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1.5全称量词与存在量词
考纲要求
理解全称量词、全称量词命题的定义．
理解存在量词、存在量词命题的定义．
会判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并会判断它们的真假．
知识解读
知识点①全称量词和存在量词
量词名称 常见量词 符号表示
全称量词 所有、一切、任意、全部、每一个、任给等
存在量词 存在一个、至少有一个、有一个、某个、有些、某些等
知识点②全称量词命题和存在量词命题
　　名称 形式　　 全称量词命题 存在量词命题
结构 对M中的任意一个x，有p(x)成立 存在M中的一个x0，使p(x0)成立
简记 x∈M，p(x) x0∈M，p(x0)
知识点③全称量词命题和存在量词命题的真假判定
1．全称量词命题的真假判断：要判断一个全称命题量词是真命题，必须对限定集合M中的每一个元素x，验证p(x)成立；但要判断一个全称量词命题是假命题，只需列举出一个x0∈M，使得p(x0)不成立即可．
2．存在量词命题的真假判断：要判断一个存在量词命题是真命题，只要在限定集合M中，能找到一个x0，使得命题p(x0)成立即可；否则这一命题就是假命题．
3．从集合角度判断全称量词命题和存在量词命题的真假：
(1)对于命题“x∈A，使x∈B”，若集合A是集合B的子集，那么该命题为真，否则为假；
(2)对于命题“x0∈A，使x0∈B”，若集合A和集合B存在交集，那么该命题为真，否则为假．
题型讲解
题型一、全称量词和存在量词命题的理解
例1．用符号“”“”表达下列命题.
（1）实数都能写成小数的形式；
（2）存在一实数对，使成立；
（3）任意实数乘，都等于它的相反数；
（4）存在实数，使得.
例2．给出下列命题：
①存在实数，使；②全等的三角形必相似；③有些相似三角形全等；④至少有一个实数，使的根为负数.
其中存在量词命题的个数为（ ）
A．1 B．2
C．3 D．4
题型二、全称量词和存在量词命题的真假判断
例3．以下四个命题既是存在量词命题又是真命题的是(　　)
A．锐角三角形有一个内角是钝角
B．至少有一个实数x，使x2≤0
C．两个无理数的和必是无理数
D．存在一个负数x，使>2
例4．设非空集合P，Q满足PQ＝P，则(　　)
A．x∈Q，有x∈P　　　 B．xQ，有xP
C．x0Q，使得x0∈P D．x0∈P，使得x0Q
例5．以下四个命题中既是存在量词命题又是真命题的是(　　)
A．锐角三角形有一个内角是钝角 B．至少有一个实数x，使x2≤0
C．两个无理数的和必是无理数 D．存在一个负数x，>2
例6．下列四个命题，真命题的是（ ）
A． B．
C． D．
题型三、含量词的命题真假求参
例7．若“任意，”是真命题，则实数m的最小值为（ ）
A．1 B．2
C．3 D．4
例8．若命题“，不等式”为真命题，则a的取值范围是（ ）
A．或 B．或
C． D．
例9．已知集合，
（1）若命题是真命题，求的取值范围；
（2）命题是真命题，求的取值范围.
题型四、含量词的命题的证明
例10．证明命题“，都有”是真命题．
达标训练
1．下列命题与“”的表述方法不同的是（ ）
A．有一个，使得
B．有些，使得
C．任选一个，使得
D．至少有一个，使得
2．下列命题中，既是存在量词命题又是假命题的是（ ）
A．三角形内角和为 B．有些梯形是平行四边形
C． D．至少有一个整数，使得
3．下列命题的中，是存在量词命题且为真命题的有(　　)
A．x∈R，x2－x＋＜0
B．所有的正方形都是矩形
C．x∈R，x2＋2x＋2＝0
D．至少有一个实数x，使x3＋1＝0
4．已知命题，若命题是假命题，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知对，都有，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
6．已知命题p：x∈R，x2－a≥0；命题q：x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0．若命题p，q都是真命题，则实数a的取值范围为________．
课后提升
1．已知命题p：x>0，x＋a－1＝0，若p为假命题，则a的取值范围是(　　)
A．{a|a<－1} B．{a|a≥1}
C．{a|a>1} D．{a|a≤－1}
2．命题为假命题的一个充分不必要条件是（ ）
A．a=0 B．a=1
C．a= D．2
3．（多选题）对，表示不超过的最大整数．十八世纪，被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”，则下列命题中的真命题是（ ）
A．
B．，
C．函数的最小值为0
D．若，则x取值范围是
4．已知命题，命题.
（1）若命题为真命题，求实数的取值范围；
（2）若命题为真命题，求实数的取值范围；
（3）若命题至少有一个为真命题，求实数的取值范围.
5．已知m∈R，命题p：x∈，不等式2x－2≥m2－3m恒成立；命题q：x∈，使得m≤ax成立．
(1) 若p为真命题，求m的取值范围；
(2) 当a＝1时，若p和q一真一假，求m的取值范围
1.5全称量词与存在量词
考纲要求
理解全称量词、全称量词命题的定义．
理解存在量词、存在量词命题的定义．
会判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并会判断它们的真假．
知识解读
知识点①全称量词和存在量词
量词名称 常见量词 符号表示
全称量词 所有、一切、任意、全部、每一个、任给等
存在量词 存在一个、至少有一个、有一个、某个、有些、某些等
知识点②全称量词命题和存在量词命题
　　名称 形式　　 全称量词命题 存在量词命题
结构 对M中的任意一个x，有p(x)成立 存在M中的一个x0，使p(x0)成立
简记 x∈M，p(x) x0∈M，p(x0)
知识点③全称量词命题和存在量词命题的真假判定
1．全称量词命题的真假判断：要判断一个全称命题量词是真命题，必须对限定集合M中的每一个元素x，验证p(x)成立；但要判断一个全称量词命题是假命题，只需列举出一个x0∈M，使得p(x0)不成立即可．
2．存在量词命题的真假判断：要判断一个存在量词命题是真命题，只要在限定集合M中，能找到一个x0，使得命题p(x0)成立即可；否则这一命题就是假命题．
3．从集合角度判断全称量词命题和存在量词命题的真假：
(1)对于命题“x∈A，使x∈B”，若集合A是集合B的子集，那么该命题为真，否则为假；
(2)对于命题“x0∈A，使x0∈B”，若集合A和集合B存在交集，那么该命题为真，否则为假．
题型讲解
题型一、全称量词和存在量词命题的理解
例1．用符号“”“”表达下列命题.
（1）实数都能写成小数的形式；
（2）存在一实数对，使成立；
（3）任意实数乘，都等于它的相反数；
（4）存在实数，使得.
【答案】答案见解析.
【详解】
解：（1），能写成小数形式；
（2），使；
（3）；
（4）.
例2．给出下列命题：
①存在实数，使；②全等的三角形必相似；③有些相似三角形全等；④至少有一个实数，使的根为负数.
其中存在量词命题的个数为（ ）
A．1 B．2
C．3 D．4
【答案】C
【解析】
对于①，命题的表述中有“存在”，故该命题为存在量词命题；
对于②，命题的表述中有“必”，即所有的全等三角形是相似的，故该命题为全称命题；
对于③，命题的表述中有“有些”，故该命题为存在量词命题；
对于④，命题的表述中有“至少有一个”，故该命题为存在量词命题．
题型二、全称量词和存在量词命题的真假判断
例3．以下四个命题既是存在量词命题又是真命题的是(　　)
A．锐角三角形有一个内角是钝角
B．至少有一个实数x，使x2≤0
C．两个无理数的和必是无理数
D．存在一个负数x，使>2
【答案】B
【解析】A中锐角三角形的内角都是锐角，所以A是假命题；B中当x＝0时，x2＝0，满足x2≤0，所以B既是存在量词命题又是真命题；C中因为＋(－)＝0不是无理数，所以C是假命题；D中对于任意一个负数x，都有<0，不满足>2，所以D是假命题．
例4．设非空集合P，Q满足PQ＝P，则(　　)
A．x∈Q，有x∈P　　　 B．xQ，有xP
C．x0Q，使得x0∈P D．x0∈P，使得x0Q
【答案】B　
【解析】因为PQ＝P，所以PQ，所以 xQ，有xP.
例5．以下四个命题中既是存在量词命题又是真命题的是(　　)
A．锐角三角形有一个内角是钝角 B．至少有一个实数x，使x2≤0
C．两个无理数的和必是无理数 D．存在一个负数x，>2
【答案】B　
【解析】A中锐角三角形的内角都是锐角，所以A是假命题；B中当x＝0时，x2＝0，满足x2≤0，所以B既是存在量词命题又是真命题；C中因为＋(－)＝0不是无理数，所以C是假命题；D中对于任意一个负数x，都有<0，不满足>2，所以D是假命题．
例6．下列四个命题，真命题的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
对于A项，只有时，才成立，则A错误；
对于B项，，解得，则B错误；
对于C项，由，解得，则C错误；
对于D项，判别式，则xR，x2＋x＋2＞0，则D正确．
题型三、含量词的命题真假求参
例7．若“任意，”是真命题，则实数m的最小值为（ ）
A．1 B．2
C．3 D．4
【答案】C
【解析】因为“任意，x≤m”是真命题，所以m≥3，所以实数m的最小值为3．
例8．若命题“，不等式”为真命题，则a的取值范围是（ ）
A．或 B．或
C． D．
【答案】A
【解析】若命题“，不等式”为真命题，则，解得或．
例9．已知集合，
（1）若命题是真命题，求的取值范围；
（2）命题是真命题，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）因为命题是真命题，所以，
当时，，解得；
当时，，解得.
综上，m的取值范围为.
（2）因为是真命题，所以，
所以，即，所以，
所以只需满足即可，即.
故m的取值范围为.
题型四、含量词的命题的证明
例10．证明命题“，都有”是真命题．
【答案】见解析
【解析】由于，都有是真命题，所以在上的最小值为1，
根据二次函数图像可知，x=1时取最小值1，所以恒成立，故命题“，都有”是真命题
达标训练
1．下列命题与“”的表述方法不同的是（ ）
A．有一个，使得
B．有些，使得
C．任选一个，使得
D．至少有一个，使得
【答案】C
【解析】由题意，根据存在性命题的概念，可得命题“”为存在命题，
所以A、B、D与命题“” 的表述方法相同，但命题“任选一个，使得”为全称命题，所以与题设中命题表述不同.
2．下列命题中，既是存在量词命题又是假命题的是（ ）
A．三角形内角和为 B．有些梯形是平行四边形
C． D．至少有一个整数，使得
【答案】B
【解析】对于A，含有全称量词，故A不正确；
对于B，有些梯形是平行四边形不是真命题，故B错误；
对于C，，含有存在量词命题，是真命题，如，故C正确；
对于D，至少有一个整数，使得，含存在量词的命题，是真命题，如，故D正确.
3．下列命题中，是存在量词命题且为真命题的有(　　)
A．x∈R，x2－x＋＜0
B．所有的正方形都是矩形
C．x∈R，x2＋2x＋2＝0
D．至少有一个实数x，使x3＋1＝0
【答案】D
【解析】B为全称量词命题；又因为x2－x＋＝≥0，x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1＞0，所以AC均为存在量词命题但为假命题，D选项既是存在量词命题且为真命题．
4．已知命题，若命题是假命题，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为是假命题，所以方程没有实数根，即，即．
5．已知对，都有，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为对，都有，所以要使成立，只需即可，即．
6．已知命题p：x∈R，x2－a≥0；命题q：x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0．若命题p，q都是真命题，则实数a的取值范围为________．
【答案】a≤－2
【解析】由命题p为真，得a≤0，由命题q为真，得Δ＝4a2－4(2－a)≥0，即a≤－2或a≥1，所以a≤－2.
课后提升
1．已知命题p：x>0，x＋a－1＝0，若p为假命题，则a的取值范围是(　　)
A．{a|a<－1} B．{a|a≥1}
C．{a|a>1} D．{a|a≤－1}
【答案】B　
【解析】∵p为假命题，即x≠1－a，
∴1－a≤0，则a≥1.
∴a的取值范围是a≥1，故选B．
2．命题为假命题的一个充分不必要条件是（ ）
A．a=0 B．a=1
C．a= D．2
【答案】A
【解析】命题为假命题，首先，a=0时，恒成立，符合题意；其次时，且，即，综上可知，．故符合题意的充分不必要条件为选项A．
3．（多选题）对，表示不超过的最大整数．十八世纪，被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”，则下列命题中的真命题是（ ）
A．
B．，
C．函数的最小值为0
D．若，则x取值范围是
【答案】BC
【解析】是整数， 若，是整数，∴，矛盾，∴A错误；
，，∴，∴，B正确；
由定义，∴，∴函数的最小值是0，C正确；
∴D错误．
4．已知命题，命题.
（1）若命题为真命题，求实数的取值范围；
（2）若命题为真命题，求实数的取值范围；
（3）若命题至少有一个为真命题，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）或；（3）或.
【解析】（1）若命题p：为真命题，
则，解得.
（2）若命题q：为真命题，
则，解得或.
（3）若命题p、q至少有一个为真命题，
则，或，或，∴或.
5．已知m∈R，命题p：x∈，不等式2x－2≥m2－3m恒成立；命题q：x∈，使得m≤ax成立．
(1) 若p为真命题，求m的取值范围；
(2) 当a＝1时，若p和q一真一假，求m的取值范围．
【答案】(1)1≤m≤2 (2)m<1或1【解析】 (1) 因为对任意x∈[0,1]，不等式2x－2≥m2－3m恒成立，所以(2x－2)min≥m2－3m，即m2－3m≤－2，解得1≤m≤2，因此，若p为真命题时，实数m的取值范围是1≤m≤2．
(2) 因为a＝1，且存在x∈[－1,1]，使得m≤ax成立，所以m≤x，当命题q为真时，m≤1.
因为p，q中一个是真命题，一个是假命题，
当p真q假时，解得1当p假q真时，解得m<1.
综上，m的取值范围为m<1或1

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