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第八章 直线和圆、圆锥曲线
专题4：直线与圆、圆与圆的位置关系
1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系.
2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题．
1．直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)的位置关系的判断
位置关系 相交 相切 相离
公共点个数 2个 1个 0个
判定 方法 几何法：设圆心到直线的距离d＝ dr
代数法：由 消元得到一元二次方程根的判别式Δ Δ>0 Δ＝0 Δ<0
2.圆与圆的位置关系
若两圆的半径分别为r1，r2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系的判断方法如下：
相离 外切 相交 内切 内含
图 形
量的关系 d＞r1＋r2 d＝r1＋r2 |r1－r2|＜d＜r1＋r2 d＝|r1－r2| d＜|r1－r2|
1．当两圆相交(切)时，两圆方程(x2，y2项的系数相同)相减便可得公共弦(公切线)所在的直线方程．
2．直线与圆相交时，弦心距d，半径r，弦长的一半l满足关系式r2＝d2＋.
3．圆的切线方程常用结论
(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.
(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.
(3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.
考点一　直线与圆的位置关系
1．（2022·福建省福州第二中学高二期末）已知直线平分圆：，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意知直线过圆的圆心得到，求的最大值可转化为的最小值的倒数，利用基本不等式的妙用求最值即可.
【详解】圆：，圆心，
直线平分圆：，
直线过圆心，即，
，
当且仅当，即，的最大值为.
故选：B
2．（2022·全国·高二课时练习）直线和圆的位置关系为（ ）
A．相交 B．相切或相交 C．相离 D．相切
【答案】A
【分析】根据直线与圆的位置关系列式判断.
【详解】由，得，
所以圆心为，半径为.
因为圆心到直线的距离为
，
所以直线和圆相交.
故选：A
3．（2022·云南·丽江市教育科学研究所高二期末）直线分别与x轴，y轴交于两点，点在圆，则面积的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由题意首先求得的长度，然后确定圆上的点到直线的距离，最后确定三角形面积的取值范围.
【详解】解：因为，所以.
圆的标准方程，圆心，
圆心到直线的距离为，
所以，点到直线的距离的取值范围为：，
所以.
故选:C.
4．（2022·全国·高二课时练习）若圆与轴有公共点，则实数m的取值范围是______．
【答案】
【分析】先求出圆的圆心坐标及其半径，利用该圆与轴有公共点列不等式即可求解.
【详解】圆C的标准方程为，
依题意有 ，解得，
故答案为：.
5．（2022·广东·高三阶段练习）已知：，直线：，为直线上的动点，过点作的切线，，切点为，，当四边形的面积取最小值时，直线AB的方程为 ____．
【答案】
【分析】易知四边形MACB的面积为，然后由最小，可得直线的方程，与的方程联立，得到点坐标及的值，进而得到以为直径的圆的方程，与的方程作差可得直线的方程.
【详解】：的标准方程为，
则圆心，半径．
因为四边形的面积，
要使四边形面积最小，则需最小，此时与直线垂直，
直线的方程为，即，
联立，解得．则,
则以为直径的圆的方程为，
与的方程作差可得直线的方程为．
故答案为：.
1．判断直线与圆的位置关系的常见方法
(1)几何法：利用d与r的关系．
(2)代数法：联立方程之后利用Δ判断．
(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．
2．圆上的点到直线距离为定值的动点个数问题多借助图形，转化为点到直线的距离求解．
如图①，若圆上恰有一点到直线的距离为t，则需满足d＝r＋t.
如图②，若圆上恰有三点到直线的距离为t，则需满足d＜r－t.
　　　
由图①②可知，若圆上恰有两个点到直线的距离为t，则需满足r－t＜d＜r＋t.
若圆上恰有四点到直线的距离为t，则需满足d＜r－t.
考点二　圆与圆的位置关系
1．（多选）（2022·全国·高二单元测试）已知两圆的方程分别为，，则下列说法正确的是（ ）
A．若两圆内切，则r＝9
B．若两圆的公共弦所在直线的方程为8x－6y－37＝0，则r＝2
C．若两圆在交点处的切线互相垂直，则r＝3
D．若两圆有三条公切线，则r＝2
【答案】ABC
【分析】根据两圆内，外切切的条件可确定AD的正误，由两圆方程作差可得公共弦所在直线方程确定B的正误，根据两圆交点处的切线垂直可知两圆圆心距，半径可构成直角三角形即可判断D.
【详解】圆的圆心为（0，0），半径为4，圆的圆心为（4，－3），半径为r，两圆的圆心距．
对于A，若两圆内切，则，则r＝9，故A正确；
对于B，联立两圆的方程可得，令，得r＝2，故B正确；对于C，若两圆在交点处的切线互相垂直，则一个圆的切线必过另一个圆的圆心，
（圆的切线与经过切点的半径垂直，又∵两圆切线相互垂直且交于一公共切点，所以两切线分别与另一圆的半径重合，半径经过圆心，所以此时两切线经过圆心）
分别设两圆的圆心为,则
如图，所以，解得r＝3，故C正确；
对于D，若两圆有三条公切线，则两圆外切，则，得r＝1，故D错误．
故选：ABC
2．（2022·全国·高二课时练习）已知圆的方程为，圆的方程为，其中a，．那么这两个圆的位置关系可能为（ ）
A．外离 B．外切 C．内含 D．内切
【答案】ABD
【分析】根据圆心距与半径的关系，二次函数的性质即可解出．
【详解】由题意可得圆心，半径，圆心，半径，则，所以两圆不可能内含．
故选：ABD．
3．（2022·广东·中山一中高三阶段练习）已知圆.若圆与圆有三条公切线，则的值为___________.
【答案】
【分析】根据已知条件得出两圆的位置关系，结合两点间的距离公式即可求解.
【详解】由，得，
所以圆的圆心为，半径为，
因为圆，所以圆的圆心为，半径为，
因为圆与圆有三条公切线，所以圆与圆相外切，
即，解得，
所以的值为.
故答案为：.
4．（2022·全国·高二课时练习）已知圆.
(1)若直线l经过点，且与圆C相切，求直线l的方程；
(2)若圆与圆C相切，求实数m的值.
【答案】(1)或
(2)或
【分析】（1）首先设出过定点直线，利用圆心到直线的距离等于半径，即可求直线，不要忘记讨论斜率不存在的情况；
（2）分内切和外切，结合公式，列式求值.
（1）若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为，与圆C相切，符合题意.若直线l的斜率存在，设直线l的方程为，即，则，解得，所以直线l的方程为.综上，直线l的方程为或.
（2）圆的方程可化为.若圆与圆C外切，则，解得.若圆与圆C内切，则，解得.综上，或.
1．判断两圆位置关系的方法
常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和与差的绝对值的关系，一般不用代数法．
2．两圆公共弦长的求法
先求出公共弦所在直线的方程，在其中一圆中，由弦心距d，半弦长，半径r构成直角三角形，利用勾股定理求解．
考点三　直线、圆的综合问题
切线问题
1．（多选）（2022·全国·高二课时练习）过点作与圆相切的直线l，则直线l的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】将圆的方程配成标准式，即可得到圆心坐标与半径，再分斜率存在与不存在两种情况讨论，分别求出切线方程.
【详解】解：圆，即，则圆心为，半径为1，易知点在圆外，
显然是其中一条切线.
当切线斜率存在时，设切线方程为，则，解得，
所以切线方程为.综上，切线方程为或.
故选：BC.
2．（多选）（2022·全国·模拟预测）已知点在圆上，点，，则（ ）
A．点到直线的距离最大值为
B．满足的点有3个
C．过点作圆的两切线，切点分别为 ，则直线的方程为
D．的最小值是
【答案】ACD
【分析】对A，求出直线AB的方程，算出圆心到该直线的距离，进而通过圆的性质判断答案；对B，设点，根据得到点P的轨迹方程，进而判断该轨迹与圆的交点个数即可；对C，设，进而得到切线方程MB，NB，再根据点B在两条切线上求得答案；对D，设，设存在定点，使得点在圆上任意移动时均有，进而求出点P的轨迹方程，然后结合点P在圆O上求得答案．
【详解】对A，，则圆心到直线的距离，所以点P到该直线距离的最大值为．A正确；
对B，设点，则，且，由题意，
两圆的圆心距为，半径和与半径差分别为，于是，即两圆相交，满足这样条件的点P有2个．B错误；
对C，设，则直线MB，NB分别为，因为点B在两条直线上，所以，于是都满足直线方程，即直线MN的方程为．C正确；
对D，即求的最小值，设存在定点，使得点在圆上任意移动时均有，设，则有，化简得，∵，
则有，即，∴，则，
所以，所以D正确．
故选：ACD．
3．（2022·广东·高三开学考试）过点作圆的两条切线，切点分别为 、，则直线的方程为_______．
【答案】
【分析】由题知、，进而求解方程即可.
【详解】解：方法1：由题知，圆的圆心为，半径为，
所以过点作圆的两条切线，切点分别为、，
所以，
所以直线的方程为，即；
方法2：设，，则由，可得，
同理可得，
所以直线的方程为.
故答案为：
4．（2022·全国·高二课时练习）已知圆．
(1)若直线过定点，且与圆C相切，求直线的方程；
(2)若圆D的半径为3，圆心在直线上，且与圆C相切，求圆D的方程．
【答案】(1)或；
(2)或或或．
【分析】(1)设的直线方程为(可以避开斜率为0和不存在情况)，再用圆心到直线距离等于半径找出关系即可；
(2)讨论圆D与圆内切还是外切，分别计算出两种情况时的圆心坐标即可.
（1）圆的圆心，半径，
因为直线过定点，所以可设直线的方程为，
因为直线与圆C相切，所以，整理得，则或，
当时，直线的方程为；
当时，直线的方程为．所以直线的方程为或.
（2）因为圆D的圆心在直线上，所以可设，则．
当圆D与圆C外切时，，
即，解得或，所以圆D的方程为或．
当圆D与圆C内切时，，即，解得或，所以圆D的方程为或．
综上，圆D的方程为或或或．
5．（2021·广东·汕头市潮阳区棉城中学高二期中）过直线上任意点作圆的两条切线，切点分别为，当切线长最小时，切线长为_________；同时 的面积为_______．
【答案】 1
【分析】依据题意，作出图形，如图，由于,所以当取最小值时，最小，此时与直线垂直，利用点到直线的距离公式可求出的长，从而可得的值，由圆的对称性和切线长定理可知，，从而可求出的面积
【详解】解：依据题意，作出图形，如下图：
因为直线过点且与圆相切于点A，
所以，所以，
要使得最小，则要最小，
由题可得：的最小值就是点到直线的距离．
此时，，所以
由切线的对称性可得：
所以的面积为，
故答案为：1；.
弦长问题
1．（2022·陕西汉中·高一期末）直线l:被圆C：截得的弦长为
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】求出圆心到直线l:的距离，根据圆心距和圆的半径以及弦长之间的关系，即可求得答案.
【详解】由题意得圆心到直线l:的距离为，
故直线l:被圆C：截得的弦长为，
故选：B
2．（2022·全国·高二课时练习）已知的圆心是坐标原点O，且被直线截得的弦长为6，则的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】设的方程为，根据弦长公式或弦长的一半，半径，圆心距的关系求出半径即可得解．
【详解】由题可设的方程为．∵被直线截得的弦长为6，且圆心到直线的距离，∴，解得，可得的方程为．
故选：C．
3．（多选）（2022·全国·高二课时练习）若直线被圆所截得的弦长为，则实数a的值为（ ）
A．0 B．4 C． D．
【答案】AB
【分析】由圆的半径和弦长求出圆心到直线的距离，再利用点到直线的距离列方程可求出a的值
【详解】由圆的方程可知圆心坐标为，半径.
又直线被圆截得的弦长为，
所以圆心到直线的距离.
又，
所以，解得或.
故选：AB
4．（2022·河南·高三阶段练习（文））直线与圆C：相交于M，N两点，则______．
【答案】4
【分析】利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，再根据勾股定理求解.
【详解】解：圆C：，其圆心坐标为，半径为3．
圆心到直线2x－y＋1＝0的距离，
则．
故答案为:4.
5．（2022·陕西渭南·高一期末）已知圆C的圆心为点，且与坐标轴相切.
(1)求圆C的方程；
(2)求直线被圆C所截得的弦长.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由圆心与坐标轴相切确定半径长度，即可直接写出方程；
（2）先用点线距离公式求出圆心C到直线l的距离，结合垂径定理即可求弦长；
(1)∵圆C的圆心为点，且与坐标轴相切，
∴圆C的半径为，
∴圆C的方程为.
(2)∵圆C的圆心，
∴圆心C到直线l的距离为.
∴所求的弦长为.
探索性问题
1．（2022·全国·高二课时练习）已知圆C的圆心位于x轴的正半轴上，该圆与直线相切，且被y轴截得的弦长为，圆C的面积小于13．
(1)求圆C的标准方程．
(2)设过点M（0，3）的直线l与圆C交于不同的两点A，B，以OA，OB为邻边作平行四边形OADB．是否存在这样的直线l，使得直线OD与MC恰好平行？如果存在，求出l的方程；如果不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)不存在，理由见解析
【分析】（1）利用待定系数法，根据已知条件建立方程组求解.
（2）假设存在，把直线方程与圆的方程联立、消元、韦达定理，根据条件进行求解、判断.
（1）设圆C的方程为，
由题意，知，解得或，
又圆C的面积，∴，，
∴圆C的标准方程为．
（2）当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝0，不满足题意．
当直线l的斜率存在时，假设存在满足题意的直线l，设直线l的方程为，，，
由，得，
∵直线l与圆C相交于不同的两点，
∴，
解得或．
，，
∵线段OD过线段AB的中点，且线段AB与OD互相平分，
∴点D的坐标为，即，
又MC的斜率为，∴，解得．
由于，故不存在这样的直线l．
2．（2022·上海市行知中学高二期中）已知圆，定点，其中为正实数，
(1)当时，若对于圆上任意一点均有成立（为坐标原点），求实数的值；
(2)当时，对于线段上的任意一点，若在圆上都存在不同的两点，使得点是线段的中点，求实数的取值范围
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设点，由，得到即，结合，得到，根据因为点为圆上任意一点，得出方程组，即可求解.
（2）求得直线的方程为，设，求得的坐标，根据都在圆，得出方程组化简得到，结合的方程组有解，转化为两圆有公共点，利用圆与圆的位置关系，得到关于的不等式组，结合二次函数的性质，即可求解.
(1)解：设点，则，
因为，可得，
即，
又由时，圆，即，可得，
代入上式可得，
整理得，
因为点为圆上任意一点，所以，
又由，解得.
(2)解：当时，可得，此时直线的方程为，
设，其中，，
因为点为的中点，所以，
又因为都在圆，
可得，即，
由关于的方程组有解，即以为圆心，为半径的圆与以为圆心，半径的圆有公共点，
所以，即，
又由点为线段上的任意一点，所以对所有成立，
由在上的值域为，
所以，即，
又由线段与圆无公共点，所以，即，
所以实数的取值范围是.
直线、圆的综合问题的求解策略
(1)判断直线与圆的位置关系常用几何法．
(2)处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形．
(3)圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径，从而建立关系解决问题．
提醒：(1)过圆上一点有且只有一条切线，过圆外一点，一定有两条切线．(2)对于已知弦长求直线方程的问题，若弦是直径有且只有一条，否则一定有两条；两种情况常因漏掉直线斜率不存在的情形致误．
1．（2021·北京·高考真题）已知直线（为常数）与圆交于点，当变化时，若的最小值为2，则
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先求得圆心到直线距离，即可表示出弦长，根据弦长最小值得出
【详解】由题可得圆心为，半径为2，
则圆心到直线的距离，
则弦长为，
则当时，弦长取得最小值为，解得.
故选：C.
2．（多选）（2021·全国·高考真题）已知直线与圆，点，则下列说法正确的是（ ）
A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切 B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离
C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离 D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切
【答案】ABD
【分析】转化点与圆、点与直线的位置关系为的大小关系，结合点到直线的距离及直线与圆的位置关系即可得解.
【详解】圆心到直线l的距离，
若点在圆C上，则，所以，
则直线l与圆C相切，故A正确；
若点在圆C内，则，所以，
则直线l与圆C相离，故B正确；
若点在圆C外，则，所以，
则直线l与圆C相交，故C错误；
若点在直线l上，则即，
所以，直线l与圆C相切，故D正确.
故选：ABD.
3．（2022·天津·高考真题）若直线与圆相交所得的弦长为，则_____．
【答案】
【分析】计算出圆心到直线的距离，利用勾股定理可得出关于的等式，即可解得的值.
【详解】圆的圆心坐标为，半径为，
圆心到直线的距离为，
由勾股定理可得，因为，解得.
故答案为：.
4．（2022·全国·高考真题）写出与圆和都相切的一条直线的方程________________．
【答案】或或
【分析】先判断两圆位置关系，分情况讨论即可.
【详解】圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，
两圆圆心距为，等于两圆半径之和，故两圆外切，
如图，
当切线为l时，因为，所以，设方程为
O到l的距离，解得，所以l的方程为，
当切线为m时，设直线方程为，其中，，
由题意，解得，
当切线为n时，易知切线方程为，
故答案为：或或.
5．（2022·全国·高考真题（理））若双曲线的渐近线与圆相切，则_________．
【答案】
【分析】首先求出双曲线的渐近线方程，再将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，依题意圆心到直线的距离等于圆的半径，即可得到方程，解得即可．
【详解】解：双曲线的渐近线为，即，
不妨取，圆，即，所以圆心为，半径，
依题意圆心到渐近线的距离，
解得或（舍去）．
故答案为：．
一、单选题
1．若直线y＝x+b与曲线x恰有一个公共点，则b的取值范围是（　　）
A．﹣1＜b≤1 B．﹣1≤b≤1
C．b≤﹣1 D．﹣1＜b≤1或b
【答案】D
【分析】对曲线两边平方，结合范围，得到曲线是右半个圆，画出曲线的图象，再画出斜率为1的直线，平移直线，找到只有一个公共点的b的取值范围.
【详解】解：曲线x即 x2+y2＝1（x≥0）表示一个半径为1的半圆，如图所示．
当直线y＝x+b经过点A（0，1）时，求得b＝1，
当直线y＝x+b经过点B（1，0）时，求得b＝﹣1，
当直线和半圆相切于点D时，由圆心O到直线y＝x+b的距离等于半径，
可得1，求得b，或b（舍去）．
故当直线y＝x+b与曲线x恰有一个公共点时b的取值范围是﹣1＜b≤1或b，
故选：D.
2．直线被圆所截得的最短弦长等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先求出直线过定点坐标，当圆被直线截得的弦最短时，圆心到弦的距离最大，此时圆心与定点的连线垂直于弦，求出弦心距，利用勾股定理求出结果即可．
【详解】解：圆的圆心为，半径，
又直线，直线恒过定点，
当圆被直线截得的弦最短时，圆心与定点的连线垂直于弦，
此时弦心距为．
所截得的最短弦长：．
故选：C．
3．圆x2＋y2－2x＋4y＝0与直线2x+y+1＝0的位置关系为（　 　）
A．相离 B．相切 C．相交 D．以上都有可能
【答案】C
【分析】利用圆心到直线的距离与半径的大小关系，判断圆x2＋y2－2x＋4y＝0与直线2x+y+1＝0的位置关系即可.
【详解】圆x2＋y2－2x＋4y＝0的圆心坐标为，半径
圆心到直线2x+y+1＝0的距离
由，可得圆与直线的位置关系为相交.
故选：C
4．若直线始终平分圆的周长，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分析可知直线过圆心，则，且有且，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值.
【详解】圆的圆心为，由题意可知，直线过圆心，则，
因为，则且，
因此，，
当且仅当时，等号成立，故的最小值为.
故选：A.
5．若圆上总存在两个点到点的距离为2，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】将问题转化为圆与相交，从而可得，进而可求出实数a的取值范围.
【详解】到点的距离为2的点在圆上，
所以问题等价于圆上总存在两个点也在圆上，
即两圆相交，故，
解得或，
所以实数a的取值范围为，
故选：A．
6．设圆，圆，则圆，的公切线有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【答案】B
【分析】先根据圆的方程求出圆心坐标和半径，再根据圆心距与半径的关系即可判断出两圆的位置关系，从而得解．
【详解】由题意，得圆，圆心，圆，圆心，∴，∴与相交，有2条公切线．
故选：B．
7．已知圆的面积被直线平分，圆，则圆与圆的位置关系是（ ）
A．外离 B．相交 C．内切 D．外切
【答案】B
【分析】由圆的面积被直线平分，可得圆心在直线上，求出，进而利用圆心距与半径和以及半径差的关系可得圆与圆的位置关系．
【详解】因为圆的面积被直线平分，所以圆的圆心在直线上，
所以，解得，所以圆的圆心为，半径为．
因为圆的圆心为，半径为，所以，
故，所以圆与圆的位置关系是相交．
故选：B．
8．已知圆：与圆：，若圆与圆有且仅有一个公共点，则实数a等于（ ）
A．14 B．34 C．14或45 D．34或14
【答案】D
【分析】根据两圆内切或外切可得圆心距，从而可求实数a.
【详解】圆：的圆心为,
圆：的圆心为,
，
因为圆与圆有且仅有一个公共点，故圆与圆相内切或外切，
故或，从而或，
所以或，解得：或
所以实数a等于34或14
故选：D
二、多选题
9．已知圆，圆，则下列是M，N两圆公切线的直线方程为（ ）
A．y＝0 B．3x－4y＝0 C． D．
【答案】ACD
【分析】先判断两圆的位置关系可知，两圆相离，公切线有四条，然后由圆的方程可知，两圆关于原点O对称，即可知有两条公切线过原点O，另两条公切线与直线MN平行，设出直线方程，再根据点到直线的距离公式求出直线方程，从而解出．
【详解】圆M的圆心为M（2，1），半径．圆N的圆心为N（－2，－1），半径．圆心距，两圆相离，故有四条公切线．又两圆关于原点O对称，则有两条切线过原点O，设切线方程为y＝kx，则圆心到直线的距离，解得k＝0或，对应方程分别为y＝0，4x－3y＝0．另两条切线与直线MN平行，而，设切线方程为，则，解得，切线方程为，．
故选：ACD．
10．已知圆与圆有四条公切线，则实数a的取值可能是（ ）
A．－4 B．－2 C． D．3
【答案】AD
【分析】根据题意可知，两圆外离，即圆心距大于两圆半径之和，解不等式即可得解．
【详解】圆心，半径，圆心，半径．因为两圆有四条公切线，所以两圆外离．又两圆圆心距，所以，解得或．
故选：AD．
11．设有一组圆，下列命题正确的是（ ）
A．不论k如何变化，圆心始终在一条直线上
B．存在圆经过点（3，0）
C．存在定直线始终与圆相切
D．若圆上总存在两点到原点的距离为1，则
【答案】ACD
【分析】对于A，考查圆心的横纵坐标关系即可判断；
对于B，把， 代入圆方程，由关于的方程根的情况作出判断；
对于C，判断圆心到直线 距离与半径的关系即可；
对于D，圆与以原点为圆心的单位圆相交即可判断作答．
【详解】解：根据题意，圆，其圆心为，半径为2，
依次分析选项：
对于A，圆心为，其圆心在直线上，A正确；
对于B，圆，
将代入圆的方程可得，
化简得，，方程无解，
所以不存在圆经过点，B错误；
对于C，存在直线，即或，
圆心到直线或的距离，
这两条直线始终与圆相切，C正确，
对于D，若圆上总存在两点到原点的距离为1，
问题转化为圆与圆有两个交点，
圆心距为，
则有，
解可得：或，D正确．
故选：ACD．
12．已知圆与直线，则（ ）
A．直线与圆必相交 B．直线与圆不一定相交
C．直线与圆相交所截的最短弦长为 D．直线与圆可以相切
【答案】AC
【分析】求出直线经过的定点，根据定点与圆的位置关系即可判断直线与圆的位置关系，结合几何知识可知当直线与过定点和圆心的直线垂直时，弦长有最小值，由此可求出答案．
【详解】由题意，圆的圆心，半径，
直线变形得，得直线过定点，
∵，
∴直线与圆必相交，故A对，B、D错；
由平面几何知识可知，当直线与过定点和圆心的直线垂直时，弦长有最小值，
此时弦长为，故C对；
故选：AC．
13．已知，则下述正确的是（ ）
A．圆C的半径 B．点在圆C的内部
C．直线与圆C相切 D．圆与圆C相交
【答案】ACD
【分析】先将圆方程化为标准方程，求出圆心和半径，然后逐个分析判断即可
【详解】由，得，则圆心，半径，
所以A正确，
对于B，因为点到圆心的距离为，所以点在圆C的外部，所以B错误，
对于C，因为圆心到直线的距离为，
所以直线与圆C相切，所以C正确，
对于D，圆的圆心为，半径，
因为，，
所以圆与圆C相交，所以D正确，
故选：ACD
三、填空题
14．在直线l：上取一点D做抛物线C：的切线，切点分别为A，B，直线AB与圆E：交于M，N两点，当│MN│最小时，D的横坐标是______．
【答案】1
【分析】联立直线方程与抛物线方程，利用韦达定理，根据切线联立求交点，可得直线方程中的截距，可得直线过定点，根据圆中弦最小的情况，得到直线的斜率，可得最后答案.
【详解】设，且直线的方程为，
联立抛物线，可得，消去可得：，
根据韦达定理可得：，
由抛物线，求导可得：，
过的切线方程为，
过的切线方程为，
联立上式，可得：，
消去整理可得：，
两式相减整理可得：，
因为，所以，且，根据题意，可得，即，
则直线的方程为，由此该直线过定点，
由圆E：，可得，可得，
易知当时，│MN│取最小，可得直线的方程为，
所以点的横坐标.
故答案为：.
15．若圆与轴有公共点，则实数m的取值范围是______．
【答案】
【分析】先求出圆的圆心坐标及其半径，利用该圆与轴有公共点列不等式即可求解.
【详解】圆C的标准方程为，
依题意有 ，解得，
故答案为：.
16．已知圆，若直线被圆截得的弦长为1，则_______.
【答案】
【分析】将圆一般方程化为标准方程，先求圆心到直线的距离，再由圆的弦长公式即可解出的值.
【详解】解：将化为标准式得，故半径为1；
圆心到直线的距离为，由弦长为1可得，解得.
故答案为：.
17．已知圆与圆，若圆与圆有且仅有一个公共点，则实数a的值为___________.
【答案】34或14
【分析】由条件可知两圆相内切或外切，结合圆心距和半径的关系，列式求值.
【详解】设圆，圆的半径分别为，.
圆的方程可化为，圆的方程可化为.
由两圆相切，得或.
因为，，所以或，可得或或（舍去），
因此或，解得或.
故答案为：34或14
18．写出与圆和圆都相切的一条切线方程___________.
【答案】或或
【分析】先判断两圆位置关系，再分情况依次求解可得.
【详解】圆的圆心为，半径为1；圆的圆心为，半径为4，
圆心距为，所以两圆外切，如图，有三条切线，
易得切线的方程为，
因为，且，所以，设，即，
则到的距离，解得（舍去）或，所以，
可知和关于对称，联立，解得在上，
在上任取一点，设其关于的对称点为，
则，解得，
则，所以直线，即，
综上，切线方程为或或.
故答案为：或或.
四、解答题
19．已知圆，直线，当时，直线l与圆O恰好相切．
(1)求圆O的方程；
(2)若直线l上存在距离为2的两点M，N，在圆O上存在一点P，使得，求实数k的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据直线与圆相切，圆心到直线的距离等于半径可求解.
（2）分直线l与圆有公共点和无公共点两种情况讨论，再结合，则点P在以MN为直径的圆上，由两圆有公共点即可求解.
（1）
当时．圆心O到直线l的距离为，则r＝2，
所以圆O的方程为．
（2）
圆心O到直线l的距离
①当直线l与圆O有公共点，即，解得，
若点P与点M（或N）重合，则满足，符合题意．
②当直线l与圆O无公共点，即，解得或，
由，可知点P在以MN为直径的圆上，设线段MN的中点为，
则圆Q的方程为，
又圆Q与圆O有公共点，设圆Q的半径 ，圆O的半径，
则，
只需点O到直线l的距离，
所以或．
综上，实数k的取值范围为．
20．已知圆：，直线：，点．
(1)判断直线与圆的位置关系；
(2)设直线与圆交于不同的两点，求弦的中点的轨迹方程；
(3)在（2）的条件下，若，求直线的方程．
【答案】(1)相交
(2)
(3)或
【分析】（1）先求出动直线经过的定点，判断定点和圆的位置关系即可；
（2）连接圆心和弦的中点，利用垂径定理找出几何关系来解决；
（3）联立直线和圆的方程，利用韦达定理来解决.
（1）因为直线：过定点，
又，所以在圆内，
所以直线与圆相交；
（2）设，当与不重合，即时，连接，，则，根据勾股定理．则，化简得：（）；当与重合时，，也满足上式，故弦的中点的轨迹方程为；
（3）设，，因为，所以，
所以，化简得． ①
又消去并整理得，
所以②，． ③
由①②③联立，解得，
所以直线的方程为或．中小学教育资源及组卷应用平台
第八章 直线和圆、圆锥曲线
专题4：直线与圆、圆与圆的位置关系
1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系.
2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题．
1．直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)的位置关系的判断
位置关系 相交 相切 相离
公共点个数
判定 方法 几何法：设圆心到直线的距离d＝ d r d r d r
代数法：由 消元得到一元二次方程根的判别式Δ Δ 0 Δ 0 Δ 0
2.圆与圆的位置关系
若两圆的半径分别为r1，r2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系的判断方法如下：
相离 外切 相交 内切 内含
图 形
量的关系 d＞r1＋r2 d＝r1＋r2 |r1－r2|＜d＜r1＋r2 d＝|r1－r2| d＜|r1－r2|
1．当两圆相交(切)时，两圆方程(x2，y2项的系数相同)相减便可得公共弦(公切线)所在的直线方程．
2．直线与圆相交时，弦心距d，半径r，弦长的一半l满足关系式r2＝d2＋.
3．圆的切线方程常用结论
(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.
(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.
(3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.
考点一　直线与圆的位置关系
1．（2022·福建省福州第二中学高二期末）已知直线平分圆：，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意知直线过圆的圆心得到，求的最大值可转化为的最小值的倒数，利用基本不等式的妙用求最值即可.
【详解】圆：，圆心，
直线平分圆：，
直线过圆心，即，
，
当且仅当，即，的最大值为.
故选：B
2．（2022·全国·高二课时练习）直线和圆的位置关系为（ ）
A．相交 B．相切或相交 C．相离 D．相切
【答案】A
【分析】根据直线与圆的位置关系列式判断.
【详解】由，得，
所以圆心为，半径为.
因为圆心到直线的距离为
，
所以直线和圆相交.
故选：A
3．（2022·云南·丽江市教育科学研究所高二期末）直线分别与x轴，y轴交于两点，点在圆，则面积的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由题意首先求得的长度，然后确定圆上的点到直线的距离，最后确定三角形面积的取值范围.
【详解】解：因为，所以.
圆的标准方程，圆心，
圆心到直线的距离为，
所以，点到直线的距离的取值范围为：，
所以.
故选:C.
4．（2022·全国·高二课时练习）若圆与轴有公共点，则实数m的取值范围是______．
【答案】
【分析】先求出圆的圆心坐标及其半径，利用该圆与轴有公共点列不等式即可求解.
【详解】圆C的标准方程为，
依题意有 ，解得，
故答案为：.
5．（2022·广东·高三阶段练习）已知：，直线：，为直线上的动点，过点作的切线，，切点为，，当四边形的面积取最小值时，直线AB的方程为 ____．
【答案】
【分析】易知四边形MACB的面积为，然后由最小，可得直线的方程，与的方程联立，得到点坐标及的值，进而得到以为直径的圆的方程，与的方程作差可得直线的方程.
【详解】：的标准方程为，
则圆心，半径．
因为四边形的面积，
要使四边形面积最小，则需最小，此时与直线垂直，
直线的方程为，即，
联立，解得．则,
则以为直径的圆的方程为，
与的方程作差可得直线的方程为．
故答案为：.
1．判断直线与圆的位置关系的常见方法
(1)几何法：利用d与r的关系．
(2)代数法：联立方程之后利用Δ判断．
(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．
2．圆上的点到直线距离为定值的动点个数问题多借助图形，转化为点到直线的距离求解．
如图①，若圆上恰有一点到直线的距离为t，则需满足d＝r＋t.
如图②，若圆上恰有三点到直线的距离为t，则需满足d＜r－t.
　　　
由图①②可知，若圆上恰有两个点到直线的距离为t，则需满足r－t＜d＜r＋t.
若圆上恰有四点到直线的距离为t，则需满足d＜r－t.
考点二　圆与圆的位置关系
1．（多选）（2022·全国·高二单元测试）已知两圆的方程分别为，，则下列说法正确的是（ ）
A．若两圆内切，则r＝9
B．若两圆的公共弦所在直线的方程为8x－6y－37＝0，则r＝2
C．若两圆在交点处的切线互相垂直，则r＝3
D．若两圆有三条公切线，则r＝2
【答案】ABC
【分析】根据两圆内，外切切的条件可确定AD的正误，由两圆方程作差可得公共弦所在直线方程确定B的正误，根据两圆交点处的切线垂直可知两圆圆心距，半径可构成直角三角形即可判断D.
【详解】圆的圆心为（0，0），半径为4，圆的圆心为（4，－3），半径为r，两圆的圆心距．
对于A，若两圆内切，则，则r＝9，故A正确；
对于B，联立两圆的方程可得，令，得r＝2，故B正确；对于C，若两圆在交点处的切线互相垂直，则一个圆的切线必过另一个圆的圆心，
（圆的切线与经过切点的半径垂直，又∵两圆切线相互垂直且交于一公共切点，所以两切线分别与另一圆的半径重合，半径经过圆心，所以此时两切线经过圆心）
分别设两圆的圆心为,则
如图，所以，解得r＝3，故C正确；
对于D，若两圆有三条公切线，则两圆外切，则，得r＝1，故D错误．
故选：ABC
2．（2022·全国·高二课时练习）已知圆的方程为，圆的方程为，其中a，．那么这两个圆的位置关系可能为（ ）
A．外离 B．外切 C．内含 D．内切
【答案】ABD
【分析】根据圆心距与半径的关系，二次函数的性质即可解出．
【详解】由题意可得圆心，半径，圆心，半径，则，所以两圆不可能内含．
故选：ABD．
3．（2022·广东·中山一中高三阶段练习）已知圆.若圆与圆有三条公切线，则的值为___________.
【答案】
【分析】根据已知条件得出两圆的位置关系，结合两点间的距离公式即可求解.
【详解】由，得，
所以圆的圆心为，半径为，
因为圆，所以圆的圆心为，半径为，
因为圆与圆有三条公切线，所以圆与圆相外切，
即，解得，
所以的值为.
故答案为：.
4．（2022·全国·高二课时练习）已知圆.
(1)若直线l经过点，且与圆C相切，求直线l的方程；
(2)若圆与圆C相切，求实数m的值.
【答案】(1)或
(2)或
【分析】（1）首先设出过定点直线，利用圆心到直线的距离等于半径，即可求直线，不要忘记讨论斜率不存在的情况；
（2）分内切和外切，结合公式，列式求值.
（1）若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为，与圆C相切，符合题意.若直线l的斜率存在，设直线l的方程为，即，则，解得，所以直线l的方程为.综上，直线l的方程为或.
（2）圆的方程可化为.若圆与圆C外切，则，解得.若圆与圆C内切，则，解得.综上，或.
1．判断两圆位置关系的方法
常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和与差的绝对值的关系，一般不用代数法．
2．两圆公共弦长的求法
先求出公共弦所在直线的方程，在其中一圆中，由弦心距d，半弦长，半径r构成直角三角形，利用勾股定理求解．
考点三　直线、圆的综合问题
切线问题
1．（多选）（2022·全国·高二课时练习）过点作与圆相切的直线l，则直线l的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】将圆的方程配成标准式，即可得到圆心坐标与半径，再分斜率存在与不存在两种情况讨论，分别求出切线方程.
【详解】解：圆，即，则圆心为，半径为1，易知点在圆外，
显然是其中一条切线.
当切线斜率存在时，设切线方程为，则，解得，
所以切线方程为.综上，切线方程为或.
故选：BC.
2．（多选）（2022·全国·模拟预测）已知点在圆上，点，，则（ ）
A．点到直线的距离最大值为
B．满足的点有3个
C．过点作圆的两切线，切点分别为 ，则直线的方程为
D．的最小值是
【答案】ACD
【分析】对A，求出直线AB的方程，算出圆心到该直线的距离，进而通过圆的性质判断答案；对B，设点，根据得到点P的轨迹方程，进而判断该轨迹与圆的交点个数即可；对C，设，进而得到切线方程MB，NB，再根据点B在两条切线上求得答案；对D，设，设存在定点，使得点在圆上任意移动时均有，进而求出点P的轨迹方程，然后结合点P在圆O上求得答案．
【详解】对A，，则圆心到直线的距离，所以点P到该直线距离的最大值为．A正确；
对B，设点，则，且，由题意，
两圆的圆心距为，半径和与半径差分别为，于是，即两圆相交，满足这样条件的点P有2个．B错误；
对C，设，则直线MB，NB分别为，因为点B在两条直线上，所以，于是都满足直线方程，即直线MN的方程为．C正确；
对D，即求的最小值，设存在定点，使得点在圆上任意移动时均有，设，则有，化简得，∵，
则有，即，∴，则，
所以，所以D正确．
故选：ACD．
3．（2022·广东·高三开学考试）过点作圆的两条切线，切点分别为 、，则直线的方程为_______．
【答案】
【分析】由题知、，进而求解方程即可.
【详解】解：方法1：由题知，圆的圆心为，半径为，
所以过点作圆的两条切线，切点分别为、，
所以，
所以直线的方程为，即；
方法2：设，，则由，可得，
同理可得，
所以直线的方程为.
故答案为：
4．（2022·全国·高二课时练习）已知圆．
(1)若直线过定点，且与圆C相切，求直线的方程；
(2)若圆D的半径为3，圆心在直线上，且与圆C相切，求圆D的方程．
【答案】(1)或；
(2)或或或．
【分析】(1)设的直线方程为(可以避开斜率为0和不存在情况)，再用圆心到直线距离等于半径找出关系即可；
(2)讨论圆D与圆内切还是外切，分别计算出两种情况时的圆心坐标即可.
（1）圆的圆心，半径，
因为直线过定点，所以可设直线的方程为，
因为直线与圆C相切，所以，整理得，则或，
当时，直线的方程为；
当时，直线的方程为．所以直线的方程为或.
（2）因为圆D的圆心在直线上，所以可设，则．
当圆D与圆C外切时，，
即，解得或，所以圆D的方程为或．
当圆D与圆C内切时，，即，解得或，所以圆D的方程为或．
综上，圆D的方程为或或或．
5．（2021·广东·汕头市潮阳区棉城中学高二期中）过直线上任意点作圆的两条切线，切点分别为，当切线长最小时，切线长为_________；同时 的面积为_______．
【答案】 1
【分析】依据题意，作出图形，如图，由于,所以当取最小值时，最小，此时与直线垂直，利用点到直线的距离公式可求出的长，从而可得的值，由圆的对称性和切线长定理可知，，从而可求出的面积
【详解】解：依据题意，作出图形，如下图：
因为直线过点且与圆相切于点A，
所以，所以，
要使得最小，则要最小，
由题可得：的最小值就是点到直线的距离．
此时，，所以
由切线的对称性可得：
所以的面积为，
故答案为：1；.
弦长问题
1．（2022·陕西汉中·高一期末）直线l:被圆C：截得的弦长为
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】求出圆心到直线l:的距离，根据圆心距和圆的半径以及弦长之间的关系，即可求得答案.
【详解】由题意得圆心到直线l:的距离为，
故直线l:被圆C：截得的弦长为，
故选：B
2．（2022·全国·高二课时练习）已知的圆心是坐标原点O，且被直线截得的弦长为6，则的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】设的方程为，根据弦长公式或弦长的一半，半径，圆心距的关系求出半径即可得解．
【详解】由题可设的方程为．∵被直线截得的弦长为6，且圆心到直线的距离，∴，解得，可得的方程为．
故选：C．
3．（多选）（2022·全国·高二课时练习）若直线被圆所截得的弦长为，则实数a的值为（ ）
A．0 B．4 C． D．
【答案】AB
【分析】由圆的半径和弦长求出圆心到直线的距离，再利用点到直线的距离列方程可求出a的值
【详解】由圆的方程可知圆心坐标为，半径.
又直线被圆截得的弦长为，
所以圆心到直线的距离.
又，
所以，解得或.
故选：AB
4．（2022·河南·高三阶段练习（文））直线与圆C：相交于M，N两点，则______．
【答案】4
【分析】利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，再根据勾股定理求解.
【详解】解：圆C：，其圆心坐标为，半径为3．
圆心到直线2x－y＋1＝0的距离，
则．
故答案为:4.
5．（2022·陕西渭南·高一期末）已知圆C的圆心为点，且与坐标轴相切.
(1)求圆C的方程；
(2)求直线被圆C所截得的弦长.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由圆心与坐标轴相切确定半径长度，即可直接写出方程；
（2）先用点线距离公式求出圆心C到直线l的距离，结合垂径定理即可求弦长；
(1)∵圆C的圆心为点，且与坐标轴相切，
∴圆C的半径为，
∴圆C的方程为.
(2)∵圆C的圆心，
∴圆心C到直线l的距离为.
∴所求的弦长为.
探索性问题
1．（2022·全国·高二课时练习）已知圆C的圆心位于x轴的正半轴上，该圆与直线相切，且被y轴截得的弦长为，圆C的面积小于13．
(1)求圆C的标准方程．
(2)设过点M（0，3）的直线l与圆C交于不同的两点A，B，以OA，OB为邻边作平行四边形OADB．是否存在这样的直线l，使得直线OD与MC恰好平行？如果存在，求出l的方程；如果不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)不存在，理由见解析
【分析】（1）利用待定系数法，根据已知条件建立方程组求解.
（2）假设存在，把直线方程与圆的方程联立、消元、韦达定理，根据条件进行求解、判断.
（1）设圆C的方程为，
由题意，知，解得或，
又圆C的面积，∴，，
∴圆C的标准方程为．
（2）当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝0，不满足题意．
当直线l的斜率存在时，假设存在满足题意的直线l，设直线l的方程为，，，
由，得，
∵直线l与圆C相交于不同的两点，
∴，
解得或．
，，
∵线段OD过线段AB的中点，且线段AB与OD互相平分，
∴点D的坐标为，即，
又MC的斜率为，∴，解得．
由于，故不存在这样的直线l．
2．（2022·上海市行知中学高二期中）已知圆，定点，其中为正实数，
(1)当时，若对于圆上任意一点均有成立（为坐标原点），求实数的值；
(2)当时，对于线段上的任意一点，若在圆上都存在不同的两点，使得点是线段的中点，求实数的取值范围
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设点，由，得到即，结合，得到，根据因为点为圆上任意一点，得出方程组，即可求解.
（2）求得直线的方程为，设，求得的坐标，根据都在圆，得出方程组化简得到，结合的方程组有解，转化为两圆有公共点，利用圆与圆的位置关系，得到关于的不等式组，结合二次函数的性质，即可求解.
(1)解：设点，则，
因为，可得，
即，
又由时，圆，即，可得，
代入上式可得，
整理得，
因为点为圆上任意一点，所以，
又由，解得.
(2)解：当时，可得，此时直线的方程为，
设，其中，，
因为点为的中点，所以，
又因为都在圆，
可得，即，
由关于的方程组有解，即以为圆心，为半径的圆与以为圆心，半径的圆有公共点，
所以，即，
又由点为线段上的任意一点，所以对所有成立，
由在上的值域为，
所以，即，
又由线段与圆无公共点，所以，即，
所以实数的取值范围是.
直线、圆的综合问题的求解策略
(1)判断直线与圆的位置关系常用几何法．
(2)处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形．
(3)圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径，从而建立关系解决问题．
(1)过圆上一点有且只有一条切线，过圆外一点，一定有两条切线．(2)对于已知弦长求直线方程的问题，若弦是直径有且只有一条，否则一定有两条；两种情况常因漏掉直线斜率不存在的情形致误．
1．（2021·北京·高考真题）已知直线（为常数）与圆交于点，当变化时，若的最小值为2，则
A． B． C． D．
2．（多选）（2021·全国·高考真题）已知直线与圆，点，则下列说法正确的是（ ）
A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切 B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离
C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离 D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切
3．（2022·天津·高考真题）若直线与圆相交所得的弦长为，则_____．
4．（2022·全国·高考真题）写出与圆和都相切的一条直线的方程________________．
5．（2022·全国·高考真题（理））若双曲线的渐近线与圆相切，则_________．
一、单选题
1．若直线y＝x+b与曲线x恰有一个公共点，则b的取值范围是（　　）
A．﹣1＜b≤1 B．﹣1≤b≤1
C．b≤﹣1 D．﹣1＜b≤1或b
2．直线被圆所截得的最短弦长等于（ ）
A． B． C． D．
3．圆x2＋y2－2x＋4y＝0与直线2x+y+1＝0的位置关系为（　 　）
A．相离 B．相切 C．相交 D．以上都有可能
4．若直线始终平分圆的周长，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
5．若圆上总存在两个点到点的距离为2，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
6．设圆，圆，则圆，的公切线有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
7．已知圆的面积被直线平分，圆，则圆与圆的位置关系是（ ）
A．外离 B．相交 C．内切 D．外切
8．已知圆：与圆：，若圆与圆有且仅有一个公共点，则实数a等于（ ）
A．14 B．34 C．14或45 D．34或14
二、多选题
9．已知圆，圆，则下列是M，N两圆公切线的直线方程为（ ）
A．y＝0 B．3x－4y＝0 C． D．
10．已知圆与圆有四条公切线，则实数a的取值可能是（ ）
A．－4 B．－2 C． D．3
11．设有一组圆，下列命题正确的是（ ）
A．不论k如何变化，圆心始终在一条直线上
B．存在圆经过点（3，0）
C．存在定直线始终与圆相切
D．若圆上总存在两点到原点的距离为1，则
12．已知圆与直线，则（ ）
A．直线与圆必相交 B．直线与圆不一定相交
C．直线与圆相交所截的最短弦长为 D．直线与圆可以相切
13．已知，则下述正确的是（ ）
A．圆C的半径 B．点在圆C的内部
C．直线与圆C相切 D．圆与圆C相交
三、填空题
14．在直线l：上取一点D做抛物线C：的切线，切点分别为A，B，直线AB与圆E：交于M，N两点，当│MN│最小时，D的横坐标是______．
15．若圆与轴有公共点，则实数m的取值范围是______．
16．已知圆，若直线被圆截得的弦长为1，则_______.
17．已知圆与圆，若圆与圆有且仅有一个公共点，则实数a的值为___________.
18．写出与圆和圆都相切的一条切线方程___________.
【
四、解答题
19．已知圆，直线，当时，直线l与圆O恰好相切．
(1)求圆O的方程；
(2)若直线l上存在距离为2的两点M，N，在圆O上存在一点P，使得，求实数k的取值范围．
20．已知圆：，直线：，点．
(1)判断直线与圆的位置关系；
(2)设直线与圆交于不同的两点，求弦的中点的轨迹方程；
(3)在（2）的条件下，若，求直线的方程．

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