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3.1.1 函数的概念
学案
一、学习目标
1.建立完整的函数概念，体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用.
2.了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域.
3.掌握区间的概念及其表示方法.
二、知识归纳
1.函数的概念：一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称为从集合A到集合B的一个函数，记作，.其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域.
2.一般区间的表示：设a，b是两个实数，而且，则
集合 名称 符号 数轴表示
闭区间
开区间
半开半闭区间
半开半闭区间
特殊区间的表示：
区间 数轴表示
3.相同函数：如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数.
三、习题检测
1.若，则( )
A.1 B. C.0 D.-1
2.下列图形中不是函数图象的是( )
A. B.
C. D.
3.函数的定义域为M，的定义域为N，则( )
A. B. C. D.
4.高斯是德国著名的数学家，近代数学家奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，例如，，已知函数，则函数的值域是( )
A. B. C. D.
5.若函数的定义域为，值域为，则m的取值范围是( )
A. B. C. D.
6.（多选）下列各组函数表示同一函数的是( )
A.，
B.，
C.，
D.，
7.（多选）下列说法正确的是( )
A.若函数的定义域为，则函数的
B.函数的值城为
C.函数在的值域为
D.函数的值域为
8.已知函数，则的定义域是_________，____________.
9.函数的值域是_________.
10.有以下说法：
①与表示同一个函数；
②与表示同一个函数；
③若，则.
其中说法正确的序号是__________.
11.已知，.
（1）求，的值；
（2）求的值；
（3）求，；
12.已知函数.
（1）求的值；
（2）求证：是定值；
答案以及解析
1.答案：A
解析：，.故选A.
2.答案：A
解析：A中存在一个x值对应两个y值的情况，故A不是函数图象，B，C，D均符合函数的概念.故选A.
3.答案：B
解析：要使函数有意义，则，解得，所以，
要使函数有意义，则，解得，所以，
因此，故选B.
4.答案：A
解析：，当时，，
当时，，函数的值域是.故选A.
5.答案：D
解析：，对称轴方程为，当时，，当或时，，在上的值域为，.故选D.
6.答案：AC
解析：对于A，因为，所以与的定义域和对应关系完全相同，即与表示同一函数，故A正确；
对于B，因为，所与的对应关系不相同，即与表示的函数不同，故B不正确；
对于C，因为，所以与的定义域和对应关系完全相同，即与表示同函数，故C正确；
对于D，因为，所以与的对应关系相同，但是定义域不同，所以与表示的函数不同，故D不正确.故选AC.
7.答案：ABC
解析：对于A，由于函数的定义域为，所以对于函数，有，解得，所以函数的定义域为，故A正确；
对于B，令，则，，，所以函数的值域为，故B正确；
对于C，当时，，所以函数在的值域为，故C正确；
对于D，，所以函数的值域为，故D选项错误.故选ABC.
8.答案：；
解析：由题意得，，解得且，所以的定义域是，.
9.答案：
解析：，且，，，，，故函数的值域是.
10.答案：②
解析：对于①，因为函数的定义域为，而函数的定义域是，所以二者不是同一个函数，故①不正确；对于②，，两个函数的定义域和对应关系均相同，所以二者是同一个函数，故②正确；对于③，因为，所以，故③不正确.综上可知，说法正确的是②.
11.解析：（1）因为，所以.
因为，所以.
（2）.
（3），
.
12.解析：（1）因为，
所以.
（2），是定值.

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