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2.4 一元二次方程根与系数的关系
湘教版 九年级上
教学目标
1. 通过探究、推导掌握一元二次方程根与系数的关系.
2. 能运用根与系数的关系求两根之和或积的相关问题.
3. 能运用根与系数的关系求一元二次方程的系数.
温故知新
1. 当b -4ac＞0时，一元二次方程ax +bx+c=0(a≠0)的根是什么？
2. 当b -4ac＝0时，一元二次方程ax +bx+c=0(a≠0)的根是什么？
温故知新
3. 若x ，x 是一元二次方程ax +bx+c=0的两个根，那么多项式ax +bx+c可以因式分解为ax +bx+c= .
a(x-x )(x-x )
4. 在b -4ac≥0的条件下，你发现一元二次方程ax +bx+c=0(a≠0)的根与系数有什么关系？
一元二次方程ax +bx+c=0的根由它的系数a，b，c决定.
一元二次方程ax +bx+c=0的根与系数还有什么关系呢？
新知讲解
(1)先解方程，再填表：
方 程 x x x +x x ·x
0 2
由上表猜测：若方程x +bx+c=0的两个根为x ，x ，则
x +x = ， x ·x = .
-b
c
2
0
-4
1
-3
-4
-1
6
5
-6
新知讲解
(2)方程x -5x+6=0的两个根为x = ， x = .
根据“温故知新”的第3题或2.2节例8下面的一段话，得
x -5x+6=(x- )(x- ).
(3)设方程x -11x+30=0的两个根为x ， x ，根据(1)的猜测，可得x +x = ， x ·x = .而将x -11x+30=0的左边因式分解，可得x -11x+30=(x- )(x- ).
-1
6
(-1)
6
11
30
11
30
对于方程ax +bx+c=0 (a≠0)，当 ≥0时，该方程的根与它的系数之间有什么关系呢？
新知讲解
当 ≥0时，设ax +bx+c=0 (a≠0)的两个根为x ，x ，则
ax +bx+c=a(x-x )(x-x )
=a[(x -(x +x )x+x x ].
ax +bx+c=.
又
所以
=a[(x -(x +x )x+x x ].
新知讲解
根据多项式相等的规定：两个多项式分别经过合并同类项后，如果它们的对应项系数相等，那么称这两个多项式相等.可得：
=a[(x -(x +x )x+x x ].
=-(x +x )，
=x x .
新知讲解
由此，我们得到下面的结论：
x +x =-
x x =.
这个关系通常被称为韦达定理.
新知讲解
这表明，当 ≥0时一元二次方程的根与系数之间具有如下关系：·
两根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根的积等于常数项与二次项系数的比.
x +x =-
x x =.
新知讲解
例1 根据一元二次方程根与系数的关系，求下列方程两根x ，x 的和与积:
(1)2x -3x+1=0； (2)x -3x+2=10；
(3)7x -5=x+8.
解 (1)x +x
x x =
新知讲解
(2)x -3x+2=10.
整理，得x -3x-8=0.则
先将方程化成一般形式，再求两根的和与积.
x +x = .
x x = .
(-3)=3
-8
新知讲解
(3)7x -5=x+8.
整理，得 .
7x -x-13=0
x +x = ，
x x = .
所以
新知讲解
例2 已知关于x的方程x +3x+q=0的一个根为-3，求它的另一个根及q的值.
分析 由“两根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数”，可知方程x +3x+q=0两根之和是-3，又已知x +3x+q=0的一个根为-3，则可求出另一根；根据“两根之积等于常数项与二次项系数的比”，即可求出q的值.
新知讲解
解 设x +3x+q=0的一个根为x ，则
(-3)+ x =-3.
解得
x =0.
由根与系数的关系得
q=(-3) ×0=0.
因此，另一个方程的根是0，q的值为0.
还可用其他方法求出q的值吗？
我们还可以把方程的一个根-3代入方程x +3x+q=0，也能求出q的值.
新知讲解
巩固练习
1. 已知m，n是方程 x +8x-3=0的两个实数根，则下列选项中错误的一项是（ ）
A. m+n=8 B. mn=-3
C. m +8m-3=0 D. n +8n-3=0
A
解析 因为m，n是方程 x +8x-3=0的两个实数根，所以C，D正确；B符合一元二次方程根与系数的关系，而A不符合，因此A错误，故选A.
2. 设x ，x 是方程x +4x+2=0的两个根，则下列式子中不成立的是（ ）
A. x +x =12 B. (x -x ) =8
C. D. (x -2)(x -2)=-2
D
提示 利用乘法公式，分式的加法、多项式的乘法法则等将上述各式变形为只含x +x ，x x 的未知项，再将x +x ，x x 的值代入变形后的式子中计算，即可找到不成立的选项.
巩固练习
3. 若关于x的方程kx +3x+2=0的一个根是2，则另一个根和k的值分别是（ ）
A. -1和1 B. 1和-1
C. 1和1 D. 1和-2
C
解析 根据根与系数的关系，列出相关式子，即可求得另一个根和k的值.
巩固练习
课堂总结
1. 当 ≥0时，一元二次方程ax +bx+c=0 (a≠0)的两个根x ，x 与这个方程的系数a，b，c有什么关系？
x +x =-
x x =.
2. 当a=1且 ≥0时，一元二次方程x +bx+c=0 的两个根x ，x 与这个方程的系数b，c有什么关系？
x +x =-b，x x =c.
作业布置
1. 根据一元二次方程根与系数的关系，求下列方程两根的和与积:
(1) x -6x+1=0； (2) 2x -x=6.
答案：(1) x +x =6，x x =1.
(2) 整理，得2x -x-6=0，则 x +x ，x x =-3.
作业指导
2. 已知方程3x -19x+m=0的一个根为1，求它的另一个根及m的值.
解 设3x -19x+m=0的一个根为x ，则
1+x
解得
x
由根与系数的关系得
m=1×=
因此，方程的另一个根是，
m的值是.
3. 已知关于x的方程 x -6x+k+1=0的两个实数根为x ，x ，
且x +x =24，求k的值.
解 ∵ x +x =6， x x =k+1，
∴ x +x =x +x +2x x -2x x
=(x +x ) -2x x
=6 -2(k+1)
又∵ x +x =24，∴-2k+34=24. ∴k=5.
=-2k+34.
巩固练习
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