)定义：把一条直线的倾斜角α的 叫做这条直线的斜率．斜率常用小写字母k表示，即k＝ (α≠90°)．
(2)过两点的直线的斜率公式
如果直线经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，其斜率k＝ .
4．直线方程的五种形式
名称 方程 适用范围
点斜式 不含直线x＝x0
斜截式 不含垂直于x轴的直线
两点式 不含直线x＝x1 和直线y＝y1
截距式 不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式 平面直角坐标系内的直线都适用
提醒：“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正、可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数．
1．直线的斜率k和倾斜角α之间的函数关系
如图，当α∈时，斜率k∈[0，＋∞)；当α＝时，斜率不存在；当α∈时，斜率k∈(－∞，0)．
2．特殊直线的方程
(1)直线过点P1(x1，y1)，垂直于x轴的方程为x＝x1；
(2)直线过点P1(x1，y1)，垂直于y轴的方程为y＝y1；
(3)y轴的方程为x＝0；
(4)x轴的方程为y＝0.
考点一　直线的倾斜角与斜率
1．（2022·湖南师大附中高一期末）已知直线l：在x轴上的截距的取值范围是（，3），则其斜率的取值范围是（ ）
A． B．或
C．或 D．或
【答案】D
【分析】先求出含参数的直线所过定点坐标，然后求出直线两端点的斜率，
画出示意图，写出范围即可.
【详解】已知直线l：(2+a)x+(a 1)y 3a=0，所以(x+y-3)a+2x-y=0
，所以直线过点，
由题知，在轴上的截距取值范围是，
所以直线端点的斜率分别为：，如图：
或.
故选：D.
2．（2022·全国·高二课时练习）已知两点，，直线l过点且与线段AB有交点，则直线l的斜率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据斜率的公式，数形结合分析临界条件求解即可.
【详解】如图所示，直线PA的斜率为，直线PB的斜率为．由图可知，当直线l与线段AB有交点时，直线l的斜率．
故选：A．
3．（2022·全国·高二课时练习）下列说法中正确的是（ ）
A．若两条直线斜率相等，则它们互相平行
B．若，则
C．若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条直线相交
D．若两条直线的斜率都不存在，则它们相互平行
【答案】C
【分析】根据直线平行和斜率之间的关系对选项一一判断即可得出答案.
【详解】若两条直线斜率相等，则它们互相平行或重合，A错误；
若，则或，的斜率都不存在，B错误；
若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条直线相交，C正确；
若两条直线的斜率都不存在，则它们互相平行或重合，D错误．
故选：C.
4．（2022·江苏省木渎高级中学高一阶段练习）已知点，则直线的倾斜角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】求出直线的斜率，根据倾斜角的范围可得答案.
【详解】因为点，所以，
设直线的倾斜角为，则，
所以.
故选：A.
斜率取值范围的两种求法
数形结合法 作出直线在平面直角坐标系中可能的位置，借助图形，结合正切函数的单调性确定
函数图象法 根据正切函数图象，由倾斜角范围求斜率范围，反之亦可
考点二　直线方程的求法
1．（2022·全国·高二课时练习）已知直线l的斜率是直线的斜率的相反数，在y轴上的截距为2，则直线l的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】求得直线斜率，由斜截式得直线方程．
【详解】直线的斜率是，因此直线的斜率是，又在y轴上的截距为2，
所以直线方程为，
故选：C．
2．（2022·全国·高二课时练习）（多选）已知等边三角形ABC的两个顶点，，则BC边所在直线的方程可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】由题得直线BC的倾斜角为60°或120°，由点斜式直线方程得解.
【详解】解：由题得直线BC的倾斜角为60°或120°，故直线BC斜率为或，
由点斜式得所求直线的方程为或．
故选：BC
3．（2022·全国·高二课时练习）过点，且在轴与轴上的截距的绝对值相等的直线方程是________．
【答案】，或
【分析】分直线过原点和直线不过原点两种情况讨论，分别设出直线方程，代入点坐标，可求得直线方程．
【详解】若该直线过原点，设直线的方程为，则，故直线的方程为；
若该直线不过原点，设直线的方程为或，又直线过点，所以，解得；或，解得，所以直线的方程为或；
故答案为：，或．
4．（2022·全国·高二课时练习）已知三角形ABC，，，，以BA，BC为邻边作平行四边形ABCD．
(1)求点D的坐标：
(2)过点A的直线l交线段BC于点E．若，求直线l的方程．
【答案】(1)
(2)x＝1
【分析】（1）根据平行四边形得到，列出方程组，求出D点的横纵坐标；
（2）根据面积的倍数关系得到，设出E点坐标，从而列出方程组，求出E点的横纵坐标，从而得到直线l的方程.
（1）
由题可知，以BA，BC为邻边的平行四边形ABCD满足，
所以，所以．
（2）
要使，点E在线段BC上，则，
设，
则，
又直线l过，故直线l的方程为：x＝1．
求直线方程的两种方法
考点三　直线方程的综合应用
1．（2023·全国·高三专题练习）已知点A在直线上，点B在直线上，线段AB的中点为，且满足，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设出点的坐标和中点，用表示出坐标，将坐标代入对应直线方程即可得到的表达式， 联立得到表达式代入求解即可.
【详解】解：设，，则 ，
的中点为， ，
分别在直线和，
，，
，即.
，即 ，
又，，即 ，
所以，即 ，
所以，
解得.
故选：A.
2．（2022·山东淄博·高二期末）已知：，，，，，一束光线从F点出发射到BC上的D点经BC反射后，再经AC反射，落到线段AE上（不含端点），则FD斜率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据光线的入射光线和反射光线之间的规律，可先求F点关于直线BC的对称点P，再求P关于直线AC的对称点M,由此可确定动点D在直线BC上的变动范围，进而求的其斜率的取值范围.
【详解】由题意可知：直线 的方程为 ，直线的方程为，如图：
设关于直线的对称点为，则,
解得，故，
同理可求关于直线的对称点为,
连接,交于N，
而MN方程为y=2,联立得N点坐标为，
连接，分别交于,
方程为：，和直线方程联立，
解得H点坐标为,
PN的方程为x=2,和直线方程联立解得，
连接,则之间即为动点D点的变动范围，
而 ,
故FD斜率的取值范围是 ，
故选B.
3．（2022·重庆·高二期末）对于直线.以下说法正确的有（ ）
A．的充要条件是
B．当时，
C．直线一定经过点
D．点到直线的距离的最大值为5
【答案】BD
【分析】求出的充要条件即可判断A;验证时，两直线斜率之积是否为-1，判断B;求出直线经过的定点即可判断C;判断何种情况下点到直线的距离最大，并求出最大值，可判断D.
【详解】当时， 解得 或，
当时，两直线为 ，符合题意；
当时，两直线为 ，符合题意，故A错误；
当时，两直线为， ，
所以，故B正确；
直线即直线，故直线过定点，C错误；
因为直线过定点，当直线与点和的连线垂直时，到直线的距离最大，最大值为 ，
故D正确，
故选：BD.
4．（2022·全国·高二课时练习）过点作直线l分别交x轴、y轴的正半轴于A，B两点.
(1)求的最小值，及此时直线l的截距式方程；
(2)求的最小值，及此时直线l的截距式方程.
【答案】(1)8，
(2)4，
【分析】（1）根据题意可设直线l的方程为，代入点结合基本不等式可求出结果.
（2）由（1）可得，则可推出，结合基本不等式可求出结果.
（1）根据题意可设直线l的方程为，则，，因为直线l过点，所以，又（当且仅当，即，时取等号），所以，即，所以的最小值为8，此时直线l的截距式方程为.
（2）由（1）可知，所以，则，所以，当且仅当，即时取等号.所以的最小值为4，此时，，直线l的截距式方程为.
处理直线方程综合应用的两大策略
(1)求解与直线方程有关的最值问题，先求出斜率或设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值．
(2)含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要能够整理成过定点(或平行)的直线系，即能够看出“动中有定”．
1．（2020·山东·高考真题）直线关于点对称的直线方程是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2020·山东·高考真题）已知直线的图像如图所示，则角是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
3．（2015·山东·高考真题）如下图，直线的方程是（ ）
A． B．
C． D．
一、单选题
1．已知点为直线上的动点，，则m的最小值为（ ）
A．5 B．6 C． D．
2．已知，，则在y轴上的截距是－3，且经过线段AB的中点的直线方程为（ ）
A． B． C． D．
3．若直线l过点和，且点在直线l上，则b的值为（ ）
A．183 B．182 C．181 D．180
4．已知点为抛物线上的动点，设点到的距离为，到直线的距离为，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
5．方程表示（ ）
A．通过点的所有直线 B．通过点且不垂直于y轴的所有直线
C．通过点且不垂直于x轴的所有直线 D．通过点且除去x轴的所有直线
6．经过点，且倾斜角为45°的直线方程是（ ）
A． B． C． D．
7．若“”是“一次函数的图象不经过第一象限”的充分不必要条件，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．如果且，那么直线不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
二、多选题
9．已知抛物线上的四点，，，，直线，是圆的两条切线，直线、与圆分别切于点、，则下列说法正确的有（ ）
A．当劣弧的弧长最短时， B．当劣弧的弧长最短时，
C．直线的方程为 D．直线的方程为
10．已知点与直线，下列说法正确的是（ ）
A．过点P且截距相等的直线与直线l一定垂直
B．过点P且与坐标轴围成三角形的面积为2的直线有4条
C．点P关于直线l的对称点坐标为
D．直线l关于点P对称的直线方程为
11．已知直线，则下述正确的是（ ）
A．直线的斜率可以等于 B．直线的斜率有可能不存在
C．直线可能过点 D．直线的横、纵截距可能相等
12．已知直线l过点，且与直线以及x轴围成一个底边在x轴上的等腰三角形，则（ ）
A．直线l的方程为 B．直线l与直线的倾斜角互补
C．直线l在y轴上的截距为1 D．这样的直线l有两条
三、填空题
13．已知直线与x轴的交点为F，A，B是直线l上的两个动点，点P是线段AB上的任意一点，点P到直线的距离为d.若恒成立，则线段AB的最大长度为___________.
14．过点且斜率为的直线l与x，y轴分别交于点P，Q，过点P，Q作直线的垂线，垂足分别为R，S，则四边形PRSQ面积的最小值为________．
15．已知点，，直线，点P为直线l上一点，则的最大值为________．
16．若直线m经过直线与直线的交点，且点到直线m的距离为1，则直线m的方程为________．
四、解答题
17．已知直线和点，．
(1)在直线l上求一点P，使的值最小；
(2)在直线l上求一点P，使的值最大．
18．已知两条直线，．
(1)证明直线过定点，并求出该定点的坐标．
(2)若，不重合，且垂直于同一条直线，求a的值．
(3)从①直线l过坐标原点，②直线l在y轴上的截距为2，③直线l与坐标轴形成的三角形的面积为1这三个条件中选择一个补充在下面问题中，并作答．
若，直线l与垂直，且________，求直线l的方程．

展开更多......

收起↑