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1.3集合的基本运算
考纲要求
1．理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．
2．能使用Venn图表示集合的并集与交集．
3．灵活运用并集与交集的含义与性质解题．
知识解读
知识点①集合的基本运算
运算 自然语言 符号语言 Venn图
交集 由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合 AB＝{x|x∈A且x∈B}
并集 由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合 AB＝{x|x∈A或x∈B}
补集 由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合 CUA＝{x|x∈U且xA}
知识点②集合基本运算的常见性质
1．AA＝A，A ＝ ．
2．AA＝A，A ＝A．
3．ACUA＝ ，ACUA＝U，CU(CUA)＝A．
4．ABAB＝AAB＝BCUACUBA(CUB)＝ ．
题型讲解
题型一、集合的基本运算
例1．(2021·全国乙卷)已知集合S＝{s|s＝2n＋1，n∈Z}，T＝{t|t＝4n＋1，n∈Z}，则ST等于(　　)
A． B．S
C．T D．Z
例2．(2022·济南模拟)集合A＝{x|x2－3x－4≥0}，B＝{x|1＜x＜5}，则集合(CRA)B等于(　　)
A．[－1,5) B．(－1,5)
C．(1,4] D．(1,4)
例3．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{x|(x＋1)(x－2)<0，x∈Z}，则AB＝(　　)
A．{1} B．{1,2}
C．{0,1,2,3} D．{－1,0,1,2,3}
例4．已知全集U＝R，集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|x2－x＞0}，则图中的阴影部分表示的集合为(　　)
A．(－∞，1]∪(2，＋∞) B．(－∞，0)∪(1,2)
C．[1,2) D．(1,2]
题型二、利用集合的运算求参数的值(范围)
例5．已知集合A＝{x|xA．a<1 B．a≤1
C．a>2 D．a≥2
例6．已知集合A＝{x|3x2－2x－1≤0}，B＝{x|2aA．a<－或a> B．a≤－或a≥
C．a<－或a>2 D．a≤－或a≥2
例7．已知集合A＝{1,3，}，B＝{1，m}，AB＝A，则m＝(　　)
A．0或 B．0或3
C．1或 D．1或3
例8．(2017·全国卷Ⅱ)设集合A＝{1,2,4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}．若AB＝{1}，则B＝(　　)
A．{1，－3} B．{1,0}
C．{1,3} D．{1,5}
题型三、集合的新定义问题
例9．已知集合A＝{x∈N|x2－2x－3≤0}，B＝{1，3}，定义集合A，B之间的运算“*”：A*B＝{x|x＝x1＋x2，x1∈A，x2∈B}，则A*B中的所有元素数字之和为(　　)
A．15 B．16
C．20 D．21
例10．(多空题)设A，B是R的两个子集，对任意x∈R，定义：m＝，n＝
(1)若AB，则对任意x∈R，m(1－n)＝_________；
(2)若对任意x∈R，m＋n＝1，则A，B的关系为___________.
例11．某班共40人，其中24人喜欢篮球运动，16人喜欢乒乓球运动，6人这两项运动都喜欢，则喜欢篮球运动但不喜欢乒乓球运动的人数为(　　)
A．17 B．18
C．19 D．20
达标训练
1．设集合A＝{1,2,6}，B＝{2,4}，C＝{x∈R|－1≤x≤5}，则(AB)C＝(　　)
A．{2} B．{1,2,4}
C．{1,2,4,6} D．{x∈R|－1≤x≤5}
2．(2020·四川成都模拟)已知全集U＝R，集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|x2－x＞0}，则图中的阴影部分表示的集合为(　　)
A．(－∞，1](2，＋∞) B．(－∞，0)(1,2)
C．[1,2) D．(1,2]
3．已知A＝{x|x≤0或x≥3}，B＝{x|x≤a－1或x≥a＋1}，若A(CRB) ，则实数a的取值范围是(　　)
A．1≤a≤2 B．1C．a≤1或a≥2 D．a<1或a>2
4．(2022·南通模拟)设集合A＝{1，a＋6，a2}，B＝{2a＋1，a＋b}，若AB＝{4}，则a＝________，b＝________.
5．对于任意两集合A，B，定义A－B＝{x|x∈A且xB}，A*B＝(A－B)(B－A)，记A＝{x|x≥0}，B＝{x|－3≤x≤3}，则A*B＝____________.
6．对班级40名学生调查对A，B两事件的态度，有如下结果：赞成A的人数是全体的五分之三，其余的不赞成，赞成B的比赞成A的多3人，其余的不赞成，另外，对A，B都不赞成的学生数比对A，B都赞成的学生数的三分之一多1人，问对A，B都赞成的学生有___________人．
课后提升
1．(多选)已知全集U的两个非空真子集A，B满足(CUA)B＝B，则下列关系一定正确的是(　　)
A．AB＝ B．AB＝B
C．AB＝U D．(CUB)A＝A
2．某班有学告50人，解甲、乙两道数学题.已知解对甲题者有34人，解对乙题者有28人，两题均对者有20人.则至少解对一题者的人数是（ ）
A．8 B．22
C．30 D．42
3．(多选)已知集合P＝{(x，y)|x＋y＝1}，Q＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，则下列说法正确的是(　　)
A．PQ＝R
B．PQ＝{(1,0)，(0,1)}
C．PQ＝{(x，y)|x＝0或1，y＝0或1}
D．PQ的真子集有3个
4．(多选)(2022·重庆北碚区模拟)已知全集U＝{x∈N|0< x <8}，A＝{1,2,3}，CU(AB)＝{1,2,4,5,6,7}，则集合B可能为(　　)
A．{2,3,4} B．{3,4,5}
C．{4,5,6} D．{3,5,6}
5．已知集合A＝{x|86．设数集M＝，N＝，且M，N都是集合U＝{x|0≤x≤1}的子集，定义b－a为集合{x|a≤x≤b}的“长度”，则集合MN的长度的最小值为_________
1.3集合的基本运算
考纲要求
1．理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．
2．能使用Venn图表示集合的并集与交集．
3．灵活运用并集与交集的含义与性质解题．
知识解读
知识点①集合的基本运算
运算 自然语言 符号语言 Venn图
交集 由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合 AB＝{x|x∈A且x∈B}
并集 由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合 AB＝{x|x∈A或x∈B}
补集 由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合 CUA＝{x|x∈U且xA}
知识点②集合基本运算的常见性质
1．AA＝A，A ＝ ．
2．AA＝A，A ＝A．
3．ACUA＝ ，ACUA＝U，CU(CUA)＝A．
4．ABAB＝AAB＝BCUACUBA(CUB)＝ ．
题型讲解
题型一、集合的基本运算
例1．(2021·全国乙卷)已知集合S＝{s|s＝2n＋1，n∈Z}，T＝{t|t＝4n＋1，n∈Z}，则ST等于(　　)
A． B．S
C．T D．Z
【答案】C
【解析】方法一　在集合T中，令n＝k(k∈Z)，则t＝4n＋1＝2(2k)＋1(k∈Z)，而集合S中，s＝2n＋1(n∈Z)，所以必有T S，
所以TS＝T.
方法二　S＝{…，－3，－1,1,3,5，…}，T＝{…，－3,1,5，…}，观察可知，T S，所以TS＝T.
例2．(2022·济南模拟)集合A＝{x|x2－3x－4≥0}，B＝{x|1＜x＜5}，则集合(CRA)B等于(　　)
A．[－1,5) B．(－1,5)
C．(1,4] D．(1,4)
【答案】B
【解析】因为集合A＝{x|x2－3x－4≥0}＝{x|x≤－1或x≥4}，
又B＝{x|1＜x＜5}，
所以CRA＝(－1,4)，
则集合(CRA)B＝(－1,5)．
例3．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{x|(x＋1)(x－2)<0，x∈Z}，则AB＝(　　)
A．{1} B．{1,2}
C．{0,1,2,3} D．{－1,0,1,2,3}
【答案】C　
【解析】因为B＝{x|(x＋1)(x－2)<0，x∈Z}＝{x|－1例4．已知全集U＝R，集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|x2－x＞0}，则图中的阴影部分表示的集合为(　　)
A．(－∞，1]∪(2，＋∞) B．(－∞，0)∪(1,2)
C．[1,2) D．(1,2]
【答案】A　
【解析】B＝{x|x2－x＞0}＝{x|x＞1或x＜0}，由题意可知阴影部分对应的集合为[CU(AB)](AB)，
∴AB＝{x|1＜x≤2}，AB＝R，
即CU(AB)＝{x|x≤1或x＞2}，
∴CU(AB)(AB)＝{x|x≤1或x＞2}，
即(－∞，1](2，＋∞)．
题型二、利用集合的运算求参数的值(范围)
例5．已知集合A＝{x|xA．a<1 B．a≤1
C．a>2 D．a≥2
【答案】D　
【解析】集合B＝{x|x2－3x＋2<0}＝{x|1可知a≥2.
例6．已知集合A＝{x|3x2－2x－1≤0}，B＝{x|2aA．a<－或a> B．a≤－或a≥
C．a<－或a>2 D．a≤－或a≥2
【答案】B
【解析】A＝{x|3x2－2x－1≤0}
＝，
①B＝ ，2a≥a＋3 a≥3，符合题意；
②B ，或
解得a≤－或≤a<3．∴a的取值范围是a≤－或a≥.
例7．已知集合A＝{1,3，}，B＝{1，m}，AB＝A，则m＝(　　)
A．0或 B．0或3
C．1或 D．1或3
【答案】B　
【解析】∵AB＝A，∴BA，∴m∈A，∴m＝3或m＝，解得m＝0或3．
例8．(2017·全国卷Ⅱ)设集合A＝{1,2,4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}．若AB＝{1}，则B＝(　　)
A．{1，－3} B．{1,0}
C．{1,3} D．{1,5}
【答案】C　
【解析】∵AB＝{1}，∴1∈B．
∴1－4＋m＝0，即m＝3.
∴B＝{x|x2－4x＋3＝0}＝{1,3}．
题型三、集合的新定义问题
例9．已知集合A＝{x∈N|x2－2x－3≤0}，B＝{1，3}，定义集合A，B之间的运算“*”：A*B＝{x|x＝x1＋x2，x1∈A，x2∈B}，则A*B中的所有元素数字之和为(　　)
A．15 B．16
C．20 D．21
【答案】D
【解析】由x2－2x－3≤0，得(x＋1)(x－3)≤0，得A＝{0,1,2,3}．因为A*B＝{x|x＝x1＋x2，x1∈A，x2∈B}，所以A*B中的元素有0＋1＝1,0＋3＝3,1＋1＝2,1＋3＝4,2＋1＝3(舍去)，2＋3＝5,3＋1＝4(舍去)，3＋3＝6，所以A*B＝{1,2,3,4,5,6}，所以A*B中的所有元素数字之和为21．
例10．(多空题)设A，B是R的两个子集，对任意x∈R，定义：m＝，n＝
(1)若AB，则对任意x∈R，m(1－n)＝_________；
(2)若对任意x∈R，m＋n＝1，则A，B的关系为___________.
【答案】(1) 0　 (2) A＝CRB
【解析】(1)A＝CRB　[(1)∵AB，则xA时，m＝0，m(1－n)＝0，x∈A时，必有x∈B，∴m＝n＝1，m(1－n)＝0．综上可得：m(1－n)＝0.
(2)对任意x∈R，m＋n＝1，则m，n的值一个为0，另一个为1，即x∈A时，必有xB，或x∈B时，必有xA，∴A，B的关系为A＝CRB．
例11．某班共40人，其中24人喜欢篮球运动，16人喜欢乒乓球运动，6人这两项运动都喜欢，则喜欢篮球运动但不喜欢乒乓球运动的人数为(　　)
A．17 B．18
C．19 D．20
【答案】B　
【解析】记全集U为该班全体同学，喜欢篮球运动的记作集合A，喜欢乒乓球运动的记作集合B，
则喜欢篮球但不喜欢乒乓球运动的记作A∩( UB)(如图)，故有18人．
达标训练
1．设集合A＝{1,2,6}，B＝{2,4}，C＝{x∈R|－1≤x≤5}，则(AB)C＝(　　)
A．{2} B．{1,2,4}
C．{1,2,4,6} D．{x∈R|－1≤x≤5}
【答案】B
【解析】(AB)C＝{1,2,4,6}[－1,5]＝{1,2,4}．
2．(2020·四川成都模拟)已知全集U＝R，集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|x2－x＞0}，则图中的阴影部分表示的集合为(　　)
A．(－∞，1](2，＋∞) B．(－∞，0)(1,2)
C．[1,2) D．(1,2]
【答案】A　
【解析】B＝{x|x2－x＞0}＝{x|x＞1或x＜0}，由题意可知阴影部分对应的集合为[CU(AB)](AB)，
∴AB＝{x|1＜x≤2}，AB＝R，
即CU(AB)＝{x|x≤1或x＞2}，
∴CU(AB)(AB)＝{x|x≤1或x＞2}，
即(－∞，1](2，＋∞)．
3．已知A＝{x|x≤0或x≥3}，B＝{x|x≤a－1或x≥a＋1}，若A(CRB) ，则实数a的取值范围是(　　)
A．1≤a≤2 B．1C．a≤1或a≥2 D．a<1或a>2
【答案】D
【解析】A＝{x|x≤0或x≥3}，B＝{x|x≤a－1或x≥a＋1}，
所以CRB＝{x|a－1又A(CRB) ，
所以a－1<0或a＋1>3，
解得a<1或a>2，
所以实数a的取值范围是a<1或a>2.
4．(2022·南通模拟)设集合A＝{1，a＋6，a2}，B＝{2a＋1，a＋b}，若AB＝{4}，则a＝________，b＝________.
【答案】2　2
【解析】由题意知，4∈A，所以a＋6＝4或a2＝4，
当a＋6＝4时，则a＝－2，得A＝{1,4,4}，故应舍去；
当a2＝4时，则a＝2或a＝－2(舍去)，
当a＝2时，A＝{1,4,8}，B＝{5,2＋b}，
又4∈B，所以2＋b＝4，得b＝2.
所以a＝2，b＝2．
5．对于任意两集合A，B，定义A－B＝{x|x∈A且xB}，A*B＝(A－B)(B－A)，记A＝{x|x≥0}，B＝{x|－3≤x≤3}，则A*B＝____________.
【答案】{x|－3≤x＜0或x>3}
【解析】∵A＝{x|x≥0}，B＝{x|－3≤x≤3}，
∴A－B＝{x|x>3}，B－A＝{x|－3≤x＜0}．
∴A*B＝{x|－3≤x＜0或x>3}．
6．对班级40名学生调查对A，B两事件的态度，有如下结果：赞成A的人数是全体的五分之三，其余的不赞成，赞成B的比赞成A的多3人，其余的不赞成，另外，对A，B都不赞成的学生数比对A，B都赞成的学生数的三分之一多1人，问对A，B都赞成的学生有___________人．
【答案】18
【解析】赞成A的人数为40×＝24，
赞成B的人数为24＋3＝27，
设对A，B都赞成的学生有x人，
则x＋1＋27－x＋x＋24－x＝40，
解得x＝18．
课后提升
1．(多选)已知全集U的两个非空真子集A，B满足(CUA)B＝B，则下列关系一定正确的是(　　)
A．AB＝ B．AB＝B
C．AB＝U D．(CUB)A＝A
【答案】CD
【解析】令U＝{1,2,3,4}，A＝{2,3,4}，B＝{1,2}，
满足(CUA)B＝B，
但AB ，ABB，故A，B均不正确；
由(CUA)B＝B，知CUAB，
∴U＝A(CUA)(AB)，∴AB＝U，
由CUAB，知CUBA，
∴(CUB)A＝A，故C，D均正确．
2．某班有学告50人，解甲、乙两道数学题.已知解对甲题者有34人，解对乙题者有28人，两题均对者有20人.则至少解对一题者的人数是（ ）
A．8 B．22
C．30 D．42
【答案】D
【解析】如下图所示：
至少解对一题的人数为：人，故选：D．
3．(多选)已知集合P＝{(x，y)|x＋y＝1}，Q＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，则下列说法正确的是(　　)
A．PQ＝R
B．PQ＝{(1,0)，(0,1)}
C．PQ＝{(x，y)|x＝0或1，y＝0或1}
D．PQ的真子集有3个
【答案】BD
【解析】联立
解得或
∴PQ＝{(1,0)，(0,1)}，
故B正确，C错误；
又P，Q为点集，∴A错误；
又PQ有两个元素，∴PQ有3个真子集，
∴D正确．
4．(多选)(2022·重庆北碚区模拟)已知全集U＝{x∈N|0< x <8}，A＝{1,2,3}，CU(AB)＝{1,2,4,5,6,7}，则集合B可能为(　　)
A．{2,3,4} B．{3,4,5}
C．{4,5,6} D．{3,5,6}
【答案】BD
【解析】由U＝{x∈N|0< x <8}，
于是得全集U＝{1,2,3,4,5,6,7}，
因为CU(AB)＝{1,2,4,5,6,7}，
则有AB＝{3},3∈B，C不正确；
对于A选项，若B＝{2,3,4}，
则AB＝{2,3}，CU(AB)＝{1,4,5,6,7}，
矛盾，A不正确；
对于B选项，若B＝{3,4,5}，
则AB＝{3}，CU(AB)＝{1,2,4,5,6,7}，
B正确；
对于D选项，若B＝{3,5,6}，
则AB＝{3}，CU(AB)＝{1,2,4,5,6,7}，
D正确．
5．已知集合A＝{x|8【答案】
【解析】当B＝ 时，2a－1≤a，
解得a≤1，此时CUB＝U，
(CUB)A＝UA＝{x|8当B 时，2a－1>a，解得a>1，
因为集合U＝{x|0B＝{x|a所以CUB＝{x|0因为(CUB)A＝{x|8所以2a－1≤8，解得a≤，
所以B 时，1综上所述，实数a的取值范围是.
6．设数集M＝，N＝，且M，N都是集合U＝{x|0≤x≤1}的子集，定义b－a为集合{x|a≤x≤b}的“长度”，则集合MN的长度的最小值为_________．
【答案】　
【解析】在数轴上表示出集合M与N(图略)，可知当m＝0且n＝1或n－＝0且m＋＝1时，MN的“长度”最小．当m＝0且n＝1时，MN＝，长度为－＝；当n＝且m＝时，MN＝，长度为－＝．综上，M∩N的长度的最小值为

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