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与圆有关的最值问题
一、最值的几种情况
1.与距离相关的最值
已知圆心到直线(或圆外一点)的距离为d，圆的半径为r.
(1)圆外一点到圆上任意一点距离的最小值＝d－r，最大值＝d＋r.
(2)直线与圆相离，圆上任意一点到直线距离的最小值＝d－r，最大值＝d＋r.
(3)过圆内一定点的直线被圆截得的弦长的最小值＝2，最大值＝2r.
(4)直线与圆相离，过直线上一点作圆的切线，切线长的最小值＝.
(1) (2) (3) (4)
【例1】．已知两点A(0，－3)，B(4,0)，若点P是圆C：x2＋y2－2y＝0上的动点，则△ABP的面积的最小值为(　　)
A．6　　　B．　　C．8　　　D．
【解析】：x2＋y2－2y＝0可化为x2＋(y－1)2＝1，则圆C为以(0,1)为圆心，1为半径的圆．
如图，过圆心C向直线AB作垂线交圆于点P，连接BP，AP，这时△ABP的面积最小，
直线AB的方程为＋＝1，即3x－4y－12＝0，
圆心C到直线AB的距离d＝，
又|AB|＝＝5，所以△ABP的面积的最小值为×5×＝．故选：B　
2.斜率型最值
形如型的最值问题，可转化为过定点(a，b)的动直线斜率的最值问题求解．
【例2】.已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0，求的最大值和最小值．
【解】：原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，表示以(2,0)为圆心，为半径的圆.的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设＝k，即y＝kx.当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取最大值或最小值，此时＝，解得k＝±.(如图所示)
所以的最大值为，最小值为－.
3.截距型最值
形如μ＝ax＋by型的最值问题，常转化为动直线截距的最值问题求解，即令t＝ax＋by，则，从而将ax＋by的最值问题，转化为求直线的截距的最值问题．
【例3】.已知点(x，y)在圆(x－2)2＋(y＋3)2＝1上，求x＋y的最大值和最小值．
【解】：设t＝x＋y，则y＝－x＋t，t可视为直线y＝－x＋t在y轴上的截距，
所以x＋y的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最大值和最小值，
即直线与圆相切时在y轴上的截距．
由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，即=1，解得t＝－1或t＝－－1.
所以x＋y的最大值为－1，最小值为－－1.
另：也可用三角代换法：设x=2+cosα，y=-3+sinα，代入运算即可.
4.距离型最值
形如μ＝(x－a)2＋(y－b)2型的最值问题，可转化为动点M(x，y)与定点P(a，b)的距离的平方求最值．若点在圆外，则最大值为|MP|+r，最小值为|MP|-r；若点在圆内，则最大值为|MP|+r，最小值为r-|MP|.
【例4】.已知M(x，y)为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点，
①点Q(－2,3)，则|MQ|的最大值为________，最小值为________;
②求x2＋y2的最大值和最小值．
【解】：①由圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0，可得(x－2)2＋(y－7)2＝8，
所以圆心C的坐标为(2,7)，半径r＝.
又|QC|＝，所以|MQ|max＝＋＝，
|MQ|min＝－＝.
②【解】：x2＋y2＝(x－0)2＋(y－0)2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．
又圆心到原点的距离为，
所以x2＋y2的最大值是(＋)2＝61＋4，x2＋y2的最小值是(－)2＝61－4.
二、精选练习
1．圆：x2＋y2－2x－2y＋1＝0上的点到直线x－y＝2的距离的最大值是(　　)
A．1＋　　　B．2　　　C．1＋　　　D．2＋2
2．(2018年全国Ⅲ卷理)直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是( )
A． B． C． D．
3．由直线y＝x＋1上的动点P向圆C：(x－3)2＋y2＝1引切线，则切线长的最小值为(　　)
A．1 B． C． D．3
4．圆x2＋y2－4x＋6y－12＝0过点(－1，0)的最大弦长为m，最小弦长为n，则m－n等于(　　)
A．10－ B．5－ C．10－3 D．5－
5．一束光线，从点A(-2，2)出发到(x﹣3)2+(y﹣3)2＝1上的最短路径的长度是(　　)
A． B． C． D．
6．实数x，y满足x2＋y2＋2x＝0，则的取值范围是(　　)
A．[－，] B．(－∞，－]∪[，＋∞) C. D.∪
7．已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=25，圆上的点到直线l:3x+4y+m=0(m<0)的最短距离为1，若点N(a,b)在直线l位于第一象限的部分，则的最小值为__________．
8．圆O的方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25，点M(5,7)到圆上点的最大距离为________,最小距离为_______．
9.已知直线l1：kx+y+2=0和直线l2:x-ky-2=0相交于点M，点P（0，4）为定点，则|PM|的取值范围是_______.
10．设点P是函数y＝图象上的任意一点，点Q坐标为(2a，a－3)(a∈R)，则|PQ|的最小值为 ．
11．设点P(x，y)是圆：x2＋(y－3)2＝1上的动点，定点A(2，0)，B(－2，0)，则的最大值为 ．
12．已知圆C：(x―3)2+(y―4)2=1，点A（0，―1），B（0，1），设P是圆C上的动点，令d=|PA|2+|PB|2，求d的最大值及最小值．
13.已知点A(－2，－2)，B(－2,6)，C(4，－2)，点P在圆x2＋y2＝4上运动，求|PA|2＋|PB|2＋|PC|2的最值．
14.已知x，y满足(x－1)2＋y2＝1，求的最小值．
15.已知圆C：(x＋2)2＋y2＝1，P(x，y)为圆C上任一点．
(1)求的最大、最小值；
(2)求x－2y的最大、最小值．
16.设函数f(x)=a+和g(x)=x+1，已知当x∈[－4，0]时，恒有f(x)g(x)，求实数a的取值范围．
17．已知点P(x，y)在圆x2+y2－6x－6y+14=0上．
（1）求的最大值和最小值；
（2）求x2+y2+2x+3的最大值与最小值；
（3）求x+y的最大值与最小值．
三、答案与解析
1.【解析】：由已知得圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1，则圆心坐标为(1,1)，半径为1，所以圆心到直线的距离为＝，所以圆上的点到直线的距离的最大值是1＋，故选A．
2.【解析】：由题意知圆心的坐标为(2,0)，半径r＝，圆心到直线x＋y＋2＝0的距离d＝＝2，
所以圆上的点到直线的最大距离是d＋r＝3，最小距离是d－r＝.
易知A(－2,0)，B(0，－2)，所以|AB|＝2，所以2≤S△ABP≤6.故选：A.
3.【解】：设切线长，显然当|PC|为C到直线y＝x＋1的距离即＝ 时|PM|最小为 ，故选: C．
4.【解】：圆的方程化为标准方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝25.所以圆心为(2，－3)，半径长为5.
因为(－1－2)2＋(0＋3)2＝18＜25，
所以点(－1，0)在已知圆的内部，则最大弦长即为圆的直径，即m＝10.
当(－1，0)为弦的中点时，弦长最小，此时弦心距d＝＝，
所以最小弦长为＝＝，
所以m－n＝10－.故选：A
5.【解答】：由圆C的方程可得圆心坐标C(3，3)，
设A点关于x轴对称点A'(-2，-2)，交圆C于P点，
证明如下：
任取x轴上一点Q，则AQ+QP＝A'Q+QP≥A'P，
当且仅当A'，Q，P三点共线时取等号，
所以A'P＝A'C﹣r＝，故选：A．
6.【解】：设＝t，，则tx－y－t＝0与圆(x＋1)2＋y2＝1有交点，所以圆心(－1,0)到直线tx－y－t＝0的距离d＝≤1，解得－≤t≤ .故选：C.
7.【解析】:因为m<0，所以由圆C上的点到直线C的最短距离为，可得m=-55,所以3a+4b=55，(（ 时等号成立)，即的最小值为．
8．【解】：因为O(3,4),r=5,|OM|=,最大值+5，最小值-5.
9.【解】：直线l1：kx+y+2=0过定点A(0,-2),斜率为-k,直线l2:x-ky-2=0过定点B（2，0），斜率为，
所以,即
所以M在以AB为直径的圆上，此圆圆心为C（1，-1），半径为，
又因为P(0,4)，所以,即点P在圆外，
所以PM的最大值为PC+r=,最小值为PC-r=，
所以PM的取值范围为.
10.【解析】：函数y＝的图象表示圆(x－1)2＋y2＝4的下半圆(包括与x轴的交点)．
令点Q的坐标为(x，y)，则得y＝－3，即x－2y－6＝0，作出图象如图所示．
由于圆心(1，0)到直线x－2y－6＝0的距离d＝＝>2，
所以直线x－2y－6＝0与圆(x－1)2＋y2＝4相离，因此|PQ|的最小值是－2.
11.【解析】：由题意，知＝(2－x，－y)，＝(－2－x，－y)，所以·＝x2＋y2－4，
由于点P(x，y)是圆上的点，故其坐标满足方程x2＋(y－3)2＝1，故x2＝－(y－3)2＋1，
所以·＝－(y－3)2＋1＋y2－4＝6y－12.
易知2≤y≤4，所以当y＝4时，·的值最大，最大值为6×4－12＝12.
12．【解析】:设点P的坐标为（x0，y0），
所以.
问题转化为求点P到原点O的距离的最值，如图，
因为O在圆外，所以|OP|max=|CO|+1=5+1=6,|PO|min=|CO|―1=5―1=4，
所以dmax=2×62+2=74，dmin=2×42+2=34．
13．【解】:设P(x，y)，则x2＋y2＝4.
|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＝(x＋2)2＋(y＋2)2＋(x＋2)2＋(y－6)2＋(x－4)2＋(y＋2)2＝3(x2＋y2)－4y＋68＝80－4y.
因为－2≤y≤2，
所以72≤|PA|2＋|PB|2＋|PC|2≤88.
即|PA|2＋|PB|2＋|PC|2的最大值为88，最小值为72.
14.【解】:因为＝，
又点(x，y)在圆(x－1)2＋y2＝1上运动，
即S表示圆上的动点到定点(－1，1)的距离，
如图所示，显然当定点(－1，1)和圆心(1，0)共线时取得最值，
且最小值为－1＝－1，
所以的最小值为－1.
15.【解】：(1)表示点P(x，y)与点(1,2)连线的斜率．
设k＝，则y－2＝kx－k，即kx－y＋2－k＝0.
当直线kx－y＋2－k＝0与圆相切时，斜率k取得最大值或最小值，此时，
即|2－3k|＝，平方得8k2－12k＋3＝0，解得k＝，
即的最大值为，最小值为.
(2)设b＝x－2y，即y＝.
b可视为直线y＝在y轴上的截距的2倍的相反数，
则当直线与圆相切时，b有最大值和最小值．
此时，即|b＋2|＝，解得b＝－2或b＝－2－.
所以x－2y的最大值为－2，最小值为－2－.
16.【解析】:因为f(x)g(x)，所以a+x+1，即x+1-a，分别画出和y=x+1-a的草图，利用数形结合法，当直线y=x+1-a与半圆相切时a取到最大值，由圆心到直线的距离为2，求出a=-5，即得答案为.
17.【解析】:方程x2+y2―6x―6y+14=0，变形为(x―3)2+(y―3)2=4．
(1)表示圆上的点P与原点连线的斜率，显然PO与圆相切时，斜率最大或最小．
设切线方程为y=kx，即kx―y=0，由圆心C(3，3)到切线的距离等于半径长2，可得，解得，所以，的最大值为，最小值为．
x2+y2+2x+3=(x+1)2+y2+2，它表示圆上的点P到E(―1，0)的距离的平方再加2，
所以当点P与点E的距离最大或最小时，所求式子就取最大值或最小值，显然点P与点E距离的最大值为|CE|+2，点P与点E距离的最小值为|CE|―2，
又，所以x2+y2+2x+3的最大值为(5+2)2+2=51，最小值为(5―2)2+2=11．
设x+y=b，则b表示动直线y=―x+b与圆(x―3)2+(y―3)2=4相切时，b取最大值或最小值．
圆心C(3，3)到切线x+y=b的距离等于圆的半径长2，则，即，解得b=，
所以x+y的最大值为，最小值为．
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