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第八章 直线和圆、圆锥曲线
专题3：圆的方程
1.回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程与一般方程.
2.能根据圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题．
1．圆的定义及方程
定义 平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)
标准方程 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0) 圆心(a，b)，半径r
一般方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0) 圆心，半径
提醒：当D2＋E2－4F＝0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示一个点；当D2＋E2－4F＜0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0没有意义，不表示任何图形．
2．点与圆的位置关系
点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系：
(1)若M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2.
(2)若M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2.
(3)若M(x0，y0)在圆内，则(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2.
1．圆的三个性质
(1)圆心在过切点且垂直于切线的直线上；
(2)圆心在任一弦的中垂线上；
(3)两圆相切时，切点与两圆心三点共线．
2．以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.
考点一　圆的方程
1．（2022·全国·高二课时练习）与圆同圆心，且过点的圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据同圆心,可设圆的一般式方程为,代入点即可求解.
【详解】设所求圆的方程为，由该圆过点，得m＝4，
所以所求圆的方程为.
故选：B
2．（2022·重庆南开中学高一期末）与直线切于点，且经过点的圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】设圆的方程为，根据题意列出方程组，求得，即可得出答案.
【详解】解：设圆的方程为，
根据题意可得，
解得，
所以该圆的方程为.
故选：D.
3．（2022·全国·高二课时练习）已知圆过点，．
(1)求圆心所在直线的方程；
(2)求周长最小的圆的标准方程；
(3)求圆心在直线2x－y－4＝0上的圆的标准方程；
(4)若圆心的纵坐标为2，求圆的标准方程．
【答案】(1)x－3y＋3＝0
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）利用已知条件求出直线的垂直平分线所在的直线方程即可；
（2）利用已知条件求出线段AB为圆的直径的圆的方程即可；
（3）由（1）可知，圆心所在直线的方程为，且圆心在直线上，即可求解圆的方程；
（4）由（1）可知，圆心所在直线的方程为，即可求出圆心的横坐标，即可求解圆的方程.
（1）由题意可知线段AB的中点坐标是，
∵直线AB的斜率，且圆心在线段AB的垂直平分线上，
∴圆心所在直线的方程为，即x－3y＋3＝0．
（2）当线段AB为圆的直径时，过点A，B的圆的半径最小，从而周长最小，
即圆心为线段AB的中点（0，1），半径为．
则所求圆的标准方程为．
（3）由（1）可知，圆心所在直线的方程为，
又∵圆心也在直线2x－y－4＝0上，∴圆心是这两条直线的交点，
∴ ，解得，即圆心的坐标是（3，2），
∴半径，
∴所求圆的标准方程是．
（4）设圆心的坐标为（m，2），
由（1）知m－3×2＋3＝0，得m＝3，
∴圆的半径，
∴所求圆的标准方程为．
求圆的方程的两种方法
考点二　与圆有关的最值问题
斜率型、截距型、距离型最值问题
已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.
(1)求的最大值和最小值；
(2)求y－x的最大值和最小值；
(3)求x2＋y2的最大值和最小值．
【解析】原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，表示以(2,0)为圆心，为半径的圆．
(1)的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，
所以设＝k，即y＝kx.
当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取最大值或最小值，此时＝，解得k＝±(如图①)．
所以的最大值为，最小值为－.
图①　　　图②　　　　图③
(2)y－x可看作是直线y＝x＋b在y轴上的截距，当直线y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时＝，解得b＝－2±(如图②)．
所以y－x的最大值为－2＋，最小值为－2－.
(3)x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，x2＋y2在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值(如图③)．
又圆心到原点的距离为＝2，
所以x2＋y2的最大值是(2＋)2＝7＋4，x2＋y2的最小值是(2－)2＝7－4.
建立函数关系求最值
设点P(x，y)是圆：x2＋(y－3)2＝1上的动点，定点A(2,0)，B(－2,0)，则·的最大值为________．
【答案】12　
【解析】由题意，知＝(2－x，－y)，＝(－2－x，－y)，所以·＝x2＋y2－4，由于点P(x，y)是圆上的点，故其坐标满足方程x2＋(y－3)2＝1，故x2＝－(y－3)2＋1，所以·＝－(y－3)2＋1＋y2－4＝6y－12.由圆的方程x2＋(y－3)2＝1，易知2≤y≤4，所以当y＝4时，·的值最大，最大值为6×4－12＝12.
1．与圆有关的最值问题的三种几何转化法
(1)形如μ＝形式的最值问题可转化为动直线斜率的最值问题．
(2)形如t＝ax＋by形式的最值问题可转化为动直线截距的最值问题．
(3)形如m＝(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．
2．建立函数关系式求最值问题的解题策略
根据题目条件列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法等，利用基本不等式求最值．
考点三　与圆有关的轨迹问题
1．（2022·全国·高二课时练习）在①过点，②圆E恒被直线平分，③与y轴相切这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.
已知圆E经过点且______.
(1)求圆E的一般方程；
(2)设P是圆E上的动点，求线段AP的中点M的轨迹方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）选择①③时，设圆的一般式方程或者标准方程，代入点以及相关条件，根据待定系数法，即可确定圆的方程，选择②时，根据几何法确定圆心和半径即可求解，
（2）根据相关点法即可求解轨迹方程.
（1）方案一：选条件①.
设圆的方程为，
则，解得，
则圆E的方程为.
方案二：选条件②.
直线恒过点.
因为圆E恒被直线平分，所以恒过圆心，
所以圆心坐标为，
又圆E经过点，所以圆的半径r＝1，所以圆E的方程为，即.
方案三：选条件③.
设圆E的方程为.
由题意可得，解得，
则圆E的方程为，即.
（2）设.因为M为线段AP的中点，所以，
因为点P是圆E上的动点，所以，即，
所以M的轨迹方程为.
2．（2022·全国·高二课时练习）已知定点，动点满足，设动点P的轨迹为曲线，直线．
(1)求曲线的轨迹方程．
(2)若，是直线上的动点，过作曲线的两条切线QM，QN，切点分别为，判断直线是否过定点．若过定点，写出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)直线过定点．
【分析】（1）设点，根据两点间的距离公式即得；
（2）设，由题可得以线段为直径的圆的方程，进而可得直线的方程，即得.
（1）设点的坐标为，
因为，
所以，
化简，得，
所以曲线的轨迹方程为；
（2）由题意，可知，，
所以点都在以线段为直径的圆上，
又是直线上的动点，设，
所以以线段为直径的圆心为，
所以圆的方程为，即，
因为点在曲线上，
所以，可得，
所以直线的方程为，即，
由，得，
所以直线过定点．
求与圆有关的轨迹问题的四种方法
(1)直接法：直接根据题设给定的条件列出方程求解．
(2)定义法：根据圆的定义列方程求解．
(3)几何法：利用圆的几何性质得出方程求解．
(4)代入法(相关点法)：找出要求的点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式求解．
1．（2020·山东·高考真题）已知圆心为的圆与轴相切，则该圆的标准方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】圆的圆心为，半径为，得到圆方程.
【详解】根据题意知圆心为，半径为，故圆方程为：.
故选：B.
2．（2022·全国·高考真题（文））设点M在直线上，点和均在上，则的方程为______________．
【答案】
【分析】设出点M的坐标，利用和均在上，求得圆心及半径，即可得圆的方程.
【详解】解：∵点M在直线上，
∴设点M为，又因为点和均在上，
∴点M到两点的距离相等且为半径R，
∴，
，解得，
∴，，
的方程为.
故答案为：
3．（2022·全国·高考真题（文））过四点中的三点的一个圆的方程为____________．
【答案】或或或；
【分析】设圆的方程为，根据所选点的坐标，得到方程组，解得即可；
【详解】解：依题意设圆的方程为，
若过，，，则，解得，
所以圆的方程为，即；
若过，，，则，解得，
所以圆的方程为，即；
若过，，，则，解得，
所以圆的方程为，即；
若过，，，则，解得，
所以圆的方程为，即；
故答案为：或或或.
一、单选题
1．若点（1，1）在圆的外部，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用点和圆的位置关系列出不等式即可求解.
【详解】由题意可知，解得或a＞3，
则实数a的取值范围是，
故选：C.
2．求与直线平行且将圆的周长平分的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由题易知，直线过圆的圆心，又因为与直线平行即斜率相等，所以利用点斜式方程即可得出答案.
【详解】解：圆的圆心坐标，
所求直线将圆平分，
则直线过圆的圆心，
又因为与直线平行，则所求直线的斜率为，
利用点斜式得到直线方程为，整理成一般式为
故选：C
3．已知直线过圆的圆心，则的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】A
【分析】先求得圆心，根据直线过圆心，可得，代入所求，根据二次函数的性质，即可得答案.
【详解】由题意得圆心为（1,1），因为直线过圆心，
所以，即，
所以，
所以当时，的最小值为.
故选：A
4．圆心在坐标原点，半径为2的圆的标准方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】直接写出标准方程，即可得到答案.
【详解】圆心在坐标原点，半径为2的圆的标准方程为.
故选：B
5．设甲：实数；乙：方程是圆，则甲是乙的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】由方程表示圆可构造不等式求得的范围，根据推出关系可得结论.
【详解】若方程表示圆，则，解得：；
∵，，，甲是乙的必要不充分条件.
故选：B.
6．圆的圆心和半径分别是（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】D
【分析】先化为标准方程，再求圆心半径即可.
【详解】先化为标准方程可得，故圆心为，半径为.
故选：D.
7．已知点是圆上的动点，则的最大值为（ ）
A． B． C．6 D．5
【答案】A
【分析】根据圆的标准方程，设x、y的参数方程，利用辅助角公式及正弦型函数的性质求最值即可.
【详解】由，令，则，
所以当时，的最大值为.
故选：A
8．三个顶点的坐标分别是，，，则外接圆方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用待定系数法进行求解即可.
【详解】设圆的一般方程为，
因为，，在这个圆上，
所以有，
故选：B
9．己知点，直线与圆相切于点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】分析可得，，利用平面向量数量积的运算性质可求得结果.
【详解】圆的标准方程为，圆心为，半径为，即，
由圆的几何性质可知，
所以，.
故选：B.
二、多选题
10．已知动直线与圆，则下列说法正确的是（ ）
A．直线过定点
B．圆的圆心坐标为
C．直线与圆的相交弦的最小值为
D．直线与圆的相交弦的最大值为4
【答案】ACD
【分析】根据直线与圆的相关知识对各选项逐一判断即可.
【详解】对于A，直线，即，
令，得，即直线过定点，故A正确；
对于B，圆，即，圆心坐标为，故B错误；
对于C，因为，所以直线所过定点在圆的内部，不妨设直线过定点为，
当直线与圆的相交弦的最小时，与相交弦垂直，
又因为，所以相交弦的最小为，故C正确；
对于D，直线与圆的相交弦的最大值为圆直径4，故D正确.
故选：ACD
11．以下四个命题表述正确的是（ ）
A．一定表示圆
B．圆上有且仅有4个点到直线的距离都等于1
C．圆上有且仅有2个点到直线的距离都等于1，则
D．圆与圆相交，交线方程为
【答案】BCD
【分析】由圆的一般方程可判断选项A,由直线与圆的位置关系可判断选项B,C,由两个圆的方程相减可得公共弦所在的直线方程，即可判断选项D.
【详解】当时，不表示圆，故A错误；
圆的圆心为，半径为2，圆心在直线上，
∴圆上有且仅有4个点到直线的距离都等于1．故B正确；
圆上有且仅有2个点到直线的距离都等于1，所以圆心到直线的距离，即，所以，故C正确；
圆的圆心为：，半径；圆的圆心为：，半径，
所以，∴圆与圆相交，交线方程为方程与方程相减得,故D正确，
故选：BCD．
12．圆上的点（2，1）关于直线x＋y＝0的对称点仍在圆上，且圆的半径为，则圆的方程可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【分析】由圆的几何关系可知圆心在直线x＋y＝0上，设出圆心坐标为（a，－a），利用圆心到圆上点的距离等于半径列方程即可求解.
【详解】由题意可知圆心在直线x＋y＝0上，设圆心坐标为（a，－a），
则，解得a＝0或a＝1，
∴所求圆的方程为或,
故选：AD．
13．下列说法正确的是（ ）
A．方程与方程表示同一条直线
B．集合.可能是一个单元素集
C．平行直线和之间的距离为
D．平面内，点，到直线的距离都等于，则直线恰有4条
【答案】BD
【分析】对于A：由两个方程的几何意义直接判断；对于B：当r=0时，求出，即可判断；对于C：直接求出两平行线间的距离，即可判断；对于D：直接求出，到直线的距离相等的4条直线，即可判断.
【详解】对于A：方程表示经过点的直线，方程表示不含点的直线，即两条射线.故A错误；
对于B：当r=0时，为单元素集.故B正确；
对于C：可化为：与直线平行，所以两平行线间的距离为.故C错误.
对于D：要使点，到直线的距离相等，则直线或经过AB的中点.
当时，由，可设.
因为到直线的距离都等于，所以，解得：或；
当经过AB的中点时，由，可得：AB的中点.
若直线l的斜率不存在时，则点，到直线的距离都等于1，不符合题意，所以直线l的斜率存在，设其为k，则直线，
所以，解得：或.
所以这样的直线存在，且有4条.故D正确.
故答案为：BD
三、填空题
14．若过点的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线的距离为________．
【答案】
【分析】设圆心为，半径为写出圆的标准方程，根据点在圆上及已知条件求m值，再应用点线距离公式求圆心到直线距离.
【详解】设圆心为，半径为，则，
由题设，且，
当，，可得或；
当，，方程无解；
所以圆心为或，
当圆心为到的距离为；
当圆心为到的距离为；
所以圆心到直线的距离为.
故答案为：
15．点与圆的位置关系是_____________．（填“在圆内”、“在圆上”、“在圆外”）
【答案】在圆内
【分析】利用点到圆心的距离与圆的半径的大小关系去判断点与圆的位置关系即可.
【详解】圆的圆心坐标为，半径为2
点到圆心的距离，
因为，所以点在圆内．
故答案为：在圆内
16．已知圆C经过两点，，且圆心在直线上，则圆C的一般方程为__________.
【答案】
【分析】将点的坐标代入到圆的方程中，即可求出圆的方程.
【详解】设圆C的一般方程为，
由题意可得，解得，
即圆C的一般方程为.
17．过四点，，，中的三点的一个圆的方程为______.
【答案】或
或或
【分析】设圆的一般方程为，将3个点的坐标代入方程，利用待定系数法即可求出结果.
【详解】设圆的一般方程为，
若圆过三点，
则，解得，
此时圆的一般方程为；
若圆过三点，
则，解得，
此时圆的一般方程为；
若圆过三点，
则，解得，
此时圆的一般方程为；
若圆过三点，
则，解得，
此时圆的一般方程为；
故答案为：或
或或
四、解答题
18．已知方程表示一个圆.
(1)求实数m的取值范围；
(2)求圆的周长的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据圆的一般式与标准式的转化，根据标准式即可求解.
（2）根据二次函数的性质可求解半径的最大值，进而可求圆周长的最大值.
（1）原方程可化为，
若方程表示一个圆，则，解得，
即实数m的取值范围是.
（2）圆的半径，当且仅当时，半径r取得最大值，所以圆的周长的最大值为.
19．已知圆的圆心在轴上，且经过点．
(1)求线段的垂直平分线方程；
(2)求圆的标准方程；
(3)若过点的直线与圆相交于两点，且，求直线的方程．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）根据已知得到线段中点的坐标及的斜率，根据垂直关系得出垂直平分线的斜率，利用点斜式即可求解；
（2）设圆的标准方程为，由圆心的位置分析可得的值，进而计算可得的值，据此分析可得答案；
（3）设为的中点，结合直线与圆的位置关系，分直线的斜率是否存在两种情况讨论，综合即可得答案.
(1)设的中点为，则．
由圆的性质，得，所以，得.
所以线段的垂直平分线的方程是.
(2)设圆的标准方程为，其中，半径为，
由（1）得直线的方程为，
由圆的性质，圆心在直线上，化简得，
所以圆心，，
所以圆的标准方程为.
(3)由（1）设为中点，则，得，
圆心到直线的距离，
当直线的斜率不存在时，的方程，此时，符合题意；
当直线的斜率存在时，设的方程，即，
由题意得，解得；
故直线的方程为，
即；
综上直线的方程为或.中小学教育资源及组卷应用平台
第八章 直线和圆、圆锥曲线
专题3：圆的方程
1.回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程与一般方程.
2.能根据圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题．
1．圆的定义及方程
定义 平面内与 的距离等于 的点的集合(轨迹)
标准方程 圆心 ，半径r
一般方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0) 圆心，半径
提醒：当D2＋E2－4F＝0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示一个点；当D2＋E2－4F＜0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0没有意义，不表示任何图形．
2．点与圆的位置关系
点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系：
(1)若M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2.
(2)若M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2.
(3)若M(x0，y0)在圆内，则 .
1．圆的三个性质
(1)圆心在过切点且垂直于切线的直线上；
(2)圆心在任一弦的中垂线上；
(3)两圆相切时，切点与两圆心三点共线．
2．以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.
考点一　圆的方程
1．（2022·全国·高二课时练习）与圆同圆心，且过点的圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据同圆心,可设圆的一般式方程为,代入点即可求解.
【详解】设所求圆的方程为，由该圆过点，得m＝4，
所以所求圆的方程为.
故选：B
2．（2022·重庆南开中学高一期末）与直线切于点，且经过点的圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】设圆的方程为，根据题意列出方程组，求得，即可得出答案.
【详解】解：设圆的方程为，
根据题意可得，
解得，
所以该圆的方程为.
故选：D.
3．（2022·全国·高二课时练习）已知圆过点，．
(1)求圆心所在直线的方程；
(2)求周长最小的圆的标准方程；
(3)求圆心在直线2x－y－4＝0上的圆的标准方程；
(4)若圆心的纵坐标为2，求圆的标准方程．
【答案】(1)x－3y＋3＝0
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）利用已知条件求出直线的垂直平分线所在的直线方程即可；
（2）利用已知条件求出线段AB为圆的直径的圆的方程即可；
（3）由（1）可知，圆心所在直线的方程为，且圆心在直线上，即可求解圆的方程；
（4）由（1）可知，圆心所在直线的方程为，即可求出圆心的横坐标，即可求解圆的方程.
（1）由题意可知线段AB的中点坐标是，
∵直线AB的斜率，且圆心在线段AB的垂直平分线上，
∴圆心所在直线的方程为，即x－3y＋3＝0．
（2）当线段AB为圆的直径时，过点A，B的圆的半径最小，从而周长最小，
即圆心为线段AB的中点（0，1），半径为．
则所求圆的标准方程为．
（3）由（1）可知，圆心所在直线的方程为，
又∵圆心也在直线2x－y－4＝0上，∴圆心是这两条直线的交点，
∴ ，解得，即圆心的坐标是（3，2），
∴半径，
∴所求圆的标准方程是．
（4）设圆心的坐标为（m，2），
由（1）知m－3×2＋3＝0，得m＝3，
∴圆的半径，
∴所求圆的标准方程为．
求圆的方程的两种方法
考点二　与圆有关的最值问题
斜率型、截距型、距离型最值问题
已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.
(1)求的最大值和最小值；
(2)求y－x的最大值和最小值；
(3)求x2＋y2的最大值和最小值．
【解析】原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，表示以(2,0)为圆心，为半径的圆．
(1)的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，
所以设＝k，即y＝kx.
当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取最大值或最小值，此时＝，解得k＝±(如图①)．
所以的最大值为，最小值为－.
图①　　　图②　　　　图③
(2)y－x可看作是直线y＝x＋b在y轴上的截距，当直线y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时＝，解得b＝－2±(如图②)．
所以y－x的最大值为－2＋，最小值为－2－.
(3)x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，x2＋y2在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值(如图③)．
又圆心到原点的距离为＝2，
所以x2＋y2的最大值是(2＋)2＝7＋4，x2＋y2的最小值是(2－)2＝7－4.
建立函数关系求最值
设点P(x，y)是圆：x2＋(y－3)2＝1上的动点，定点A(2,0)，B(－2,0)，则·的最大值为________．
【答案】12　
【解析】由题意，知＝(2－x，－y)，＝(－2－x，－y)，所以·＝x2＋y2－4，由于点P(x，y)是圆上的点，故其坐标满足方程x2＋(y－3)2＝1，故x2＝－(y－3)2＋1，所以·＝－(y－3)2＋1＋y2－4＝6y－12.由圆的方程x2＋(y－3)2＝1，易知2≤y≤4，所以当y＝4时，·的值最大，最大值为6×4－12＝12.
1．与圆有关的最值问题的三种几何转化法
(1)形如μ＝形式的最值问题可转化为动直线斜率的最值问题．
(2)形如t＝ax＋by形式的最值问题可转化为动直线截距的最值问题．
(3)形如m＝(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．
2．建立函数关系式求最值问题的解题策略
根据题目条件列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法等，利用基本不等式求最值．
考点三　与圆有关的轨迹问题
1．（2022·全国·高二课时练习）在①过点，②圆E恒被直线平分，③与y轴相切这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.
已知圆E经过点且______.
(1)求圆E的一般方程；
(2)设P是圆E上的动点，求线段AP的中点M的轨迹方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）选择①③时，设圆的一般式方程或者标准方程，代入点以及相关条件，根据待定系数法，即可确定圆的方程，选择②时，根据几何法确定圆心和半径即可求解，
（2）根据相关点法即可求解轨迹方程.
（1）方案一：选条件①.
设圆的方程为，
则，解得，
则圆E的方程为.
方案二：选条件②.
直线恒过点.
因为圆E恒被直线平分，所以恒过圆心，
所以圆心坐标为，
又圆E经过点，所以圆的半径r＝1，所以圆E的方程为，即.
方案三：选条件③.
设圆E的方程为.
由题意可得，解得，
则圆E的方程为，即.
（2）设.因为M为线段AP的中点，所以，
因为点P是圆E上的动点，所以，即，
所以M的轨迹方程为.
2．（2022·全国·高二课时练习）已知定点，动点满足，设动点P的轨迹为曲线，直线．
(1)求曲线的轨迹方程．
(2)若，是直线上的动点，过作曲线的两条切线QM，QN，切点分别为，判断直线是否过定点．若过定点，写出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)直线过定点．
【分析】（1）设点，根据两点间的距离公式即得；
（2）设，由题可得以线段为直径的圆的方程，进而可得直线的方程，即得.
（1）设点的坐标为，
因为，
所以，
化简，得，
所以曲线的轨迹方程为；
（2）由题意，可知，，
所以点都在以线段为直径的圆上，
又是直线上的动点，设，
所以以线段为直径的圆心为，
所以圆的方程为，即，
因为点在曲线上，
所以，可得，
所以直线的方程为，即，
由，得，
所以直线过定点．
求与圆有关的轨迹问题的四种方法
(1)直接法：直接根据题设给定的条件列出方程求解．
(2)定义法：根据圆的定义列方程求解．
(3)几何法：利用圆的几何性质得出方程求解．
(4)代入法(相关点法)：找出要求的点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式求解．
1．（2020·山东·高考真题）已知圆心为的圆与轴相切，则该圆的标准方程是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·全国·高考真题（文））设点M在直线上，点和均在上，则的方程为______________．
3．（2022·全国·高考真题（文））过四点中的三点的一个圆的方程为____________．
一、单选题
1．若点（1，1）在圆的外部，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
2．求与直线平行且将圆的周长平分的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
3．已知直线过圆的圆心，则的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．2
4．圆心在坐标原点，半径为2的圆的标准方程是（ ）
A． B．
C． D．
5．设甲：实数；乙：方程是圆，则甲是乙的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．圆的圆心和半径分别是（ ）
A．， B．， C．， D．，
7．已知点是圆上的动点，则的最大值为（ ）
A． B． C．6 D．5
8．三个顶点的坐标分别是，，，则外接圆方程是（ ）
A． B．
C． D．
9．己知点，直线与圆相切于点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
10．已知动直线与圆，则下列说法正确的是（ ）
A．直线过定点
B．圆的圆心坐标为
C．直线与圆的相交弦的最小值为
D．直线与圆的相交弦的最大值为4
11．以下四个命题表述正确的是（ ）
A．一定表示圆
B．圆上有且仅有4个点到直线的距离都等于1
C．圆上有且仅有2个点到直线的距离都等于1，则
D．圆与圆相交，交线方程为
12．圆上的点（2，1）关于直线x＋y＝0的对称点仍在圆上，且圆的半径为，则圆的方程可能是（ ）
A． B．
C． D．
13．下列说法正确的是（ ）
A．方程与方程表示同一条直线
B．集合.可能是一个单元素集
C．平行直线和之间的距离为
D．平面内，点，到直线的距离都等于，则直线恰有4条
三、填空题
14．若过点的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线的距离为________．
15．点与圆的位置关系是_____________．（填“在圆内”、“在圆上”、“在圆外”）
16．已知圆C经过两点，，且圆心在直线上，则圆C的一般方程为__________.
17．过四点，，，中的三点的一个圆的方程为______.
四、解答题
18．已知方程表示一个圆.
(1)求实数m的取值范围；
(2)求圆的周长的最大值.
19．已知圆的圆心在轴上，且经过点．
(1)求线段的垂直平分线方程；
(2)求圆的标准方程；
(3)若过点的直线与圆相交于两点，且，求直线的方程．

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