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第八章 直线和圆、圆锥曲线
专题6：双曲线
1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，以及它们的简单几何性质.
2.通过圆锥曲线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想．
1．双曲线的定义
(1)定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹．
(2)符号表示：||MF1|－|MF2||＝2a(常数)(0<2a<|F1F2|)．
(3)焦点：两个定点F1，F2.
(4)焦距：两焦点间的距离，表示为|F1F2|.
提醒：(1)当2a＝|F1F2|时，P点的轨迹是两条射线；
(2)当2a＞|F1F2|时，P点不存在．
2．双曲线的标准方程和几何性质
标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0)
图形
性质 范围 x≥a或x≤－a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R
对称性 对称轴：坐标轴，对称中心：原点
顶点 A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线 y＝±x y＝±x
离心率 e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝
实虚轴 实轴|A1A2|＝2a；虚轴|B1B2|＝2b；实半轴长a，虚半轴长b
a，b，c的关系 c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)
1．双曲线－＝1(a＞0，b＞0)中的几个常用结论
(1)双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.
(2)若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a.
(3)同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为，异支的弦中最短的为实轴，其长为2a.
(4)设P，A，B是双曲线上的三个不同的点，其中A，B关于原点对称，直线PA，PB斜率存在且不为0，则直线PA与PB的斜率之积为.
(5)P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则＝b2·，其中θ为∠F1PF2.
2．巧设双曲线方程
(1)与双曲线－＝1(a＞0，b＞0)有共同渐近线的方程可表示为－＝t(t≠0)．
(2)过已知两个点的双曲线方程可设为mx2＋ny2＝1(mn＜0)．
考点一　双曲线的定义及其应用
1.（2023.全国练习）虚轴长为2，离心率e＝3的双曲线的两焦点为F1，F2，过F1作直线交双曲线的一支于A，B两点，且|AB|＝8，则△ABF2的周长为(　　)
A．3 B．16＋
C．12＋ D．24
【答案】B
【解析】由于2b＝2，e＝＝3，∴b＝1，c＝3a，∴9a2＝a2＋1，∴a＝.
由双曲线的定义知，|AF2|－|AF1|＝2a＝，①|BF2|－|BF1|＝，②
①＋②得|AF2|＋|BF2|－(|AF1|＋|BF1|)＝，
又|AF1|＋|BF1|＝|AB|＝8，
∴|AF2|＋|BF2|＝8＋，
则△ABF2的周长为16＋，故选B．
2．（2022·河南·商丘市第一高级中学高二期末（文））已知，是双曲线C：的左、右焦点，M，N是C上关于原点对称的两点，且，则四边形的面积是______．
【答案】72
【分析】判断四边形为矩形，设，，可得，结合双曲线定义可得，化简得，即可求得四边形的面积.
【详解】由可知 ，
因为M，N是C上关于原点对称的两点，且，所以四边形为矩形，
设，，由双曲线的定义可得，
所以，又因为，
所以，所以，
所以四边形的面积,
故答案为：72
3．（2022·河南许昌·高二期末（理））已知双曲线的左右焦点分别为，，其一条渐近线倾斜角为，若点P在双曲线上，且，则______．
【答案】13
【分析】根据渐近线的倾斜角可得，再根据双曲线的定义求解即可
【详解】由题意，，故，双曲线，，因为小于到右顶点的距离，故在双曲线的左支上，由双曲线的定义可得，解得
故答案为：13
双曲线定义的应用
(1)判定满足某条件的平面内动点的轨迹是不是双曲线，进而根据要求可求出曲线方程．
(2)在“焦点三角形”中，当∠F1PF2＝90°时，，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立|PF1|与|PF2|的关系．
提醒：在应用双曲线定义时，要注意定义中的条件，搞清所求轨迹是双曲线，还是双曲线的一支，若是双曲线的一支，则需确定是哪一支．
考点二　双曲线的标准方程
1．（2022·湖南·麻阳苗族自治县第一中学高三开学考试）、是双曲线的两个焦点，抛物线的准线过双曲线的焦点，准线与渐近线交于点，，则双曲线的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由已知可得出的值，求出点的坐标，分析可得，由此可得出关于、、的方程组，解出、的值，即可得出双曲线的标准方程.
【详解】抛物线的准线方程为，
则，则、，
不妨设点为第二象限内的点，联立，
可得，即点，
因为且，则为等腰直角三角形，
且，即，可得，又由,,
解得，因此，双曲线的标准方程为.
故选：C.
2．（2017·全国·高考真题（理））已知双曲线满足，且与椭圆有公共焦点，则双曲线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据题意，结合椭圆与双曲线的几何性质，列出方程，求得的值，即可求解.
【详解】由椭圆的标准方程为，可得，即，
因为双曲线的焦点与椭圆的焦点相同，所以双曲线中，半焦距，
又因为双曲线满足，即，
又由，即，解得，可得，
所以双曲线的方程为.
故选：A．
3．（2022·全国·高二专题练习）已知双曲线的一条渐近线方程为，且经过点，则该双曲线的标准方程为________．
【答案】
【分析】利用待定系数法求出双曲线的标准方程.
【详解】根据题意知，，所以点在渐近线方程的右下方，
所以该双曲线的焦点在轴上，设标准方程为，且；
又，所以；
又1，即1，
解得，，
所以双曲线的标准方程是．
故答案为：
求双曲线的标准方程的方法
(1)定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，由双曲线定义，确定2a,2b或2c，，从而求出a2，b2，写出双曲线方程．
(2)待定系数法：先确定焦点在x轴还是y轴，设出标准方程，再由条件确定a2，b2的值，即“先定型，再定量”，如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为－＝λ(λ≠0)，再根据条件求λ的值．
考点三　双曲线的简单几何性质
双曲线的渐近线
(2021·新高考Ⅱ卷)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率e＝2，则该双曲线的渐近线方程为________．
【答案】y＝±x　
【解析】∵双曲线的方程是－＝1(a>0，b>0)，
∴双曲线渐近线为y＝±x，
∵离心率为e＝＝2，可得c＝2a, ∴c2＝4a2，
即a2＋b2＝4a2，可得b＝a，由此可得双曲线渐近线为y＝±x.
2．（2022·河南省叶县高级中学高三阶段练习（文））若双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据双曲线的离心率可得之间的关系，从而可得到渐近线方程.
【详解】双曲线的离心率为，
即 ，所以 ，
则 ，故C的渐近线方程为.
故选：D.
3．（2021·青海·大通回族土族自治县教学研究室高三开学考试（文））已知双曲线的右焦点为，右顶点为，以坐标原点为圆心，过点的圆与双曲线的一条渐近线交于位于第一象限的点，若直线的斜率为，则双曲线的渐近线方程为________．
【答案】
【分析】先由题意得到圆的方程，再与双曲线的渐近线联立得到的坐标，利用的坐标求出直线的斜率，得到，继而求出双曲线的渐近线方程
【详解】解：由题意得圆的方程为，双曲线经过第一象限的渐近线方程为，
联立方程，解得点的坐标为，有，
又由直线的斜率为，可得，有，
故双曲线的渐近线方程为．
故答案为：
双曲线的离心率
(2021·全国甲卷)已知F1，F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F1PF2＝60°，|PF1|＝3|PF2|，则C的离心率为(　　)
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】设|PF2|＝m，|PF1|＝3m，则|F1F2|＝＝m，所以C的离心率e＝＝＝＝＝.
2.（2023.全国练习）若斜率为的直线与双曲线－＝1恒有两个公共点，则双曲线离心率的取值范围是(　　)
A．(1,2) B．(2，＋∞)
C．(1，) D．(，＋∞)
【答案】D
【解析】因为斜率为的直线与双曲线－＝1恒有两个公共点，所以＞，则e＝＝＞＝，所以双曲线离心率的取值范围是(，＋∞)，故选D．
双曲线几何性质的综合应用
1．（2022·全国·高三专题练习）长为11的线段AB的两端点都在双曲线的右支上，则AB中点M的横坐标的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】用A、B两点的坐标表示出和，(F为双曲线右焦点）解出A、B两点的坐标，利用，求得m的最小值.
【详解】
由双曲线可知，a＝3，b＝4，c＝5，设AB中点M的横坐标为m，，
则，，
，当且仅当F、A、B共线且不垂直轴时，m取得最小值，此时．
检验: 如图，当F、A、B共线且轴时，为双曲线的通径，则根据通径公式得,所以轴不满足题意.
综上，当F、A、B共线且不垂直轴时，m取得最小值，此时．
故选：B．
2．（2023·全国·高三专题练习）已知分别为双曲线的左 右焦点，为双曲线右支上任一点，则最小值为（ ）
A．19 B．23 C．25 D．85
【答案】B
【分析】设且，应用两点距离公式及P在双曲线上，结合基本不等式求的范围，注意等号成立条件，进而可求目标式的最小值.
【详解】令且，则，而，
所以，令，
则，当且仅当，即时等号成立，
所以，即最小值为23.
故选：B
3．（2022·广东·深圳外国语学校高三阶段练习）已知双曲线（，）的左右焦点分别为，，O为坐标原点，点P为双曲线C中第一象限上的一点，的平分线与x轴交于Q，若，则双曲线的离心率范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据角平分线的性质得出，，利用三角形的三边关系以及双曲线的性质即可求解.
【详解】设双曲线的半焦距为， 离心率为，
由，则，，
因为是的平分线，
所以,
又因为，
所以，
所以，解得，即，
所以双曲线的离心率取值范围为.
故选：B
4．（2022·全国·高二专题练习）已知双曲线，，分别为双曲线的左右焦点，为双曲线上一点，且位于第一象限，若为锐角三角形，则的取值范围为______．
【答案】
【分析】将锐角转化数量积大于零，解出的范围即可 .
【详解】由双曲线，得，，
位于第一象限，恒为锐角，
又为锐角三角形，均为锐角．
由∠为锐角，得，．
，，
由∠为锐角，得，
，
即，
又，．
即，又，．
综上所述，．
故答案为：.
5．（2022·四川达州·高二期末（文））双曲线（，）的左焦点为，两点在双曲线的右支上，且关于轴对称，为正三角形，坐标原点为的重心，则该双曲线的离心率是___________.
【答案】
【分析】利用已知条件求出的坐标，代入双曲线方程，转化求解离心率即可.
【详解】由为正三角形，坐标原点为的重心，
，，故,
代入双曲线方程可得：，即
可得，即
故答案为：
1.求双曲线渐近线方程的方法
求双曲线－＝1(a>0，b>0)或－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程的方法是令右边的常数等于0，即令－＝0，得y＝±x；或令－＝0，得y＝±x.
2．求双曲线的离心率或其范围的方法
(1)求a，b，c的值，由＝＝1＋直接求e.
(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝c2－a2消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解．
1．（2022·天津·高考真题）已知抛物线分别是双曲线的左、右焦点，抛物线的准线过双曲线的左焦点，与双曲线的渐近线交于点A，若，则双曲线的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由已知可得出的值，求出点的坐标，分析可得，由此可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，即可得出双曲线的标准方程.
【详解】抛物线的准线方程为，则，则、，
不妨设点为第二象限内的点，联立，可得，即点，
因为且，则为等腰直角三角形，
且，即，可得，
所以，，解得，因此，双曲线的标准方程为.
故选：C.
2．（2022·全国·高考真题（理））双曲线C的两个焦点为，以C的实轴为直径的圆记为D，过作D的切线与C交于M，N两点，且，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【分析】依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为，利用正弦定理结合三角变换、双曲线的定义得到或，即可得解，注意就在双支上还是在单支上分类讨论.
【详解】解：依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为，
若分别在左右支，
因为，且，所以在双曲线的右支，
又，，，
设，，
在中，有，
故即，
所以，
而，，，故，
代入整理得到，即，
所以双曲线的离心率
若均在左支上，
同理有，其中为钝角，故，
故即，
代入，，，整理得到：，
故，故，
故选：AC.
3．（2022·浙江·高考真题）已知双曲线的左焦点为F，过F且斜率为的直线交双曲线于点，交双曲线的渐近线于点且．若，则双曲线的离心率是_________．
【答案】
【分析】联立直线和渐近线方程，可求出点，再根据可求得点，最后根据点在双曲线上，即可解出离心率．
【详解】过且斜率为的直线，渐近线，
联立，得，由，得
而点在双曲线上，于是，解得：，所以离心率.
故答案为：．
4．（2022·全国·高考真题（文））记双曲线的离心率为e，写出满足条件“直线与C无公共点”的e的一个值______________．
【答案】2（满足皆可）
【分析】根据题干信息，只需双曲线渐近线中即可求得满足要求的e值.
【详解】解：，所以C的渐近线方程为,
结合渐近线的特点，只需，即，
可满足条件“直线与C无公共点”
所以，
又因为，所以，
故答案为：2（满足皆可）
5．（2022·北京·高考真题）已知双曲线的渐近线方程为，则__________．
【答案】
【分析】首先可得，即可得到双曲线的标准方程，从而得到、，再跟渐近线方程得到方程，解得即可；
【详解】解：对于双曲线，所以，即双曲线的标准方程为，
则，，又双曲线的渐近线方程为，
所以，即，解得；
故答案为：
6．（2022·全国·高考真题）已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为．
(1)求C的方程；
(2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点在C上，且．过P且斜率为的直线与过Q且斜率为的直线交于点M.从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立：
①M在上；②；③．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】（1）利用焦点坐标求得的值，利用渐近线方程求得的关系，进而利用的平方关系求得的值，得到双曲线的方程；
（2）先分析得到直线的斜率存在且不为零，设直线AB的斜率为k, M(x0,y0),由③|AM|=|BM|等价分析得到；由直线和的斜率得到直线方程，结合双曲线的方程，两点间距离公式得到直线PQ的斜率，由②等价转化为，由①在直线上等价于，然后选择两个作为已知条件一个作为结论，进行证明即可.
（1）右焦点为，∴,∵渐近线方程为，∴，∴，∴，∴，∴．∴C的方程为：；
（2）由已知得直线的斜率存在且不为零，直线的斜率不为零，若选由①②推③或选由②③推①：由②成立可知直线的斜率存在且不为零；若选①③推②，则为线段的中点，假若直线的斜率不存在，则由双曲线的对称性可知在轴上，即为焦点,此时由对称性可知、关于轴对称，与从而，已知不符；总之，直线的斜率存在且不为零.设直线的斜率为,直线方程为,则条件①在上，等价于；两渐近线的方程合并为,联立消去y并化简整理得：设,线段中点为,则,设,则条件③等价于,移项并利用平方差公式整理得：，,即,即；由题意知直线的斜率为, 直线的斜率为,∴由,∴,所以直线的斜率,直线,即,代入双曲线的方程,即中，得：,解得的横坐标：,同理：，∴∴,∴条件②等价于，综上所述：条件①在上，等价于；条件②等价于；条件③等价于；选①②推③:由①②解得：,∴③成立；选①③推②：由①③解得：，，∴，∴②成立；选②③推①：由②③解得：，，∴，∴，∴①成立.
一、单选题
1．设双曲线的左 右焦点分别为为坐标原点，若双曲线上存在点满足，则双曲线的离心率为（ ）
A．6 B．3 C． D．
【答案】C
【分析】判断M点位置，过点作轴的垂线，垂足为A，可得，，设，利用勾股定理表示出，可得，结合双曲线定义可得，即可求得a,c的关系，进而求得离心率.
【详解】因为,则， M在双曲线右支上，
过点作轴的垂线，垂足为A，则A为的中点，
所以，，
设，则，故在中，.
在Rt中，，则，即.
因为，则，所以，即，
所以，
故选：C.
2．已知，分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线左支上的任意一点，若的最小值为，则双曲线离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由双曲线定义，变形后由基本不等式得最小值，从而得，再利用双曲线中的范围有，由此结合可得离心率的范围．
【详解】，是左、右焦点，为双曲线左支上的任意一点，所以，代入得，当且仅当时取等号，即，又点是双曲线左支上任意一点，所以，即，.
故选：C．
3．方程表示双曲线的一个充分不必要条件是（ ）
A． B．
C．或 D．
【答案】B
【分析】求得方程表示双曲线的充要条件，从而确定正确答案.
【详解】由于方程表示双曲线，，
所以，解得，
所以在ABCD四个选项中，
方程表示双曲线的一个充分不必要条件是.
故选：B
4．已知为双曲线的左焦点，为双曲线同一支上的两点．若，点在线段上，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据已知条件得出焦点坐标，并作出图形，利用双曲线的定义及三角形的周长公式即可求解.
【详解】由题意可知，，所以，解得，
所以双曲线的左焦点，所以点是双曲线的右焦点．作出双曲线，如图所示．
由双曲线的定义，知①，②，
由①②，得，
又，
所以的周长为．
故选：C.
5．已知分别为双曲线的左 右焦点，为双曲线的右顶点.过的直线与双曲线的右支交于两点（其中点在第一象限），设分别为的内心，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由内心的性质，可知M，N的横坐标都是a，得到MN⊥x轴，设直线AB的倾斜角为θ，有，将表示为θ的三角函数，结合正切函数的性质可求得范围.
【详解】设上的切点分别为H I J，
则.
由，得，
∴，即.
设内心M的横坐标为，由轴得点J的横坐标也为，则，
得，则E为直线与x轴的交点，即J与E重合.
同理可得的内心在直线上，
设直线的领斜角为，则，
，
当时，；
当时，由题知，，
因为A，B两点在双曲线的右支上，
∴，且，所以或，
∴且，
∴，
综上所述，.
故选：B.
6．已知双曲线与椭圆共焦点，且双曲线与直线相切，则（ ）
A． B． C． D．1
【答案】D
【分析】根据椭圆与双曲线焦点的性质可，再联立直线与双曲线的方程，根据判别式为0得出等式，代入求解即可.
【详解】因为双曲线与椭圆共焦点，所以，即．
又双曲线与直线相切，由，化简得，
所以，即，
将代入方程化简得，即，，故，解得或（舍去）．
故选：D．
7．在中，，，点C在双曲线上，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据双曲线的定义，结合正弦定理求解即可.
【详解】由题意知点A，B为双曲线的两焦点，所以当点C在双曲线的右支上时，有，又，所以由正弦定理得；当点C在双曲线的左支上时，有，可得．
故选：C．
8．已知双曲线与双曲线有相同的渐近线，过双曲线右焦点的直线与双曲线相交于，两点，弦的中点为，点是双曲线右支上的动点，点是以点为圆心，为半径的圆上的动点，点是圆上的动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由已知可得，设，，由点差法可得，可得，可求，圆表示圆心为，半径为，，计算可求最小值．
【详解】由双曲线知渐近线方程为，
又双曲线与双曲线有相同的渐近线，
，，双曲线方程为，
设，，
，，
，
又弦的中点为，
，，设，
，解得，，解得，
所以双曲线的方程为，
由圆的方程可得，
圆心为，半径为，
．
当且仅当，，三点共线时取等号．
故选：D．
二、多选题
9．已知，是双曲线的左右焦点，过的直线l与双曲线C交于，M、N两点，且，则下列说法正确的是（ ）
A．是等边三角形 B．双曲线C的离心率为
C．双曲线C的渐近线方程为 D．点到直线的距离为
【答案】ABCD
【分析】先利用焦点三角形的性质求出，再求出，即可判断出A选项；在利用即可判断B和C；再利用点到直线的距离公式即可判断D.
【详解】设，，则，
由双曲线的定义的得
所以，，
所以是等边三角形，选项A正确；
在中，，
即，，所以选项B正确，
由得，所以双曲线C的渐近线方程为所以选项B正确，
渐近线方程为，所以选项C正确，
点到直线的距离为，
所以选项D正确．
故选：ABCD．
10．设，是双曲线C：的左、右焦点，过作C的一条渐近线的垂线l，垂足为H，且l与双曲线右支相交于点P，若，且，则下列说法正确的是（ ）
A．点到直线l的距离为a B．双曲线C的标准方程为
C．双曲线C的离心率为 D．的面积为18
【答案】BCD
【分析】取渐近线为，则到渐近线的距离为b，作于点G，易得；联立与即可求出双曲线C的标准方程与离心率；再利用即可求出的面积.
【详解】根据题意，设，，取双曲线C的一条渐近线为，
则到渐近线的距离为b，
∴，，
作于点G，如图所示，
∵，O为线段的中点，
∴，H为线段的中点，
∴到直线l的距离为2a，故A错误；
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，，即，
则，解得a＝2或（舍去），
∴b＝3，，
则双曲线C的标准方程为，
离心率，故B，C正确；
∵，，
∴，故D正确．
故选：BCD．
11．（多选）已知双曲线，则（ ）
A．离心率的最小值为4
B．当时离心率最小
C．离心率最小时双曲线的标准方程为
D．离心率最小时双曲线的渐近线方程为
【答案】CD
【分析】由双曲线的方程可得，的值，进而求出的值，再求双曲线的离心率，由均值不等式可得离心率的最小值及此时的值，判断四个选项的正确与否
【详解】由题意可得．
因为，所以，即，
当且仅当，即时取等号．
此时双曲线方程是，渐近线方程是．
故选：CD
12．对于方程和（且）所表示的双曲线，有相同的（ ）
A．顶点 B．焦点 C．离心率 D．渐近线
【答案】CD
【分析】化标准方程，比较离心率、顶点、焦点、渐近线
【详解】对于双曲线，，，；
顶点，焦点，离心率，渐近线
对于双曲线，即
，，，
顶点，焦点，离心率，渐近线
因此这两个方程表示的双曲线有相同的离心率和渐近线．
故选：CD
三、填空题
13．已知双曲线的左右焦点分别为，过作圆的切线切圆于点并与双曲线的右支交于点，若，则双曲线的离心率为___________.
【答案】
【分析】利用双曲线的定义可得，然后根据圆的性质可得，即得.
【详解】因为，，
所以，又，
∴，即.
故答案为：.
14．已知双曲线的中心为直角坐标系的原点，它的右焦点为，虚轴长为2．若直线：与双曲线的右支有两个不同的交点，则实数的取值范围为______．
【答案】
【分析】由题意可得，，再求出，从而可得双曲线方程，将直线方程代入双曲线方程消去，得到关于的二次方程，则可得二次项系数不为零，判别式大于零，两根的和大于零，两根的乘积大于零，解不等式组可求得答案
【详解】设．
∵，，
∴，
∴双曲线的方程为．
设直线与双曲线右支的两交点分别为，．
由，得．
由题意得，得，
解得．
故答案为：
15．已知椭圆：，双曲线的渐近线与椭圆有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为______．
【答案】16
【分析】先求出双曲线的渐近线方程，然后代入椭圆方程中求出交点坐标，从而可求出四边形的面积.
【详解】双曲线的渐近线方程为，代入椭圆方程得，解得，
则双曲线的渐近线与椭圆的四个交点分别为，，，，
所以四边形为矩形，面积为．
故答案为：16
16．已知双曲线，、是双曲线的左、右焦点，是双曲线右支上一点，是的平分线，过作的垂线，垂足为，则点的轨迹方程为_______．
【答案】
【分析】延长，交于，可证得，结合题意易证得P的轨迹是以O为圆心，半径为2的圆的一部分，即可求出点的轨迹方程.
【详解】延长，交于，因为，，
，所以，所以，
所以，
因为M是双曲线C右支上一点，所以，
又因为P是的中点，O是的中点，所以，
所以P的轨迹是以O为圆心，半径为2的圆的一部分，
所以点P的轨迹方程为．
故答案为：.
四、解答题
17．已知双曲线：的右焦点为，离心率为2，直线与双曲线的一条渐近线交于点，且．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)设为双曲线右支上的一个动点，证明：在轴的负半轴上存在定点，使得．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由双曲线的对称性可取渐近线，则可求出交点的坐标，结合与离心率为2，即可列出方程组，即可求出答案；
（2）设，讨论当时求出点；当，设出点，由可知，化简利用恒成立，即可求出点的坐标.
（1）
根据双曲线的对称性，不妨设直线与渐近线的交点为，
由，得，
因为，
所以，即，
又离心率为2，所以，故．
所以双曲线的标准方程为．
（2）
由（1）知双曲线的右焦点为．
设，则．
①当时，．
因为，
所以，
所以，
所以，符合题意．
②当时，设．
，，
因为，
所以（结合正切倍角公式）．
（i）当时，上式化简为，
又，所以，对任意恒成立.
所以，解得，即．
（ii）当，时，即也能满足．
综上，在轴的负半轴上存在定点，使得．
18．已知双曲线，经过双曲线上的点作互相垂直的直线AM AN分别交双曲线于M N两点.设线段AM AN的中点分别为B C，直线OB OC（O为坐标原点）的斜率都存在且它们的乘积为.
(1)求双曲线的方程；
(2)过点A作（D为垂足），请问：是否存在定点E，使得为定值？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)存在，定值为
【分析】（1）设出M、N点的坐标，代入双曲线方程后利用两式相减以及斜率公式即可求得双曲线的方程.
（2）根据是否垂直分情况讨论，利用直线和双曲线方程联立后用韦达定理即可求得为定值.
（1）
解：设 ，线段AM AN的中点分别为 ，
由已知，得；
两式相减，得，即①
根据中点坐标及斜率公式，得
，，，.代入①，
得②同理，得③，②③相乘，得.
∵，，∴④
由，与④联立，得，，
双曲线的方程为：.
（2）
解：①当时，设，，，，
由AM AN互相垂直，得，
由解得（此时无实数解，故舍去），或（此时M N至少一个点与A重合，与条件不符，故舍去）.综上，此时无符合条件的解.
②当不成立时，设直线，
代入得，且
∵
∴，即，
解得：或.
当时，过点，与条件不符，舍去.
∴ ，，过定点
∴ AP中点，由于（D为垂足），故.
综上所述，存在定点，使得为定值.
19．已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，P是双曲线的右支上一点．
(1)求的最小值；
(2)若右支上存在点P满足，求双曲线的离心率的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用两点间的距离公式化简即可求解（2）利用题设条件以及双曲线的定义解得和，设，，则，代余弦定理即可求解
（1）（1）设，，（）则当P在右顶点时，最小，所以的最小值为．
（2）设，．依题意，解得，由余弦定理得，即，得，．
20．在平面直角坐标系中，为坐标原点.动点与定点的距离和它到定直线的距离的比为常数2，动点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程；
(2)过点的直线交曲线于两点，若，求直线的方程.
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）设点，然后根据题意列方程化简可求得曲线的方程，
（2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，可求出的坐标，从而可得与不垂直，不合题意，当直线的斜率存在时，设直线的方程为，将直线方程代入曲线的方程消去，整理后利用根与系数的关系，再由，得，化简计算可求出直线的斜率，从而可得直线方程
(1)
设点，由题意得，
式子左右同时平方，并化简得，.
所以曲线的方程为.
(2)
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，
此时直线与曲线的交点坐标为.
所以与不垂直，即，不符合题意.
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
联立，得
由和，得.
，
因为，所以.
所以，
解得
所以直线的方程为，
即或.中小学教育资源及组卷应用平台
第八章 直线和圆、圆锥曲线
专题6：双曲线
1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，以及它们的简单几何性质.
2.通过圆锥曲线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想．
1．双曲线的定义
(1)定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的差的 等于非零常数( |F1F2|)的点的轨迹．
(2)符号表示：||MF1|－|MF2||＝2a(常数)(0<2a<|F1F2|)．
(3)焦点：两个定点F1，F2.
(4)焦距： 的距离，表示为|F1F2|.
提醒：(1)当2a＝|F1F2|时，P点的轨迹是两条射线；
(2)当2a＞|F1F2|时，P点不存在．
2．双曲线的标准方程和几何性质
标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0)
图形
性质 范围 x≥a或x≤－a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R
对称性 对称轴： ，对称中心：
顶点 A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线
离心率 e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝
实虚轴 实轴|A1A2|＝ ；虚轴|B1B2|＝ ；实半轴长 ，虚半轴长
a，b，c的关系 c2＝ (c>a>0，c>b>0)
1．双曲线－＝1(a＞0，b＞0)中的几个常用结论
(1)双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.
(2)若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a.
(3)同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为，异支的弦中最短的为实轴，其长为2a.
(4)设P，A，B是双曲线上的三个不同的点，其中A，B关于原点对称，直线PA，PB斜率存在且不为0，则直线PA与PB的斜率之积为.
(5)P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则＝b2·，其中θ为∠F1PF2.
2．巧设双曲线方程
(1)与双曲线－＝1(a＞0，b＞0)有共同渐近线的方程可表示为－＝t(t≠0)．
(2)过已知两个点的双曲线方程可设为mx2＋ny2＝1(mn＜0)．
考点一　双曲线的定义及其应用
1.（2023.全国练习）虚轴长为2，离心率e＝3的双曲线的两焦点为F1，F2，过F1作直线交双曲线的一支于A，B两点，且|AB|＝8，则△ABF2的周长为(　　)
A．3 B．16＋
C．12＋ D．24
【答案】B
【解析】由于2b＝2，e＝＝3，∴b＝1，c＝3a，∴9a2＝a2＋1，∴a＝.
由双曲线的定义知，|AF2|－|AF1|＝2a＝，①|BF2|－|BF1|＝，②
①＋②得|AF2|＋|BF2|－(|AF1|＋|BF1|)＝，
又|AF1|＋|BF1|＝|AB|＝8，
∴|AF2|＋|BF2|＝8＋，
则△ABF2的周长为16＋，故选B．
2．（2022·河南·商丘市第一高级中学高二期末（文））已知，是双曲线C：的左、右焦点，M，N是C上关于原点对称的两点，且，则四边形的面积是______．
【答案】72
【分析】判断四边形为矩形，设，，可得，结合双曲线定义可得，化简得，即可求得四边形的面积.
【详解】由可知 ，
因为M，N是C上关于原点对称的两点，且，所以四边形为矩形，
设，，由双曲线的定义可得，
所以，又因为，
所以，所以，
所以四边形的面积,
故答案为：72
3．（2022·河南许昌·高二期末（理））已知双曲线的左右焦点分别为，，其一条渐近线倾斜角为，若点P在双曲线上，且，则______．
【答案】13
【分析】根据渐近线的倾斜角可得，再根据双曲线的定义求解即可
【详解】由题意，，故，双曲线，，因为小于到右顶点的距离，故在双曲线的左支上，由双曲线的定义可得，解得
故答案为：13
双曲线定义的应用
(1)判定满足某条件的平面内动点的轨迹是不是双曲线，进而根据要求可求出曲线方程．
(2)在“焦点三角形”中，当∠F1PF2＝90°时，，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立|PF1|与|PF2|的关系．
提醒：在应用双曲线定义时，要注意定义中的条件，搞清所求轨迹是双曲线，还是双曲线的一支，若是双曲线的一支，则需确定是哪一支．
考点二　双曲线的标准方程
1．（2022·湖南·麻阳苗族自治县第一中学高三开学考试）、是双曲线的两个焦点，抛物线的准线过双曲线的焦点，准线与渐近线交于点，，则双曲线的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由已知可得出的值，求出点的坐标，分析可得，由此可得出关于、、的方程组，解出、的值，即可得出双曲线的标准方程.
【详解】抛物线的准线方程为，
则，则、，
不妨设点为第二象限内的点，联立，
可得，即点，
因为且，则为等腰直角三角形，
且，即，可得，又由,,
解得，因此，双曲线的标准方程为.
故选：C.
2．（2017·全国·高考真题（理））已知双曲线满足，且与椭圆有公共焦点，则双曲线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据题意，结合椭圆与双曲线的几何性质，列出方程，求得的值，即可求解.
【详解】由椭圆的标准方程为，可得，即，
因为双曲线的焦点与椭圆的焦点相同，所以双曲线中，半焦距，
又因为双曲线满足，即，
又由，即，解得，可得，
所以双曲线的方程为.
故选：A．
3．（2022·全国·高二专题练习）已知双曲线的一条渐近线方程为，且经过点，则该双曲线的标准方程为________．
【答案】
【分析】利用待定系数法求出双曲线的标准方程.
【详解】根据题意知，，所以点在渐近线方程的右下方，
所以该双曲线的焦点在轴上，设标准方程为，且；
又，所以；
又1，即1，
解得，，
所以双曲线的标准方程是．
故答案为：
求双曲线的标准方程的方法
(1)定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，由双曲线定义，确定2a,2b或2c，，从而求出a2，b2，写出双曲线方程．
(2)待定系数法：先确定焦点在x轴还是y轴，设出标准方程，再由条件确定a2，b2的值，即“先定型，再定量”，如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为－＝λ(λ≠0)，再根据条件求λ的值．
考点三　双曲线的简单几何性质
双曲线的渐近线
(2021·新高考Ⅱ卷)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率e＝2，则该双曲线的渐近线方程为________．
【答案】y＝±x　
【解析】∵双曲线的方程是－＝1(a>0，b>0)，
∴双曲线渐近线为y＝±x，
∵离心率为e＝＝2，可得c＝2a, ∴c2＝4a2，
即a2＋b2＝4a2，可得b＝a，由此可得双曲线渐近线为y＝±x.
2．（2022·河南省叶县高级中学高三阶段练习（文））若双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据双曲线的离心率可得之间的关系，从而可得到渐近线方程.
【详解】双曲线的离心率为，
即 ，所以 ，
则 ，故C的渐近线方程为.
故选：D.
3．（2021·青海·大通回族土族自治县教学研究室高三开学考试（文））已知双曲线的右焦点为，右顶点为，以坐标原点为圆心，过点的圆与双曲线的一条渐近线交于位于第一象限的点，若直线的斜率为，则双曲线的渐近线方程为________．
【答案】
【分析】先由题意得到圆的方程，再与双曲线的渐近线联立得到的坐标，利用的坐标求出直线的斜率，得到，继而求出双曲线的渐近线方程
【详解】解：由题意得圆的方程为，双曲线经过第一象限的渐近线方程为，
联立方程，解得点的坐标为，有，
又由直线的斜率为，可得，有，
故双曲线的渐近线方程为．
故答案为：
双曲线的离心率
(2021·全国甲卷)已知F1，F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F1PF2＝60°，|PF1|＝3|PF2|，则C的离心率为(　　)
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】设|PF2|＝m，|PF1|＝3m，则|F1F2|＝＝m，所以C的离心率e＝＝＝＝＝.2.（2023.全国练习）若斜率为的直线与双曲线－＝1恒有两个公共点，则双曲线离心率的取值范围是(　　)
A．(1,2) B．(2，＋∞)
C．(1，) D．(，＋∞)
【答案】D
【解析】因为斜率为的直线与双曲线－＝1恒有两个公共点，所以＞，则e＝＝＞＝，所以双曲线离心率的取值范围是(，＋∞)，故选D．
双曲线几何性质的综合应用
1．（2022·全国·高三专题练习）长为11的线段AB的两端点都在双曲线的右支上，则AB中点M的横坐标的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】用A、B两点的坐标表示出和，(F为双曲线右焦点）解出A、B两点的坐标，利用，求得m的最小值.
【详解】
由双曲线可知，a＝3，b＝4，c＝5，设AB中点M的横坐标为m，，
则，，
，当且仅当F、A、B共线且不垂直轴时，m取得最小值，此时．
检验: 如图，当F、A、B共线且轴时，为双曲线的通径，则根据通径公式得,所以轴不满足题意.
综上，当F、A、B共线且不垂直轴时，m取得最小值，此时．
故选：B．
2．（2023·全国·高三专题练习）已知分别为双曲线的左 右焦点，为双曲线右支上任一点，则最小值为（ ）
A．19 B．23 C．25 D．85
【答案】B
【分析】设且，应用两点距离公式及P在双曲线上，结合基本不等式求的范围，注意等号成立条件，进而可求目标式的最小值.
【详解】令且，则，而，
所以，令，
则，当且仅当，即时等号成立，
所以，即最小值为23.
故选：B
3．（2022·广东·深圳外国语学校高三阶段练习）已知双曲线（，）的左右焦点分别为，，O为坐标原点，点P为双曲线C中第一象限上的一点，的平分线与x轴交于Q，若，则双曲线的离心率范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据角平分线的性质得出，，利用三角形的三边关系以及双曲线的性质即可求解.
【详解】设双曲线的半焦距为， 离心率为，
由，则，，
因为是的平分线，
所以,
又因为，
所以，
所以，解得，即，
所以双曲线的离心率取值范围为.
故选：B
4．（2022·全国·高二专题练习）已知双曲线，，分别为双曲线的左右焦点，为双曲线上一点，且位于第一象限，若为锐角三角形，则的取值范围为______．
【答案】
【分析】将锐角转化数量积大于零，解出的范围即可 .
【详解】由双曲线，得，，
位于第一象限，恒为锐角，
又为锐角三角形，均为锐角．
由∠为锐角，得，．
，，
由∠为锐角，得，
，
即，
又，．
即，又，．
综上所述，．
故答案为：.
5．（2022·四川达州·高二期末（文））双曲线（，）的左焦点为，两点在双曲线的右支上，且关于轴对称，为正三角形，坐标原点为的重心，则该双曲线的离心率是___________.
【答案】
【分析】利用已知条件求出的坐标，代入双曲线方程，转化求解离心率即可.
【详解】由为正三角形，坐标原点为的重心，
，，故,
代入双曲线方程可得：，即
可得，即
故答案为：
1.求双曲线渐近线方程的方法
求双曲线－＝1(a>0，b>0)或－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程的方法是令右边的常数等于0，即令－＝0，得y＝±x；或令－＝0，得y＝±x.
2．求双曲线的离心率或其范围的方法
(1)求a，b，c的值，由＝＝1＋直接求e.
(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝c2－a2消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解．
1．（2022·天津·高考真题）已知抛物线分别是双曲线的左、右焦点，抛物线的准线过双曲线的左焦点，与双曲线的渐近线交于点A，若，则双曲线的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·全国·高考真题（理））双曲线C的两个焦点为，以C的实轴为直径的圆记为D，过作D的切线与C交于M，N两点，且，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·浙江·高考真题）已知双曲线的左焦点为F，过F且斜率为的直线交双曲线于点，交双曲线的渐近线于点且．若，则双曲线的离心率是_________．
4．（2022·全国·高考真题（文））记双曲线的离心率为e，写出满足条件“直线与C无公共点”的e的一个值______________．
5．（2022·北京·高考真题）已知双曲线的渐近线方程为，则__________．
6．（2022·全国·高考真题）已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为．
(1)求C的方程；
(2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点在C上，且．过P且斜率为的直线与过Q且斜率为的直线交于点M.从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立：
①M在上；②；③．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.
一、单选题
1．设双曲线的左 右焦点分别为为坐标原点，若双曲线上存在点满足，则双曲线的离心率为（ ）
A．6 B．3 C． D．
2．已知，分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线左支上的任意一点，若的最小值为，则双曲线离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．方程表示双曲线的一个充分不必要条件是（ ）
A． B．
C．或 D．
4．已知为双曲线的左焦点，为双曲线同一支上的两点．若，点在线段上，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
5．已知分别为双曲线的左 右焦点，为双曲线的右顶点.过的直线与双曲线的右支交于两点（其中点在第一象限），设分别为的内心，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
6．已知双曲线与椭圆共焦点，且双曲线与直线相切，则（ ）
A． B． C． D．1
7．在中，，，点C在双曲线上，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知双曲线与双曲线有相同的渐近线，过双曲线右焦点的直线与双曲线相交于，两点，弦的中点为，点是双曲线右支上的动点，点是以点为圆心，为半径的圆上的动点，点是圆上的动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知，是双曲线的左右焦点，过的直线l与双曲线C交于，M、N两点，且，则下列说法正确的是（ ）
A．是等边三角形 B．双曲线C的离心率为
C．双曲线C的渐近线方程为 D．点到直线的距离为
10．设，是双曲线C：的左、右焦点，过作C的一条渐近线的垂线l，垂足为H，且l与双曲线右支相交于点P，若，且，则下列说法正确的是（ ）
A．点到直线l的距离为a B．双曲线C的标准方程为
C．双曲线C的离心率为 D．的面积为18
11．（多选）已知双曲线，则（ ）
A．离心率的最小值为4
B．当时离心率最小
C．离心率最小时双曲线的标准方程为
D．离心率最小时双曲线的渐近线方程为
12．对于方程和（且）所表示的双曲线，有相同的（ ）
A．顶点 B．焦点 C．离心率 D．渐近线
三、填空题
13．已知双曲线的左右焦点分别为，过作圆的切线切圆于点并与双曲线的右支交于点，若，则双曲线的离心率为___________.
14．已知双曲线的中心为直角坐标系的原点，它的右焦点为，虚轴长为2．若直线：与双曲线的右支有两个不同的交点，则实数的取值范围为______．
15．已知椭圆：，双曲线的渐近线与椭圆有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为______．
16．已知双曲线，、是双曲线的左、右焦点，是双曲线右支上一点，是的平分线，过作的垂线，垂足为，则点的轨迹方程为_______．
四、解答题
17．已知双曲线：的右焦点为，离心率为2，直线与双曲线的一条渐近线交于点，且．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)设为双曲线右支上的一个动点，证明：在轴的负半轴上存在定点，使得．
18．已知双曲线，经过双曲线上的点作互相垂直的直线AM AN分别交双曲线于M N两点.设线段AM AN的中点分别为B C，直线OB OC（O为坐标原点）的斜率都存在且它们的乘积为.
(1)求双曲线的方程；
(2)过点A作（D为垂足），请问：是否存在定点E，使得为定值？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由.
19．已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，P是双曲线的右支上一点．
(1)求的最小值；
(2)若右支上存在点P满足，求双曲线的离心率的取值范围．
20．在平面直角坐标系中，为坐标原点.动点与定点的距离和它到定直线的距离的比为常数2，动点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程；
(2)过点的直线交曲线于两点，若，求直线的方程.

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