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第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布
专题1：两个计数原理、排列与组合
1.通过实例，了解分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其意义.
2.理解排列、组合的概念；能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式.
3.能解决简单的实际问题．
1．两个计数原理
分类 加法 计数 原理 完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝ 种不同的方法
分步 乘法 计数 原理 完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝ 种不同的方法
2.排列与组合的概念
名称 定义
排列 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素 按照 排成一列
组合 作为一组
3.排列数、组合数的定义、公式、性质
排列数 组合数
定义 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有 的个数 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有 的个数
公式 A＝n(n－1)·(n－2)·…·(n－m＋1)＝ C＝＝ ＝
性质 A＝ ，0！＝ C＝ ，C＝
1．排列数与组合数的关系：
A＝CA.
2．组合数的性质：
①C＝C；②C＝C＋C.
考点一　两个计数原理及综合应用
1．（2021·黑龙江·哈尔滨三中高一开学考试）一只小虫子欲从A点不重复经过图中的点或者线段，而最终到达目的地E，这只小虫子的不同走法共有（　　）
A．12种 B．13种
C．14种 D．15种
【答案】C
【分析】根据题意按照一定顺序，将所有的路线列举出来即可.
【详解】由题意这只小虫子的不同走法共有：ABCDE,ABCDPE, ABCDPFE,ABPDE,
共14种，
故选：C
2．（2022·全国·高二单元测试）用红、黄、蓝3种颜色给如图所示的6个相连的圆涂色，若每种颜色只能涂2个圆，且相邻2个圆所涂颜色不能相同，则不同的涂法种数为（ ）
A．24 B．30 C．36 D．42
【答案】B
【分析】先分类（先涂前3个圈，再涂后3个圆）：第1类，前3个圆用3种颜色，后3个圆也用3种颜色；第2类，前3个圆用2种颜色，后3个圆也用2种颜色，分别计算后再由加法原理相加即得．
【详解】分2类（先涂前3个圆，再涂后3个圆．）：第1类，前3个圆用3种颜色，后3个圆也用3种颜色，有种涂法；第2类，前3个圆用2种颜色，后3个圆也用2种颜色，有种涂法．综上，不同的涂法和数为．
故选：B．
3．（2022·江苏·金沙中学高二阶段练习）用数字、、、、、组成没有重复数字的四位数，则下列说法正确的是（ ）
A．可组成300个不重复的四位数
B．可组成156个不重复的四位偶数
C．可组成96个能被3整除的不重复四位数
D．若将组成的不重复的四位数按从小到大的顺序排成一个数列，则第85个数字为2310
【答案】ABC
【分析】根据每个选项的四位数的特点分别利用排列组合的计算方式计算出结果即可判断.
【详解】A选项，从、、、、中选一个排在首位有种选法，再从剩下的五个数中选三个数排在百位、十位、个位有种排法，
由分步乘法原理可得：个，所以A正确；
B选项，分为两类：在个位，则有种；
不在个位，从、中选一个排在个位，首位从、、和、中剩下的一个数共四个数中选一个，
十位和百位再从剩下的四个数中选排，则共有种，
∴共有种，所以B正确；
C选项，先把四个相加能被整除的四个数从小到大列举出来，
即先选：，、、、，
它们排列出来的数一定可以被整除，∴共有：种，所以C正确；
D选项，首位为的有个，前两位为的有个，前两位为的有个，
因而第个数字是前两位为的最小数，即为，所以D不正确；.
故选：ABC．
4．（2022·江苏·响水县第二中学高二期中）用种不同的颜色给图中个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求相邻的两个格子颜色不同，涂色方法有______种.
【答案】320
【分析】先从左边第一个格子开始涂色，然后第二个、第三个、第四个格子涂色方法，由分步乘法计数原理可得解.
【详解】先从左边第一个格子开始涂色，第一个格子有5种涂色方法，第二个格子有4种涂色方法，第三个格子有4种涂色方法，第四个格子有4种涂色方法，
所以共有种不同的涂色方法.
故答案为：.
5．（2022·重庆·巫山县官渡中学高二阶段练习）从甲地去乙地有3班火车，从乙地去丙地有2班轮船，则从甲地去丙地可选择的旅行方式有______种
【答案】6
【分析】根据分步计数的乘法原理求解即可.
【详解】由分步计数的乘法原理，从甲地去丙地可选择的旅行方式有种.
故答案为：6
利用两个基本计数原理解决问题的步骤
考点二　排列问题
3名女生和5名男生排成一排.
(1)若女生全排在一起，有多少种排法？
(2)若女生都不相邻，有多少种排法？
(3)若女生不站两端，有多少种排法？
(4)其中甲必须排在乙左边(可不邻)，有多少种排法？
(5)其中甲不站最左边，乙不站最右边，有多少种排法？
【解析】(1)(捆绑法)由于女生排在一起，可把她们看成一个整体，这样同5名男生合在一起有6个元素，排成一排有A种排法，而其中每一种排法中，3名女生之间又有A种排法，因此共有A·A＝4 320种不同排法．
(2)(插空法)先排5名男生，有A种排法，这5名男生之间和两端有6个位置，从中选取3个位置排女生，有A种排法，因此共有A·A＝14 400种不同排法．
(3)法一(位置分析法)：因为两端不排女生，只能从5名男生中选2人排，有A种排法，剩余的位置没有特殊要求，有A种排法，因此共有A·A＝14 400种不同排法．
法二(元素分析法)：从中间6个位置选3个安排女生，有A种排法，其余位置无限制，有A种排法，因此共有A·A＝14 400种不同排法.
(4)8名学生的所有排列共A种，其中甲在乙左边与乙在甲左边的各占，因此符合要求的排法种数为A＝20 160.
(5)甲、乙为特殊元素，左、右两边为特殊位置．
法一(特殊元素法)：甲在最右边时，其他的可全排，有A种不同排法；甲不在最右边时，可从余下6个位置中任选一个，有A种．而乙可排在除去最右边位置后剩余的6个中的任一个上，有A种，其余人全排列，共有A·A·A种不同排法．
由分类加法计数原理知，共有A＋A·A·A＝30 960种不同排法．
法二(特殊位置法)：先排最左边，除去甲外，有A种排法，余下7个位置全排，有A种排法，但应剔除乙在最右边时的排法A·A种，因此共有A·A－A·A＝30 960种排法．
法三(间接法)：8名学生全排列，共A种，其中，不符合条件的有甲在最左边时，有A种排法，乙在最右边时，有A种排法，其中都包含了甲在最左边，同时乙在最右边的情形，有A种排法．因此共有A－2A＋A＝30 960种排法．
解排列应用问题的六种常用方法
考点三　组合问题
1．（2022·全国·高二单元测试）现有编号分别为A，B，C，D，E，F，G的7个不同的小球，将这些小球排成一排．
(1)若要求A，B，C相邻，则有多少种不同的排法？
(2)若要求A排在正中间，且B，C，D互不相邻，则有多少种不同的排法？
【答案】(1)720
(2)216
【分析】（1）把A，B，C看成一个整体与剩余的4个球排列；
（2）A在正中间，所以A的排法只有1种．B，C，D互不相邻，分两类，第一类：有两个在A的左侧且不相邻，1个在A的右侧，第二类：有1个在A的左侧，2个在A的右侧且不相邻，由此计算可得．
（1）把A，B，C看成一个整体与剩余的4个球排列，则不同的排法有（种）
（2）A在正中间，所以A的排法只有1种．
因为B，C，D互不相邻，
所以B，C，D不可能同时在A的左侧或右侧
若B，C，D中有1个在A的左侧，2个在A的右侧且不相邻，则不同的排法有（种）；若B，C，D中有2个在A的左侧且不相邻，1个在A的右侧，则不同的排法有（种）．
综上，所求的不同排法有（种）．
2．（2022·全国·高二课时练习）某医院呼吸内科有3名男医生、2名女医生，其中李亮（男）为科室主任；感染科有2名男医生、2名女医生，其中张雅（女）为科室主任．现在院方决定从两科室中选4人参加培训．
(1)若至多有1名主任参加，则有多少种派法？
(2)若呼吸内科至少有2名医生参加，则有多少种派法？
(3)若至少有1名主任参加，且有女医生参加，则有多少种派法？
【答案】(1)105；
(2)105；
(3)87.
【分析】（1）分无主任参加和只有1名主任参加两种情况，再根据组合的方法求得答案；
（2）分2名医生、3名医生和4名医生参加三种情况，再根据组合的方法即可求得答案；
（3）考虑张雅参加和不参加两种情况，如果张雅不参加则李亮必须参加，进而根据组合的方法即可求得答案.
（1）若无主任参加，则有种派法，若只有1名主任参加，则有种派法，故不同的派法共有（种）.
（2）由题意，可分为三类考虑：
第一类，呼吸内科有2名医生参加，则共有种派法；
第二类，呼吸内科有3名医生参加，则共有种派法；
第三类，呼吸内科有4名医生参加，则共有种派法．
所以呼吸内科至少有2名医生参加的派法共有（种）．
（3）张雅既是主任，也是女医生，属于特殊元素，优先考虑，所以以张雅是否参加来分类．
第一类，张雅参加，则有种派法，
第二类，张雅不参加，则李亮必须参加，则有种派法．
所以至少有1名主任参加，且有女医生参加的派法共有（种）．
组合问题的常见类型与处理方法
(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中选取．
(2)“至少”或“至多”含有几个元素的题型：若直接法分类复杂时，逆向思维，间接求解．
考点四 分组、分配问题　
不同元素的整体均分问题
　将6本不同的书分给甲、乙、丙、丁4个人，每人至少1本的不同分法共有________种．(用数字作答)
【答案】1 560　
【解析】把6本不同的书分成4组，每组至少1本的分法有2种．
①有1组3本，其余3组每组1本，不同的分法共有＝20(种)；
②有2组每组2本，其余2组每组1本，不同的分法共有·＝45(种)．
所以不同的分组方法共有20＋45＝65(种)．
然后把分好的4组书分给4个人，所以不同的分法共有65×A＝1 560(种)．
不同元素的不等分问题
若将6名教师分到3所中学任教，一所1名，一所2名，一所3名，则有________种不同的分法．
【答案】360
【解析】[将6名教师分组，分三步完成：
第1步，在6名教师中任取1名作为一组，有C种分法；
第2步，在余下的5名教师中任取2名作为一组，有C种分法；
第3步，余下的3名教师作为一组，有C种分法．
根据分步乘法计数原理，共有CCC＝60种分法．
再将这3组教师分配到3所中学，有A＝6种分法，
故共有60×6＝360种不同的分法．
相同元素的分配问题
把9个完全相同的口罩分给6名同学，每人至少一个，不同的分法种数为(　　)
A．41 B．56
C．156 D．252
【答案】B　
【解析】问题可转化为将9个完全相同的口罩排成一列，再分成6堆，每堆至少一个，求其方法数．事实上，只需在上述9个完全相同的口罩所产生的8个“空档”中选出5个“空档”插入挡板，即产生符合要求的方法数．故有C＝56种．
分组、分配问题是排列与组合的综合问题，解题思想是先分组后分配
(1)分组问题属于“组合”问题，常见的分组方法有三种：
①完全均匀分组，每组元素的个数都相等；
②部分均匀分组，应注意不要重复；
③完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象．
(2)分配问题属于“排列”问题，常见的分配方法有三种：
①相同元素的分配问题，常用“挡板法”；
②不同元素的分配问题，利用分步乘法计数原理，先分组，后分配；
③有限制条件的分配问题，采用分类求解．
提醒：对于部分均分问题，若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！.
1．（2020·全国·高考真题（文））如图，将钢琴上的12个键依次记为a1，a2，…，a12.设1≤iA．5 B．8 C．10 D．15
2．（2022·全国·高考真题）有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（ ）
A．12种 B．24种 C．36种 D．48种
3．（2020·山东·高考真题）现从4名男生和3名女生中，任选3名男生和2名女生，分别担任5门不同学科的课代表，则不同安排方法的种数是（ ）
A．12 B．120 C．1440 D．17280
4．（2020·海南·高考真题）要安排3名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有（ ）
A．2种 B．3种 C．6种 D．8种
5．（2020·全国·高考真题（理））4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有__________种.
一、单选题
1．在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列（允许数字重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为（ ）
A．10 B．11 C．12 D．7
2．某学校为了迎接市春季运动会，从由5名男生和4名女生组成的田径训练队中选出4人参加比赛，要求男、女生都有，则男生甲与女生乙至少有1人入选的选法种数为（ ）
A．85 B．86 C．9 D．90
3．已知集合，，若从这两个集合中各取一个元素作为点的横坐标或纵坐标，则可得平面直角坐标系中第一、二象限内不同点的个数是（ ）
A．18 B．16 C．14 D．10
4．现从6名学生干部中选出3名同学分别参加全校资源、生态和环保3个夏令营活动，则不同的选派方案的种数是（ ）
A．20 B．90 C．120 D．240
5．将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的方法有（ ）
A．5种 B．6种 C．10种 D．20种
6．7个不同型号的行李箱上分别对应贴有不同的标签以作标记，其中恰有3个行李箱标签贴错的种数为（ ）
A．49 B．70 C．265 D．1854
7．在某互联网大会上，为了提升安保级别，将甲、乙等5名特警分配到3个不同的路口执勤，每个人只能分配到1个路口，每个路口最少1人，且甲和乙不能安排在同一个路口，则不同的安排方法有（ ）
A．180种 B．150种 C．96种 D．114种
8．疫情之下，口罩成为家家户户囤货清单中必不可少的一项，某新闻记者为调查不同口罩的防护能力，分别在淘宝、京东、拼多多等购物平台购买了7种口罩，安排4人进行相关数据统计，且每人至少统计1种口罩的相关数据（不重复统计），则不同的安排方法有（ ）
A．6000种 B．7200种 C．7800种 D．8400种
二、多选题
9．将甲，乙，丙，丁4个志愿者分別安排到学校图书馆，食堂，实验室帮忙，要求每个地方至少安排一个志愿者帮忙，则下列选项正确的是（ ）
A．总其有36种安排方法
B．若甲安排在实验室帮忙，则有6种安排方法
C．若图书馆需要安排两位志愿者帮忙，则有24种安排方法
D．若甲 乙安排在同一个地方帮忙，则有6种安排方法
10．2022年2月5日晩，在北京冬奥会短道速滑混合团体接力决赛中，中国队率先冲过终点，为中国体育代表团拿到本届奥运会首枚金牌.赛后，武大靖，任子威，曲春雨，范可欣，张雨婷5名运动员从左往右排成一排合影留念，下列结论正确的是（ ）
A．武大靖与张雨婷相邻，共有48种排法
B．范可欣与曲春雨不相邻，共有72种排法
C．任子威在范可欣的右边，共有120种排法
D．任子威不在最左边，武大靖不在最右边，共有78种排法
11．甲、乙、丙、丁、戊五人站成一排．（ ）
A．若甲、乙必须相邻且乙在甲的右边，则不同的排法有24种
B．若最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法有42种
C．甲、乙不相邻的排法有82种
D．甲、乙、丙按从左到右的顺序排列的排法有20种
12．甲、某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在如图所示正方形ABCD（边长为2个单位）的顶点A处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位，如果掷出的点数为i（，2，…，6），则棋子就按逆时针方向行走i个单位，一直循环下去．某人抛掷n次骰子后棋子恰好又回到点A处，则（ ）
A．若时，则共有3种不同走法 B．若时，则共有5种不同走法
C．若时，则共有25种不同走法 D．若时，则共有27种不同走法
三、填空题
13．某大学的两名教授带领四名学生外出实习，实习前在学院门口合影留念．若站成两排合影，两名教授站在前排，四名学生站在后排，则不同的排法种数为______（用数字作答）．
14．有一个“国际服务”项目截止到2022年7月25日还有8个名额空缺，需要分配给3个单位，则每个单位至少一个名额且各单位名额互不相同的分配方法种数是___________.
15．学习涂色能锻炼手眼协调能力，更能提高审美能力.现有四种不同的颜色：湖蓝色、米白色、橄榄绿、薄荷绿，欲给小房子中的四个区域涂色，要求相邻区域不涂同一颜色，且橄榄绿与薄荷绿也不涂在相邻的区域内，则共有______种不同的涂色方法.
16．第24届冬季奥运会于2022年2月4日在北京市和河北省张家口市举行.现要安排5名志愿者去四个场馆参加活动，每名志愿者只能去一个场馆.且每个场馆只能安排一名志愿者，则不同的分配方法有___________个.（空格处填写数字）
四、解答题
17．2021年4月29日是江津中学第29届校园文化艺术节活动周暨庆祝中国共产党成立100周年文艺总汇演之日．已知初中、高一、高二分别选送了7，5，3个节目．现回答以下问题（用排列数表示，不需要合并化简）：
(1)若初中的节目彼此都不相邻，则共有多少种出场顺序？
(2)由于一些特殊原因，高一5个节目（分别为，，，，）中的必须在其余4个节目前面演出，高二3个节目（分别为，，）中的必须在其余2个节目前面演出，则共有多少种出场顺序？
18．3名男同志和3名女同志到4辆不同的公交车上服务．
(1)若每辆车上都要有人服务，但最多安排男女各一名，有多少种不同的安排方法？
(2)若男女各包两辆车，有多少种安排方法？
19．相邻的个车位中停放了辆不同的车，现将所有车开出后再重新停入这个车位中．
(1)若要求有辆车不得停在原来的车位中，有多少种不同的停法？
(2)若要求所有车都不得停在原来的车位中，有多少种不同的停法？
20．3名男生与4名女生，按照下列不同的要求，求不同的方案的方法总数．按要求列出式子，再计算结果，用数字作答．
(1)从中选出2名男生和2名女生排成一列；
(2)全体站成一排，男生不能站一起；
(3)全体站成一排，甲不站排头，也不站排尾．
(4)全体站成一排，甲、乙必须站在一起，而丙、丁不能站在一起；中小学教育资源及组卷应用平台
第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布
专题1：两个计数原理、排列与组合
1.通过实例，了解分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其意义.
2.理解排列、组合的概念；能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式.
3.能解决简单的实际问题．
1．两个计数原理
分类 加法 计数 原理 完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法
分步 乘法 计数 原理 完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法
2.排列与组合的概念
名称 定义
排列 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素 按照一定的顺序排成一列
组合 作为一组
3.排列数、组合数的定义、公式、性质
排列数 组合数
定义 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数
公式 A＝n(n－1)·(n－2)·…·(n－m＋1)＝ C＝＝ ＝
性质 A＝n！，0！＝1 C＝1，C＝1
1．排列数与组合数的关系：
A＝CA.
2．组合数的性质：
①C＝C；②C＝C＋C.
考点一　两个计数原理及综合应用
1．（2021·黑龙江·哈尔滨三中高一开学考试）一只小虫子欲从A点不重复经过图中的点或者线段，而最终到达目的地E，这只小虫子的不同走法共有（　　）
A．12种 B．13种
C．14种 D．15种
【答案】C
【分析】根据题意按照一定顺序，将所有的路线列举出来即可.
【详解】由题意这只小虫子的不同走法共有：ABCDE,ABCDPE, ABCDPFE,ABPDE,
共14种，
故选：C
2．（2022·全国·高二单元测试）用红、黄、蓝3种颜色给如图所示的6个相连的圆涂色，若每种颜色只能涂2个圆，且相邻2个圆所涂颜色不能相同，则不同的涂法种数为（ ）
A．24 B．30 C．36 D．42
【答案】B
【分析】先分类（先涂前3个圈，再涂后3个圆）：第1类，前3个圆用3种颜色，后3个圆也用3种颜色；第2类，前3个圆用2种颜色，后3个圆也用2种颜色，分别计算后再由加法原理相加即得．
【详解】分2类（先涂前3个圆，再涂后3个圆．）：第1类，前3个圆用3种颜色，后3个圆也用3种颜色，有种涂法；第2类，前3个圆用2种颜色，后3个圆也用2种颜色，有种涂法．综上，不同的涂法和数为．
故选：B．
3．（2022·江苏·金沙中学高二阶段练习）用数字、、、、、组成没有重复数字的四位数，则下列说法正确的是（ ）
A．可组成300个不重复的四位数
B．可组成156个不重复的四位偶数
C．可组成96个能被3整除的不重复四位数
D．若将组成的不重复的四位数按从小到大的顺序排成一个数列，则第85个数字为2310
【答案】ABC
【分析】根据每个选项的四位数的特点分别利用排列组合的计算方式计算出结果即可判断.
【详解】A选项，从、、、、中选一个排在首位有种选法，再从剩下的五个数中选三个数排在百位、十位、个位有种排法，
由分步乘法原理可得：个，所以A正确；
B选项，分为两类：在个位，则有种；
不在个位，从、中选一个排在个位，首位从、、和、中剩下的一个数共四个数中选一个，
十位和百位再从剩下的四个数中选排，则共有种，
∴共有种，所以B正确；
C选项，先把四个相加能被整除的四个数从小到大列举出来，
即先选：，、、、，
它们排列出来的数一定可以被整除，∴共有：种，所以C正确；
D选项，首位为的有个，前两位为的有个，前两位为的有个，
因而第个数字是前两位为的最小数，即为，所以D不正确；.
故选：ABC．
4．（2022·江苏·响水县第二中学高二期中）用种不同的颜色给图中个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求相邻的两个格子颜色不同，涂色方法有______种.
【答案】320
【分析】先从左边第一个格子开始涂色，然后第二个、第三个、第四个格子涂色方法，由分步乘法计数原理可得解.
【详解】先从左边第一个格子开始涂色，第一个格子有5种涂色方法，第二个格子有4种涂色方法，第三个格子有4种涂色方法，第四个格子有4种涂色方法，
所以共有种不同的涂色方法.
故答案为：.
5．（2022·重庆·巫山县官渡中学高二阶段练习）从甲地去乙地有3班火车，从乙地去丙地有2班轮船，则从甲地去丙地可选择的旅行方式有______种
【答案】6
【分析】根据分步计数的乘法原理求解即可.
【详解】由分步计数的乘法原理，从甲地去丙地可选择的旅行方式有种.
故答案为：6
利用两个基本计数原理解决问题的步骤
考点二　排列问题
3名女生和5名男生排成一排.
(1)若女生全排在一起，有多少种排法？
(2)若女生都不相邻，有多少种排法？
(3)若女生不站两端，有多少种排法？
(4)其中甲必须排在乙左边(可不邻)，有多少种排法？
(5)其中甲不站最左边，乙不站最右边，有多少种排法？
【解析】(1)(捆绑法)由于女生排在一起，可把她们看成一个整体，这样同5名男生合在一起有6个元素，排成一排有A种排法，而其中每一种排法中，3名女生之间又有A种排法，因此共有A·A＝4 320种不同排法．
(2)(插空法)先排5名男生，有A种排法，这5名男生之间和两端有6个位置，从中选取3个位置排女生，有A种排法，因此共有A·A＝14 400种不同排法．
(3)法一(位置分析法)：因为两端不排女生，只能从5名男生中选2人排，有A种排法，剩余的位置没有特殊要求，有A种排法，因此共有A·A＝14 400种不同排法．
法二(元素分析法)：从中间6个位置选3个安排女生，有A种排法，其余位置无限制，有A种排法，因此共有A·A＝14 400种不同排法.
(4)8名学生的所有排列共A种，其中甲在乙左边与乙在甲左边的各占，因此符合要求的排法种数为A＝20 160.
(5)甲、乙为特殊元素，左、右两边为特殊位置．
法一(特殊元素法)：甲在最右边时，其他的可全排，有A种不同排法；甲不在最右边时，可从余下6个位置中任选一个，有A种．而乙可排在除去最右边位置后剩余的6个中的任一个上，有A种，其余人全排列，共有A·A·A种不同排法．
由分类加法计数原理知，共有A＋A·A·A＝30 960种不同排法．
法二(特殊位置法)：先排最左边，除去甲外，有A种排法，余下7个位置全排，有A种排法，但应剔除乙在最右边时的排法A·A种，因此共有A·A－A·A＝30 960种排法．
法三(间接法)：8名学生全排列，共A种，其中，不符合条件的有甲在最左边时，有A种排法，乙在最右边时，有A种排法，其中都包含了甲在最左边，同时乙在最右边的情形，有A种排法．因此共有A－2A＋A＝30 960种排法．
解排列应用问题的六种常用方法
考点三　组合问题
1．（2022·全国·高二单元测试）现有编号分别为A，B，C，D，E，F，G的7个不同的小球，将这些小球排成一排．
(1)若要求A，B，C相邻，则有多少种不同的排法？
(2)若要求A排在正中间，且B，C，D互不相邻，则有多少种不同的排法？
【答案】(1)720
(2)216
【分析】（1）把A，B，C看成一个整体与剩余的4个球排列；
（2）A在正中间，所以A的排法只有1种．B，C，D互不相邻，分两类，第一类：有两个在A的左侧且不相邻，1个在A的右侧，第二类：有1个在A的左侧，2个在A的右侧且不相邻，由此计算可得．
（1）把A，B，C看成一个整体与剩余的4个球排列，则不同的排法有（种）
（2）A在正中间，所以A的排法只有1种．
因为B，C，D互不相邻，
所以B，C，D不可能同时在A的左侧或右侧
若B，C，D中有1个在A的左侧，2个在A的右侧且不相邻，则不同的排法有（种）；若B，C，D中有2个在A的左侧且不相邻，1个在A的右侧，则不同的排法有（种）．
综上，所求的不同排法有（种）．
2．（2022·全国·高二课时练习）某医院呼吸内科有3名男医生、2名女医生，其中李亮（男）为科室主任；感染科有2名男医生、2名女医生，其中张雅（女）为科室主任．现在院方决定从两科室中选4人参加培训．
(1)若至多有1名主任参加，则有多少种派法？
(2)若呼吸内科至少有2名医生参加，则有多少种派法？
(3)若至少有1名主任参加，且有女医生参加，则有多少种派法？
【答案】(1)105；
(2)105；
(3)87.
【分析】（1）分无主任参加和只有1名主任参加两种情况，再根据组合的方法求得答案；
（2）分2名医生、3名医生和4名医生参加三种情况，再根据组合的方法即可求得答案；
（3）考虑张雅参加和不参加两种情况，如果张雅不参加则李亮必须参加，进而根据组合的方法即可求得答案.
（1）若无主任参加，则有种派法，若只有1名主任参加，则有种派法，故不同的派法共有（种）.
（2）由题意，可分为三类考虑：
第一类，呼吸内科有2名医生参加，则共有种派法；
第二类，呼吸内科有3名医生参加，则共有种派法；
第三类，呼吸内科有4名医生参加，则共有种派法．
所以呼吸内科至少有2名医生参加的派法共有（种）．
（3）张雅既是主任，也是女医生，属于特殊元素，优先考虑，所以以张雅是否参加来分类．
第一类，张雅参加，则有种派法，
第二类，张雅不参加，则李亮必须参加，则有种派法．
所以至少有1名主任参加，且有女医生参加的派法共有（种）．
组合问题的常见类型与处理方法
(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中选取．
(2)“至少”或“至多”含有几个元素的题型：若直接法分类复杂时，逆向思维，间接求解．
考点四 分组、分配问题　
不同元素的整体均分问题
　将6本不同的书分给甲、乙、丙、丁4个人，每人至少1本的不同分法共有________种．(用数字作答)
【答案】1 560　
【解析】把6本不同的书分成4组，每组至少1本的分法有2种．
①有1组3本，其余3组每组1本，不同的分法共有＝20(种)；
②有2组每组2本，其余2组每组1本，不同的分法共有·＝45(种)．
所以不同的分组方法共有20＋45＝65(种)．
然后把分好的4组书分给4个人，所以不同的分法共有65×A＝1 560(种)．
不同元素的不等分问题
若将6名教师分到3所中学任教，一所1名，一所2名，一所3名，则有________种不同的分法．
【答案】360
【解析】[将6名教师分组，分三步完成：
第1步，在6名教师中任取1名作为一组，有C种分法；
第2步，在余下的5名教师中任取2名作为一组，有C种分法；
第3步，余下的3名教师作为一组，有C种分法．
根据分步乘法计数原理，共有CCC＝60种分法．
再将这3组教师分配到3所中学，有A＝6种分法，
故共有60×6＝360种不同的分法．
相同元素的分配问题
把9个完全相同的口罩分给6名同学，每人至少一个，不同的分法种数为(　　)
A．41 B．56
C．156 D．252
【答案】B　
【解析】问题可转化为将9个完全相同的口罩排成一列，再分成6堆，每堆至少一个，求其方法数．事实上，只需在上述9个完全相同的口罩所产生的8个“空档”中选出5个“空档”插入挡板，即产生符合要求的方法数．故有C＝56种．
分组、分配问题是排列与组合的综合问题，解题思想是先分组后分配
(1)分组问题属于“组合”问题，常见的分组方法有三种：
①完全均匀分组，每组元素的个数都相等；
②部分均匀分组，应注意不要重复；
③完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象．
(2)分配问题属于“排列”问题，常见的分配方法有三种：
①相同元素的分配问题，常用“挡板法”；
②不同元素的分配问题，利用分步乘法计数原理，先分组，后分配；
③有限制条件的分配问题，采用分类求解．
提醒：对于部分均分问题，若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！.
1．（2020·全国·高考真题（文））如图，将钢琴上的12个键依次记为a1，a2，…，a12.设1≤iA．5 B．8 C．10 D．15
【答案】C
【分析】根据原位大三和弦满足，原位小三和弦满足
从开始，利用列举法即可解出．
【详解】根据题意可知，原位大三和弦满足：．
∴；；；；．
原位小三和弦满足：．
∴；；；；．
故个数之和为10．
故选：C．
2．（2022·全国·高考真题）有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（ ）
A．12种 B．24种 C．36种 D．48种
【答案】B
【分析】利用捆绑法处理丙丁，用插空法安排甲，利用排列组合与计数原理即可得解
【详解】因为丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列,有种排列方式；为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有2种插空方式；注意到丙丁两人的顺序可交换，有2种排列方式，故安排这5名同学共有：种不同的排列方式，
故选：B
3．（2020·山东·高考真题）现从4名男生和3名女生中，任选3名男生和2名女生，分别担任5门不同学科的课代表，则不同安排方法的种数是（ ）
A．12 B．120 C．1440 D．17280
【答案】C
【分析】首先选3名男生和2名女生，再全排列，共有种不同安排方法.
【详解】首先从4名男生和3名女生中，任选3名男生和2名女生，共有种情况，
再分别担任5门不同学科的课代表，共有种情况.
所以共有种不同安排方法.
故选：C
4．（2020·海南·高考真题）要安排3名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有（ ）
A．2种 B．3种 C．6种 D．8种
【答案】C
【分析】首先将3名学生分成两个组，然后将2组学生安排到2个村即可.
【详解】第一步，将3名学生分成两个组，有种分法
第二步，将2组学生安排到2个村，有种安排方法
所以，不同的安排方法共有种
故选：C
5．（2020·全国·高考真题（理））4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有__________种.
【答案】
【分析】根据题意，有且只有2名同学在同一个小区，利用先选后排的思想，结合排列组合和乘法计数原理得解.
【详解】4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学
先取2名同学看作一组，选法有：
现在可看成是3组同学分配到3个小区，分法有：
根据分步乘法原理，可得不同的安排方法种
故答案为：.
一、单选题
1．在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列（允许数字重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为（ ）
A．10 B．11 C．12 D．7
【答案】B
【分析】由题意知与信息0110至多有两个对应的位置上的数字相同的信息包括三类：一是与信息0110由两个对应位置上的数字相同，二是与信息0110有一个对应位置上的数字相同，三是与信息0110没有一个对应位置上的数字相同，分别写出结果相加.
【详解】与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息包括三类：
①与信息0110只有两个对应位置上的数字相同，有（个）；
②与信息0110只有一个对应位置上的数字相同，有（个）；
③与信息0110对应位置上的数字均不相同，有1个．
综上，与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息有（个）．
故选：B
2．某学校为了迎接市春季运动会，从由5名男生和4名女生组成的田径训练队中选出4人参加比赛，要求男、女生都有，则男生甲与女生乙至少有1人入选的选法种数为（ ）
A．85 B．86 C．9 D．90
【答案】B
【分析】由加法原理分类计算：第一类，男生甲入选，女生乙不入选；第二类，男生甲不入选，女生乙入选；第三类，男生甲、女生乙均入选，由此计算可得，其中第一类和第二类里计算时还需要再按男女生人数分类．
【详解】由题意，可分三类考虑：
第一类，男生甲入选，女生乙不入选，选法种数为；
第二类，男生甲不入选，女生乙入选，选法种数为；
第三类，男生甲、女生乙均入选，选法种数为．
所以男生甲与女生乙至少有1人入选的选法种数为．
故选：B．
3．已知集合，，若从这两个集合中各取一个元素作为点的横坐标或纵坐标，则可得平面直角坐标系中第一、二象限内不同点的个数是（ ）
A．18 B．16 C．14 D．10
【答案】C
【分析】分M中的元素作点的横坐标，N中的元素作点的纵坐标和N中的元素作点的横坐标，M中的元素作点的纵坐标两类讨论求解.
【详解】分两类情况讨论：
第一类，从中取的元素作为横坐标，从中取的元素作为纵坐标，则第一、二象限内的点共有（个）；
第二类，从中取的元素作为纵坐标，从中取的元素作为横坐标，则第一、二象限内的点共有（个），
由分类加法计数原理，所以所求个数为．
故选：C
4．现从6名学生干部中选出3名同学分别参加全校资源、生态和环保3个夏令营活动，则不同的选派方案的种数是（ ）
A．20 B．90 C．120 D．240
【答案】C
【分析】根据排列可求不同的选派方案的种数.
【详解】共有种不同的选派方案．
故选：C.
5．将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的方法有（ ）
A．5种 B．6种 C．10种 D．20种
【答案】C
【分析】利用插空法计算可得，需注意个不需要排列；
【详解】解：依题意利用插空法，个有个位置可以放，故方法有种；
故选：C．
6．7个不同型号的行李箱上分别对应贴有不同的标签以作标记，其中恰有3个行李箱标签贴错的种数为（ ）
A．49 B．70 C．265 D．1854
【答案】B
【分析】根据分布乘法计数原理以及组合数的计算即可求解.
【详解】第一步，从7个行李箱中挑选3个，有种方法；
第二步，3个行李箱标签贴错的方法有2种，
所以恰有3个行李箱标签贴错的种数为．
故选：B
7．在某互联网大会上，为了提升安保级别，将甲、乙等5名特警分配到3个不同的路口执勤，每个人只能分配到1个路口，每个路口最少1人，且甲和乙不能安排在同一个路口，则不同的安排方法有（ ）
A．180种 B．150种 C．96种 D．114种
【答案】D
【分析】先考虑甲乙不在同一个路口的情况，再考虑甲乙再同一路口的情况，进而根据分配法求得答案.
【详解】先不考虑条件“甲和乙不能安排在同一个路口”，则有两种情况：①三个路口人数分别为3，1，1时，安排方法共有（种）；②三个路口人数分别为2，2，1时，安排方法共有（种）．若将甲、乙安排在同一路口，可以把甲、乙看作一个整体，则相当于将4名特警分配到3个不同的路口，安排方法共有（种）．故甲和乙不安排在同一个路口的安排方法共有（种）．
故选：D．
8．疫情之下，口罩成为家家户户囤货清单中必不可少的一项，某新闻记者为调查不同口罩的防护能力，分别在淘宝、京东、拼多多等购物平台购买了7种口罩，安排4人进行相关数据统计，且每人至少统计1种口罩的相关数据（不重复统计），则不同的安排方法有（ ）
A．6000种 B．7200种 C．7800种 D．8400种
【答案】D
【分析】由题意可知安排方法分三类，第一类，3个人统计1种，1个人统计4种，第二类，2个人统计1种，1个人统计2种，1个人统计3种，第三类，1个人统计1种，3个人统计2种，然后利用先分组后排列计算即得.
【详解】由题意可知安排方法分三类：
第一类，3个人统计1种，1个人统计4种，有（种）；
第二类，2个人统计1种，1个人统计2种，1个人统计3种，有（种）；
第三类，1个人统计1种，3个人统计2种，有（种）；
故总的安排方法有（种）．
故选：D．
二、多选题
9．将甲，乙，丙，丁4个志愿者分別安排到学校图书馆，食堂，实验室帮忙，要求每个地方至少安排一个志愿者帮忙，则下列选项正确的是（ ）
A．总其有36种安排方法
B．若甲安排在实验室帮忙，则有6种安排方法
C．若图书馆需要安排两位志愿者帮忙，则有24种安排方法
D．若甲 乙安排在同一个地方帮忙，则有6种安排方法
【答案】AD
【分析】先将4人分成3组，再将3组安排到3个场馆，即可判断A；分实验室只安排甲1人和实验室安排2人，即可判断B；先安排2人去图书馆，再将其他2人安排到其他两个场馆，即可判断C；将甲 乙看成一人，则将3人安排到3个不同的地方，即可判断D.
【详解】解：对于A，先将4人分成3组，再将3组安排到3个场馆，
有种安排方法，故A正确；
对于B，若实验室只安排甲1人，则有种安排方法，
若实验室安排2人，则有种安排方法，
所以若甲安排在实验室帮忙，则有12种安排方法，故B错误；
对于C，先安排2人去图书馆，再将其他2人安排到其他两个场馆，
则有种安排方法，故C错误；
对于D，若甲 乙安排在同一个地方帮忙，则有种安排方法，故D正确.
故选：AD.
10．2022年2月5日晩，在北京冬奥会短道速滑混合团体接力决赛中，中国队率先冲过终点，为中国体育代表团拿到本届奥运会首枚金牌.赛后，武大靖，任子威，曲春雨，范可欣，张雨婷5名运动员从左往右排成一排合影留念，下列结论正确的是（ ）
A．武大靖与张雨婷相邻，共有48种排法
B．范可欣与曲春雨不相邻，共有72种排法
C．任子威在范可欣的右边，共有120种排法
D．任子威不在最左边，武大靖不在最右边，共有78种排法
【答案】ABD
【分析】利用分步乘法计数原理结合排列与排列数，逐项分析判断即可.
【详解】解：A项中，武大靖与张雨婷相邻，将武大靖与张雨婷排在一起有种排法，
再将二人看成一个整体与其余三人全排列，有种排法，
由分步乘法计数原理得，共有（种）排法，故选项A正确；
B项中，范可欣与曲春雨不相邻，先将其余三人全排列，有种排法，
再将范可欣与曲春雨插入其余三人形成的4个空位中，有种排法，
由分步乘法计数原理得，共有（种）排法，故选项B正确；
C项中，任子威在范可欣的右边，先从五个位置中选出三个位置排其余三人，有种排法，
剩下两个位置排任子威、范可欣，只有1种排法，
所以任子威在范可欣的右边，共有（种）排法，故选项C错误；
D项中，武大靖，任子威，曲春雨，范可欣，张雨婷5人全排列，有种排法，
任子威在最左边，有种排法，武大靖在最右边，有种排法，
任子威在最左边，且武大靖在最右边，有种排法，
所以任子威不在最左边，武大靖不在最右边，共有（种）排法，故选项D正确.
故选：ABD.
11．甲、乙、丙、丁、戊五人站成一排．（ ）
A．若甲、乙必须相邻且乙在甲的右边，则不同的排法有24种
B．若最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法有42种
C．甲、乙不相邻的排法有82种
D．甲、乙、丙按从左到右的顺序排列的排法有20种
【答案】ABD
【分析】利用捆绑法可判断A；分别算出甲在最左端时以及乙在最左端时的排法数，可判断B;用插空法可判断C；先从5个位置中选2个位置安排丁、戊两人，再把甲、乙、丙按从左到右的顺序排在剩下的3个位置中，计算排法数，可判断D.
【详解】对于A，甲、乙必须相邻且乙在甲的右边,把甲、乙看作一个人，两人只有一种排法，然后与其他人全排列，排法共有（种），A正确；
对于B，甲在最左端时，排法有（种），乙在最左端时，排法有（种），排法共有（种），B正确；
对于C，先排除甲、乙外的其他三人，再把甲、乙排进三人中间及两端的4个位置中，排法共有（种），C错误；
对于D，先从5个位置中选2个位置安排丁、戊两人，再把甲、乙、丙按从左到右的顺序排在剩下的3个位置中，排法共有（种），D正确．
故选：ABD．
12．甲、某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在如图所示正方形ABCD（边长为2个单位）的顶点A处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位，如果掷出的点数为i（，2，…，6），则棋子就按逆时针方向行走i个单位，一直循环下去．某人抛掷n次骰子后棋子恰好又回到点A处，则（ ）
A．若时，则共有3种不同走法 B．若时，则共有5种不同走法
C．若时，则共有25种不同走法 D．若时，则共有27种不同走法
【答案】BD
【分析】当时，骰子的点数之和是，列举出点数中两个数字能够使得和为的情况，即可判断A、B，若时，三次骰子的点数之和是，，列举出在点数中三个数字能够使得和为，的情况，再按照分类分步计数原理计算可得.
【详解】解：由题意知正方形（边长为2个单位）的周长是．
当时，骰子的点数之和是，列举出在点数中两个数字能够使得和为的有，，共种组合，抛掷骰子是有序的，所以共种结果，故A错误，B正确；
若时，三次骰子的点数之和是，，列举出在点数中三个数字能够使得和为，的有，，，，，，共有种组合，
前种组合，，每种情况可以排列出种结果，共有种结果，
其中，，，，各有种结果，共有种结果，根据分类计数原理知共有种结果．
故选：BD．
三、填空题
13．某大学的两名教授带领四名学生外出实习，实习前在学院门口合影留念．若站成两排合影，两名教授站在前排，四名学生站在后排，则不同的排法种数为______（用数字作答）．
【答案】48
【分析】根据排列数以及分步乘法计数原理即可求解.
【详解】第一步：先排两名教授，不同的排法有（种）．
第二步：排四名学生，不同的排法有（种）．
故由分步乘法计数原理，可得不同的排法共有（种）．
故答案为：48
14．有一个“国际服务”项目截止到2022年7月25日还有8个名额空缺，需要分配给3个单位，则每个单位至少一个名额且各单位名额互不相同的分配方法种数是___________.
【答案】12
【分析】首先确定3个单位名额互不相同的分配方式种数，再应用全排列求每种方式的分配方法数，即可得结果.
【详解】各单位名额各不相同，则8个名额的分配方式有，两种，
对于其中任一种名额分配方式，将其分配给3个单位的方法有种，
所以每个单位至少一个名额且各单位名额互不相同的分配方法种数是种.
故答案为：12
15．学习涂色能锻炼手眼协调能力，更能提高审美能力.现有四种不同的颜色：湖蓝色、米白色、橄榄绿、薄荷绿，欲给小房子中的四个区域涂色，要求相邻区域不涂同一颜色，且橄榄绿与薄荷绿也不涂在相邻的区域内，则共有______种不同的涂色方法.
【答案】66
【分析】运用分类计数原理、分步计算原理，结合组合定义进行求解即可.
【详解】当选择两种颜色时，因为榄绿与薄荷绿不涂在相邻的区域内，所以共有种选法，因此不同的涂色方法有种，
当选择三种颜色且橄榄绿与薄荷绿都被选中，则有种方法选法，
因此不同的涂色方法有种，
当选择三种颜色且橄榄绿与薄荷绿只有一个被选中，则有种方法选法，
因此不同的涂色方法有种，
当选择四种颜色时，不同的涂色方法有种，
所以共有种不不同的涂色方法，
故答案为：66
16．第24届冬季奥运会于2022年2月4日在北京市和河北省张家口市举行.现要安排5名志愿者去四个场馆参加活动，每名志愿者只能去一个场馆.且每个场馆只能安排一名志愿者，则不同的分配方法有___________个.（空格处填写数字）
【答案】120
【分析】根据排列的概念和排列数公式，即可求出结果.
【详解】解：从5名志愿者中选4人排列个.
故答案为：120
四、解答题
17．2021年4月29日是江津中学第29届校园文化艺术节活动周暨庆祝中国共产党成立100周年文艺总汇演之日．已知初中、高一、高二分别选送了7，5，3个节目．现回答以下问题（用排列数表示，不需要合并化简）：
(1)若初中的节目彼此都不相邻，则共有多少种出场顺序？
(2)由于一些特殊原因，高一5个节目（分别为，，，，）中的必须在其余4个节目前面演出，高二3个节目（分别为，，）中的必须在其余2个节目前面演出，则共有多少种出场顺序？
【答案】(1)种
(2)种
【分析】（1）根据插空法即可求解不相邻问题，
（2）根据定序问题中全排列以及除法计算即可求解.
（1）先对高一、高二的节目进行全排列，有种不同的排法，
再在高一、高二的8个节目形成的9个空隙中选7个排初中的7个节目，有种排法，
由分步乘法计数原理可得，共有种不同的出场顺序．
（2）高一的5个节目全排列，有种不同的排法，其中在其余4个节目前面，有种排法．
高二的3个节目全排列有种不同的排法，其中在其余2个节目前面，有种排法．
初中、高一和高二的15个节目全排列有种不同的排法．
所以不同的排法共有种．
18．3名男同志和3名女同志到4辆不同的公交车上服务．
(1)若每辆车上都要有人服务，但最多安排男女各一名，有多少种不同的安排方法？
(2)若男女各包两辆车，有多少种安排方法？
【答案】(1)432种
(2)216种
【分析】（1）先将3名男同志安排到车上，再安排女同志，根据分步计数原理求解即可；
（2）先将男女同志均分2组，再安排到4辆车上求解即可
(1)先将3名男同志安排到车上，有种方法，在未安排男同志的那辆车上安排一名女同志，有种方法，还有2名女同志有种安排方法．共有＝432种安排方法．
(2)男同志分2组有种方法，女同志分2组有种方法，将4组安排到4辆车上有种方法．共有＝216种安排方法．
19．相邻的个车位中停放了辆不同的车，现将所有车开出后再重新停入这个车位中．
(1)若要求有辆车不得停在原来的车位中，有多少种不同的停法？
(2)若要求所有车都不得停在原来的车位中，有多少种不同的停法？
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用分步乘法计数原理直接计算即可；
（2）利用分步乘法计数原理直接计算即可.
（1）可分成两步完成：第一步，先选出停在原来车位的那辆车，有种情况，
第二步，停放剩下的辆车，将剩余辆车分别编号为，，，将剩余个停车位分别编号为一、二、三，设车先选停车位，此时有种停法，剩余两辆车有且只有种停法，所以第二部有种停法，
根据分步乘法计数原理，共有种停法；
（2）将辆车分别编号为，，，，将个停车位分别编号为一、二、三、四．不妨设车先选停车位，此时有种停法，若车选了二号停车位，那么车再选，有种停法，剩下的车和车都只有种停法，故共有种停法．
20．3名男生与4名女生，按照下列不同的要求，求不同的方案的方法总数．按要求列出式子，再计算结果，用数字作答．
(1)从中选出2名男生和2名女生排成一列；
(2)全体站成一排，男生不能站一起；
(3)全体站成一排，甲不站排头，也不站排尾．
(4)全体站成一排，甲、乙必须站在一起，而丙、丁不能站在一起；
【答案】(1)种
(2)种
(3)种
(4)种
【分析】（1）从男生中任选2名有种选法，从女生中任选2名有种选法，再将4个人全排列即可求解；
（2）先将女生全排列会有5个空，再将男生排列到5个空即可求解；
（3）先从除甲外的6个人中选两人排列在收尾，再将剩余的5个人排列到中间即可求解；
（4）先将甲乙捆绑有种，将甲乙看做一个整体与除丙丁外的剩余3人排列有种，排列后会有5个空，再任选2个空将丙丁插入排列即可求解.
(1)从3名男生中任选2名有种选法，从4名女生中任选2名有种选法，再将选取的4人排列有种排法，由乘法原理共有种排法．
(2)先将女生全排有种，再从5个空隙中选出3个将3个男生插入到3个空隙中有种，由乘法原理共有种排法．
(3)首尾位置可安排另6人中的两人，有种排法，其他人有种排法，乘法原理共有种排法．
(4)将甲乙捆在一起，与剩下的3人（除丙丁）全排，再将丙丁插空到5个空隙中的2个有种，再将甲乙交换位置有种，由乘法原理共有种．

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