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第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布
专题2：二项式定理
能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理，会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．
1．二项式定理
(1)二项式定理：(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)；
(2)通项公式：Tk＋1＝Can－kbk，它表示第 项；
(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数C，C，…，C.
提醒：(a＋b)n的展开式与(b＋a)n的展开式的项完全相同，但对应的项不相同，而且两个展开式的通项不同．
2．二项式系数的性质
性质 性质描述
对称性 与首末两端等距离的两个二项式系数相等，即
增减性 二项式 系数C 当k＜(n∈N*)时，是 的
当k＞(n∈N*)时，是 的
最大值 当n为偶数时，中间的一项取得最大值
当n为奇数时，中间的两项与相等且同时取得最大值
3.各二项式系数和
(1)(a＋b)n展开式的各二项式系数和：C＋C＋C＋…＋C＝
(2)偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝
提醒：二项式系数与项的系数是完全不同的两个概念．二项式系数是指C，C，…，C，它只与各项的项数有关，而与a，b的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a，b的值有关．
考点一 二项展开式的通项公式的应用
形如(a＋b)n的展开式问题
1．（2022·浙江省诸暨市第二高级中学高二期中）对于二项式，以下判断正确的有（ ）
A．存在，展开式中有常数项
B．对任意，展开式中没有常数项
C．对任意，展开式中没有x的一次项
D．存在，展开式中有x的一次项
【答案】AD
【分析】利用展开式的通项公式依次对选项进行分析，得到答案．
【详解】设二项式展开式的通项公式为，
则，
不妨令，则时，展开式中有常数项，故答案A正确，答案B错误；
令，则时，展开式中有的一次项，故C答案错误，D答案正确．
故选：AD
2．（2022·云南红河·高二期末）的展开式中的常数项为________（用数字作答）．
【答案】135
【分析】利用二项式定理的通项公式求解.
【详解】的展开式的通项公式为，
令，解得，所以展开式中的常数项为.
故答案为：135.
3．（2022·北京·高二期末）若的展开式共有项，则___________；展开式中的常数项是___________.
【答案】 6 60
【分析】根据给定条件，利用二项式定理直接求出n值，再利用展开式的通项公式求解常数项作答.
【详解】因的展开式共有项，则，解得，
的展开式通项为：，
由得：，所以的展开式是.
故答案为：6；60
形如(a＋b)n(c＋d)m的展开式问题
1．（2021·河南·高三开学考试（理））的展开式中的系数为（ ）
A． B．60 C．12 D．
【答案】D
【分析】根据二项式展开式的通项公式，令，或，即可求得答案.
【详解】因为的展开式的通项：，
令，或，解得，（舍去），
所以的展开式中的系数为,
故选：D
2．（2022·江苏·盐城中学模拟预测）的展开式中，一次项的系数与常数项之和为（ ）
A．33 B．34 C．35 D．36
【答案】D
【分析】先求出一次项的系数与常数项，再求和即可
【详解】因为的通项公式为，
所以的展开式中，一次项的系数为，
常数项为，
所以一次项的系数与常数项之和为，
故选：D
3．（2022·全国·高二课时练习）已知正整数，若的展开式中不含的项，则n=______．
【答案】10
【分析】根据的展开式中不含的项列方程，结合组合数的性质求得的值.
【详解】因为的展开式的通项为，
所以展开式中的系数为，的系数为．
又，
所以若展开式中不含，则，由组合数的性质以及，得．
故答案为：
形如(a＋b＋c)n的展开式问题
1．（2023·全国·高三专题练习）的展开式中常数项为______
【答案】
【分析】利用组合知识进行求解.
【详解】将原式看成6个相同的因子相乘，按x的选取个数分类，
得展开式中常数项为．
故答案为：-59
2．（2023·全国·高三专题练习）在的二项展开式中含项的系数为______
【答案】21
【分析】将作为一个整体，写出二项展开式的通项公式，求出项的系数.
【详解】的展开式的通项为．
的展开式的通项为．
由，得，
，，或，
在的展开式中，
含项的系数为．
故答案为：21
3．（2023·全国·高三专题练习）在的展开式中含和含的项的系数之和为______
【答案】
【分析】先用十字相乘法分解因式，然后利用组合知识求解出指定项系数，求出和.
【详解】，则的系数为1，
的系数为，
所以在的展开式中含和含的项的系数之和为．
故答案为：-674
求近似值和整除问题
1．（2022·全国·高二单元测试）的计算结果精确到0.001的近似值是（ ）
A．0.930 B．0.931 C．0.932 D．0.933
【答案】C
【分析】由二项式定理求解
【详解】.
故选：C
2．（2022·全国·高二课时练习）设，且，若能被13整除，则a的值可以为（ ）
A．0 B．11 C．12 D．25
【答案】CD
【分析】化简，再利用二项式定理分析得解.
【详解】解：，
又52能被13整除，
∴需使能被13整除，即能被13整除，
∴，，又，
∴或25.
故选：CD．
3．（2022·江苏省镇江中学高二期末）下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．精确到的近似值为
C．被8除的余数为1
D．若，则
【答案】ABD
【分析】对于选项A：利用赋值法，令,则；再令,即可求解；对于选项B：利用二项式定理 ,取展开式前3项,即可求解；对于选项C： 利用二项式定理，判断出被8除的余数为1不正确；对于选项D： 先求出n=7.再求出的值.
【详解】对于选项A：在中，令,则；令,则,所以,故A正确;
对于选项B： ,取展开式前3项,则精确到0.1的近似值为1+0.5+0.1=1.6.故 B正确;
对于选项C：
在展开式中，含56 的项都能被8整除，最后一项为-1，除以8的余数是7.故被8除的余数为1不正确.故C错误;
对于选项D： 因为，
所以n=7.
所以，所以.
故D正确.
故选：ABD.
4．（2021·山东·高三开学考试）设，则除以9所得的余数为______．
【答案】8
【分析】根据已知条件将a写为，即，展开后观察式子即可得到结果.
【详解】因为，
所以，，
所以除以9所得的余数为8．
故答案为：8
几种求展开式特定项的解法
(1)求二项展开式中的特定项，一般是化简通项后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k＋1，代回通项即可．
(2)对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏．
(3)对于三项式问题一般先变形化为二项式再解决．
(4)在证明整除问题或求余数问题时要进行合理的变形，使被除式(数)展开后的每一项都含有除式的因式．
考点二　二项式系数的和与各项的系数和问题
1．（2022·江苏·金沙中学高二阶段练习）已知的展开式中各二项式系数之和为64，则展开式中的常数项是___________.
【答案】
【分析】由各项的二项式系数之和，求出，再利用展开式的通项即可求常数项．
【详解】解：各项的二项式系数之和为64，，即；
展开式的通项为．
令，解得．
展开式中常数项为．
故答案为：．
2．（2022·贵州·贵阳市白云区第二高级中学高二期末（理））若，则_________.（用数字作答）
【答案】127
【分析】根据题意判断各项系数正负，化简含绝对值的等式，运用赋值法即可得到答案.
【详解】因为，
所以奇次方系数为负，偶次方系数为正，
所以，
对于，
令，得，
令，得，
两式相减，得，
即.
故答案为：127
3．（2022·广东·南海中学高二阶段练习）.求：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)展开式中二项式系数和以及偶数项的二项式系数和；
(5)求展开式二项式系数最大的项是第几项？
(6).
【答案】(1)1
(2)
(3)
(4)，
(5)第1012项.
(6)4044
【分析】（1）令，即可求解；
（2）令，结合（1）即可求解；
（3）相当于求展开式的系数和，令即可求解；
（4）由二项式系数和性质求解即可；
（5）由二项式系数的性质可知中间项二项式系数最大，求解即可；
（6）两边分别求导得
，
令，即可求解
（1）令，得①.
（2）令，得②.由①-②得，.
（3）相当于求展开式的系数和，令，得.
（4）展开式中二项式系数和是.展开式中偶数项的二项系数和是.
（5）展开式有2023项，中间项是第1012项，所以展开式二项式系数最大的项是第1012项.
（6）两边分别求导得：，令，得.
系数和问题常用“赋值法”求解
赋值法是指对二项式中的未知元素赋值，从而求得二项展开式的各项系数和的方法．求解有关系数和问题的关键点如下：
①赋值，观察已知等式与所求式子的结构特征，确定所赋的值，常赋的值有：－1,0,1等．
②求参数，通过赋值，建立参数的相关方程，解方程，可得参数值．
③求值，根据题意，得出指定项的系数和．
考点三 二项式系数的性质
二项式系数的最值问题
设m为正整数，2m展开式的二项式系数的最大值为a，2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b，若15a＝8b，则m＝________.
【答案】7　
【解析】2m展开式中二项式系数的最大值为a＝C，2m＋1展开式中二项式系数的最大值为b＝C，因为15a＝8b，所以15C＝8C，即15×＝8×，解得m＝7.
项的系数的最值问题
已知(＋x2)2n的展开式的二项式系数和比(3x－1)n的展开式的二项式系数和大992，则在的展开式中，二项式系数最大的项为________，系数的绝对值最大的项为________．
【答案】－8 064　－15 360x4　
【解析】由题意知，22n－2n＝992，即(2n－32)(2n＋31)＝0，故2n＝32，解得n＝5.由二项式系数的性质知，的展开式中第6项的二项式系数最大，故二项式系数最大的项为T6＝C(2x)5＝－8 064.
设第k＋1项的系数的绝对值最大，
则Tk＋1＝C·(2x)10－k·＝(－1)kC·210－k·x10－2k，
令 得
即 解得≤k≤.
∵k∈Z，∴k＝3.
故系数的绝对值最大的项是第4项，
T4＝－C·27·x4＝－15 360x4.
求解二项式系数或展开式系数的最值问题的一般步骤
第一步，求系数的最大值问题，要先弄清所求问题是“展开式中项的系数最大”“二项式系数最大”以及“最大项”三者中的哪一个；
第二步，若是求二项式系数最大值，则依据(a＋b)n中n的奇偶及二项式系数的性质求解．若是求展开式中项的系数的最大值，由于展开式中项的系数是离散型变量，设展开式各项的系数分别为A1，A2，…，An＋1，且第k项系数最大，因此在系数均为正值的前提下，求展开式中项的系数的最大值只需解不等式组 即得结果．
1．（2022·北京·高考真题）若，则（ ）
A．40 B．41 C． D．
2．（2020·山东·高考真题）在的二项展开式中，第项的二项式系数是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·全国·高考真题）的展开式中的系数为________________（用数字作答）．
4．（2022·浙江·高考真题）已知多项式，则__________，___________．
5．（2021·天津·高考真题）在的展开式中，的系数是__________．
6．（2020·天津·高考真题）在的展开式中，的系数是_________．
一、单选题
1．的展开式中含的项的系数为（ ）
A． B．180 C． D．11520
2．若二项式的展开式中各项的系数和为1024，则该展开式中含项的系数是（ ）
A．120 B．320 C．100 D．300
3．在（）的展开式中，若第5项为二项式系数最大的项，则n的值不可能是（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
4．已知，设，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
5．二项式的展开式中含有常数项，则的最小值等于（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
6．设，若，则展开式中系数最大的项是（ ）
A． B． C． D．
7．已知（a，b均为常数）的展开式中第4项的系数与含项的系数分别为-80与80，则（ ）
A．3 B．2 C．-2 D．-3
8．已知的展开式共有13项，则下列说法中正确的有（ ）
A．展开式所有项的系数和为 B．展开式二项式系数最大为
C．展开式中没有常数项 D．展开式中有理项共有5项
二、多选题
9．在的展开式中，下列说法正确的是（ ）
A．不存在常数项 B．第4项和第5项二项式系数最大
C．第3项的系数最大 D．所有项的系数和为128
10．已知的展开式中第6项的二项式系数最大，则的值可以为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
11．已知的展开式中第3项与第5项的系数之比为，则下列结论成立的是（ ）
A． B．展开式中的常数项为45
C．含的项的系数为210 D．展开式中的有理项有5项
12．已知，则（ ）
A．
B．
C．
D．
三、填空题
13．若的展开式中含项的系数为-32，则______．
14．多项式，则___________.
15．被除，余数为___________.
16．若函数，其中≤x≤，则的最大值为_______．
17．二项式定理是产生组合恒等式的一个重要源泉.由二项式定理得，可推导得________.
四、解答题
18．已知.
(1)当，时，求中含项的系数；
(2)用、表示，写出推理过程．
19．在的二项展开式中，二项式系数之和为64.
(1)求正整数的值；
(2)求的二项展开式中二项式系数最大的项.
20．在①只有第5项的二项式系数最大；②第4项与第6项的二项式系数相等；③奇数项的二项式系数的和为128；这三个条件中任选一个，补充在下面（横线处）问题中，解决下面两个问题.
已知（n∈N*），___________
(1)求的值：
(2)求的值.
21．已知展开式的二项式系数和为512，且.
(1)求的值；
(2)设，其中，且，求的值.中小学教育资源及组卷应用平台
第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布
专题2：二项式定理
能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理，会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．
1．二项式定理
(1)二项式定理：(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)；
(2)通项公式：Tk＋1＝Can－kbk，它表示第k＋1项；
(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数C，C，…，C.
提醒：(a＋b)n的展开式与(b＋a)n的展开式的项完全相同，但对应的项不相同，而且两个展开式的通项不同．
2．二项式系数的性质
性质 性质描述
对称性 与首末两端等距离的两个二项式系数相等，即C＝C
增减性 二项式 系数C 当k＜(n∈N*)时，是递增的
当k＞(n∈N*)时，是递减的
最大值 当n为偶数时，中间的一项取得最大值
当n为奇数时，中间的两项与相等且同时取得最大值
3.各二项式系数和
(1)(a＋b)n展开式的各二项式系数和：C＋C＋C＋…＋C＝2n.
(2)偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1.
提醒：二项式系数与项的系数是完全不同的两个概念．二项式系数是指C，C，…，C，它只与各项的项数有关，而与a，b的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a，b的值有关．
考点一 二项展开式的通项公式的应用
形如(a＋b)n的展开式问题
1．（2022·浙江省诸暨市第二高级中学高二期中）对于二项式，以下判断正确的有（ ）
A．存在，展开式中有常数项
B．对任意，展开式中没有常数项
C．对任意，展开式中没有x的一次项
D．存在，展开式中有x的一次项
【答案】AD
【分析】利用展开式的通项公式依次对选项进行分析，得到答案．
【详解】设二项式展开式的通项公式为，
则，
不妨令，则时，展开式中有常数项，故答案A正确，答案B错误；
令，则时，展开式中有的一次项，故C答案错误，D答案正确．
故选：AD
2．（2022·云南红河·高二期末）的展开式中的常数项为________（用数字作答）．
【答案】135
【分析】利用二项式定理的通项公式求解.
【详解】的展开式的通项公式为，
令，解得，所以展开式中的常数项为.
故答案为：135.
3．（2022·北京·高二期末）若的展开式共有项，则___________；展开式中的常数项是___________.
【答案】 6 60
【分析】根据给定条件，利用二项式定理直接求出n值，再利用展开式的通项公式求解常数项作答.
【详解】因的展开式共有项，则，解得，
的展开式通项为：，
由得：，所以的展开式是.
故答案为：6；60
形如(a＋b)n(c＋d)m的展开式问题
1．（2021·河南·高三开学考试（理））的展开式中的系数为（ ）
A． B．60 C．12 D．
【答案】D
【分析】根据二项式展开式的通项公式，令，或，即可求得答案.
【详解】因为的展开式的通项：，
令，或，解得，（舍去），
所以的展开式中的系数为,
故选：D
2．（2022·江苏·盐城中学模拟预测）的展开式中，一次项的系数与常数项之和为（ ）
A．33 B．34 C．35 D．36
【答案】D
【分析】先求出一次项的系数与常数项，再求和即可
【详解】因为的通项公式为，
所以的展开式中，一次项的系数为，
常数项为，
所以一次项的系数与常数项之和为，
故选：D
3．（2022·全国·高二课时练习）已知正整数，若的展开式中不含的项，则n=______．
【答案】10
【分析】根据的展开式中不含的项列方程，结合组合数的性质求得的值.
【详解】因为的展开式的通项为，
所以展开式中的系数为，的系数为．
又，
所以若展开式中不含，则，由组合数的性质以及，得．
故答案为：
形如(a＋b＋c)n的展开式问题
1．（2023·全国·高三专题练习）的展开式中常数项为______
【答案】
【分析】利用组合知识进行求解.
【详解】将原式看成6个相同的因子相乘，按x的选取个数分类，
得展开式中常数项为．
故答案为：-59
2．（2023·全国·高三专题练习）在的二项展开式中含项的系数为______
【答案】21
【分析】将作为一个整体，写出二项展开式的通项公式，求出项的系数.
【详解】的展开式的通项为．
的展开式的通项为．
由，得，
，，或，
在的展开式中，
含项的系数为．
故答案为：21
3．（2023·全国·高三专题练习）在的展开式中含和含的项的系数之和为______
【答案】
【分析】先用十字相乘法分解因式，然后利用组合知识求解出指定项系数，求出和.
【详解】，则的系数为1，
的系数为，
所以在的展开式中含和含的项的系数之和为．
故答案为：-674
求近似值和整除问题
1．（2022·全国·高二单元测试）的计算结果精确到0.001的近似值是（ ）
A．0.930 B．0.931 C．0.932 D．0.933
【答案】C
【分析】由二项式定理求解
【详解】.
故选：C
2．（2022·全国·高二课时练习）设，且，若能被13整除，则a的值可以为（ ）
A．0 B．11 C．12 D．25
【答案】CD
【分析】化简，再利用二项式定理分析得解.
【详解】解：，
又52能被13整除，
∴需使能被13整除，即能被13整除，
∴，，又，
∴或25.
故选：CD．
3．（2022·江苏省镇江中学高二期末）下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．精确到的近似值为
C．被8除的余数为1
D．若，则
【答案】ABD
【分析】对于选项A：利用赋值法，令,则；再令,即可求解；对于选项B：利用二项式定理 ,取展开式前3项,即可求解；对于选项C： 利用二项式定理，判断出被8除的余数为1不正确；对于选项D： 先求出n=7.再求出的值.
【详解】对于选项A：在中，令,则；令,则,所以,故A正确;
对于选项B： ,取展开式前3项,则精确到0.1的近似值为1+0.5+0.1=1.6.故 B正确;
对于选项C：
在展开式中，含56 的项都能被8整除，最后一项为-1，除以8的余数是7.故被8除的余数为1不正确.故C错误;
对于选项D： 因为，
所以n=7.
所以，所以.
故D正确.
故选：ABD.
4．（2021·山东·高三开学考试）设，则除以9所得的余数为______．
【答案】8
【分析】根据已知条件将a写为，即，展开后观察式子即可得到结果.
【详解】因为，
所以，，
所以除以9所得的余数为8．
故答案为：8
几种求展开式特定项的解法
(1)求二项展开式中的特定项，一般是化简通项后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k＋1，代回通项即可．
(2)对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏．
(3)对于三项式问题一般先变形化为二项式再解决．
(4)在证明整除问题或求余数问题时要进行合理的变形，使被除式(数)展开后的每一项都含有除式的因式．
考点二　二项式系数的和与各项的系数和问题
1．（2022·江苏·金沙中学高二阶段练习）已知的展开式中各二项式系数之和为64，则展开式中的常数项是___________.
【答案】
【分析】由各项的二项式系数之和，求出，再利用展开式的通项即可求常数项．
【详解】解：各项的二项式系数之和为64，，即；
展开式的通项为．
令，解得．
展开式中常数项为．
故答案为：．
2．（2022·贵州·贵阳市白云区第二高级中学高二期末（理））若，则_________.（用数字作答）
【答案】127
【分析】根据题意判断各项系数正负，化简含绝对值的等式，运用赋值法即可得到答案.
【详解】因为，
所以奇次方系数为负，偶次方系数为正，
所以，
对于，
令，得，
令，得，
两式相减，得，
即.
故答案为：127
3．（2022·广东·南海中学高二阶段练习）.求：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)展开式中二项式系数和以及偶数项的二项式系数和；
(5)求展开式二项式系数最大的项是第几项？
(6).
【答案】(1)1
(2)
(3)
(4)，
(5)第1012项.
(6)4044
【分析】（1）令，即可求解；
（2）令，结合（1）即可求解；
（3）相当于求展开式的系数和，令即可求解；
（4）由二项式系数和性质求解即可；
（5）由二项式系数的性质可知中间项二项式系数最大，求解即可；
（6）两边分别求导得
，
令，即可求解
（1）令，得①.
（2）令，得②.由①-②得，.
（3）相当于求展开式的系数和，令，得.
（4）展开式中二项式系数和是.展开式中偶数项的二项系数和是.
（5）展开式有2023项，中间项是第1012项，所以展开式二项式系数最大的项是第1012项.
（6）两边分别求导得：，令，得.
系数和问题常用“赋值法”求解
赋值法是指对二项式中的未知元素赋值，从而求得二项展开式的各项系数和的方法．求解有关系数和问题的关键点如下：
①赋值，观察已知等式与所求式子的结构特征，确定所赋的值，常赋的值有：－1,0,1等．
②求参数，通过赋值，建立参数的相关方程，解方程，可得参数值．
③求值，根据题意，得出指定项的系数和．
考点三 二项式系数的性质
二项式系数的最值问题
设m为正整数，2m展开式的二项式系数的最大值为a，2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b，若15a＝8b，则m＝________.
【答案】7　
【解析】2m展开式中二项式系数的最大值为a＝C，2m＋1展开式中二项式系数的最大值为b＝C，因为15a＝8b，所以15C＝8C，即15×＝8×，解得m＝7.
项的系数的最值问题
已知(＋x2)2n的展开式的二项式系数和比(3x－1)n的展开式的二项式系数和大992，则在的展开式中，二项式系数最大的项为________，系数的绝对值最大的项为________．
【答案】－8 064　－15 360x4　
【解析】由题意知，22n－2n＝992，即(2n－32)(2n＋31)＝0，故2n＝32，解得n＝5.由二项式系数的性质知，的展开式中第6项的二项式系数最大，故二项式系数最大的项为T6＝C(2x)5＝－8 064.
设第k＋1项的系数的绝对值最大，
则Tk＋1＝C·(2x)10－k·＝(－1)kC·210－k·x10－2k，
令 得
即 解得≤k≤.
∵k∈Z，∴k＝3.
故系数的绝对值最大的项是第4项，
T4＝－C·27·x4＝－15 360x4.
求解二项式系数或展开式系数的最值问题的一般步骤
第一步，求系数的最大值问题，要先弄清所求问题是“展开式中项的系数最大”“二项式系数最大”以及“最大项”三者中的哪一个；
第二步，若是求二项式系数最大值，则依据(a＋b)n中n的奇偶及二项式系数的性质求解．若是求展开式中项的系数的最大值，由于展开式中项的系数是离散型变量，设展开式各项的系数分别为A1，A2，…，An＋1，且第k项系数最大，因此在系数均为正值的前提下，求展开式中项的系数的最大值只需解不等式组 即得结果．
1．（2022·北京·高考真题）若，则（ ）
A．40 B．41 C． D．
【答案】B
【分析】利用赋值法可求的值.
【详解】令，则，
令，则，
故，
故选：B.
2．（2020·山东·高考真题）在的二项展开式中，第项的二项式系数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题可通过二项式系数的定义得出结果.
【详解】第项的二项式系数为，
故选：A.
3．（2022·全国·高考真题）的展开式中的系数为________________（用数字作答）．
【答案】-28
【分析】可化为，结合二项式展开式的通项公式求解.
【详解】因为，
所以的展开式中含的项为，
的展开式中的系数为-28
故答案为：-28
4．（2022·浙江·高考真题）已知多项式，则__________，___________．
【答案】
【分析】第一空利用二项式定理直接求解即可，第二空赋值去求，令求出，再令即可得出答案．
【详解】含的项为：，故；
令，即，
令，即，
∴，
故答案为：；．
5．（2021·天津·高考真题）在的展开式中，的系数是__________．
【答案】160
【分析】求出二项式的展开式通项，令的指数为6即可求出.
【详解】的展开式的通项为，
令，解得，
所以的系数是.
故答案为：160.
6．（2020·天津·高考真题）在的展开式中，的系数是_________．
【答案】10
【分析】写出二项展开式的通项公式，整理后令的指数为2，即可求出．
【详解】因为的展开式的通项公式为，令，解得．
所以的系数为．
故答案为：．
一、单选题
1．的展开式中含的项的系数为（ ）
A． B．180 C． D．11520
【答案】B
【分析】分情况讨论，要得到含的项，中有3项与2项4相乘，或者有4项与1项相乘，再相加求和即可.
【详解】根据题意，要得到含的项，则中有3项与2项4相乘，或者有4项与1项相乘.
故的展开式中含的项为.
即的展开式中含的项的系数为180.
故选：B
2．若二项式的展开式中各项的系数和为1024，则该展开式中含项的系数是（ ）
A．120 B．320 C．100 D．300
【答案】B
【分析】根据各项系数和，采用赋值法可求得，由此可得展开式的通项，进而得到答案
【详解】解：对，令，得，解得，
二项式展开式的通项公式为，
令，解得，
故展开式中含项的系数为，
故选：B.
3．在（）的展开式中，若第5项为二项式系数最大的项，则n的值不可能是（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】D
【分析】由题意，利用二项式系数的性质，求得的值．
【详解】当时，的展开式有8项，的展开式中二项式系数最大，
即第四项和第五项的二项式系数最大；
当时，的展开式有9项，的展开式中二项式系数最大，
即第五项的二项式系数最大；
当时，的展开式有10项，的展开式中二项式系数最大，
即第五项和第六项的二项式系数最大.
当时，的展开式有11项，的展开式中二项式系数最大，
即第六项的二项式系数最大.
故选：D．
4．已知，设，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】C
【分析】根据组合数的性质得到，再利用赋值法求值即可.
【详解】因为，所以由组合数的性质得，
所以，
令，得，
即.
故选：C
5．二项式的展开式中含有常数项，则的最小值等于（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】先求出二项式展开式的通项公式，令的指数为0，再根据的取值范围可求得结果
【详解】二项式的展开式为
，
令，，
则，
因为
所以当时，取得最小值3，
故选：B
6．设，若，则展开式中系数最大的项是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用赋值法可求得，继而求得，由此可得,求得n的值，即可求得答案.
【详解】因为，所以当时，可得；
当时，可得．
又，所以，得，
所以的展开式中系数最大的项为第4项，即,
故选：B
7．已知（a，b均为常数）的展开式中第4项的系数与含项的系数分别为-80与80，则（ ）
A．3 B．2 C．-2 D．-3
【答案】A
【分析】利用二项式的展开项公式得到第4项与含项的系数表达式，求得a，b后即可得解.
【详解】由题意，知第4项的系数为，
含项的系数为，
所以，即，
解得，所以，
故选：A．
8．已知的展开式共有13项，则下列说法中正确的有（ ）
A．展开式所有项的系数和为 B．展开式二项式系数最大为
C．展开式中没有常数项 D．展开式中有理项共有5项
【答案】D
【分析】根据二项式展开式的项数、展开式的系数和、二项式系数最大值、常数项、有理项等知识求得正确选项.
【详解】因为，所以，令，得所有项的系数和为，故A错误.
由二项式系数的性质可知二项式系数最大的项为第7项的二项式系数为，故B错误.
因为展开式的通项为，
当时，， 故C错误.
当为整数时，，3，6，9，12，共有5项，故D正确.
故选：D
二、多选题
9．在的展开式中，下列说法正确的是（ ）
A．不存在常数项 B．第4项和第5项二项式系数最大
C．第3项的系数最大 D．所有项的系数和为128
【答案】ABC
【分析】利用二项展开式的通项公式及赋值法，逐项分析即得.
【详解】因为展开式的通项公式为，
由，得(舍去)，所以展开式不存在常数项，故A正确；
展开式共有项，所以第4项和第5项二项式系数最大，故B正确；
由通项公式可得为偶数时，系数才有可能取到最大值，
由，可知第项的系数最大，故C正确；
令，得所有项的系数和为，故D错误；
故选：ABC.
10．已知的展开式中第6项的二项式系数最大，则的值可以为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】BCD
【分析】利用二次项系数的性质即可求解.
【详解】因为的展开式中第6项的二项式系数最大，则的值可以为或或.
当时，的展开式共有项，其中第项与第项的二项式系数相等且最大，满足题意，
当时，的展开式共有项，只有第项的二项式系数最大，满足题意，
当时，的展开式共有项，其中第项与第项的二项式系数相等且最大，满足题意，
故选：BCD.
11．已知的展开式中第3项与第5项的系数之比为，则下列结论成立的是（ ）
A． B．展开式中的常数项为45
C．含的项的系数为210 D．展开式中的有理项有5项
【答案】ABC
【分析】根据二项式的展开式的通项公式，结合第3项与第5项的系数之比为，可得.再根据公式逐个选项判断即可.
【详解】二项式的展开式的通项为，由于第3项与第5项的系数之比为，则，故，得.
∴(n＋5)(n－10)＝0，解得n＝10，故A正确；
则，令，解得，
则展开式中的常数项为，故B正确；
令，解得，则含的项的系数为，故C正确；
令，则r为偶数，此时，故6项有理项．
故选：ABC
12．已知，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【分析】令，可判定A正确；令，联立方程组，可判定B错误，C正确；化简，令，可判断D正确.
【详解】因为
令，则，所以A正确；
令，则，
又由，
所以，
所以B错误，C正确；
由，
令，则，所以D正确.
故选：ACD.
三、填空题
13．若的展开式中含项的系数为-32，则______．
【答案】-2
【分析】直接利用二项展开式的通项公式,即可求出实数a的值.
【详解】因为的展开式的通项公式为，
故的展开式中含项的系数为，
整理得，所以,
故答案为：
14．多项式，则___________.
【答案】
【分析】先把多项式变形为，然后利用二项式的通项公式进行求解即可.
【详解】解：，
二项式的通项公式为：，
因为，
所以令，因此，
故答案为：.
15．被除，余数为___________.
【答案】1
【分析】将化为，然后利用二项式定理求解即可
【详解】，
因为能被7整除，
所以除以7的余数即为8除以7的余数，即为1．
故答案为：1
16．若函数，其中≤x≤，则的最大值为_______．
【答案】22021；
【分析】先换元，再用二项式定理展开合并求最值.
【详解】令，则有，按的升幂排列，
，
，
两者相加时，的奇数次幂抵消，偶数次幂系数相同，
所以，则偶数次幂的最大值为1，
所以最大值为：
.
故答案为：.
17．二项式定理是产生组合恒等式的一个重要源泉.由二项式定理得，可推导得________.
【答案】
【分析】先证得，然后利用赋值法求得所求表达式的值.
【详解】，
即，
对上式分别令，然后相加得
①，
依题意，
则，
令得
所以，
所以①可化为.
故答案为：
四、解答题
18．已知.
(1)当，时，求中含项的系数；
(2)用、表示，写出推理过程．
【答案】(1)
(2)，过程见解析
【分析】（1）写出函数的解析式，利用二项式定理可求得函数中含项的系数；
（2）利用错位相减法化简函数的解析式，求出解析式中含项的系数，再结合组合数公式化简可得结果.
(1)
解：当，时，，
的展开式通项为，
此时，函数中含项的系数之和为.
(2)
解：因为，①
则，②
①②得
，
所以，，
而为中含项的系数，
而函数中含项的系数也可视为中含项的系数，
故，
且，
故.
19．在的二项展开式中，二项式系数之和为64.
(1)求正整数的值；
(2)求的二项展开式中二项式系数最大的项.
【答案】(1)3
(2)540
【分析】(1)由题意利用二项式系数的性质，求得n的值.
(2)由题意利用二项式系数的性质、二项展开式的通项公式，求得二项式系数最大的项.
（1）
在的二项展开式中，二项式系数之和为.
（2）
由（1）小问可知，的二项展开式中，第4项的二项式系数最大，此时，
故二项式系数最大的项为.
20．在①只有第5项的二项式系数最大；②第4项与第6项的二项式系数相等；③奇数项的二项式系数的和为128；这三个条件中任选一个，补充在下面（横线处）问题中，解决下面两个问题.
已知（n∈N*），___________
(1)求的值：
(2)求的值.
【答案】(1)-1
(2)16
【分析】(1)根据选①，②，③解得都有，所以有，
令，得，再令，得，于是可得；
(2)由(1)可得，所以有，两边分别求导得，再令即可得答案.
（1）解：若选①：因为只有第5项的二项式系数最大，所以展开式中共有9项，即，得，若选②：因为第4项与第6项的二项式系数相等，所以，若选③：因为奇数项的二项式系数的和为128，所以，解得.因为，令，则有，即有，令，得，所以；综上所述：；
（2）由(1)可知：无论选①，②，③都有，，两边求导得，令，则有，所以.
21．已知展开式的二项式系数和为512，且.
(1)求的值；
(2)设，其中，且，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据二项展开式的二项式系数和求出，再结合，根据二项式定理即可求出答案；
（2）根据已知条件改写原式，得到原式可以被整除的部分，根据余项、转化求解即可得到答案.
（1）因为展开式的二项式系数和为512，所以，得，所以，所以.
（2），因为能被6整除，而，，所以.

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