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一轮难题复习 复数典型解答题
1．复数的相关概念及运算法则
(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)的分类
①z是实数 b＝0；
②z是虚数 b≠0；
③z是纯虚数 a＝0且b≠0.
(2)共轭复数
复数z＝a＋bi(a，b∈R)的共轭复数＝a－bi.
(3)复数的模
复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模|z|＝.
(4)复数相等的充要条件
a＋bi＝c＋di a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．
特别地，a＋bi＝0 a＝0且b＝0(a，b∈R)．
(5)复数的运算法则
加减法：(a＋bi)±(c＋di)＝(a±c)＋(b±d)i；
乘法：(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；
除法：(a＋bi)÷(c＋di)＝＋i(c＋di≠0)．
2．复数的几个常见结论
(1)(1±i)2＝±2i.
(2)＝i，＝－i.
(3)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈Z)．
3．复数的三角表示式及复数的辐角和辐角的主值
一般地，任何一个复数z＝a＋bi都可以表示成r(cos θ＋isin θ)的形式，其中，r是复数z的模；θ是以x轴的非负半轴为始边，向量所在射线(射线OZ)为终边的角，叫做复数z＝a＋bi的辐角，我们规定在0≤θ＜2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值，通常记作arg z．r(cos θ＋isin θ)叫做复数z＝a＋bi的三角表示式，简称三角形式．a＋bi叫做复数的代数表示式，简称代数形式．
特别提醒：
(1)任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差2π的整数倍．
(2)复数0的辐角是任意的．
(3)在0≤θ＜2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值，通常记作arg z，且0≤arg z＜2π.
(4)两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等．
4.复数的代数形式化为三角形式的步骤
1先求复数的模.
2决定辐角所在的象限.
3根据象限求出辐角.
4求出复数的三角形式.
特别提醒：一般在复数三角形式中的辐角，常取它的主值，这使表达式简便，又便于运算，但三角形式辐角不一定取主值.
5．复数三角形式的乘、除运算
若复数z1＝r1(cos θ1＋isin θ1)，z2＝r2(cos θ2＋isin θ2)，且z1≠z2，则
(1)z1z2＝r1(cos θ1＋isin θ1)·r2(cos θ2＋isin θ2)
＝r1r2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]．
(2)＝
＝ [cos(θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)]．
即：（1）乘法法则：模相乘，辐角相加．
（2）除法法则：模相除，辐角相减．
（3）复数的n次幂，等于模的n次幂，辐角为n倍．
6.复数三角形式乘、除运算的几何意义
两个复数z1，z2相乘时，先分别画出与z1，z2对应的向量，，然后把向量绕点O按逆时针方向旋转角θ2如果θ2＜0，就要把绕点O按顺时针方向旋转角|θ2|，再把它的模变为原来的r2倍，得到向量，表示的复数就是积z1z2.
7．平面向量的概念
名称 定义 记法
零向量 长度为0的向量叫做零向量 0
单位向量 长度等于1个单位的向量，叫做单位向量
相等向量 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量 a＝b
说明，任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关．在平面上，两个长度相等且方向一致的有向线段表示同一个向量
平行 向量 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量 a∥b
规定：零向量与任何向量都平行 0∥a
说明：任一组平行向量都可以平移到同一直线上，因此，平行向量也叫有线向量
8.平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.我们把不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
9．向量a与b的夹角
已知两个非零向量a和b.作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角．当θ＝0°时，a与b同向；当θ＝180°时，a与b反向．如果a与b的夹角是90°，我们说a与b垂直，记作a⊥b.
10．平面向量的数量积
(1)若a，b为非零向量，夹角为θ，则a·b＝|a||b|cos θ.
(2)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.
(3)a·b的几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积．
11．两个非零向量平行、垂直的充要条件
若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
(1)a∥b a＝λb(b≠0) x1y2－x2y1＝0.
(2)a⊥b a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0.
12．利用数量积求长度
(1)若a＝(x，y)，则|a|＝＝.
(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
||＝.
13．利用数量积求夹角
设a，b为非零向量，若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为a与b的夹角，
则cos θ＝＝.
14．三角形“四心”向量形式的充要条件
设O为△ABC所在平面上一点，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，则
(1)O为△ABC的外心 ||＝||＝||＝.
(2)O为△ABC的重心 ＋＋＝0.
(3)O为△ABC的垂心 ·＝·＝·.
(4)O为△ABC的内心 a＋b＋c＝0.
例题1．设，且.
（1）已知，求的值；
（2）若，设集合，，求复平面内对应的点集表示的曲线的对称轴；
（3）若，，是否存在，使得数列、、满足（为常数，且）对一切正整数均成立？若存在，试求出所有的，若不存在，请说明理由.
试卷第1页，共3页一轮难题复习 复数典型解答题
1．复数的相关概念及运算法则
(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)的分类
①z是实数 b＝0；
②z是虚数 b≠0；
③z是纯虚数 a＝0且b≠0.
(2)共轭复数
复数z＝a＋bi(a，b∈R)的共轭复数＝a－bi.
(3)复数的模
复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模|z|＝.
(4)复数相等的充要条件
a＋bi＝c＋di a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．
特别地，a＋bi＝0 a＝0且b＝0(a，b∈R)．
(5)复数的运算法则
加减法：(a＋bi)±(c＋di)＝(a±c)＋(b±d)i；
乘法：(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；
除法：(a＋bi)÷(c＋di)＝＋i(c＋di≠0)．
2．复数的几个常见结论
(1)(1±i)2＝±2i.
(2)＝i，＝－i.
(3)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈Z)．
3．复数的三角表示式及复数的辐角和辐角的主值
一般地，任何一个复数z＝a＋bi都可以表示成r(cos θ＋isin θ)的形式，其中，r是复数z的模；θ是以x轴的非负半轴为始边，向量所在射线(射线OZ)为终边的角，叫做复数z＝a＋bi的辐角，我们规定在0≤θ＜2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值，通常记作arg z．r(cos θ＋isin θ)叫做复数z＝a＋bi的三角表示式，简称三角形式．a＋bi叫做复数的代数表示式，简称代数形式．
特别提醒：
(1)任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差2π的整数倍．
(2)复数0的辐角是任意的．
(3)在0≤θ＜2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值，通常记作arg z，且0≤arg z＜2π.
(4)两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等．
4.复数的代数形式化为三角形式的步骤
1先求复数的模.
2决定辐角所在的象限.
3根据象限求出辐角.
4求出复数的三角形式.
特别提醒：一般在复数三角形式中的辐角，常取它的主值，这使表达式简便，又便于运算，但三角形式辐角不一定取主值.
5．复数三角形式的乘、除运算
若复数z1＝r1(cos θ1＋isin θ1)，z2＝r2(cos θ2＋isin θ2)，且z1≠z2，则
(1)z1z2＝r1(cos θ1＋isin θ1)·r2(cos θ2＋isin θ2)
＝r1r2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]．
(2)＝
＝ [cos(θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)]．
即：（1）乘法法则：模相乘，辐角相加．
（2）除法法则：模相除，辐角相减．
（3）复数的n次幂，等于模的n次幂，辐角为n倍．
6.复数三角形式乘、除运算的几何意义
两个复数z1，z2相乘时，先分别画出与z1，z2对应的向量，，然后把向量绕点O按逆时针方向旋转角θ2如果θ2＜0，就要把绕点O按顺时针方向旋转角|θ2|，再把它的模变为原来的r2倍，得到向量，表示的复数就是积z1z2.
7．平面向量的概念
名称 定义 记法
零向量 长度为0的向量叫做零向量 0
单位向量 长度等于1个单位的向量，叫做单位向量
相等向量 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量 a＝b
说明，任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关．在平面上，两个长度相等且方向一致的有向线段表示同一个向量
平行 向量 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量 a∥b
规定：零向量与任何向量都平行 0∥a
说明：任一组平行向量都可以平移到同一直线上，因此，平行向量也叫有线向量
8.平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.我们把不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
9．向量a与b的夹角
已知两个非零向量a和b.作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角．当θ＝0°时，a与b同向；当θ＝180°时，a与b反向．如果a与b的夹角是90°，我们说a与b垂直，记作a⊥b.
10．平面向量的数量积
(1)若a，b为非零向量，夹角为θ，则a·b＝|a||b|cos θ.
(2)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.
(3)a·b的几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积．
11．两个非零向量平行、垂直的充要条件
若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
(1)a∥b a＝λb(b≠0) x1y2－x2y1＝0.
(2)a⊥b a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0.
12．利用数量积求长度
(1)若a＝(x，y)，则|a|＝＝.
(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
||＝.
13．利用数量积求夹角
设a，b为非零向量，若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为a与b的夹角，
则cos θ＝＝.
14．三角形“四心”向量形式的充要条件
设O为△ABC所在平面上一点，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，则
(1)O为△ABC的外心 ||＝||＝||＝.
(2)O为△ABC的重心 ＋＋＝0.
(3)O为△ABC的垂心 ·＝·＝·.
(4)O为△ABC的内心 a＋b＋c＝0.
例题1．设，且.
（1）已知，求的值；
（2）若，设集合，，求复平面内对应的点集表示的曲线的对称轴；
（3）若，，是否存在，使得数列、、满足（为常数，且）对一切正整数均成立？若存在，试求出所有的，若不存在，请说明理由.
【答案】（1）；（2）；（3）存在符合要求，详见解析.
【解析】
【分析】
（1）设，分和两种情况讨论，即可求出的值；
（2）求解集合、，得到两集合的关系，再求两集合所表示的曲线的对称轴即可；
（3）假设存在满足题设要求，令，，易得对一切均有，且，，根据数学归纳法可证：对任意的，，再记，证明对任意、，均有，可得，从而，此时的不满足要求，从而得出结论.
【详解】
（1）设，则.
若，则，由已知条件可得，
、，，解得，；
若，则，由已知条件可得，
、，，解得（舍去），.
综上所述，；
（2）设，则，且.
集合，
得，
化简得，且，.
则点是表示在以为圆心，半径为的右侧半圆周上的点.
，可得，集合中的点为，
由于是表示在以为圆心，半径为的右侧半圆周上的点.
且点与点关于直线对称，则点是表示在以点为圆心，半径为的上侧半圆周上的点，故其对称轴为直线；
（3）设存在满足题设要求，令，，易得对一切，都有，且，.①
（i）若，则显然为常数数列，故满足题设要求；
（ii）若，则用数学归纳法可证：对任意的，.
证明：当时，由，可知.
假设当时，，
那么当时，若，则，，
故，，②
如果，那么，可知，这与②矛盾；
如果，那么，可知，这与②矛盾.
综上可得，对任意的，.
记，注意到，
即，当且仅当，，即时等号成立，
于是有，进而对任意的、，均有，所以.
从而，此时的不满足要求.
综上所述，存在，使得数列、、满足（为常数，且）对一切正整数均成立.
【点睛】
本题考查了复数的有关概念，考查复数的几何意义，同时也考查了以复数为载体的数列问题，涉及到数学归纳法的应用，综合性较强，属于难题.
试卷第1页，共3页

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