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1.1 集合的概念
考纲要求
1．了解集合的概念．
2．理解元素与集合的属于关系和集合中元素的三个特性．
3．能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题．
知识解读
知识点①集合的概念
1．概念：一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体的叫做集合（简称为集）．
2．集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的．
3．集合和元素的表示方式：用大写字母A，B，C，…表示集合，用小写字母a，b，c，…表示集合中的元素．
【知识理解】
集合中元素必须满足三个特性
(1)确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的．即给定一个集合，某一个元素在或不在这个集合中就确定了．
(2)互异性：一个集合里面的元素是各不相同的．
(3)无序性：集合中的元素没有顺序的，如集合｛1，2，3｝与｛3，2，1｝表示一个集合．
知识点②元素与集合的关系
属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作．
不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作．
【知识理解】
符号只用于元素与集合间的关系．
知识点③集合表示方法
1．自然语言描述法：用文字语言描述集合的方法，如全体整数组成的集合．
2．列举法：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“｛ ｝”括起来表示集合的方法．
3．描述法：把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为，这种表示集合的方法称为描述法．
【知识理解】
数学中一些常用的数集
名称 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号 N N*或N+ Z Q R
题型讲解
题型一、集合的特性
例1．下列元素的全体可以组成集合的是（ ）
A．高中学生中身高比较高的学生
B．与2接近的所有整数
C．试卷中所有的难题
D．清华大学新入学的大一新生
例2．（多选）（2021·黄冈中学高一月考）下列各组两个集合A和B，表示相等集合的是（ ）
A．
B．
C．
D．
例3．已知a∈R，若{－1，0，1}＝，则a＝______．
题型二、元素与集合的关系
例4．已知集合A={a，a2，2}，满足，则a= ．
例5．已知集合，则中元素的个数是（ ）
A． B．
C． D．
例6．设集合A＝{x|(x－a)2<1}，且2∈A,3 A, 则实数a的取值范围为_________.
题型三、集合的表示方法
例7．用列举法表示集合正确的是（ ）
A． 2，2 B．{ 2}
C．{2} D．{ 2，2}
例8．下列说法正确的是（ ）
A．0与的意义相同
B．高一（1）班个子比较高的同学可以形成一个集合
C．集合是有限集
D．方程的解集只有一个元素
例9．(2018·全国卷Ⅱ)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为(　　)
A．9 B．8
C．5 D．4
例10．下面有四个命题：
⑴集合中最小的数是；
⑵若不属于，则属于；
⑶若,则∈N；
⑷的解可表示为；
其中正确命题的个数为（ ）
A．个 B．个
C．个 D．个
达标训练
1．下列给出的对象中，能表示集合的是（ ）．
A．一切很大的数 B．无限接近零的数
C．聪明的人 D．方程的实数根
2．下列选项中，表示同一集合的是
A．A={0，1}，B={（0，1）} B．A={2，3}，B={3，2}
C．A={x|–13．已知集合A＝{0，1，2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是(　　)
A．9 B．5
C．3 D．1
4．在数集中，实数不能取的值是______.
5．下列所给关系正确的个数是________．
① π∈R；② ；③ 0∈N＋；④ |－4|N＋.
6．已知，用列举法表示集合．
课后提升
1．集合的元素个数为(　　)
A．4 B．5
C．10 D．12
2．下列说法正确的是（ ）
A．0与的意义相同
B．高一（1）班个子比较高的同学可以形成一个集合
C．集合是有限集
D．方程的解集只有一个元素
3．若集合A具有以下性质：
①0∈ A，1∈ A；
②若x∈ A，y∈ A，则x－y∈ A，且x≠0时，∈ A.
则称集合A是“好集”．下列命题正确的个数是(　　)
(1)集合B＝{－1,0,1}是“好集”；
(2)有理数集Q是“好集”；
(3)设集合A是“好集”，若x∈ A，y∈ A，则x＋y∈ A.
A．0 B．1
C．2 D．3
4．设数集A由实数构成，且满足：若，则．
(1)若，试证明A中还有另外两个元素；
(2)集合A是否为双元素集合，并说明理由．
1.1 集合的概念
考纲要求
1．了解集合的概念．
2．理解元素与集合的属于关系和集合中元素的三个特性．
3．能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题．
知识解读
知识点①集合的概念
1．概念：一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体的叫做集合（简称为集）．
2．集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的．
3．集合和元素的表示方式：用大写字母A，B，C，…表示集合，用小写字母a，b，c，…表示集合中的元素．
【知识理解】
集合中元素必须满足三个特性
(1)确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的．即给定一个集合，某一个元素在或不在这个集合中就确定了．
(2)互异性：一个集合里面的元素是各不相同的．
(3)无序性：集合中的元素没有顺序的，如集合｛1，2，3｝与｛3，2，1｝表示一个集合．
知识点②元素与集合的关系
属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作．
不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作．
【知识理解】
符号只用于元素与集合间的关系．
知识点③集合表示方法
1．自然语言描述法：用文字语言描述集合的方法，如全体整数组成的集合．
2．列举法：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“｛ ｝”括起来表示集合的方法．
3．描述法：把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为，这种表示集合的方法称为描述法．
【知识理解】
数学中一些常用的数集
名称 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号 N N*或N+ Z Q R
题型讲解
题型一、集合的特性
例1．下列元素的全体可以组成集合的是（ ）
A．高中学生中身高比较高的学生
B．与2接近的所有整数
C．试卷中所有的难题
D．清华大学新入学的大一新生
【答案】D
【解析】A：身高较高没有明确，不确定多高才算高，不能组成集合；
B：与2接近的整数没有明确是哪些数，不能组成集合；
C：难题不具有确定性，不能组成集合；
D：大一新生是确定的，可以组成集合．
例2．（多选）（2021·黄冈中学高一月考）下列各组两个集合A和B，表示相等集合的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】CD
【解析】A：，故两集合不相等；
B：A集合元素为2和3两个数，B集合表示（2，3）一个点，故两集合不相等；
C：两集合元素结果一样，故两集合相等；
D：A集合也可表示为｛0，1｝，故和B集合相等．
例3．已知a∈R，若{－1，0，1}＝，则a＝______．
【答案】－1
【解析】由题意≠0，a≠0，a2≠－1，只有a2＝1.
当a＝1时，＝1，不满足互异性，∴a＝－1.
题型二、元素与集合的关系
例4．已知集合A={a，a2，2}，满足，则a= ．
【答案】－1
【解析】由可知，a或a2=1，若a=1，则a2=1，不满足集合元素的互异性；所以a2=1，a=－1．
例5．已知集合，则中元素的个数是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】M中的元素为0，1，2，3，4，5，6，7，8，故元素个数为9．
例6．设集合A＝{x|(x－a)2<1}，且2∈A,3 A, 则实数a的取值范围为_________.
【答案】(1, 2]　
【解析】由题意得，解得所以1题型三、集合的表示方法
例7．用列举法表示集合正确的是（ ）
A． 2，2 B．{ 2}
C．{2} D．{ 2，2}
【答案】D
【解析】由x2 4=0，解得：x=±2，
故A={ 2,2}，
本题选择D选项.
例8．下列说法正确的是（ ）
A．0与的意义相同
B．高一（1）班个子比较高的同学可以形成一个集合
C．集合是有限集
D．方程的解集只有一个元素
【答案】D
【解析】因为0是元素， 是含0的集合，所以其意义不相同；因为“比较高”是一个不确定的概念，所以不能构成集合；当时， ，故集合是无限集；由于方程可化为方程，所以（只有一个实数根），即方程的解集只有一个元素，应选答案D。
例9．(2018·全国卷Ⅱ)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为(　　)
A．9 B．8
C．5 D．4
【答案】A　
【解析】将满足x2＋y2≤3的整数x，y全部列举出来，即(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，共有9个．
例10．下面有四个命题：
⑴ 集合中最小的数是；
⑵ 若不属于，则属于；
⑶ 若,则∈N；
⑷ 的解可表示为；
其中正确命题的个数为（ ）
A．个 B．个
C．个 D．个
【答案】B
N中最小值是0；
a为无理数时，和a都不属于N；
a和b都为自然数，两者的和也为自然数；
其解应为｛1｝．
故只有(3)正确
达标训练
1．下列给出的对象中，能表示集合的是（ ）．
A．一切很大的数 B．无限接近零的数
C．聪明的人 D．方程的实数根
【答案】D
【解析】选项A，B，C中给出的对象都是不确定的，所以不能表示集合；
选项D中方程的实数根为或，具有确定性，所以能构成集合．
故选D．
2．下列选项中，表示同一集合的是
A．A={0，1}，B={（0，1）} B．A={2，3}，B={3，2}
C．A={x|–1【答案】B
【解析】在A中，A={0，1}是数集，B={（0，1）}是点集，二者不表示同一集合，故A错误；在B中，A={2，3}，B={3，2}，集合中的元素具有无序性，所以两个集合相等，表示同一集合，故B正确；在C中，A={x|–13．已知集合A＝{0，1，2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是(　　)
A．9 B．5
C．3 D．1
【答案】B
【解析】因为集合A＝{0，1，2}，所以集合，所以集合B中共有5个元素，故选B.
4．在数集中，实数不能取的值是______.
【答案】2，3
【解析】由集合的互异性知： 中，.
实数不能取的值是2，3.
5．下列所给关系正确的个数是________．
① π∈ R；② ；③ 0∈ N＋；④ |－4|N＋.
【答案】2
【解析】因为R是实数集，所以π∈R正确；
因为Q是有理数集，而不是有理数，所以正确；
N＋是非零的自然数，所以N＋，所以0∈N＋是错误的；
因为|－4|=4∈N＋，所以|－4|N＋是错误的；
所以正确的个数是2.
6．已知，用列举法表示集合．
【答案】｛2｝
【解析】
因为，所以，
，所以 =｛2｝
课后提升
1．集合的元素个数为(　　)
A．4 B．5
C．10 D．12
【答案】D
【解析】由题意，集合中的元素满足x是整数，且y是整数，由此可得x=﹣15，﹣9，﹣7，﹣6，﹣5，﹣4，﹣2，﹣1，0，1，3，9；此时y的值分别为：﹣1，﹣2，﹣3，﹣4，﹣6，﹣12，12，6，4，3，3，1，符合条件的x共有12个，
故选D．
2．下列说法正确的是（ ）
A．0与的意义相同
B．高一（1）班个子比较高的同学可以形成一个集合
C．集合是有限集
D．方程的解集只有一个元素
【答案】D
【解析】因为0是元素， 是含0的集合，所以其意义不相同；因为“比较高”是一个不确定的概念，所以不能构成集合；当时， ，故集合是无限集；由于方程可化为方程，所以（只有一个实数根），即方程的解集只有一个元素，应选答案D。
3．若集合A具有以下性质：
①0∈ A，1∈ A；
②若x∈ A，y∈ A，则x－y∈ A，且x≠0时，∈ A.
则称集合A是“好集”．下列命题正确的个数是(　　)
(1)集合B＝{－1,0,1}是“好集”；
(2)有理数集Q是“好集”；
(3)设集合A是“好集”，若x∈ A，y∈ A，则x＋y∈ A.
A．0 B．1
C．2 D．3
【答案】C
【解析】 (1)集合B不是“好集”，假设集合B是“好集”，因为当－1∈B,1∈B，－1－1＝－2 B，这与－2∈B矛盾．(2)有理数集Q是“好集”，因为0∈Q，1∈Q，对任意的x∈Q，y∈Q，有x－y∈Q，且x≠0时，∈Q，所以有理数集Q是“好集”．(3)因为集合A是“好集”，所以0∈A，若x∈A，y∈A，则0－y∈A，即－y∈ A，所以x－(－y)∈A，即x＋y∈A．
4．设数集A由实数构成，且满足：若，则．
(1)若，试证明A中还有另外两个元素；
(2)集合A是否为双元素集合，并说明理由．
【答案】(1) ，；(2)见解析；
【解析】(1)证明：若x∈A，则，
又∵2∈A，
∴，
∵－1∈A，∴
∴A中另外两个元素为，；
x∈A，，，且，
故集合A中至少有3个元素，∴不是双元素集合；

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