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第八章 直线和圆、圆锥曲线
专题2：两条直线的位置关系
1.能根据斜率判定两条直线平行或垂直.
2.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标.
3.探索并掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离．
1．两条直线的平行与垂直
(1)两条直线平行
若l1∥l2(斜率均存在)，则l1与l2的倾斜角α1与α2相等，由α1＝α2，可得tan α1＝tan α2，即k1＝k2，因此，若l1∥l2，则 .
(2)两条直线垂直
设两条直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，则直线l1，l2的方向向量分别是a＝(1，k1)，b＝(1，k2)，于是l1⊥l2 a⊥b a·b＝0 1×1＋k1k2＝0，即k1k2＝－1，也就是说，l1⊥l2 .
2．两条直线的交点坐标
已知两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0相交，则交点P的坐标是方程组的解．
3．三种距离公式
(1)平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝ .
特别地，原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝.
(2)点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝.
(3)两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝ .
1．两直线平行的充要条件
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0平行的充要条件是A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)．
2．两直线垂直的充要条件
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0垂直的充要条件是A1A2＋B1B2＝0.
3．对称问题
(1)点(x，y)关于x轴的对称点为(x，－y)，关于y轴的对称点为(－x，y)，关于原点的对称点为(－x，－y)．
(2)点(x，y)关于y＝x的对称点为(y，x)，关于y＝x＋b的对称点为(y－b，x＋b)，关于y＝－x的对称点为(－y，－x)，关于y＝－x＋b的对称点为(b－y，b－x)．
(3)点(x，y)关于直线x＝a的对称点为(2a－x，y)，关于直线y＝b的对称点为(x,2b－y)．
考点一　两条直线位置关系的判断及应用
1．若直线l1：(a－1)x＋y－1＝0和直线l2：3x＋ay＋2＝0垂直，则实数a的值为(　　)
A． B． C． D．
【答案】D　
【解析】由已知得3(a－1)＋a＝0，解得a＝.
2．(2021·杭州模拟)设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A　
【解析】当a＝1时，显然l1∥l2，
若l1∥l2，则a(a＋1)－2×1＝0，
所以a＝1或a＝－2.
所以a＝1是直线l1与直线l2平行的充分不必要条件．
3．已知三条直线l1：2x－3y＋1＝0，l2：4x＋3y＋5＝0，l3：mx－y－1＝0不能构成三角形，则实数m的取值集合为(　　)
A． B．
C． D．
【答案】D　
【解析】∵三条直线不能构成一个三角形，
∴①当l1∥l3时，m＝；
②当l2∥l3时，m＝－；
③当l1，l2，l3交于一点时，也不能构成一个三角形，
由得交点为，代入mx－y－1＝0，得m＝－.故选D．
解决两直线平行与垂直的参数问题要“前思后想”
考点二　两条直线的交点与距离问题
(2020·全国Ⅲ卷)点(0，－1)到直线y＝k(x＋1)距离的最大值为(　　)
A．1 B．
D．2
【答案】D
【解析】法一：由点到直线的距离公式知点(0，－1)到直线y＝k(x＋1)的距离d＝＝＝＝.当k＝0时，d＝1；当k≠0时，d＝＝，要使d最大，需k＞0且k＋最小，∴当k＝1时，dmax＝，故选B．
法二：记点A(0，－1)，直线y＝k(x＋1)恒过点B(－1,0)，当AB垂直于直线y＝k(x＋1)时，点A(0，－1)到直线y＝k(x＋1)的距离最大，且最大值为|AB|＝，故选B．
直线l过点P(－1,2)且到点A(2,3)和点B(－4,5)的距离相等，则直线l的方程为________．
【答案】x＋3y－5＝0或x＝－1
【解析】当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0.
由题意知＝，
即|3k－1|＝|－3k－3|，∴k＝－，∴直线l的方程为y－2＝－(x＋1)，即x＋3y－5＝0.当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝－1，也符合题意．
已知两直线a1x＋b1y－1＝0和a2x＋b2y－1＝0的交点为P(2,3)，则过两点Q1(a1，b1)，Q2(a2，b2)(a1≠a2)的直线方程为________．
【答案】2x＋3y－1＝0
【解析】∵P(2,3)在已知的两条直线上，∴
∴点Q1(a1，b1)，Q2(a2，b2)是直线2x＋3y＝1上的两个点，故过Q1，Q2两点的直线方程为2x＋3y＝1.
1.求过两直线交点的直线方程的方法
求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程，也可借助直线系方程，利用待定系数法求出直线方程，这样能简化解题过程．
2．点到直线、两平行线间的距离公式的使用条件
(1)求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式．
(2)求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x，y的系数对应相等．
考点三　对称问题
中心对称问题
过点P(0,1)作直线l，使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，则直线l的方程为________．
【答案】x＋4y－4＝0　
【解析】设l1与l的交点为A(a,8－2a)，则由题意知，点A关于点P的对称点B(－a,2a－6)在l2上，代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得a＝4，即点A(4，0)在直线l上，所以直线l的方程为x＋4y－4＝0.
轴对称问题
已知直线y＝2x是△ABC中角C的平分线所在的直线，若点A，B的坐标分别是(－4,2)，(3,1)，则点C的坐标为(　　)
A．(－2,4) B．(－2，－4)
C．(2,4) D．(2，－4)
【答案】C
【解析】A(－4,2)关于直线y＝2x的对称点为A ′(x，y)，则
解得∴A ′(4，－2)，由题意知，A ′在直线BC上，∴BC所在直线方程为y－1＝(x－3)，即3x＋y－10＝0.联立解得则C(2,4)．
已知入射光线经过点M(－3,4)，被直线l：x－y＋3＝0反射，反射光线经过点N(2,6)，则反射光线所在直线的方程为________．
【答案】6x－y－6＝0
【解析】设点M(－3,4)关于直线l：x－y＋3＝0的对称点为M ′(a，b)，则反射光线所在直线过点M ′，
所以解得a＝1，b＝0.
即M ′(1,0)．
又反射光线经过点N(2,6)，
所以所求直线的方程为＝，
即6x－y－6＝0.
对称问题的求解方法
(1)点关于点：点P(x，y)关于点Q(a，b)的对称点为(2a－x,2b－y)．
(2)线关于点：直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决．
(3)点关于线：点A(a，b)关于直线Ax＋By＋C＝0(B≠0)的对称点A ′(m，n)，则有
(4)线关于线：直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决．
1．（2020·全国·高考真题（文））点(0，﹣1)到直线距离的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．2
2．（2022·全国·高考真题）设点，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则a的取值范围是________．
3．（2022·全国·高考真题（文））设点M在直线上，点和均在上，则的方程为______________．
4．（2019·江苏·高考真题）在平面直角坐标系中，P是曲线上的一个动点，则点P到直线x+y=0的距离的最小值是_____.
一、单选题
1．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句为“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，其中隐含了一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在白天观望烽火台之后黄昏时从山脚下某处出发，先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，已知军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）
A． B．5 C． D．
2．若圆上存在点P，且点P关于直线y＝x的对称点Q在圆上，则r的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．已知点与关于直线对称，则a，b的值分别为（ ）
A．2， B．－2， C．－2， D．2，
4．已知，两点到直线的距离相等，则实数a的值为（ ）
A．－3 B．3 C．－1 D．－3或3
5．若直线与直线的交点在第一象限内，则实数k的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．或
6．已知平面上三点坐标为、、，小明在点处休息，一只小狗沿所在直线来回跑动，则小狗距离小明最近时所在位置的坐标为（ ）
A． B． C． D．
7．直线与直线的交点坐标为（ ）
A． B． C． D．
8．在平面直角坐标系中，曲线上任意一点到直线的距离的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知平面上一点，若直线上存在点P使，则称该直线为“切割型直线”．下列直线是“切割型直线”的是（ ）
A． B． C． D．
10．下列说法错误的是（ ）
A．点到直线的距离为
B．任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率
C．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是8
D．经过点且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为
11．在平面直角坐标系xOy中，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，圆，则（ ）
A．若c=0，则点O在圆C上
B．直线l与坐标轴围成的三角形的面积为
C．若点O在圆C内部，则c的取值范围为（0，+∞）
D．若，则圆C与OAB中与平行的中位线相切
12．已知直线，圆，则下列说法正确的是（ ）
A．直线与圆一定有公共点
B．当时直线被圆截得的弦最长
C．当直线与圆相切时，
D．圆心到直线的距离的最大值为
三、填空题
13．点关于直线x＋y＋1＝0对称的点的坐标为______．
14．已知等腰直角三角形的直角顶点为，点的坐标为，则点的坐标为________．
15．已知点是函数的图象上的动点，则的最小值为__________.
16．设圆的圆心为C，直线l过，且与圆C交于A，B两点，若，则直线l的方程为___________.
四、解答题
17．从①与直线4x－3y＋5＝0垂直，②过点（5，－5），③与直线3x＋4y＋2＝0平行这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答．
问题：已知直线l过点，且______．
(1)求直线l的一般式方程；
(2)若直线l与圆相交于点P，Q，求弦PQ的长．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
18．已知两直线和的交点为P．求：
(1)过点P与的直线方程；
(2)过点P且与直线平行的直线方程．
19．已知直线.
(1)若，求实数的值；
(2)当时，求直线与之间的距离.中小学教育资源及组卷应用平台
第八章 直线和圆、圆锥曲线
专题2：两条直线的位置关系
1.能根据斜率判定两条直线平行或垂直.
2.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标.
3.探索并掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离．
1．两条直线的平行与垂直
(1)两条直线平行
若l1∥l2(斜率均存在)，则l1与l2的倾斜角α1与α2相等，由α1＝α2，可得tan α1＝tan α2，即k1＝k2，因此，若l1∥l2，则k1＝k2.
(2)两条直线垂直
设两条直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，则直线l1，l2的方向向量分别是a＝(1，k1)，b＝(1，k2)，于是l1⊥l2 a⊥b a·b＝0 1×1＋k1k2＝0，即k1k2＝－1，也就是说，l1⊥l2 k1k2＝－1.
2．两条直线的交点坐标
已知两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0相交，则交点P的坐标是方程组的解．
3．三种距离公式
(1)平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝.
特别地，原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝.
(2)点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝.
(3)两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝.
1．两直线平行的充要条件
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0平行的充要条件是A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)．
2．两直线垂直的充要条件
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0垂直的充要条件是A1A2＋B1B2＝0.
3．对称问题
(1)点(x，y)关于x轴的对称点为(x，－y)，关于y轴的对称点为(－x，y)，关于原点的对称点为(－x，－y)．
(2)点(x，y)关于y＝x的对称点为(y，x)，关于y＝x＋b的对称点为(y－b，x＋b)，关于y＝－x的对称点为(－y，－x)，关于y＝－x＋b的对称点为(b－y，b－x)．
(3)点(x，y)关于直线x＝a的对称点为(2a－x，y)，关于直线y＝b的对称点为(x,2b－y)．
考点一　两条直线位置关系的判断及应用
1．若直线l1：(a－1)x＋y－1＝0和直线l2：3x＋ay＋2＝0垂直，则实数a的值为(　　)
A． B． C． D．
【答案】D　
【解析】由已知得3(a－1)＋a＝0，解得a＝.
2．(2021·杭州模拟)设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A　
【解析】当a＝1时，显然l1∥l2，
若l1∥l2，则a(a＋1)－2×1＝0，
所以a＝1或a＝－2.
所以a＝1是直线l1与直线l2平行的充分不必要条件．
3．已知三条直线l1：2x－3y＋1＝0，l2：4x＋3y＋5＝0，l3：mx－y－1＝0不能构成三角形，则实数m的取值集合为(　　)
A． B．
C． D．
【答案】D　
【解析】∵三条直线不能构成一个三角形，
∴①当l1∥l3时，m＝；
②当l2∥l3时，m＝－；
③当l1，l2，l3交于一点时，也不能构成一个三角形，
由得交点为，代入mx－y－1＝0，得m＝－.故选D．
解决两直线平行与垂直的参数问题要“前思后想”
考点二　两条直线的交点与距离问题
(2020·全国Ⅲ卷)点(0，－1)到直线y＝k(x＋1)距离的最大值为(　　)
A．1 B．
D．2
【答案】D
【解析】法一：由点到直线的距离公式知点(0，－1)到直线y＝k(x＋1)的距离d＝＝＝＝.当k＝0时，d＝1；当k≠0时，d＝＝，要使d最大，需k＞0且k＋最小，∴当k＝1时，dmax＝，故选B．
法二：记点A(0，－1)，直线y＝k(x＋1)恒过点B(－1,0)，当AB垂直于直线y＝k(x＋1)时，点A(0，－1)到直线y＝k(x＋1)的距离最大，且最大值为|AB|＝，故选B．
直线l过点P(－1,2)且到点A(2,3)和点B(－4,5)的距离相等，则直线l的方程为________．
【答案】x＋3y－5＝0或x＝－1
【解析】当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0.
由题意知＝，
即|3k－1|＝|－3k－3|，∴k＝－，∴直线l的方程为y－2＝－(x＋1)，即x＋3y－5＝0.当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝－1，也符合题意．
已知两直线a1x＋b1y－1＝0和a2x＋b2y－1＝0的交点为P(2,3)，则过两点Q1(a1，b1)，Q2(a2，b2)(a1≠a2)的直线方程为________．
【答案】2x＋3y－1＝0
【解析】∵P(2,3)在已知的两条直线上，∴
∴点Q1(a1，b1)，Q2(a2，b2)是直线2x＋3y＝1上的两个点，故过Q1，Q2两点的直线方程为2x＋3y＝1.
1.求过两直线交点的直线方程的方法
求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程，也可借助直线系方程，利用待定系数法求出直线方程，这样能简化解题过程．
2．点到直线、两平行线间的距离公式的使用条件
(1)求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式．
(2)求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x，y的系数对应相等．
考点三　对称问题
中心对称问题
过点P(0,1)作直线l，使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，则直线l的方程为________．
【答案】x＋4y－4＝0　
【解析】设l1与l的交点为A(a,8－2a)，则由题意知，点A关于点P的对称点B(－a,2a－6)在l2上，代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得a＝4，即点A(4，0)在直线l上，所以直线l的方程为x＋4y－4＝0.
轴对称问题
已知直线y＝2x是△ABC中角C的平分线所在的直线，若点A，B的坐标分别是(－4,2)，(3,1)，则点C的坐标为(　　)
A．(－2,4) B．(－2，－4)
C．(2,4) D．(2，－4)
【答案】C
【解析】A(－4,2)关于直线y＝2x的对称点为A ′(x，y)，则
解得∴A ′(4，－2)，由题意知，A ′在直线BC上，∴BC所在直线方程为y－1＝(x－3)，即3x＋y－10＝0.联立解得则C(2,4)．
已知入射光线经过点M(－3,4)，被直线l：x－y＋3＝0反射，反射光线经过点N(2,6)，则反射光线所在直线的方程为________．
【答案】6x－y－6＝0
【解析】设点M(－3,4)关于直线l：x－y＋3＝0的对称点为M ′(a，b)，则反射光线所在直线过点M ′，
所以解得a＝1，b＝0.
即M ′(1,0)．
又反射光线经过点N(2,6)，
所以所求直线的方程为＝，
即6x－y－6＝0.
对称问题的求解方法
(1)点关于点：点P(x，y)关于点Q(a，b)的对称点为(2a－x,2b－y)．
(2)线关于点：直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决．
(3)点关于线：点A(a，b)关于直线Ax＋By＋C＝0(B≠0)的对称点A ′(m，n)，则有
(4)线关于线：直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决．
1．（2020·全国·高考真题（文））点(0，﹣1)到直线距离的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】B
【分析】首先根据直线方程判断出直线过定点，设，当直线与垂直时，点到直线距离最大，即可求得结果.
【详解】由可知直线过定点，设，
当直线与垂直时，点到直线距离最大，
即为.
故选：B.
2．（2022·全国·高考真题）设点，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则a的取值范围是________．
【答案】
【分析】首先求出点关于对称点的坐标，即可得到直线的方程，根据圆心到直线的距离小于等于半径得到不等式，解得即可；
【详解】解：关于对称的点的坐标为，在直线上，
所以所在直线即为直线，所以直线为，即；
圆，圆心，半径，
依题意圆心到直线的距离，
即，解得，即；
故答案为：
3．（2022·全国·高考真题（文））设点M在直线上，点和均在上，则的方程为______________．
【答案】
【分析】设出点M的坐标，利用和均在上，求得圆心及半径，即可得圆的方程.
【详解】解：∵点M在直线上，
∴设点M为，又因为点和均在上，
∴点M到两点的距离相等且为半径R，
∴，
，解得，
∴，，
的方程为.
故答案为：
4．（2019·江苏·高考真题）在平面直角坐标系中，P是曲线上的一个动点，则点P到直线x+y=0的距离的最小值是_____.
【答案】4.
【分析】将原问题转化为切点与直线之间的距离，然后利用导函数确定切点坐标可得最小距离
【详解】当直线平移到与曲线相切位置时，切点Q即为点P到直线的距离最小.
由，得，，
即切点，
则切点Q到直线的距离为，
故答案为．
一、单选题
1．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句为“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，其中隐含了一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在白天观望烽火台之后黄昏时从山脚下某处出发，先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，已知军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）
A． B．5 C． D．
【答案】A
【分析】先找出B关于直线的对称点C再连接AC即为“将军饮马”的最短路程.
【详解】如图所示，
设点关于直线的对称点为，在直线上取点P，连接PC，则．由题意可得，解得，即点，所以，当且仅当A，P，C三点共线时等号成立，所以“将军饮马”的最短总路程为．
故选：A．
2．若圆上存在点P，且点P关于直线y＝x的对称点Q在圆上，则r的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用对称圆，把问题转化为两圆的位置关系问题进行处理.
【详解】根据题意，圆的圆心坐标为（0，1），半径为r，其关于直线y＝x的对称圆的方程为，根据题意，圆与圆有交点，既可以是外切，也可以是相交，也可以是内切．
又圆，所以圆与圆的圆心距为，所以只需，解得．故B，C，D错误.
故选：A.
3．已知点与关于直线对称，则a，b的值分别为（ ）
A．2， B．－2， C．－2， D．2，
【答案】A
【分析】点与关于直线对称，则利用垂直关系，以及线段AB的中点在直线上，列式求解即可.
【详解】易知，则直线的斜率为-2，
所以，即．又AB的中点坐标为，
代入，得.
故选：A.
4．已知，两点到直线的距离相等，则实数a的值为（ ）
A．－3 B．3 C．－1 D．－3或3
【答案】D
【分析】方法一：根据点到线的距离公式求解即可，方法二：数形结合分析可得直线或AB的中点在直线l上，再分别计算即可.
【详解】方法一 由题意得，即，所以或，解得或．
方法二 因为A，B两点到直线l的距离相等，则直线或AB的中点在直线l上，则或，得或3．
故选：D
5．若直线与直线的交点在第一象限内，则实数k的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．或
【答案】C
【分析】求出两直线的交点坐标，再根据交点在第一象限建立不等式组求解.
【详解】方法一：由直线，有交点，得．由，得，即交点坐标为．又交点在第一象限内，所以，解得．
方法二：由题意知，直线过定点，斜率为k，直线与x轴、y轴分别交于点，．若直线与的交点在第一象限内，则必过线段AB上的点（不包括点A，B）．因为，，所以．故A，B，D错误.
故选：C．
6．已知平面上三点坐标为、、，小明在点处休息，一只小狗沿所在直线来回跑动，则小狗距离小明最近时所在位置的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设小狗的位置为点，当时，小狗距离小明最近，求出直线、的方程，联立可求得结果.
【详解】因为，所以，直线的方程为，即，
设小狗的位置为点，当时，小狗距离小明最近，
此时直线的方程为，联立，解得，
因此，小狗距离小明最近时所在位置的坐标为.
故选：C.
7．直线与直线的交点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】直接解方程求出两直线交点坐标即可.
【详解】由解得，则直线与直线的交点坐标为.
故选：A.
8．在平面直角坐标系中，曲线上任意一点到直线的距离的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用点到直线的距离公式，求得点到直线的距离，结合基本不等式，即可求解.
【详解】设曲线上任意一点，则
可得点到直线的距离为
由于，当且仅当时，即时，等号成立，
所以点到直线的距离最小距离为.
故选：C.
二、多选题
9．已知平面上一点，若直线上存在点P使，则称该直线为“切割型直线”．下列直线是“切割型直线”的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【分析】根据“切割型直线”的定义，利用点到直线的距离公式逐个计算点到直线的距离，与4比较大小即可得结论
【详解】对于A，设点M到直线的距离为d，对于A，，故直线上不存在到点M的距离等于4的点，故A不符合题意；
对于B，，所以在直线上可以找到不同的两点到点M的距离等于4，故B符合题意；
对于C，，故直线上存在一点到点M的距离等于4，故C符合题意；
对于D，，故直线上不存在点P到点M的距离等于4，故D不符合题意．
故选：BC
10．下列说法错误的是（ ）
A．点到直线的距离为
B．任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率
C．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是8
D．经过点且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为
【答案】ACD
【分析】对于A，根据点到直线的距离公式计算可判断；
对于B，任意一条直线都有倾斜角，但垂直于x轴的直线无斜率，故B正确；
对于C，将直线令和令求得，再根据三角形的面积公式计算可判断；
对于D，分直线过原点和直线不过原点时，分别设直线的方程，代入已知点求解即可.
【详解】对于A，点到直线的距离为，故A错误；
对于B，任意一条直线都有倾斜角，但垂直于x轴的直线无斜率，故B正确；
对于C，直线，令得，令得，所以直线与两坐标轴围成的三角形的面积是，故C不正确；
对于D，经过点且在x轴和y轴上截距都相等的直线，
当直线过原点时，设直线的方程为，代入点得，此时直线的方程为，
当直线不过原点时，设直线的方程为，代入点得，此时方程为，故D不正确；
故选：ACD.
11．在平面直角坐标系xOy中，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，圆，则（ ）
A．若c=0，则点O在圆C上
B．直线l与坐标轴围成的三角形的面积为
C．若点O在圆C内部，则c的取值范围为（0，+∞）
D．若，则圆C与OAB中与平行的中位线相切
【答案】ACD
【分析】由点与圆的位置关系判断AC，求出直线与坐标轴围成的三角形的面积判断B，由直线与圆的位置关系判断D.
【详解】对于，圆，令，恰符合；
对于B，由已知，，三角形面积为；
对于C，点O在圆C内部，则，即；
对于D，圆，
,,中点为，中点为，
与平行的中位线方程为，即，
圆心到此中位线的距离为，
此条中位线与圆相切.
故选：ACD.
12．已知直线，圆，则下列说法正确的是（ ）
A．直线与圆一定有公共点
B．当时直线被圆截得的弦最长
C．当直线与圆相切时，
D．圆心到直线的距离的最大值为
【答案】BCD
【分析】由圆的方程可得圆心的坐标及半径，因为直线l过定点，且点在圆E外，可得A不正确；
当时可得直线l过圆心，所以B正确；
直线l与圆相切时可得，所以C正确，
当ME与直线l垂直时，圆心到直线的距离最大，且为，判断D正确．
【详解】由题意知直线过定点，且点在圆外部，所以错误；当时，的方程为，直线过圆心，截得的弦恰为直径，故B正确；当与圆相切时，，解得，故C正确；当与垂直时，圆心到的距离取得最大值，其最大值为，故正确.
故选：BCD.
三、填空题
13．点关于直线x＋y＋1＝0对称的点的坐标为______．
【答案】
【分析】设点(3,4)关于直线x＋y＋1＝0对称的点的坐标是，根据垂直和中点列方程组可求出结果.
【详解】设点关于直线x＋y＋1＝0对称的点的坐标为，
则，解得，
所以点（3，4）关于直线x＋y＋1＝0对称的点的坐标为．
故答案为：
14．已知等腰直角三角形的直角顶点为，点的坐标为，则点的坐标为________．
【答案】或
【分析】由题意得，，根据直线垂直的斜率公式与两点距离公式列式求解.
【详解】设，由题意知，，
得，
可化为，解得或，
所以点的坐标为或．
故答案为：或
15．已知点是函数的图象上的动点，则的最小值为__________.
【答案】20
【分析】整理可得为半圆，再将转化为到直线的距离的5倍，进而根据到直线的距离的最小值求解即可.
【详解】由整理得，
可知其图象是半圆，圆心为，半径为.
又，其几何意义为点到直线距离的5倍，
故分析点到直线距离的最小值即可.
如图，作直线，点C到直线的距离，
所以到直线的距离的最小值为，即的最小值为4，
所以的最小值为.
故答案为：20
16．设圆的圆心为C，直线l过，且与圆C交于A，B两点，若，则直线l的方程为___________.
【答案】或
【分析】当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为，求出A，B两点的坐标，再判断是否成立，当直线l的斜率存在时，设直线，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，再利用弦心距，弦和半径的关系列方程可求出，从而可求出直线方程
【详解】当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为，
由，得或，
此时，符合题意.
当直线l的斜率存在时，设直线，
因为圆的圆心，半径，
所以圆心C到直线l的距离.
因为，所以，解得，
所以直线l的方程为，即.
综上，直线l的方程为或.
故答案为：或
四、解答题
17．从①与直线4x－3y＋5＝0垂直，②过点（5，－5），③与直线3x＋4y＋2＝0平行这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答．
问题：已知直线l过点，且______．
(1)求直线l的一般式方程；
(2)若直线l与圆相交于点P，Q，求弦PQ的长．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1)3x＋4y＋5＝0(2)4
【分析】(1)根据直线方程的表达式，代入条件计算即可.(2)根据直线与圆相交，结合弦长公式即可求解.
（1）
方案一：选条件①．
（1）因为直线4x－3y＋5＝0的斜率为，且与直线l垂直，所以直线l的斜率为，
依题意，直线l的方程为，即3x＋4y＋5＝0．
方案二：选条件②．
（1）因为直线l过点（5，－5）及（1，－2），
所以直线l的方程为，即．
方案三：选条件③．
（1）因为直线3x＋4y＋2＝0的斜率为，直线l与直线3x＋4y＋2＝0平行，
所以直线l的斜率为．
依题意，直线l的方程为，即3x＋4y＋5＝0．
（2）
方案一：选条件①．
（2）圆的圆心（0，0）到直线3x＋4y＋5＝0的距离为．
又圆的半径为，所以．
方案二：选条件②．
（2）解析同方案一中（2）．
方案三：选条件③．
（2）解析同方案一中（2）．
18．已知两直线和的交点为P．求：
(1)过点P与的直线方程；
(2)过点P且与直线平行的直线方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设出过直线和交点的直线方程，把点代入方程求出参数，再化简即可求出所求直线.
（2）由两直线平行的性质，列方程求出对应的参数，再化简即可求出所求直线.
（1）设过直线和交点的直线方程为，即．①把点代入方程①，化简得，解得，所以过点P与Q的直线方程为，即．
（2）由两直线平行，得，得，所以所求直线的方程为，即．
19．已知直线.
(1)若，求实数的值；
(2)当时，求直线与之间的距离.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）若斜率存在，两直线垂直斜率的乘积为.
（2）根据两直线平行，斜率相等解出的值，再利用平行线间的距离公式求解即可.
（1）因为直线的斜率存在且不为0，所以直线的斜率存在.设直线的斜率为，直线的斜率为.则，当时有，解得.
（2）当时，，解得.即所以和间的距离.

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