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第八章 直线和圆、圆锥曲线
专题7：抛物线
1.了解抛物线的定义、几何图形和标准方程，以及它们的简单几何性质.
2.通过圆锥曲线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想.
1．抛物线的概念
(1)定义：平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹．
(2)焦点：点F叫做抛物线的焦点．
(3)准线：直线l叫做抛物线的准线．
提醒：定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件，当定点在定直线上时，动点的轨迹是过定点且与定直线垂直的直线．
2．抛物线的标准方程与几何性质
标准 方程 y2＝2px (p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0)
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
图形
顶点 O(0,0)
对称轴 y＝0 x＝0
焦点 F F F F
离心率 e＝1
准线 方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝
范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R
1．抛物线的焦半径与焦点弦
抛物线上任意一点P(x0，y0)到焦点F的距离称为焦半径．过抛物线焦点的直线与抛物线相交所形成的线段称为抛物线的焦点弦．设两交点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有以下结论：
标准 方程 y2＝2px(p＞0) y2＝－2px (p＞0) x2＝2py (p＞0) x2＝－2py (p＞0)
焦半径 的长 ＋x0 －x0 ＋y0 －y0
焦点弦 的长 p＋(x1＋x2) p－(x1＋x2) p＋(y1＋y2) p－(y1＋y2)
2.抛物线焦点弦的几个常用结论
设AB是过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
(1)x1x2＝，y1y2＝－p2；
(2)若A在第一象限，B在第四象限，则|AF|＝，|BF|＝，弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝(α为弦AB的倾斜角)；
(3)＋＝；
(4)以弦AB为直径的圆与准线相切；
(5)焦点弦端点与顶点构成的三角形面积：S△AOB＝＝|OF|·|y1－y2|；
(6)通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长等于2p，通径是过焦点最短的弦；
(7)以AF或BF为直径的圆与y轴相切；
(8)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上．
考点一　抛物线的定义及标准方程
1．（2022·全国·高二课时练习）抛物线的准线方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先将抛物线方程化成标准式，即可解出．
【详解】可化为，所以抛物线的准线方程为．
故选：B．
2．（2022·全国·高二课时练习）苏州市“东方之门”是由两栋超高层建筑组成的双塔连体建筑（如图1所示），“门”的内侧曲线呈抛物线形．图2是“东方之门”的示意图，已知，，点到直线的距离为，则此抛物线顶端到的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】建立直角坐标系，待定系数法求抛物线方程，即可求解到的距离.
【详解】以为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的方程为，由题意设，，，则，解得，所以此抛物线顶端到的距离为．
故选:B．
3．（2022·全国·高二课时练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线：的焦点为，准线为．设与轴的交点为，为抛物线上异于的任意一点，在上的射影为，的外角平分线交轴于点，过作交于，过作交线段的延长线于，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【分析】根据抛物线的定义以及平面几何知识即可判断各选项的真假．
【详解】对A，由抛物线的定义可知，故A正确；
对B，因为是的外角平分线，所以，又，所以，所以，所以，故B正确；
对C，若，则有，从而有，所以，此时为定点，与为抛物线上异于的任意一点矛盾，故C不正确；
对D，因为四边形是矩形，所以，又，所以，故D正确．
故选：ABD．
4．（2022·全国·高二课时练习）已知抛物线上一点的纵坐标为，该点到准线的距离为6，则该抛物线的标准方程为______．
【答案】或
【分析】先根据点到直线的距离公式求出点的横坐标，再根据点在抛物线上，代入解方程即可求出，从而解出．
【详解】由于抛物线的准线方程是，而点到准线的距离为6，所以点的横坐标是，
于是，代入，得，解得或，
故该抛物线的标准方程为或．
故答案为：或．
1.求抛物线标准方程的方法
(1)先定位：根据焦点或准线的位置．
(2)再定形：即根据条件求p.
2．抛物线定义的应用规律
提醒：“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径．
考点二　抛物线的几何性质
(2020·全国Ⅲ卷)设O为坐标原点，直线x＝2与抛物线C：y2＝2px(p>0)交于D，E两点，若OD⊥OE，则C的焦点坐标为(　　)
A． 　B． 　C．(1,0)　 D．(2,0)
【答案】B
【解析】将直线方程与抛物线方程联立，可得y＝±2，不妨设D(2,2)，E(2，－2)，由OD⊥OE，可得·＝4－4p＝0，解得p＝1，所以抛物线C的方程为y2＝2x，其焦点坐标为.故选B．
(2021·新高考Ⅰ卷)已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQ⊥OP.若|FQ|＝6，则C的准线方程为________.
【答案】x＝－
【解析】法一：(解直角三角形法)由题易得|OF|＝，|PF|＝p，∠OPF＝∠PQF，所以tan∠OPF＝tan∠PQF，所以＝，即＝，解得p＝3，所以C的准线方程为x＝－.
法二：(应用射影定理法)由题易得|OF|＝，|PF|＝p，|PF|2＝|OF|·|FQ|，即p2＝×6，解得p＝3或p＝0(舍去)，所以C的准线方程为x＝－.
3. 直线l过抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点F(1,0)，且与C交于A，B两点，则p＝________，＋＝________.
【答案】2　1
【解析】由＝1，得p＝2.当直线l的斜率不存在时，l：x＝1，与y2＝4x联立解得y＝±2，此时|AF|＝|BF|＝2，所以＋＝＋＝1；当直线l的斜率存在时，设l：y＝k(x－1)，代入抛物线方程，得k2x2－2(k2＋2)x＋k2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2＝1，＋＝＝＝＝＝1.
抛物线性质的应用技巧
(1)利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线时，关键是将抛物线方程化成标准方程．
(2)要结合图形分析，灵活运用平面图形的性质简化运算．
考点三　直线与抛物线的位置关系
1．（2022·全国·高二课时练习）已知抛物线：，点为抛物线上任意一点，过点向圆：作切线，切点分别为，，则四边形的面积的最小值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】C
【分析】由题意圆的圆心与抛物线的焦点重合，可得连接，则，而，所以当最小时，四边形的面积最小，再抛物线的定义转化为点到抛物线的准线的距离的最小值，结合抛物线的性质可求得结果
【详解】如图，连接，圆：，该圆的圆心与抛物线的焦点重合，半径为1，
则．
又，所以当四边形的面积最小时，最小．
过点向抛物线的准线作垂线，垂足为，则，
当点与坐标原点重合时，最小，此时．
故．
故选：C
2．（2022·全国·高二单元测试）已知F是抛物线C：的焦点，直线与抛物线C交于A，B两点，且，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】设出交点坐标，将直线方程和抛物线方程联立，利用韦达定理写出，根据抛物线的定义可知，结合已知条件，即可得出正确选项.
【详解】设，，由，得，则．
又，即．
故选：A．
3．（2021·黑龙江·大庆实验中学高三开学考试（理））已知点为抛物线：（）的焦点，点为点关于原点的对称点，点在抛物线上，则下列说法错误的是（ ）
A．的范围决定了点的个数
B．不存在使得的点
C．使得的点有且仅有个
D．使得的点有且仅有个
【答案】D
【分析】问题可转化为过点作抛物线的切线,求出切线斜率,即可得到的最大值,结合抛物线的图像,问题即可解决.
【详解】
设焦点为,则
设过点抛物线的切线方程为:
代入 后整理得
因为相切, 故
化简得, 解得 , 所以的最大值为,
做出图像:显然当在切点位置时,最大为,此时点有两个（轴上下各有一个,位置①）;
当时,点有四个（轴上下各有两个,位置②;
当时,点即为原点,只有一个,
故ABC选项的命题正确, D选项错误.
故选：D
4．（2022·上海虹口·二模）已知抛物线：的焦点为，准线为，记准线与轴的交点为，过作直线交抛物线于，（）两点.
(1)若，求的值；
(2)若是线段的中点，求直线的方程；
(3)若，是准线上关于轴对称的两点，问直线与的交点是否在一条定直线上？请说明理由.
【答案】(1)；
(2)；
(3)在定直线上，理由见解析．
【分析】（1）根据焦半径公式即可求出；
（2）设直线的方程，与抛物线联立即可利用是线段的中点求出，从而解出；
（3）设，，即可求出直线与的方程，联立即可解出交点，从而可以判断交点在定直线上．
(1)因为准线为，所以．
(2)设直线的方程，联立可得，，所以，，，而是线段的中点，所以，解得：，即，解得：，所以直线的方程为，即．
(3)直线的方程，设，，，则，，
联立可得：，由，，代入解得：
，
所以直线与的交点在定直线上．
求解抛物线综合问题的方法
(1)研究直线与抛物线的位置关系一般用方程法，但涉及抛物线的弦长、中点、距离等问题时，要注意“设而不求”“整体代入”“点差法”以及定义的灵活应用．
(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p(焦点在x轴正半轴)，若不过焦点，则必须用弦长公式．
1．（2022·全国·高考真题（文））设F为抛物线的焦点，点A在C上，点，若，则（ ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】B
【分析】根据抛物线上的点到焦点和准线的距离相等，从而求得点的横坐标，进而求得点坐标，即可得到答案.
【详解】由题意得，，则，
即点到准线的距离为2，所以点的横坐标为，
不妨设点在轴上方，代入得，，
所以.
故选：B
2．（2022·全国·高考真题）已知O为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交C于P，Q两点，则（ ）
A．C的准线为 B．直线AB与C相切
C． D．
【答案】BCD
【分析】求出抛物线方程可判断A，联立AB与抛物线的方程求交点可判断B，利用距离公式及弦长公式可判断C、D.
【详解】将点的代入抛物线方程得，所以抛物线方程为，故准线方程为，A错误；
，所以直线的方程为，
联立，可得，解得，故B正确；
设过的直线为，若直线与轴重合，则直线与抛物线只有一个交点，
所以，直线的斜率存在，设其方程为，，
联立，得，
所以，所以或，，
又，，
所以，故C正确；
因为，，
所以，而，故D正确.
故选：BCD
3．（2022·全国·高考真题）已知O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点，若，则（ ）
A．直线的斜率为 B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】由及抛物线方程求得，再由斜率公式即可判断A选项；表示出直线的方程，联立抛物线求得，即可求出判断B选项；由抛物线的定义求出即可判断C选项；由，求得，为钝角即可判断D选项.
【详解】
对于A，易得，由可得点在的垂直平分线上，则点横坐标为，
代入抛物线可得，则，则直线的斜率为，A正确；
对于B，由斜率为可得直线的方程为，联立抛物线方程得，
设，则，则，代入抛物线得，解得，则，
则，B错误；
对于C，由抛物线定义知：，C正确；
对于D，，则为钝角，
又，则为钝角，
又，则，D正确.
故选：ACD.
4．（2022·全国·高考真题（理））设抛物线的焦点为F，点，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，．
(1)求C的方程；
(2)设直线与C的另一个交点分别为A，B，记直线的倾斜角分别为．当取得最大值时，求直线AB的方程．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）由抛物线的定义可得，即可得解；
（2）设点的坐标及直线，由韦达定理及斜率公式可得，再由差角的正切公式及基本不等式可得，设直线，结合韦达定理可解.
（1）
抛物线的准线为，当与x轴垂直时，点M的横坐标为p，
此时，所以，
所以抛物线C的方程为；
（2）
设，直线，
由可得，，
由斜率公式可得，，
直线，代入抛物线方程可得，
，所以，同理可得，
所以
又因为直线MN、AB的倾斜角分别为，
所以，
若要使最大，则，
设，则，
当且仅当即时，等号成立，
所以当最大时，，设直线，
代入抛物线方程可得，
，所以，
所以直线.
一、单选题
1．抛物线的焦点到直线的距离是（ ）
A． B．2 C．3 D．1
【答案】D
【分析】根据抛物线标准方程求出其焦点坐标，再利用点到直线距离公式即可求解.
【详解】由抛物线得焦点，
点到直线的距离.
故选：D.
2．抛物线的焦点为，其准线与轴的交点为，过点做直线与此抛物线交于，两点，若，则（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】根据抛物线标准方程，得到焦点坐标和准线方程，设出直线方程，联立抛物线方程，整理得到关于的一元二次方程，根据垂直，得到点的横坐标，根据韦达定理，得到的横坐标，在由抛物线的定义，可得答案.
【详解】由，则焦点，且准线方程为直线，即，
设过点的直线方程为，联立抛物线可得：，
消去可得：，化简得：，
因为，且直线过点，所以，
即点位于以线段为直径的圆上，
易知以线段为直径的圆的方程为，
将代入上式，可得，解得，（舍去），
则点的横坐标，设点的横坐标，
由韦达定理可得：，则，
根据抛物线的定义，可得，，
则，
故选：B.
3．已知是抛物线上的两点，且，则线段的中点到轴的距离的最小值为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】过作准线的垂线，设的中点为，过作轴的垂线，根据梯形中位线和抛物线的定义可知，由此可求得最小值.
【详解】由抛物线方程知其焦点为，准线为；
分别过作准线的垂线，垂足分别为，与分别交轴于，
则，．
设的中点为，过作轴的垂线，垂足为，
（当且仅当三点共线时，等号成立）
线段的中点到轴的距离的最小值为．
故选：B.
4．某学习小组研究一种如图1所示的卫星接收天线，发现其轴截面为图2所示的抛物线形，在轴截面内的卫星信号波束呈近似平行的状态射入，经反射聚焦到焦点处，已知卫星接收天线的口径（直径）为，深度为，则该卫星接收天线轴截面所在的抛物线的焦点到顶点的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】建立如图所示的平面直角坐标系，卫星接收天线的轴截面的上、下顶点分别记为，，则由题意可得，代入抛物线方程求出，从而可求得焦点坐标，进而可求得答案
【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，卫星接收天线的轴截面的上、下顶点分别记为，，
设轴截面所在的抛物线的标准方程为，
由已知条件，得点，所以，解得，
所以所求焦点坐标为，
因此卫星接收天线的轴截面所在的抛物线的焦点到顶点的距离为．
故选：B
5．如图，正方形和正方形的边长分别为，（），原点为边的中点，抛物线经过，两点，则（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】A
【分析】由题意确定点C,F的坐标，代入抛物线方程，整理可得，即可求得答案.
【详解】由题意，得点的坐标为，点的坐标为，
∵，两点都在抛物线上，∴，
即，即，解得或，
又，∴,
故选:A
6．已知抛物线C：的焦点为F，是C上一点，，则（ ）
A．1 B．2 C．4 D．5
【答案】B
【分析】先求出抛物线的准线方程，进而将点到焦点的距离转化为到准线的距离即可求得答案.
【详解】由抛物线C：可得，则准线方程为，于是，解得．
故选：B．
7．已知实数x，y满足，其中常数，则动点的轨迹是（ ）
A．射线 B．直线 C．抛物线 D．椭圆
【答案】C
【分析】利用两点的距离公式、绝对值的几何意义以及抛物线的定义进行判断.
【详解】因为表示动点到定点的距离与到定直线l：的距离相等，且点F不在直线l上，所以由抛物线的定义知动点的轨迹为抛物线．故A，B，D错误.
故选：C.
8．已知抛物线的焦点为F，点A是抛物线C的准线与坐标轴的交点，点P在抛物线C上，若，则（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】过作准线的垂线，垂足为，由，可得，求出的值，由抛物线的性质可得，由正弦定理可得的值．
【详解】过作准线的垂线，垂足为，由，可得，由题意如图所示：
在中，可得，，
由抛物线的性质可得，所以，
在中，由正弦定理可得：，
所以，
故选：D．
二、多选题
9．（多选）已知平面内到定点比它到定直线：的距离小1的动点的轨迹为曲线，则下列说法正确的是（ ）
A．曲线的方程为 B．曲线关于轴对称
C．当点在曲线上时， D．当点在曲线上时，点到直线的距离
【答案】AB
【分析】由抛物线的定义可知曲线的轨迹是抛物线，进而可判断A,根据抛物线的性质可判断B,C,D.
【详解】由题意可知：动点到定点与它到定直线：的距离相等，
由抛物线定义，知曲线是以为焦点，直线为准线的抛物线，其方程为，所以A，B正确；由知，点到直线的距离，所以C，D错误．
故选：AB．
10．已知：的焦点为，斜率为且经过点的直线与抛物线交于点，两点（点在第一象限），与抛物线的准线交于点，若，则（ ）
A． B．为线段的中点
C． D．
【答案】AB
【分析】由题意可得直线的方程为，联立直线和抛物线方程得到，．求出的值，过点作垂直准线于点，得到为线段的中点即得解.
【详解】解：易知，由题意可得直线的方程为．
由，消去并整理，得，
解得，．
由，得，
∴．
过点作垂直准线于点，易知，
∴，∴．.
∵，∴为线段的中点．
故选：AB．
11．已知点是抛物线C：上一动点，则（ ）
A．C的焦点坐标为 B．C的准线方程为
C． D．的最小值为
【答案】BCD
【分析】根据抛物线方程求出焦点坐标和准线方程可判断A，B；利用抛物线的定义可判断C；根据抛物线方程消元，得，构造基本不等式求出最小值可判断D.
【详解】由抛物线的方程知，焦点坐标为，准线方程为．故A错误，B正确．
根据抛物线的定义可得点P到焦点的距离等于点P到准线的距离，即，故C正确．
因为，所以
（当且仅当，即时，等号成立），故的最小值为，故D正确．
故选：BCD.
12．已知抛物线，为坐标原点，为抛物线的焦点且为过焦点的弦，若，，则（ ）
A．抛物线的方程为
B．抛物线的准线方程为
C．过点可作抛物线的两条切线
D．的面积为
【答案】BCD
【分析】由可得，所以，则可判断A错误，B正确．易知点K在抛物线外，则过点可作抛物线的两条切线，C正确．对于D选项，方法一：的面积可将看作是与面积之和；方法二：设直线的倾斜角为，则由解得，
【详解】由题意可知，所以
所以抛物线的方程为，其准线方程为，A错误，B正确．
当时，，则点K在抛物线外，则过点可作抛物线的两条切线，C正确．
方法一 设点，，则由抛物线的定义，可知，
所以．由，可得，
设直线的方程为：代入抛物线方程中得
故，故．故D正确．
方法二 设直线的倾斜角为，则由抛物线焦点弦的性质可知，
故，所以，所以，故．
故选：BCD
13．（多选）已知抛物线的焦点到准线的距离为，直线过点且与抛物线交于，两点，若是线段的中点，则（ ）
A． B．抛物线的方程为
C．直线的方程为 D．
【答案】ACD
【分析】由焦点到准线的距离可求得，则可判断A正确，B错误；利用斜率坐标计算公式几何中点坐标计算公式可求得直线的斜率，从而求得的方程，可判断C正确；，所以从而判断D正确.
【详解】因为焦点到准线的距离为4，根据抛物线的定义可知，故A正确
故抛物线的方程为，焦点，故B错误
则，．
又是的中点，则，所以，
即，所以直线的方程为．故C正确
由，
得．故D正确
故选：ACD．
三、填空题
14．已知为抛物线上的一个动点，为圆上的一个动点，那么点到点的距离与点到抛物线准线的距离之和的最小值是______.
【答案】
【分析】根据题意可得抛物线的焦点坐标、准线方程及圆的圆心坐标、半径，利用抛物线的定义可得点到抛物线准线的距离即为点到焦点的距离，进而得到动点位于线段上时距离最小，计算即可求解.
【详解】解：由题可知，抛物线的准线方程为，焦点坐标为，
圆的圆心坐标为，半径为，
设点到抛物线准线的距离为，则，故，
所以当动点位于线段上时，点到点的距离与点到抛物线准线的距离之和最小，
此时.
故答案为：.
15．已知动圆M与直线相切，且与定圆C：外切，那么动圆圆心M的轨迹方程为_______.
【答案】
【分析】根据动圆与直线相切，且与定圆C：外切，可得动点到的距离与到直线的距离相等，由抛物线的定义知，点的轨迹是抛物线，由此易得轨迹方程．
【详解】解：方法一：由题意知，设，
则，
，
解得.
方法二：由题意知，动点M到的距离比到的距离多1，
则动点M到的距离与到的距离相等，
根据抛物线的定义，为准线，为焦点，
设抛物线为，，，
故.
故答案为：.
16．已知抛物线：的焦点为，为上一点且在第一象限，以为圆心，线段的长度为半径的圆交的准线于，两点，且，，三点共线，则______．
【答案】6
【分析】根据圆的几何性质以及抛物线的定义即可解出．
【详解】如图所示，连接．因为，，三点共线，所以为圆的直径，所以，
点到抛物线的准线的距离为3，则易知，由抛物线定义知．
故答案为：6．
17．已知抛物线，点为直线上一动点，过点作直线与分别切于点则___________.
【答案】0
【分析】设切点和，利用导数的几何意义求出切线、的方程，由此可得是方程的两实根，再求出，
根据平面向量的坐标表示化简计算即可.
【详解】由，得，则，
设，，所以，
得切线的方程为，即，
切线的方程为，即，
又两条切线过切点，有、，
所以是方程即的两实根，
得，
又，
所以
将代入上式，得
.
故答案为：0，
18．已知点为抛物线上的一个动点，设点到抛物线的准线的距离为，点，则的最小值为______．
【答案】
【分析】分析可知，利用抛物线的定义结合三点共线可求得的最小值.
【详解】抛物线的焦点，准线方程为．
过点作抛物线准线的垂线，垂足为点，
由抛物线的定义可得，
则，
当且仅当为线段与抛物线的交点时，等号成立，
因此，的最小值为.
故答案为：.
四、解答题
19．在直角坐标系中，已知定点，定直线，动点M到直线l的距离比动点M到点F的距离大2．记动点M的轨迹为曲线C．
(1)求C的方程，并说明C是什么曲线？
(2)设在C上，不过点P的动直线与C交于A，B两点，若，证明：直线恒过定点．
【答案】(1)，C是顶点为原点开口向上的抛物线.
(2)见解析.
【分析】(1)根据抛物线的定义可知C是顶点为原点开口向上的抛物线，求其标准方程即可；
(2)设直线AB的方程以及A、B的坐标，将直线与抛物线方程联立，运用设而不求得思想找到k与b的关系即可.
（1）
因为动点M到直线l 的距离比到F的距离大2，故M到F的距离与
M到直线的距离相等，所以M的轨迹C是以F为焦点
m为准线的抛物线，因此, C是顶点为原点开口向上的抛物线.
（2）
因为P在C上故，
设，
联立方程 ，可得，
，
，将(2)代入化简得：
或，以上均可满足(1)式，
所以直线方程为：或，
直线分别过定点或，
又，所以直线恒过定点.
20．已知抛物线的焦点为F，过F的直线l与C相交于A，B两点，，是C的两条切线，A，B是切点．当轴时，．
(1)求抛物线C的方程；
(2)证明：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）当轴时可求得坐标，进而根据求解即可；
（2）设，根据导数的几何意义可得切线，的方程，联立可得的坐标，进而证明，，从而根据相似三角形的性质证明即可.
（1）
由题意，，当轴时，将代入有，解得，又故，解得.
故抛物线C的方程为.
（2）
由（1），设，直线的方程为，联立抛物线方程有，故.
又抛物线方程，故，故切线的方程为，即，同理可得切线的方程为，联立可得，解得，代入有，代入韦达定理可得.
故当时有，当时，因为，故，也满足.故恒成立.又,故.
所以，，故，故，故，即，即得证.
21．设抛物线C：的焦点为F，过F且斜率为k（k>0）的直线l与C交于A，B两点，．
(1)求直线l的方程；
(2)求过点A，B且与抛物线C的准线相切的圆的方程．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）设，由题意设直线的方程为，将直线方程代入抛物线方程，消去，利用根与系数的关系，结合弦长公式列方程可求出，从而可得直线方程，
（2）由（1）可求得的垂直平分线方程为，设，则根据题意列出关于的方程组，从而可求出圆心坐标，进而可求出圆的方程.
（1）
由题意得，直线的方程为，
设，
由，得，
，
，
所以，
因为，所以，
解得（舍去），或，
所以直线l的方程为，
（2）
由（1）得的中点坐标为，
所以的垂直平分线方程为，即，
设所求圆的圆心坐标为，则由题意得
，
解得，或，
当时，圆的圆心为，半径为4，
当时，圆的圆心为，半径为12，
所以所求圆的方程为或.
22．已知抛物线：的焦点到准线的距离为2.
(1)求抛物线的方程；
(2)过抛物线焦点的直线交抛物线于，两点，已知点，求取得最大值时直线的方程.
【答案】(1)；
(2).
【分析】(1)根据抛物线的定义和标准方程即可求出p的值；
(2)设直线l为，和抛物线方程联立，结合韦达定理表示出，根据二次函数性质即可求出其最大值和此时l的方程．
（1）
抛物线的焦点到准线的距离为2，
所以，
所以抛物线的方程为；
（2）
抛物线的焦点坐标为.
设点，，
由题意知直线的斜率不等于0，且过点，所以设直线的方程为，
由得，
恒成立，
由韦达定理得，，
∴
所以当时，取得最大值为，
此时直线的方程为.中小学教育资源及组卷应用平台
第八章 直线和圆、圆锥曲线
专题7：抛物线
1.了解抛物线的定义、几何图形和标准方程，以及它们的简单几何性质.
2.通过圆锥曲线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想.
1．抛物线的概念
(1)定义：平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离 的点的轨迹．
(2)焦点： 叫做抛物线的焦点．
(3)准线： 叫做抛物线的准线．
提醒：定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件，当定点在定直线上时，动点的轨迹是过定点且与定直线垂直的直线．
2．抛物线的标准方程与几何性质
标准 方程 y2＝2px (p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0)
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
图形
顶点
对称轴 y＝0 x＝0
焦点
离心率 e＝1
准线 方程 x＝ y＝－
范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R
1．抛物线的焦半径与焦点弦
抛物线上任意一点P(x0，y0)到焦点F的距离称为焦半径．过抛物线焦点的直线与抛物线相交所形成的线段称为抛物线的焦点弦．设两交点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有以下结论：
标准 方程 y2＝2px(p＞0) y2＝－2px (p＞0) x2＝2py (p＞0) x2＝－2py (p＞0)
焦半径 的长 ＋x0 －x0 ＋y0 －y0
焦点弦 的长 p＋(x1＋x2) p－(x1＋x2) p＋(y1＋y2) p－(y1＋y2)
2.抛物线焦点弦的几个常用结论
设AB是过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
(1)x1x2＝，y1y2＝－p2；
(2)若A在第一象限，B在第四象限，则|AF|＝ ，|BF|＝ ，弦长|AB|＝ (α为弦AB的倾斜角)；
(3)＋＝ ；
(4)以弦AB为直径的圆与准线相切；
(5)焦点弦端点与顶点构成的三角形面积：S△AOB＝ ；
(6)通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长等于2p，通径是过焦点最短的弦；
(7)以AF或BF为直径的圆与y轴相切；
(8)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上．
考点一　抛物线的定义及标准方程
1．（2022·全国·高二课时练习）抛物线的准线方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先将抛物线方程化成标准式，即可解出．
【详解】可化为，所以抛物线的准线方程为．
故选：B．
2．（2022·全国·高二课时练习）苏州市“东方之门”是由两栋超高层建筑组成的双塔连体建筑（如图1所示），“门”的内侧曲线呈抛物线形．图2是“东方之门”的示意图，已知，，点到直线的距离为，则此抛物线顶端到的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】建立直角坐标系，待定系数法求抛物线方程，即可求解到的距离.
【详解】以为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的方程为，由题意设，，，则，解得，所以此抛物线顶端到的距离为．
故选:B．
3．（2022·全国·高二课时练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线：的焦点为，准线为．设与轴的交点为，为抛物线上异于的任意一点，在上的射影为，的外角平分线交轴于点，过作交于，过作交线段的延长线于，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【分析】根据抛物线的定义以及平面几何知识即可判断各选项的真假．
【详解】对A，由抛物线的定义可知，故A正确；
对B，因为是的外角平分线，所以，又，所以，所以，所以，故B正确；
对C，若，则有，从而有，所以，此时为定点，与为抛物线上异于的任意一点矛盾，故C不正确；
对D，因为四边形是矩形，所以，又，所以，故D正确．
故选：ABD．
4．（2022·全国·高二课时练习）已知抛物线上一点的纵坐标为，该点到准线的距离为6，则该抛物线的标准方程为______．
【答案】或
【分析】先根据点到直线的距离公式求出点的横坐标，再根据点在抛物线上，代入解方程即可求出，从而解出．
【详解】由于抛物线的准线方程是，而点到准线的距离为6，所以点的横坐标是，
于是，代入，得，解得或，
故该抛物线的标准方程为或．
故答案为：或．
1.求抛物线标准方程的方法
(1)先定位：根据焦点或准线的位置．
(2)再定形：即根据条件求p.
2．抛物线定义的应用规律
“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径．
考点二　抛物线的几何性质
(2020·全国Ⅲ卷)设O为坐标原点，直线x＝2与抛物线C：y2＝2px(p>0)交于D，E两点，若OD⊥OE，则C的焦点坐标为(　　)
A． 　B． 　C．(1,0)　 D．(2,0)
【答案】B
【解析】将直线方程与抛物线方程联立，可得y＝±2，不妨设D(2,2)，E(2，－2)，由OD⊥OE，可得·＝4－4p＝0，解得p＝1，所以抛物线C的方程为y2＝2x，其焦点坐标为.故选B．
(2021·新高考Ⅰ卷)已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQ⊥OP.若|FQ|＝6，则C的准线方程为________.
【答案】x＝－
【解析】法一：(解直角三角形法)由题易得|OF|＝，|PF|＝p，∠OPF＝∠PQF，所以tan∠OPF＝tan∠PQF，所以＝，即＝，解得p＝3，所以C的准线方程为x＝－.
法二：(应用射影定理法)由题易得|OF|＝，|PF|＝p，|PF|2＝|OF|·|FQ|，即p2＝×6，解得p＝3或p＝0(舍去)，所以C的准线方程为x＝－.
3. 直线l过抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点F(1,0)，且与C交于A，B两点，则p＝________，＋＝________.
【答案】2　1
【解析】由＝1，得p＝2.当直线l的斜率不存在时，l：x＝1，与y2＝4x联立解得y＝±2，此时|AF|＝|BF|＝2，所以＋＝＋＝1；当直线l的斜率存在时，设l：y＝k(x－1)，代入抛物线方程，得k2x2－2(k2＋2)x＋k2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2＝1，＋＝＝＝＝＝1.
抛物线性质的应用技巧
(1)利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线时，关键是将抛物线方程化成标准方程．
(2)要结合图形分析，灵活运用平面图形的性质简化运算．
考点三　直线与抛物线的位置关系
1．（2022·全国·高二课时练习）已知抛物线：，点为抛物线上任意一点，过点向圆：作切线，切点分别为，，则四边形的面积的最小值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】C
【分析】由题意圆的圆心与抛物线的焦点重合，可得连接，则，而，所以当最小时，四边形的面积最小，再抛物线的定义转化为点到抛物线的准线的距离的最小值，结合抛物线的性质可求得结果
【详解】如图，连接，圆：，该圆的圆心与抛物线的焦点重合，半径为1，
则．
又，所以当四边形的面积最小时，最小．
过点向抛物线的准线作垂线，垂足为，则，
当点与坐标原点重合时，最小，此时．
故．
故选：C
2．（2022·全国·高二单元测试）已知F是抛物线C：的焦点，直线与抛物线C交于A，B两点，且，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】设出交点坐标，将直线方程和抛物线方程联立，利用韦达定理写出，根据抛物线的定义可知，结合已知条件，即可得出正确选项.
【详解】设，，由，得，则．
又，即．
故选：A．
3．（2021·黑龙江·大庆实验中学高三开学考试（理））已知点为抛物线：（）的焦点，点为点关于原点的对称点，点在抛物线上，则下列说法错误的是（ ）
A．的范围决定了点的个数
B．不存在使得的点
C．使得的点有且仅有个
D．使得的点有且仅有个
【答案】D
【分析】问题可转化为过点作抛物线的切线,求出切线斜率,即可得到的最大值,结合抛物线的图像,问题即可解决.
【详解】
设焦点为,则
设过点抛物线的切线方程为:
代入 后整理得
因为相切, 故
化简得, 解得 , 所以的最大值为,
做出图像:显然当在切点位置时,最大为,此时点有两个（轴上下各有一个,位置①）;
当时,点有四个（轴上下各有两个,位置②;
当时,点即为原点,只有一个,
故ABC选项的命题正确, D选项错误.
故选：D
4．（2022·上海虹口·二模）已知抛物线：的焦点为，准线为，记准线与轴的交点为，过作直线交抛物线于，（）两点.
(1)若，求的值；
(2)若是线段的中点，求直线的方程；
(3)若，是准线上关于轴对称的两点，问直线与的交点是否在一条定直线上？请说明理由.
【答案】(1)；
(2)；
(3)在定直线上，理由见解析．
【分析】（1）根据焦半径公式即可求出；
（2）设直线的方程，与抛物线联立即可利用是线段的中点求出，从而解出；
（3）设，，即可求出直线与的方程，联立即可解出交点，从而可以判断交点在定直线上．
(1)因为准线为，所以．
(2)设直线的方程，联立可得，，所以，，，而是线段的中点，所以，解得：，即，解得：，所以直线的方程为，即．
(3)直线的方程，设，，，则，，
联立可得：，由，，代入解得：
，
所以直线与的交点在定直线上．
求解抛物线综合问题的方法
(1)研究直线与抛物线的位置关系一般用方程法，但涉及抛物线的弦长、中点、距离等问题时，要注意“设而不求”“整体代入”“点差法”以及定义的灵活应用．
(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p(焦点在x轴正半轴)，若不过焦点，则必须用弦长公式．
1．（2022·全国·高考真题（文））设F为抛物线的焦点，点A在C上，点，若，则（ ）
A．2 B． C．3 D．
2．（2022·全国·高考真题）已知O为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交C于P，Q两点，则（ ）
A．C的准线为 B．直线AB与C相切
C． D．
3．（2022·全国·高考真题）已知O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点，若，则（ ）
A．直线的斜率为 B．
C． D．
4．（2022·全国·高考真题（理））设抛物线的焦点为F，点，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，．
(1)求C的方程；
(2)设直线与C的另一个交点分别为A，B，记直线的倾斜角分别为．当取得最大值时，求直线AB的方程．
一、单选题
1．抛物线的焦点到直线的距离是（ ）
A． B．2 C．3 D．1
2．抛物线的焦点为，其准线与轴的交点为，过点做直线与此抛物线交于，两点，若，则（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
3．已知是抛物线上的两点，且，则线段的中点到轴的距离的最小值为（ ）．
A． B． C． D．
4．某学习小组研究一种如图1所示的卫星接收天线，发现其轴截面为图2所示的抛物线形，在轴截面内的卫星信号波束呈近似平行的状态射入，经反射聚焦到焦点处，已知卫星接收天线的口径（直径）为，深度为，则该卫星接收天线轴截面所在的抛物线的焦点到顶点的距离为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，正方形和正方形的边长分别为，（），原点为边的中点，抛物线经过，两点，则（ ）
A． B． C．1 D．
6．已知抛物线C：的焦点为F，是C上一点，，则（ ）
A．1 B．2 C．4 D．5
7．已知实数x，y满足，其中常数，则动点的轨迹是（ ）
A．射线 B．直线 C．抛物线 D．椭圆
8．已知抛物线的焦点为F，点A是抛物线C的准线与坐标轴的交点，点P在抛物线C上，若，则（ ）．
A． B． C． D．
二、多选题
9．（多选）已知平面内到定点比它到定直线：的距离小1的动点的轨迹为曲线，则下列说法正确的是（ ）
A．曲线的方程为 B．曲线关于轴对称
C．当点在曲线上时， D．当点在曲线上时，点到直线的距离
10．已知：的焦点为，斜率为且经过点的直线与抛物线交于点，两点（点在第一象限），与抛物线的准线交于点，若，则（ ）
A． B．为线段的中点
C． D．
11．已知点是抛物线C：上一动点，则（ ）
A．C的焦点坐标为 B．C的准线方程为
C． D．的最小值为
12．已知抛物线，为坐标原点，为抛物线的焦点且为过焦点的弦，若，，则（ ）
A．抛物线的方程为
B．抛物线的准线方程为
C．过点可作抛物线的两条切线
D．的面积为
13．（多选）已知抛物线的焦点到准线的距离为，直线过点且与抛物线交于，两点，若是线段的中点，则（ ）
A． B．抛物线的方程为
C．直线的方程为 D．
三、填空题
14．已知为抛物线上的一个动点，为圆上的一个动点，那么点到点的距离与点到抛物线准线的距离之和的最小值是______.
15．已知动圆M与直线相切，且与定圆C：外切，那么动圆圆心M的轨迹方程为_______.
16．已知抛物线：的焦点为，为上一点且在第一象限，以为圆心，线段的长度为半径的圆交的准线于，两点，且，，三点共线，则______．
17．已知抛物线，点为直线上一动点，过点作直线与分别切于点则___________.
18．已知点为抛物线上的一个动点，设点到抛物线的准线的距离为，点，则的最小值为______．
四、解答题
19．在直角坐标系中，已知定点，定直线，动点M到直线l的距离比动点M到点F的距离大2．记动点M的轨迹为曲线C．
(1)求C的方程，并说明C是什么曲线？
(2)设在C上，不过点P的动直线与C交于A，B两点，若，证明：直线恒过定点．
20．已知抛物线的焦点为F，过F的直线l与C相交于A，B两点，，是C的两条切线，A，B是切点．当轴时，．
(1)求抛物线C的方程；
(2)证明：．
21．设抛物线C：的焦点为F，过F且斜率为k（k>0）的直线l与C交于A，B两点，．
(1)求直线l的方程；
(2)求过点A，B且与抛物线C的准线相切的圆的方程．
22．已知抛物线：的焦点到准线的距离为2.
(1)求抛物线的方程；
(2)过抛物线焦点的直线交抛物线于，两点，已知点，求取得最大值时直线的方程.

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