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第八章 直线和圆、圆锥曲线
专题5.1：椭圆的定义、标准方程及其性质
1.了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.
2.经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，掌握椭圆的定义、标准方程及简单几何性质．
1．椭圆的定义
(1)定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹．
(2)焦点：两个定点F1，F2.
(3)焦距：两焦点间的距离|F1F2|；半焦距：焦距的一半．
2．椭圆的标准方程和几何性质
标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0)
性质 范围 －a≤x≤a －b≤y≤b －b≤x≤b －a≤y≤a
对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点 A1(－a,0)，A2(a,0)， B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)， B1(－b,0)，B2(b,0)
轴 长轴A1A2的长为 ；短轴B1B2的长为
焦距 |F1F2|＝
离心率 e＝ ∈(0,1)
a，b，c的关系 c2＝
1．点P(x0，y0)和椭圆的位置关系
(1)点P(x0，y0)在椭圆内 ＋＜1.
(2)点P(x0，y0)在椭圆上 ＋＝1.
(3)点P(x0，y0)在椭圆外 ＋＞1.
2．焦点三角形
如图，椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形．设r1＝|PF1|，r2＝|PF2|，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆＋＝1(a＞b＞0)中：
(1)当r1＝r2，即点P的位置为短轴端点时，θ最大；
(2)S＝b2tan ＝c|y0|，当|y0|＝b，即点P的位置为短轴端点时，S取最大值，最大值为bc.
(3)a－c≤|PF1|≤a＋c.
(4)|PF1|＝a＋ex0，|PF2|＝a－ex0.
(5)当PF2⊥x轴时，点P的坐标为.
(6)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos θ.
3．椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中斜边长是a，a2＝b2＋c2.
4．已知过焦点F1的弦AB，则△ABF2的周长为4a.
5．椭圆中点弦的斜率公式
若M(x0，y0)是椭圆＋＝1(a＞b＞0)的弦AB(AB不平行y轴)的中点，则有kAB·kOM＝－，即kAB＝－.
6．弦长公式：直线与圆锥曲线相交所得的弦长
|AB|＝|x1－x2|
＝
＝|y1－y2|＝(k为直线的斜率)．
考点一　椭圆的定义及应用
1．（2022·江苏南京·高三开学考试）双曲线的左 右焦点分别为为左支上一动点，直线与的右支交于点，且与的周长相等，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意可求出，又与的周长相等，即，结合题意代入即可求出，即可求出的值.
【详解】记的焦距为，则，
又与的周长相等，即，
又，且，即，
所以.
故选：B.
2．（2022·全国·高二课时练习）（多选）已知在平面直角坐标系中，点，，点P为一动点，且，则下列说法中正确的是（ ）
A．当时，点P的轨迹不存在
B．当时，点P的轨迹是椭圆，且焦距为3
C．当时，点P的轨迹是椭圆，且焦距为6
D．当时，点P的轨迹是以AB为直径的圆
【答案】AC
【分析】根据两点间的距离与到两点间距离和满足的条件，结合椭圆的定义逐个选项分析即可.
【详解】对A，，故点P的轨迹不存在，A正确；
对BC，，故点P的轨迹是椭圆，且焦距为，故B错误，C正确；
对D，，故点P的轨迹为线段AB，D错误.
故选：AC
3．（2022·全国·高二专题练习）已知是两个定点且的周长等于则顶点的轨迹方程为______．
【答案】或
【分析】根据椭圆的定义，结合焦点在轴或轴上两种情况求解即可
【详解】，且△ABC的周长等于16，
，故顶点的轨迹是以为焦点的椭圆，除去与轴的交点，
，，
，故顶点的轨迹方程为或
故答案为：或
4．（2022·上海市虹口高级中学高二期末）已知椭圆的焦点分别、，点A为椭圆C的上顶点，直线，与椭圆C的另一个交点为B．若，则椭圆C的方程为______.
【答案】
【分析】利用定义和已知先求，再由相似三角形可得点B坐标，代入椭圆方程可解.
【详解】如图，过点B作x轴的垂线，垂足为M，
由定义知，，因为，所以
因为，，
所以，所以
将代入得，解得
所以
所以椭圆方程为.
故答案为：
椭圆定义的应用类型及方法
(1)探求轨迹：确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆．
(2)应用定义转化：涉及焦半径的问题，常利用|PF1|＋|PF2|＝2a实现等量转换．
(3)焦点三角形问题：常把正、余弦定理同椭圆定义相结合，求焦点、三角形的面积等问题．
考点二　椭圆的标准方程
1．（2022·全国·高二课时练习）已知，是椭圆C的两个焦点，过且垂直于x轴的直线交椭圆C于A，B两点，，则椭圆C的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】方法一：构造并利用，从而求出，得出椭圆C的标准方程；方法二：若椭圆的标准方程为，则过焦点且垂直于x轴的直线与椭圆相交所得的线段为椭圆的通径，其长为，并利用，求出，从而得出椭圆C的标准方程.
【详解】方法一：由题意，设椭圆C的标准方程连接，如图所示．
由题意，得，．在中，①．
又②．由①②，得a＝2，所以，所以椭圆C的标准方程为．
方法二：由题意，设椭圆C的标准方程为，则，即，又，所以a＝2或（舍去），所以，，
故椭圆C的标准方程为．
故选：C.
2．（2022·全国·高二课时练习）已知椭圆的两个焦点的坐标分别是和，且椭圆经过点，则该椭圆的标准方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据椭圆的焦点可求，根据经过点，可得，进而可求解，即可得椭圆方程.
【详解】因为焦点坐标为和，所以.椭圆经过点，且焦点在x轴上，所以，所以，则椭圆的标准方程为.
故选:A.
3．（2022·全国·高二课时练习）求满足下列条件的椭圆的标准方程：
(1)焦点在y轴上，焦距是4，且经过点；
(2)经过两点和；
(3)过点且与椭圆有相同焦点.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据焦点坐标以及椭圆定义即可求解，进而可求椭圆方程，
（2）根据椭圆一般方程代入两点坐标即可求解，
（3）根据同焦点的椭圆方程，代入点的坐标，即可求解.
（1）由题意知，且焦点坐标分别为，.由，得，可得，所以.又焦点在y轴上，所以所求椭圆的标准方程为.
（2）设椭圆的方程为（，，）.将A，B两点的坐标代入方程，得，解得，故所求椭圆的标准方程为.
（3）依题意，知椭圆的焦点坐标为.设所求方程为，将点代入得，所以，则所求椭圆的标准方程为.
1.利用定义法求椭圆方程，要注意条件2a>|F1F2|；利用待定系数法要先定形(焦点位置)，再定量，也可把椭圆方程设为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)的形式．
2．椭圆的标准方程的两个应用
(1)方程＋＝1与＋＝λ(λ>0)有相同的离心率．
(2)与椭圆＋＝1(a>b>0)共焦点的椭圆系方程为＋＝1(a>b>0，k＋b2>0)，恰当运用椭圆系方程，可使运算简便．
考点三　椭圆的简单几何性质
椭圆的长轴、短轴、焦距
1.（2022·陕西渭南·高一期末）中国的嫦娥四号探测器，简称“四号星”，是世界上首个在月球背面软着陆和巡视探测的航天器.如图所示，现假设“四号星”沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道I绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行.若用和分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用和分别表示椭圆轨道I和Ⅱ的长轴长，则下列式子正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由椭圆的性质判断A；由结合不等式的性质判断BCD.
【详解】，，即，因为，所以，即，故A错误；
∵，∴，，
，，∴，故B错误；
由B可知，，，则，故C错误；
由B可知，，则，故D正确；
故选：D
离心率问题
1．（2021·四川省内江市第六中学高二开学考试）已知为坐标原点，是椭圆的左焦点，分别为椭圆的左 右顶点，为椭圆上一点，且轴.过点的直线与线段交于点，与轴交于点.若直线经过的中点，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意画图，利用相似于，和相似于列方程求解即可.
【详解】如图，由题意得 ，
设，因为轴，所以，所以 ，得①，
又由，中点为，得，得②，
由①②得，则.
故选：A.
2．（2022·甘肃定西·高二开学考试（理））如果椭圆的离心率为，则（ ）
A． B．或 C． D．或
【答案】D
【分析】分焦点在x轴和在y轴两种情况，分别得到a,b的表达式，进而求得c的表达式，然后根据离心率得到关于k的方程，求解即可．
【详解】解：因为椭圆的离心率为，
当时，椭圆焦点在轴上，可得：，解得，
当时，椭圆焦点在轴上，可得：，解得．
或.
故选：D．
3．（2022·全国·高二课时练习）图1是明朝的一个葡萄纹椭圆盘，图2是清朝的一个青花山水楼阁纹饰椭圆盘，图3是北宋的一个汝窑椭圆盘．已知图1，2，3中椭圆的短轴长与长轴长的比值分别为，，，设图1，2，3中椭圆的离心率分别为，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】直接利用即可计算出离心率在比较大小即可.
【详解】由椭圆的短轴长与长轴长的比值为，离心率为，得，，，所以．
故选：A
4．（2022·全国·高二课时练习）已知，分别是椭圆的左、右焦点，椭圆上不存在点使，则椭圆的离心率的取值范围是______．
【答案】
【分析】椭圆上不存在点使，即恒成立，利用特征三角形列不等式，可得离心率的取值范围．
【详解】椭圆上不存在点使，即恒成立．当在短轴端点时，最大，故，即（O为坐标原点），又，所以．
故答案为：
5．（2022·全国·高二课时练习）设椭圆与双曲线的离心率分别为，，双曲线的渐近线的斜率小于，则的取值范围为______，的取值范围为______．
【答案】
【分析】由双曲线的渐近线的斜率小于，即可得出,由此即可求出、的取值范围.
【详解】设椭圆和双曲线的焦距分別为，，由题意，得双曲线的渐近线方程为，所以，则，
所以，．
故答案为：；
与椭圆有关的最值(范围)问题
1．（2023·全国·高三专题练习）已知点是椭圆+=1上的动点（点不在坐标轴上），为椭圆的左，右焦点，为坐标原点；若是的角平分线上的一点，且丄，则丨丨的取值范围为（ ）
A．（0，） B．（0，2）
C．（l，2） D．（，2）
【答案】A
【分析】延长、相交于点，连接，利用椭圆的定义分析得出，设点，求出的取值范围，利用椭圆的方程计算得出，由此可得出结果.
【详解】如下图，延长、相交于点，连接，
因为，
因为为的角平分线，所以，，则点为的中点，
因为为的中点，所以，，
设点，由已知可得，，，
则且，且有，
，
故，
所以，.
故选：A.
2．（2022·江苏·南京市第一中学高三开学考试）已知椭圆C：（）的离心率为，过点P（1，1）的直线与椭圆C交于A，B两点，且满足.动点Q满足，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．动点Q的轨迹方程为
C．线段OQ（O为坐标原点）长度的最小值为
D．线段OQ（O为坐标原点）长度的最小值为
【答案】ABD
【分析】对于A：利用离心率直接求出；对于B：设进行向量坐标化，整理化简得到，即可判断出动点的轨迹方程为直线，故正确；
对于C、D：求出线段长度的最小值即为原点到直线的距离，利用点到直线的距离公式即可求解.
【详解】对于A：由椭圆的离心率为，得，所以，故正确；
对于B：设
，由，得两式相乘得，同理可得，
由题意知且，否则与矛盾，
动点的轨迹方程为，即直线，故正确；
对于C、D：所以线段长度的最小值即为原点到直线的距离，
min，
故C错误，D正确.
故选：ABD.
3．（2022·广东·中山纪念中学高二阶段练习）设椭圆：的左、右焦点分别为、，是上的一个动点，则下列结论正确的是（ ）
A．离心率
B．面积的最大值为
C．的最大值为1
D．以线段为直径的圆与直线相切
【答案】ACD
【分析】根据椭圆的方程可直接求得离心率，即可判断A项，由椭圆方程求得焦点坐标，根据椭圆的性质，当点位于椭圆的上顶点或下顶点时，面积最大，即可判断B项，设，利用平面向量数量积的坐标表示即可判断C项，利用圆心到直线的距离即可判断D项.
【详解】解：因为椭圆的方程为，故，所以离心率，故A项正确；
由题可知，，当点位于椭圆的上顶点或下顶点时，面积最大，最大值为，故B项错误；
设，则，，
则，
所以，
又，故，所以的最大值为1，故C项正确；
因为，所以以线段为直径的圆的方程为，圆心为，半径为，
又直线方程为，故圆心到直线的距离为，
所以以线段为直径的圆与直线相切，故D项正确.
故选：ACD.
4．（2022·全国·高二专题练习）已知椭圆：，为椭圆上的一个动点，以为圆心，为半径作圆，为圆的两条切线，为切点，则的取值范围是_________．
【答案】
【分析】设，可得，根据可求出.
【详解】由椭圆方程可得，则，如图，
设锐角，在中，，
因为，即，故，
所以.
故答案为：.
5．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，，若椭圆上存在点（异于长轴的端点），使得，则该椭圆离心率的取值范围是______．
【答案】
【分析】根据已知条件等式，结合正弦定理，得出的关系，利用椭圆定义和的范围，即可求出的取值范围.
【详解】由已知，得，由正弦定理，得，
所以．
由椭圆的几何性质，知，
所以且，
所以且，
即且，
结合，可解得．
故答案为：.
1．求椭圆离心率或其范围的方法
解题的关键是借助图形建立关于a，b，c的关系式(等式或不等式)，转化为e的关系式，常用方法如下：
(1)直接求出a，c，利用离心率公式e＝求解．
(2)由a与b的关系求离心率，利用变形公式e＝求解．
(3)构造a，c的齐次式．离心率e的求解中可以不求出a，c的具体值，而是得出a与c的关系，从而求得e.
2．利用椭圆几何性质求值或范围的思路
(1)将所求问题用椭圆上点的坐标表示，利用坐标范围构造函数或不等关系．
(2)将所求范围用a，b，c表示，利用a，b，c自身的范围、关系求解．
1．（2022·全国·高考真题（理））椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线的斜率之积为，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全国·高考真题（文））已知椭圆的离心率为，分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若，则C的方程为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·全国·高考真题）已知椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与C交于D，E两点，，则的周长是________________．
4．（2022·北京·高考真题）已知椭圆：的一个顶点为，焦距为．
(1)求椭圆E的方程；
(2)过点作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与x轴交于点M，N，当时，求k的值．
一、单选题
1．若椭圆的焦距、短轴长、长轴长构成一个等比数列，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
2．若为椭圆上的一点，，分别是椭圆的左、右焦点，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
3．已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，点M在椭圆C上，若，则该椭圆的离心率不可能是（ ）
A． B． C． D．
4．关于椭圆有下面四个命题：①长轴长为4；②短轴长为3；③离心率为；④椭圆上的点到焦点的距离的最大值为3．若只有一个假命题，则该命题是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
5．用周长为36的矩形ABCD截某圆锥得到椭圆，且椭圆与矩形ABCD的四边相切，则椭圆的标准方程可能为（ ）
A． B．
C． D．
6．椭圆的焦点为，，与轴的一个交点为，若，则（ ）
A．1 B． C． D．2
7．已知椭圆=1内有一点P（1，-1），F为椭圆的右焦点，在椭圆上有一点M，使|MP|+2|MF|取得最小值，则点M坐标为（ ）
A． B．，
C． D．，
8．是椭圆的左焦点是椭圆上的动点为定点，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
．
二、多选题
9．如图，，是双曲线：与椭圆的公共焦点，点是，在第一象限内的公共点，设方程为，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．的内切圆与轴相切于点
C．若，则的离心率为
D．若，则的方程为
10．已知椭圆：，、是椭圆的两个焦点，、是椭圆上两点，且、分别在轴两侧，则（ ）
A．若直线经过原点，则四边形为矩形
B．四边形的周长为20
C．的面积的最大值为12
D．若直线经过，则到直线的最大距离为8
11．我们通常称离心率为的椭圆为“黄金椭圆”.如图，已知椭圆，为顶点，为焦点，为椭圆上一点，满足下列条件能使椭圆为“黄金椭圆”的有（ ）
A．为等比数列
B．
C． 轴，且
D．四边形的内切圆过焦点
12．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，离心率为，椭圆的上顶点为M，且，双曲线和椭圆有相同的焦点，且双曲线的离心率为，为曲线与的一个公共点．若，则（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
13．已知椭圆的离心率，则实数m的取值范围是_____．
14．已知椭圆，直线交C于A，B两点，若（是椭圆的两个焦点），则的最小值为_____________．
15．已知椭圆（）的左，右焦点分别为，，若椭圆C上的动点P到焦点的最大距离为3，最小距离为1，则椭圆C的离心率为_______.
16．已知点F1，F2分别是椭圆的左右焦点，点M在椭圆C上，且满足，则的面积为___________.
四、解答题
17．在平面直角坐标系xOy中，已知点，，动点M满足，记点M的轨迹为曲线C．
(1)求C的方程；
(2)圆的切线与C相交于A，B两点，P为切点，求的值．
18．已知，当m为何值时，
(1)方程表示椭圆；
(2)方程表示焦点在x轴上的椭圆；
(3)方程表示焦点在y轴上的椭圆．
19．椭圆的右焦点为F、右顶点为A，上顶点为B，且满足．
(1)求椭圆的离心率；
(2)直线l与椭圆有唯一公共点M，与y轴相交于N（N异于M）．记O为坐标原点，若，且的面积为，求椭圆的标准方程．中小学教育资源及组卷应用平台
第八章 直线和圆、圆锥曲线
专题5.1：椭圆的定义、标准方程及其性质
1.了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.
2.经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，掌握椭圆的定义、标准方程及简单几何性质．
1．椭圆的定义
(1)定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹．
(2)焦点：两个定点F1，F2.
(3)焦距：两焦点间的距离|F1F2|；半焦距：焦距的一半．
2．椭圆的标准方程和几何性质
标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0)
性质 范围 －a≤x≤a －b≤y≤b －b≤x≤b －a≤y≤a
对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点 A1(－a,0)，A2(a,0)， B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)， B1(－b,0)，B2(b,0)
轴 长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b
焦距 |F1F2|＝2c
离心率 e＝∈(0,1)
a，b，c的关系 c2＝a2－b2
1．点P(x0，y0)和椭圆的位置关系
(1)点P(x0，y0)在椭圆内 ＋＜1.
(2)点P(x0，y0)在椭圆上 ＋＝1.
(3)点P(x0，y0)在椭圆外 ＋＞1.
2．焦点三角形
如图，椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形．设r1＝|PF1|，r2＝|PF2|，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆＋＝1(a＞b＞0)中：
(1)当r1＝r2，即点P的位置为短轴端点时，θ最大；
(2)S＝b2tan ＝c|y0|，当|y0|＝b，即点P的位置为短轴端点时，S取最大值，最大值为bc.
(3)a－c≤|PF1|≤a＋c.
(4)|PF1|＝a＋ex0，|PF2|＝a－ex0.
(5)当PF2⊥x轴时，点P的坐标为.
(6)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos θ.
3．椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中斜边长是a，a2＝b2＋c2.
4．已知过焦点F1的弦AB，则△ABF2的周长为4a.
5．椭圆中点弦的斜率公式
若M(x0，y0)是椭圆＋＝1(a＞b＞0)的弦AB(AB不平行y轴)的中点，则有kAB·kOM＝－，即kAB＝－.
6．弦长公式：直线与圆锥曲线相交所得的弦长
|AB|＝|x1－x2|
＝
＝|y1－y2|＝(k为直线的斜率)．
考点一　椭圆的定义及应用
1．（2022·江苏南京·高三开学考试）双曲线的左 右焦点分别为为左支上一动点，直线与的右支交于点，且与的周长相等，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意可求出，又与的周长相等，即，结合题意代入即可求出，即可求出的值.
【详解】记的焦距为，则，
又与的周长相等，即，
又，且，即，
所以.
故选：B.
2．（2022·全国·高二课时练习）（多选）已知在平面直角坐标系中，点，，点P为一动点，且，则下列说法中正确的是（ ）
A．当时，点P的轨迹不存在
B．当时，点P的轨迹是椭圆，且焦距为3
C．当时，点P的轨迹是椭圆，且焦距为6
D．当时，点P的轨迹是以AB为直径的圆
【答案】AC
【分析】根据两点间的距离与到两点间距离和满足的条件，结合椭圆的定义逐个选项分析即可.
【详解】对A，，故点P的轨迹不存在，A正确；
对BC，，故点P的轨迹是椭圆，且焦距为，故B错误，C正确；
对D，，故点P的轨迹为线段AB，D错误.
故选：AC
3．（2022·全国·高二专题练习）已知是两个定点且的周长等于则顶点的轨迹方程为______．
【答案】或
【分析】根据椭圆的定义，结合焦点在轴或轴上两种情况求解即可
【详解】，且△ABC的周长等于16，
，故顶点的轨迹是以为焦点的椭圆，除去与轴的交点，
，，
，故顶点的轨迹方程为或
故答案为：或
4．（2022·上海市虹口高级中学高二期末）已知椭圆的焦点分别、，点A为椭圆C的上顶点，直线，与椭圆C的另一个交点为B．若，则椭圆C的方程为______.
【答案】
【分析】利用定义和已知先求，再由相似三角形可得点B坐标，代入椭圆方程可解.
【详解】如图，过点B作x轴的垂线，垂足为M，
由定义知，，因为，所以
因为，，
所以，所以
将代入得，解得
所以
所以椭圆方程为.
故答案为：
椭圆定义的应用类型及方法
(1)探求轨迹：确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆．
(2)应用定义转化：涉及焦半径的问题，常利用|PF1|＋|PF2|＝2a实现等量转换．
(3)焦点三角形问题：常把正、余弦定理同椭圆定义相结合，求焦点、三角形的面积等问题．
考点二　椭圆的标准方程
1．（2022·全国·高二课时练习）已知，是椭圆C的两个焦点，过且垂直于x轴的直线交椭圆C于A，B两点，，则椭圆C的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】方法一：构造并利用，从而求出，得出椭圆C的标准方程；方法二：若椭圆的标准方程为，则过焦点且垂直于x轴的直线与椭圆相交所得的线段为椭圆的通径，其长为，并利用，求出，从而得出椭圆C的标准方程.
【详解】方法一：由题意，设椭圆C的标准方程连接，如图所示．
由题意，得，．在中，①．
又②．由①②，得a＝2，所以，所以椭圆C的标准方程为．
方法二：由题意，设椭圆C的标准方程为，则，即，又，所以a＝2或（舍去），所以，，
故椭圆C的标准方程为．
故选：C.
2．（2022·全国·高二课时练习）已知椭圆的两个焦点的坐标分别是和，且椭圆经过点，则该椭圆的标准方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据椭圆的焦点可求，根据经过点，可得，进而可求解，即可得椭圆方程.
【详解】因为焦点坐标为和，所以.椭圆经过点，且焦点在x轴上，所以，所以，则椭圆的标准方程为.
故选:A.
3．（2022·全国·高二课时练习）求满足下列条件的椭圆的标准方程：
(1)焦点在y轴上，焦距是4，且经过点；
(2)经过两点和；
(3)过点且与椭圆有相同焦点.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据焦点坐标以及椭圆定义即可求解，进而可求椭圆方程，
（2）根据椭圆一般方程代入两点坐标即可求解，
（3）根据同焦点的椭圆方程，代入点的坐标，即可求解.
（1）由题意知，且焦点坐标分别为，.由，得，可得，所以.又焦点在y轴上，所以所求椭圆的标准方程为.
（2）设椭圆的方程为（，，）.将A，B两点的坐标代入方程，得，解得，故所求椭圆的标准方程为.
（3）依题意，知椭圆的焦点坐标为.设所求方程为，将点代入得，所以，则所求椭圆的标准方程为.
1.利用定义法求椭圆方程，要注意条件2a>|F1F2|；利用待定系数法要先定形(焦点位置)，再定量，也可把椭圆方程设为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)的形式．
2．椭圆的标准方程的两个应用
(1)方程＋＝1与＋＝λ(λ>0)有相同的离心率．
(2)与椭圆＋＝1(a>b>0)共焦点的椭圆系方程为＋＝1(a>b>0，k＋b2>0)，恰当运用椭圆系方程，可使运算简便．
考点三　椭圆的简单几何性质
椭圆的长轴、短轴、焦距
1.（2022·陕西渭南·高一期末）中国的嫦娥四号探测器，简称“四号星”，是世界上首个在月球背面软着陆和巡视探测的航天器.如图所示，现假设“四号星”沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道I绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行.若用和分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用和分别表示椭圆轨道I和Ⅱ的长轴长，则下列式子正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由椭圆的性质判断A；由结合不等式的性质判断BCD.
【详解】，，即，因为，所以，即，故A错误；
∵，∴，，
，，∴，故B错误；
由B可知，，，则，故C错误；
由B可知，，则，故D正确；
故选：D
离心率问题
1．（2021·四川省内江市第六中学高二开学考试）已知为坐标原点，是椭圆的左焦点，分别为椭圆的左 右顶点，为椭圆上一点，且轴.过点的直线与线段交于点，与轴交于点.若直线经过的中点，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意画图，利用相似于，和相似于列方程求解即可.
【详解】如图，由题意得 ，
设，因为轴，所以，所以 ，得①，
又由，中点为，得，得②，
由①②得，则.
故选：A.
2．（2022·甘肃定西·高二开学考试（理））如果椭圆的离心率为，则（ ）
A． B．或 C． D．或
【答案】D
【分析】分焦点在x轴和在y轴两种情况，分别得到a,b的表达式，进而求得c的表达式，然后根据离心率得到关于k的方程，求解即可．
【详解】解：因为椭圆的离心率为，
当时，椭圆焦点在轴上，可得：，解得，
当时，椭圆焦点在轴上，可得：，解得．
或.
故选：D．
3．（2022·全国·高二课时练习）图1是明朝的一个葡萄纹椭圆盘，图2是清朝的一个青花山水楼阁纹饰椭圆盘，图3是北宋的一个汝窑椭圆盘．已知图1，2，3中椭圆的短轴长与长轴长的比值分别为，，，设图1，2，3中椭圆的离心率分别为，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】直接利用即可计算出离心率在比较大小即可.
【详解】由椭圆的短轴长与长轴长的比值为，离心率为，得，，，所以．
故选：A
4．（2022·全国·高二课时练习）已知，分别是椭圆的左、右焦点，椭圆上不存在点使，则椭圆的离心率的取值范围是______．
【答案】
【分析】椭圆上不存在点使，即恒成立，利用特征三角形列不等式，可得离心率的取值范围．
【详解】椭圆上不存在点使，即恒成立．当在短轴端点时，最大，故，即（O为坐标原点），又，所以．
故答案为：
5．（2022·全国·高二课时练习）设椭圆与双曲线的离心率分别为，，双曲线的渐近线的斜率小于，则的取值范围为______，的取值范围为______．
【答案】
【分析】由双曲线的渐近线的斜率小于，即可得出,由此即可求出、的取值范围.
【详解】设椭圆和双曲线的焦距分別为，，由题意，得双曲线的渐近线方程为，所以，则，
所以，．
故答案为：；
与椭圆有关的最值(范围)问题
1．（2023·全国·高三专题练习）已知点是椭圆+=1上的动点（点不在坐标轴上），为椭圆的左，右焦点，为坐标原点；若是的角平分线上的一点，且丄，则丨丨的取值范围为（ ）
A．（0，） B．（0，2）
C．（l，2） D．（，2）
【答案】A
【分析】延长、相交于点，连接，利用椭圆的定义分析得出，设点，求出的取值范围，利用椭圆的方程计算得出，由此可得出结果.
【详解】如下图，延长、相交于点，连接，
因为，
因为为的角平分线，所以，，则点为的中点，
因为为的中点，所以，，
设点，由已知可得，，，
则且，且有，
，
故，
所以，.
故选：A.
2．（2022·江苏·南京市第一中学高三开学考试）已知椭圆C：（）的离心率为，过点P（1，1）的直线与椭圆C交于A，B两点，且满足.动点Q满足，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．动点Q的轨迹方程为
C．线段OQ（O为坐标原点）长度的最小值为
D．线段OQ（O为坐标原点）长度的最小值为
【答案】ABD
【分析】对于A：利用离心率直接求出；对于B：设进行向量坐标化，整理化简得到，即可判断出动点的轨迹方程为直线，故正确；
对于C、D：求出线段长度的最小值即为原点到直线的距离，利用点到直线的距离公式即可求解.
【详解】对于A：由椭圆的离心率为，得，所以，故正确；
对于B：设
，由，得两式相乘得，同理可得，
由题意知且，否则与矛盾，
动点的轨迹方程为，即直线，故正确；
对于C、D：所以线段长度的最小值即为原点到直线的距离，
min，
故C错误，D正确.
故选：ABD.
3．（2022·广东·中山纪念中学高二阶段练习）设椭圆：的左、右焦点分别为、，是上的一个动点，则下列结论正确的是（ ）
A．离心率
B．面积的最大值为
C．的最大值为1
D．以线段为直径的圆与直线相切
【答案】ACD
【分析】根据椭圆的方程可直接求得离心率，即可判断A项，由椭圆方程求得焦点坐标，根据椭圆的性质，当点位于椭圆的上顶点或下顶点时，面积最大，即可判断B项，设，利用平面向量数量积的坐标表示即可判断C项，利用圆心到直线的距离即可判断D项.
【详解】解：因为椭圆的方程为，故，所以离心率，故A项正确；
由题可知，，当点位于椭圆的上顶点或下顶点时，面积最大，最大值为，故B项错误；
设，则，，
则，
所以，
又，故，所以的最大值为1，故C项正确；
因为，所以以线段为直径的圆的方程为，圆心为，半径为，
又直线方程为，故圆心到直线的距离为，
所以以线段为直径的圆与直线相切，故D项正确.
故选：ACD.
4．（2022·全国·高二专题练习）已知椭圆：，为椭圆上的一个动点，以为圆心，为半径作圆，为圆的两条切线，为切点，则的取值范围是_________．
【答案】
【分析】设，可得，根据可求出.
【详解】由椭圆方程可得，则，如图，
设锐角，在中，，
因为，即，故，
所以.
故答案为：.
5．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，，若椭圆上存在点（异于长轴的端点），使得，则该椭圆离心率的取值范围是______．
【答案】
【分析】根据已知条件等式，结合正弦定理，得出的关系，利用椭圆定义和的范围，即可求出的取值范围.
【详解】由已知，得，由正弦定理，得，
所以．
由椭圆的几何性质，知，
所以且，
所以且，
即且，
结合，可解得．
故答案为：.
1．求椭圆离心率或其范围的方法
解题的关键是借助图形建立关于a，b，c的关系式(等式或不等式)，转化为e的关系式，常用方法如下：
(1)直接求出a，c，利用离心率公式e＝求解．
(2)由a与b的关系求离心率，利用变形公式e＝求解．
(3)构造a，c的齐次式．离心率e的求解中可以不求出a，c的具体值，而是得出a与c的关系，从而求得e.
2．利用椭圆几何性质求值或范围的思路
(1)将所求问题用椭圆上点的坐标表示，利用坐标范围构造函数或不等关系．
(2)将所求范围用a，b，c表示，利用a，b，c自身的范围、关系求解．
1．（2022·全国·高考真题（理））椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线的斜率之积为，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设，则，根据斜率公式结合题意可得，再根据，将用表示，整理，再结合离心率公式即可得解.
【详解】解：，
设，则，
则，
故，
又，则，
所以，即，
所以椭圆的离心率.
故选：A.
2．（2022·全国·高考真题（文））已知椭圆的离心率为，分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若，则C的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据离心率及，解得关于的等量关系式，即可得解.
【详解】解：因为离心率，解得，，
分别为C的左右顶点，则，
B为上顶点，所以.
所以，因为
所以，将代入，解得，
故椭圆的方程为.
故选：B.
3．（2022·全国·高考真题）已知椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与C交于D，E两点，，则的周长是________________．
【答案】13
【分析】利用离心率得到椭圆的方程为，根据离心率得到直线的斜率，进而利用直线的垂直关系得到直线的斜率，写出直线的方程：，代入椭圆方程，整理化简得到：，利用弦长公式求得，得，根据对称性将的周长转化为的周长，利用椭圆的定义得到周长为.
【详解】∵椭圆的离心率为，∴，∴，∴椭圆的方程为，不妨设左焦点为，右焦点为，如图所示，∵，∴，∴为正三角形，∵过且垂直于的直线与C交于D，E两点，为线段的垂直平分线，∴直线的斜率为，斜率倒数为， 直线的方程：，代入椭圆方程，整理化简得到：，
判别式，
∴，
∴ ， 得，
∵为线段的垂直平分线，根据对称性，，∴的周长等于的周长，利用椭圆的定义得到周长为.
故答案为：13.
4．（2022·北京·高考真题）已知椭圆：的一个顶点为，焦距为．
(1)求椭圆E的方程；
(2)过点作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与x轴交于点M，N，当时，求k的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）依题意可得，即可求出，从而求出椭圆方程；
（2）首先表示出直线方程，设、，联立直线与椭圆方程，消元列出韦达定理，由直线、的方程，表示出、，根据得到方程，解得即可；
（1）解：依题意可得，，又，所以，所以椭圆方程为；
（2）解：依题意过点的直线为，设、，不妨令，由，消去整理得，所以，解得，所以，，直线的方程为，令，解得，直线的方程为，令，解得，所以，所以，即即即整理得，解得
一、单选题
1．若椭圆的焦距、短轴长、长轴长构成一个等比数列，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设出椭圆的焦距、短轴长、长轴长分别为，，，通过椭圆的，，是等比数列建立关于，，的等式，求出椭圆的离心率即可．
【详解】解：设出椭圆的焦距、短轴长、长轴长分别为，，，
椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等比数列，
，，成等比数列，
，
，
两边同除以得：，且0 < e < 1，
解得，
故选：
2．若为椭圆上的一点，，分别是椭圆的左、右焦点，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】易知当点为椭圆与轴的交点时取最大值，再根据椭圆方程求出、，最后根据勾股定理逆定理计算可得.
【详解】解：易知当点为椭圆与轴的交点时，最大，
因为椭圆方程为，所以、，
此时，，
所以，
所以为等腰直角三角形，所以．
故选：D
3．已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，点M在椭圆C上，若，则该椭圆的离心率不可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设，则，代入中，可得，再利用，即可求出离心率的取值范围，从而可判断出离心率不可能的值
【详解】设．因为点M在椭圆C上，所以，所以．
因为，所以，解得．
由题意可知，
即．
由，可得，即，显然成立．
由，可得，则．
又，所以，
因为，，，，
故选：A．
4．关于椭圆有下面四个命题：①长轴长为4；②短轴长为3；③离心率为；④椭圆上的点到焦点的距离的最大值为3．若只有一个假命题，则该命题是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】B
【分析】分情况判断当两个命题为真时，其他命题的情况.
【详解】当命题①②为真命题时，，，则，离心率为，椭圆上的点到焦点的距离最大值为，不成立；
当命题①③为真命题时，，，故，，短轴长为，椭圆上的点到焦点的距离最大值为，成立，故①③④为真命题，②为假命题；
当命题①④为真命题时，，所以，离心率，短轴长为，故①③④为真命题，②为假命题；
当命题②③为真命题时，，，故，，椭圆的长轴长为，椭圆上的点到焦点的距离最大值为；
当命题②④为真命题时，，，不存在；
故选:B.
5．用周长为36的矩形ABCD截某圆锥得到椭圆，且椭圆与矩形ABCD的四边相切，则椭圆的标准方程可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据题意可知矩形ABCD是椭圆的外切矩形，故可得，结合选项即可求解.
【详解】矩形ABCD的四边与椭圆相切，则矩形的周长为，则.
对于A:，不符合，
对于B:，不符合，
对于C:，符合，
对于D:，不符合，
故选：C.
6．椭圆的焦点为，，与轴的一个交点为，若，则（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】C
【分析】由椭圆的定义结合已知得，进而求出m即可.
【详解】
在椭圆中，，，.易知.
又，所以为等边三角形，即，所以，即.
故选：C.
7．已知椭圆=1内有一点P（1，-1），F为椭圆的右焦点，在椭圆上有一点M，使|MP|+2|MF|取得最小值，则点M坐标为（ ）
A． B．，
C． D．，
【答案】A
【分析】利用椭圆的第二定义进行求解.
【详解】因为椭圆方程为=1，所以椭圆得离心率，
设点M到椭圆右准线的距离为d，根据椭圆第二定义有：
，所以，所以
表示椭圆上一点M到椭圆内定点P和到椭圆右准线的距离之和，
当垂直于右准线时，取得最小值.此时的纵坐标为-1，代入椭圆方程=1，求得的横坐标为.
所以点M坐标为，故B，C，D错误.
故选：A.
8．是椭圆的左焦点是椭圆上的动点为定点，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用椭圆的几何性质，将求两线段之和的最小值转变为两线段之差的绝对值的最大值即可.
【详解】椭圆的，如图，
设椭圆的右焦点为 ，
则 ；
；
由图形知，当在直线 上时， ，
当不在直线 上时，
根据三角形的两边之差小于第三边有， ，
当在 的延长线上时， 取得最小值
的最小值为．
故选：C．
二、多选题
9．如图，，是双曲线：与椭圆的公共焦点，点是，在第一象限内的公共点，设方程为，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．的内切圆与轴相切于点
C．若，则的离心率为
D．若，则的方程为
【答案】BCD
【分析】对于A，根据题意可得，从而可进行判断，对于B，根据双曲线的性质和内切圆的性质分析计算，对于C，由已知结合双曲线的定义可求出，再利用椭圆的定义可求出，从而可求出离心率，对于D，利用勾股定理和双曲线的性质列方程可求出，从而可求出，进而可求出椭圆方程.
【详解】由双曲线的方程，可知，所以，故A不正确；
由双曲线的定义，可知，设切点为，由内切圆的性质，可得，又，所以，故的内切圆与轴相切于点，（双曲线的焦点三角形的内切圆与轴相切于点）．故B正确；
因为，，所以，所以，即，所以的离心率为，故C正确．
因为，所以，又，所以，即，
所以，所以，
所以，又，所以，椭圆的方程为．故D正确．
故选：BCD
10．已知椭圆：，、是椭圆的两个焦点，、是椭圆上两点，且、分别在轴两侧，则（ ）
A．若直线经过原点，则四边形为矩形
B．四边形的周长为20
C．的面积的最大值为12
D．若直线经过，则到直线的最大距离为8
【答案】BC
【分析】根据题意，结合椭圆的对称性，焦点三角形的性质依次讨论各选项即可得答案.
【详解】解：选项A：若直线经过原点，易知四边形为平行四边形，因为不一定与相等，所以不一定是矩形，故不正确；
选项B：四边形的周长为，故正确；
选项C：的面积的最大值为，故正确；
选项D：若直线MN经过，则到直线的最大距离为，故不正确．
故选：BC．
11．我们通常称离心率为的椭圆为“黄金椭圆”.如图，已知椭圆，为顶点，为焦点，为椭圆上一点，满足下列条件能使椭圆为“黄金椭圆”的有（ ）
A．为等比数列
B．
C． 轴，且
D．四边形的内切圆过焦点
【答案】BD
【分析】若为等比数列，可得，则求出离心率可判断A；由勾股定理以及离心率公式可判断B；根据结合斜率公式可判断C；由四边形的内切圆的半径为可得，求出离心率可判断D.
【详解】解：，
，，
对于A：为等比数列，
则 ，
，不满足条件，故错误；
对于B：,
,
即解得或（舍去）满足条件.
故B正确；
对于C： 轴，且，
即解得，
不满足题意，故C错误；
对于D：四边形的内切圆过焦点，
即四边形的内切圆的半径为，
解得（舍去）或
，故D正确.
故选：BD
12．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，离心率为，椭圆的上顶点为M，且，双曲线和椭圆有相同的焦点，且双曲线的离心率为，为曲线与的一个公共点．若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【分析】先由条件得出为等腰直角三角形，即可得出椭圆长半轴长，短半轴，长半焦距的关系，从而得出椭圆的离心率；然后在焦点三角形中，利用余弦定理得出双曲线实半轴长为，半焦距为的关系，从而得出双曲线的离心率，依次对选项验证即可。
【详解】因为，且，所以为等腰直角三角形．
设椭圆的半焦距为，则，所以，则．
在中，，设，，双曲线的实半轴长为，则（在中，由余弦定理可得），
故，故，
又，所以，即，
故，，，，选BD．
故选：BD
三、填空题
13．已知椭圆的离心率，则实数m的取值范围是_____．
【答案】
【分析】由可知.分别讨论椭圆的焦点在轴与轴上，分别将、带入不等式，即可求出m的取值范围.
【详解】椭圆的标准方程为．
因为，，所以．
当椭圆的焦点在x轴上时，，，则；
当椭圆的焦点在y轴上时，，，则．
所以实数m的取值范围是．
故答案为：.
14．已知椭圆，直线交C于A，B两点，若（是椭圆的两个焦点），则的最小值为_____________．
【答案】
【分析】根据条件可得是直角三角形，从而有三边的关系，进一步可以将表示为关于的函数，再根据二次函数求最值即可.
【详解】由直线交C于A，B两点，可知，从而可知，
又，根据对称性，可知，
从而可知是等边三角形，，可知是直角三角形.
因此，，.
根据椭圆的定义可知，
所以有，可得，
又，
所以
当时，其有最小值，
其最小值为.
故答案为：
15．已知椭圆（）的左，右焦点分别为，，若椭圆C上的动点P到焦点的最大距离为3，最小距离为1，则椭圆C的离心率为_______.
【答案】
【分析】由最大距离和最小距离解出，再求离心率即可.
【详解】由题意知，解得，则椭圆C的离心率为.
故答案为：.
16．已知点F1，F2分别是椭圆的左右焦点，点M在椭圆C上，且满足，则的面积为___________.
【答案】1
【分析】设，则可得，再由可得，而点在椭圆上，则有，求出，从而可求出的面积
【详解】由题意可得，则，
设，则，
因为，
所以，所以，
因为点在椭圆上，
所以，
解得，
所以的面积为，
故答案为：1
四、解答题
17．在平面直角坐标系xOy中，已知点，，动点M满足，记点M的轨迹为曲线C．
(1)求C的方程；
(2)圆的切线与C相交于A，B两点，P为切点，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）结合椭圆的定义求得，由此求得的方程.
（2）当直线斜率不存在时，求得，从而求得；当直线斜率存在时，设出直线的方程，根据直线和圆的位置关系列方程，联立直线的方程和椭圆的方程，化简写出根与系数关系，求得，由此判断出，结合相似三角形求得.
（1）为，所以点的轨迹曲线是以，为焦点的椭圆．
设其方程为，
则，，解得，，
所以曲线的方程为．
（2）当直线AB的斜率不存在时，，此时，则．
当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为，
由直线AB与圆相切可得，化简得．
联立得，．
设，，
则，，
所以
，
所以，所以为直角三角形．
由，可得，
所以，所以．
综上，．
18．已知，当m为何值时，
(1)方程表示椭圆；
(2)方程表示焦点在x轴上的椭圆；
(3)方程表示焦点在y轴上的椭圆．
【答案】(1)3(2)7(3)3【分析】（1）（2）（3）根据椭圆标准方程的定义，列出不等式即可.
（1）若方程表示椭圆，则，解得3（2）方程表示焦点在x轴上的椭圆，则m－3>11－m>0，解得7（3）方程表示焦点在y轴上的椭圆，则11－m>m－3>0，解得319．椭圆的右焦点为F、右顶点为A，上顶点为B，且满足．
(1)求椭圆的离心率；
(2)直线l与椭圆有唯一公共点M，与y轴相交于N（N异于M）．记O为坐标原点，若，且的面积为，求椭圆的标准方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据已知条件可得出关于、的等量关系，由此可求得该椭圆的离心率的值；
（2）由（1）可知椭圆的方程为，设直线的方程为，将直线的方程与椭圆方程联立，由可得出，求出点的坐标，利用三角形的面积公式以及已知条件可求得的值，即可得出椭圆的方程.
（1）解：，离心率为.
（2）解：由（1）可知椭圆的方程为，易知直线的斜率存在，设直线的方程为，联立得，由，①，，由可得，②由可得，③联立①②③可得，，，故椭圆的标准方程为．

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