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1.1 集合的概念
目标导航
1.通过实例了解集合的含义.
2.理解集合中元素的特征.
3.体会元素与集合的“属于”关系，记住常用数集的表示符号并学会应用．
4.初步掌握集合的两种表示方法——列举法、描述法，感受集合语言的意义和作用.
5.会用集合的两种表示方法表示一些简单集合．
知识解读
知识点一　元素与集合的概念
1．元素：一般地，把 统称为元素，常用小写拉丁字母a，b，c，…表示．
2．集合：把一些元素组成的 叫做集合(简称为集)，常用大写拉丁字母A，B，C，…表示．
3．集合相等：指构成两个集合的 是一样的．
4．集合中元素的特性：给定的集合，它的元素必须是 、 ．
知识点二　元素与集合的关系
知识点 关系 概念 记法 读法
元素与集合的关系 属于 如果a是集合A中的元素，就说a属于集合A “a属于A”
不属于 如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A “a不属于A”
知识点三　常用数集及表示符号
名称 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
记法
知识点四 集合的两种表示方法 　
1．列举法
把集合的所有元素 出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．
2．描述法
一般地，设A是一个集合，把集合A中所有具有 P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．
跟踪训练
一、单选题
1．下列各组对象能构成集合的是（ ）
A．充分接近的所有实数 B．所有的正方形
C．著名的数学家 D．1，2，3，3，4，4，4，4
2．若，则的值为（ ）
A． B． C．或 D．
3．已知集合，且，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．已知集合，，则集合B中元素的个数是（ ）
A．6 B．3 C．4 D．5
5．已知集合 ，且 ，则实数m的值为（ ）
A．3 B．2 C．0或3 D．0或2或3
6．非空集合A具有下列性质：（1）若x、y∈A，则∈A；（2）若x、y∈A，则x+y∈A，下列判断一定成立的是（ ）
①﹣1 A；②∈A；③若x、y∈A，则xy∈A；④若x、y∈A，则x﹣y A．
A．①③ B．①② C．①②③ D．①②③④
7．已知关于x的方程的解集为P，则P中所有元素的和可能是（ ）
A．3，6，9 B．6，9，12 C．9，12，15 D．6，12，15
8．已知集合，且，则（ ）
A． B．
C． D．不属于中的任意一个
二、多选题
9．以下元素的全体能够构成集合的是（ ）
A．中国古代四大发明 B．地球上的小河流
C．方程的实数解 D．周长为10cm的三角形
10．已知集合，则下列说法中正确的是（ ）
A．但
B．若，其中，则
C．若，其中，则
D．若，其中，则
11．设集合，则下列是集合中的元素的有（ ）
A．， B．，
C．， D．，
12．对于非空数集，定义表示该集合中所有元素的和．给定集合，定义集合，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．集合中有个元素 D．集合中有个元素
三、填空题
13．已知集合，若，则实数的值构成的集合为_________．
14．已知均为非零实数，则代数式的值所组成的集合的元素个数是______．
15．设集合，，集合，则中元素的个数为___________.
16．定义集合 的一种运算：，若，，则___________.
四、解答题
17．试分别用列举法和描述法表示下列集合：
(1)方程的解集；
(2)大于且小于的所有整数组成的集合．
18．已知集合，，求集合中元素的个数．
19．已知集合.
(1)若A是空集，求的取值范围；
(2)若A中只有一个元素，求的值，并求集合A；
(3)若A中至少有一个元素，求的取值范围.
1.1 集合的概念
目标导航
1.通过实例了解集合的含义.
2.理解集合中元素的特征.
3.体会元素与集合的“属于”关系，记住常用数集的表示符号并学会应用．
4.初步掌握集合的两种表示方法——列举法、描述法，感受集合语言的意义和作用.
5.会用集合的两种表示方法表示一些简单集合．
知识解读
知识点一　元素与集合的概念
1．元素：一般地，把 统称为元素，常用小写拉丁字母a，b，c，…表示．
2．集合：把一些元素组成的 叫做集合(简称为集)，常用大写拉丁字母A，B，C，…表示．
3．集合相等：指构成两个集合的 是一样的．
4．集合中元素的特性：给定的集合，它的元素必须是 、 ．
【答案】研究对象 总体 元素 确定的 互不相同的
知识点二　元素与集合的关系
知识点 关系 概念 记法 读法
元素与集合的关系 属于 如果a是集合A中的元素，就说a属于集合A “a属于A”
不属于 如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A “a不属于A”
【答案】a∈A a A
知识点三　常用数集及表示符号
名称 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
记法
【答案】N N*或N＋ Z Q R
知识点四 集合的两种表示方法 　
1．列举法
把集合的所有元素 出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．
2．描述法
一般地，设A是一个集合，把集合A中所有具有 P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．
【答案】一一列举 共同特征
跟踪训练
一、单选题
1．下列各组对象能构成集合的是（ ）
A．充分接近的所有实数 B．所有的正方形
C．著名的数学家 D．1，2，3，3，4，4，4，4
【答案】B
【分析】由集合的确定性和互异性即可判断答案.
【详解】选项A，C不满足集合的确定性；集合B正方形是确定的，故能构成集合；选项D不满足集合的互异性．故选：B．
2．若，则的值为（ ）
A． B． C．或 D．
【答案】A
【分析】分别令和，根据集合中元素的互异性可确定结果.
【详解】若，则，不符合集合元素的互异性；
若，则或（舍），此时，符合题意；
综上所述：.故选：A.
3．已知集合，且，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】结合元素与集合的关系得到，解不等式即可求出结果.
【详解】由题意可得，解得，故选：C
4．已知集合，，则集合B中元素的个数是（ ）
A．6 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】根据集合的定义写出集合中的元素可得．
【详解】集合中的元素有，，，共4个，故选：C.
5．已知集合 ，且 ，则实数m的值为（ ）
A．3 B．2 C．0或3 D．0或2或3
【答案】A
【分析】依题意可得或，求出方程的根，再代入集合中检验即可；
【详解】解：因为，且，所以或，解得或或，当时，即集合不满足集合元素的互异性，故，当时集合不满足集合元素的互异性，故，当时满足条件；故选：A
6．非空集合A具有下列性质：（1）若x、y∈A，则∈A；（2）若x、y∈A，则x+y∈A，下列判断一定成立的是（ ）
①﹣1 A；②∈A；③若x、y∈A，则xy∈A；④若x、y∈A，则x﹣y A．
A．①③ B．①② C．①②③ D．①②③④
【答案】C
【分析】对于①：假设，令，由已知推出矛盾，可判断①；
对于②：由题意知，，再得，，从而判断②；
对于③：由，得，，结合性质可判断③；
对于④：，由，，可判断④.
【详解】解：对于①：假设，则令，则，，
令，则，令，不存在，即，矛盾，所以，故①对；
对于②：由题意知，，则，，故②正确；
对于③：，，故③正确；
对于④：，若，则，故④错误，
所以一定成立的是①②③，
故选：C.
7．已知关于x的方程的解集为P，则P中所有元素的和可能是（ ）
A．3，6，9 B．6，9，12 C．9，12，15 D．6，12，15
【答案】B
【分析】先去掉绝对值，转化为两个方程，针对方程根的情况进行讨论．
【详解】解：关于x的方程等价于①，或者②．
由题意知，P中元素的和应是方程①和方程②中所有根的和．
，对于方程①，．
方程①必有两不等实根，由根与系数关系，得两根之和为6．
而对于方程②，，当时，可知方程②有两相等的实根为3，
在集合中应按一个元素来记，故P中元素的和为9；
当时，方程②无实根，故P中元素和为6；
当时，方程②中，有两不等实根，由根与系数关系，两根之和为6，
故P中元素的和为12.
故选：B．
8．已知集合，且，则（ ）
A． B．
C． D．不属于中的任意一个
【答案】B
【分析】设出的值，相加再判断得解.
【详解】
.
故选：B
二、多选题
9．以下元素的全体能够构成集合的是（ ）
A．中国古代四大发明 B．地球上的小河流
C．方程的实数解 D．周长为10cm的三角形
【答案】ACD
【分析】根据集合的定义判断．
【详解】首先互异性是保证的，其次考虑确定性：
中国古代四大发明是确定的，能构成集合，
地球上的小河流的标准不确定，即一条河流没有标准判断它是不是小河流，不能构成集合，
方程的实数解只有两个1和，能构成集合，
周长为10cm的三角形是确定，三角形的周长要么等于10cm，要么不等于10cm，是确定的，能构成集合．
故答案为：ACD．
10．已知集合，则下列说法中正确的是（ ）
A．但
B．若，其中，则
C．若，其中，则
D．若，其中，则
【答案】BC
【分析】A选项，求出，，故；BC选项，通过计算可以得到，；D选项，时，不符合要求，D错误.
【详解】，故，，所以，A错误；
，其中，，故，B正确；
，其中，，故，C正确；
因为，若，此时无意义，故，D错误.
故选：BC
11．设集合，则下列是集合中的元素的有（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】ABD
【分析】分别对，取整数，，可判断A；由，可判断B；令，通过验证不成立可判断C；由，可判断D，进而可得正确选项.
【详解】对于A：因为，，，，所以，故选项A正确；
对于B：因为，，，，所以，故选项B正确；
对于C：若，则存在，使得，
则，易知和同奇或同偶，
若和都是奇数，则为奇数，而是偶数，矛盾；
若和都是偶数，则能被整除，而不能被整除，矛盾，所以，故选项C不正确；
对于D：，，，所以，故选项D正确；
故选：ABD.
12．对于非空数集，定义表示该集合中所有元素的和．给定集合，定义集合，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．集合中有个元素 D．集合中有个元素
【答案】AC
【分析】列举出集合，求出对应的的值，可得出集合，即可得出合适的选项.
【详解】且.
①当为单元素集合时，集合可取、、、，可取、、、；
②当中的元素个数为时，集合可取、、、、、，
可取、、、、；
③当中的元素个数为时，集合可取、、、，可取、、、；
④当时，.
综上所述，，AC选项正确，BD选项错误.
故选：AC.
三、填空题
13．已知集合，若，则实数的值构成的集合为_________．
【答案】
【分析】依题意分两种情况，或讨论，分别计算可得；
【详解】因为集合，且
所以或
（1）当时，此时，符合题意.
（2）当时，解得或
当时，与集合元素的互相性矛盾，舍去；
当时，符合题意.
综上可知实数的值构成的集合为
故答案为：
14．已知均为非零实数，则代数式的值所组成的集合的元素个数是______．
【答案】2
【分析】分析题意知代数式的值与的符号有关，按其符号的不同分3种情况讨论，分别求出代数式的值，即可得解.
【详解】根据题意分2种情况讨论：
当全部为负数时，为正数，则；
当全部为正数时，为正数，则；
当一正一负时，为负数，则；
综上可知，的值为或3，即代数式的值所组成的集合的元素个数是2
故答案为：2
15．设集合，，集合，则中元素的个数为___________.
【答案】46
【分析】分，列举出集合对应的元素，除去重复的计算即得解
【详解】由题意，集合
当时，，故对应，有7个数；
当时，，故对应，有7个数；
当时，，故对应，有7个数；
当时，，对应，其中有3个数1，2，3与时重复；
当时，，故对应，有7个数；
当时，，故对应，有7个数；
当时，，故对应，有7个数；
故中元素的个数为
故答案为：46
16．定义集合 的一种运算：，若，，则___________.
【答案】
【分析】准确理解，根据新定义求，时的结果.
【详解】∵ ，，，
∴
故答案为：{2，3，4，5}
四、解答题
17．试分别用列举法和描述法表示下列集合：
(1)方程的解集；
(2)大于且小于的所有整数组成的集合．
【答案】(1)；
(2)；
【分析】按描述法与列举法的要求求解即可
【详解】(1)方程的根可以用x表示，它满足的条件是，
因此，用描述法表示为；
又方程的根是，
因此，用列举法表示为．
(2)大于且小于的整数可以用x表示，它满足的条件是且，
因此，用描述法表示为；
大于且小于的整数有，
因此，用列举法表示为
18．已知集合，，求集合中元素的个数．
【答案】9
【分析】理解集合B中元素的特点，可以列举出它的所有元素.
【详解】，，
，共9个元素.
19．已知集合.
(1)若A是空集，求的取值范围；
(2)若A中只有一个元素，求的值，并求集合A；
(3)若A中至少有一个元素，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)当时集合，当时集合；
(3)
【分析】（1）利用是空集，则即可求出的取值范围；
（2）对分情况讨论，分别求出符合题意的的值，及集合即可；
（3）分中只有一个元素和有2个元素两种情况讨论，分别求出参数的取值范围，即可得解．
【详解】(1)解： 是空集，
且，
，解得，
的取值范围为：；
(2)解：①当时，集合，
②当时，，
，解得，此时集合，
综上所求，当时集合，当时集合；
(3)解：中至少有一个元素，则当中只有一个元素时，或；
当中有2个元素时，则且，即，解得且；
综上可得时中至少有一个元素，即

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