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2.1 等式性质与不等式性质
考纲要求
1．掌握等式性质与不等式性质．
2．会比较两个数的大小，初步学会作差法、作商法比较两实数的大小．
3．能用不等式(组)表示实际问题中的不等关系．
知识解读
知识点①等式性质
1．如果a＝b，那么b＝a．
2．如果a＝b，b＝c，那么a＝c．
3．如果a＝b，那么a±c＝b±c．
4．如果a＝b，那么ac＝bc．
5．如果a＝b，c≠0，那么＝．
知识点②不等式性质
性质 别名 性质内容 注意
1 对称性 a>bb2 传递性 a>b，b>ca>c 不可逆
3 可加性 a>ba＋c>b＋c 可逆
4 可乘性 a>b，c>0ac>bc a>b，c<0ac5 同向可加性 a>b，c>da＋c>b＋d 同向
6 同向同正可乘性 a>b>0，c>d>0ac>bd 同向同正
7 可乘方性 a>b>0an>bn(n∈N，n≥2) 同正
知识点③两个实数比较大小的方法
1．作差法：
2．作商法：
知识点④常用结论
1．倒数性质的几个必备结论
(1)a＞b，ab＞0 ＜；
(2)a＜0＜b ＜；
(3)a＞b＞0,0＜c＜d ＞；
(4)0＜a＜x＜b或a＜x＜b＜0 ＜＜.
2．两个重要不等式
若a＞b＞0，m＞0，则：(1)＜；＞(b－m＞0)；(2)＞；＜(b－m＞0)．
题型讲解
题型一、用不等式或不等式组表示不等关系
例1．李辉准备用自己节省的零花钱买一台学习机，他现在已存60元．计划从现在起以后每个月节省30元，直到他至少有400元．设x个月后他至少有400元，则可以用于计算所需要的月数x的不等式是(　　)
A．30x－60≥400　　　　 B．30x＋60≥400
C．30x－60≤400 D．30x＋40≤400
例2．为了全面贯彻党的教育方针，落实“立德树人”的根本任务，切实改变边远地区孩子上学难的问题，某市政府准备投资1800万元兴办一所中学.经调查，班级数量以20至30个为宜，每个初、高中班硬件配置分别需要28万元与58万元，该学校的规模(初、高中班级数量)所满足的条件是___________.
例3．杯中有浓度为的盐水克，杯中有浓度为的盐水克，其中杯中的盐水更咸一些．若将、两杯盐水混合在一起，其咸淡的程度可用不等式表示为___________．
题型二、比较大小
例4．已知M＝x2－3x，N＝－3x2＋x－3，则M，N的大小关系是________．
例5．已知0A．MN
C．M＝N D．M≥N
例6．设，，则（ ）
A． B．
C． D．
例7．设，比较与的大小
题型三、不等式性质
例8．(多选题)(2020·山东滨州联考)设a＞1＞b＞－1，b≠0，则下列不等式中恒成立的是(　　)
A．＜ B．＞
C．a＞b2 D．a2＞b2
例9．对于任意实数，，，，下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，，则
例10．已知，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
题型四、利用不等式性质证明
例11．已知，求证：
例12．若.求证.
题型五、利用不等式性质求解范围
例13．设0<α<，0≤β≤，则2α－的范围是(　　)
A．0<2α－< B．－<2α－<
C．0<2α－<π D．－<2α－<π
例14．已知，，则的取值范围是________．
例15．若－1<α<β<1，则下列各式中恒成立的是(　　)
A．－2<α－β<0 B．－2<α－β<－1
C．－1<α－β<0 D．－1<α－β<1
达标训练
1．已知a，b，c，d∈R，则下列命题中必成立的是(　　)
A．若a＞b，c＞b，则a＞c
B．若a＞－b，则c－a＜c＋b
C．若a＞b，c＜d，则＞
D．若a2＞b2，则－a＜－b
2．(多选题)(2020·山东烟台期中)下列不等式中恒成立的是(　　)
A．<(a>b) B． x＋≥2(x≠0)
C．＜<(b3．若6A．[9,18]　　　　　　　　 B．(15,30)
C．[9,30] D．(9,30)
4．已知，则的取值范围是____________.
5．已知0(1)a2＋b2与b的大小；
(2)2ab与的大小．
6．证明下列不等式：
（1）已知，求证：；
（2）已知，求证：；
（3）已知，求证：.
7．先后两次购买同一种物品，可采取两种不同的方式，第一种是不考虑物品价格的升降，每次购买该物品的数量一定；第二种是不考虑物品价格的升降，每次购买该物品所花的钱数一定.甲、乙二人先后两次结伴购买同一种物品，其中甲在两次购物时采用第一种方式，乙在两次购物时采用第二种方式.已知第一次购物时该物品单价为，第二次购物时该物品单价为（）.甲两次购物的平均价格记为，乙两次购物的平均价格记为.
（1）求，的表达式（用表示）；
（2）通过比较，的大小，说明哪种购物方式比较划算.
课后提升
1．实数a，b，c，d满足下列三个条件：
①d>c；②a＋b＝c＋d；③a＋d那么a，b，c，d的大小关系是________．
2．(多选)(2022·长沙模拟)设实数a，b，c满足b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，则下列不等式成立的是(　　)
A．cC．b≤a D．a3．已知a＋b＋c＝0，且a>b>c，则的取值范围是________．
4．某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：
(1)男学生人数多于女学生人数；
(2)女学生人数多于教师人数；
(3)教师人数的两倍多于男学生人数．
①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为________．
②该小组人数的最小值为________．
5．设x≥1，y≥1，证明x＋y＋≤＋＋xy.
6．若，,
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）在（2）中的不等式中，能否找到一个代数式，满足所求式？若能，请直接写出该代数式；若不能，请说明理由
2.1 等式性质与不等式性质
考纲要求
1．掌握等式性质与不等式性质．
2．会比较两个数的大小，初步学会作差法、作商法比较两实数的大小．
3．能用不等式(组)表示实际问题中的不等关系．
知识解读
知识点①等式性质
1．如果a＝b，那么b＝a．
2．如果a＝b，b＝c，那么a＝c．
3．如果a＝b，那么a±c＝b±c．
4．如果a＝b，那么ac＝bc．
5．如果a＝b，c≠0，那么＝．
知识点②不等式性质
性质 别名 性质内容 注意
1 对称性 a>bb2 传递性 a>b，b>ca>c 不可逆
3 可加性 a>ba＋c>b＋c 可逆
4 可乘性 a>b，c>0ac>bc a>b，c<0ac5 同向可加性 a>b，c>da＋c>b＋d 同向
6 同向同正可乘性 a>b>0，c>d>0ac>bd 同向同正
7 可乘方性 a>b>0an>bn(n∈N，n≥2) 同正
知识点③两个实数比较大小的方法
1．作差法：
2．作商法：
知识点④常用结论
1．倒数性质的几个必备结论
(1)a＞b，ab＞0 ＜；
(2)a＜0＜b ＜；
(3)a＞b＞0,0＜c＜d ＞；
(4)0＜a＜x＜b或a＜x＜b＜0 ＜＜.
2．两个重要不等式
若a＞b＞0，m＞0，则：(1)＜；＞(b－m＞0)；(2)＞；＜(b－m＞0)．
题型讲解
题型一、用不等式或不等式组表示不等关系
例1．李辉准备用自己节省的零花钱买一台学习机，他现在已存60元．计划从现在起以后每个月节省30元，直到他至少有400元．设x个月后他至少有400元，则可以用于计算所需要的月数x的不等式是(　　)
A．30x－60≥400　　　　 B．30x＋60≥400
C．30x－60≤400 D．30x＋40≤400
【答案】B　
【解析】x个月后他至少有400元，可表示成30x＋60≥400.
例2．为了全面贯彻党的教育方针，落实“立德树人”的根本任务，切实改变边远地区孩子上学难的问题，某市政府准备投资1800万元兴办一所中学.经调查，班级数量以20至30个为宜，每个初、高中班硬件配置分别需要28万元与58万元，该学校的规模(初、高中班级数量)所满足的条件是___________.
【答案】
【解析】设该校有初中班x个，高中班y个，则有：
故答案为：
例3．杯中有浓度为的盐水克，杯中有浓度为的盐水克，其中杯中的盐水更咸一些．若将、两杯盐水混合在一起，其咸淡的程度可用不等式表示为___________．
【答案】
【解析】由题意，将、两杯盐水混合再一起后浓度为，
，，
杯中的盐水更咸一些，，
，故答案为：.
题型二、比较大小
例4．已知M＝x2－3x，N＝－3x2＋x－3，则M，N的大小关系是________．
【答案】M>N
【解析】M－N＝(x2－3x)－(－3x2＋x－3)
＝4x2－4x＋3＝(2x－1)2＋2>0，
∴M>N.
例5．已知0A．MN
C．M＝N D．M≥N
【答案】B　
【解析】∵0∴－1∴M－N＝a1a2－(a1＋a2－1)
＝a1a2－a1－a2＋1
＝a1(a2－1)－(a2－1)
＝(a1－1)(a2－1)>0，
∴M>N.
例6．设，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】，
，
则
.
故，当且仅当时，取等号，
例7．设，比较与的大小
【答案】
【解析】，
，.
两数作商
，.
题型三、不等式性质
例8．(多选题)(2020·山东滨州联考)设a＞1＞b＞－1，b≠0，则下列不等式中恒成立的是(　　)
A．＜ B．＞
C．a＞b2 D．a2＞b2
【答案】CD　
【解析】当a＝2，b＝－，满足条件．但＜不成立，故A错误，当a＞b＞0时，＜，故B错误，∵1＞b＞－1，b≠0，∴0＜b2＜1则a＞b2，故C正确，∵a＞1＞b＞－1，∴a＋b＞0，a－b＞0，∴a2－b2＝(a＋b)(a－b)＞0，故D正确．
例9．对于任意实数，，，，下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，，则
【答案】C
【解析】A：若，则，故A错误；
B：若，则，则，故B错误；
C：因为，则，两边同除以，得，故C正确；
D：若，则，故D错误.
例10．已知，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】 故A错误;
故B错误;
故C错误;
故D正确.
题型四、利用不等式性质证明
例11．已知，求证：
【答案】见解析
【解析】因为，故，
要证，即证，
即证，即证：，
因为，故，故，
因为，故，故，故原不等式成立.
例12．若.求证.
【答案】证明见解析.
【解析】由，得，
故得，即，
又因为，
在不等式两边同时乘以得：，
不等式得证.
题型五、利用不等式性质求解范围
例13．设0<α<，0≤β≤，则2α－的范围是(　　)
A．0<2α－< B．－<2α－<
C．0<2α－<π D．－<2α－<π
【答案】D　
【解析】由已知，得0＜2α＜π，0≤ ≤ ，
∴－≤－≤0，由同向不等式相加得到－＜2α－＜π.
例14．已知，，则的取值范围是________．
【答案】
【解析】因为，，所以，
所以，故答案为：
例15．若－1<α<β<1，则下列各式中恒成立的是(　　)
A．－2<α－β<0 B．－2<α－β<－1
C．－1<α－β<0 D．－1<α－β<1
【答案】A　
【解析】由－1<α<1，－1<β<1，得－1<－β<1，
∴－2<α－β<2.又∵α<β，故知－2<α－β<0.
达标训练
1．已知a，b，c，d∈R，则下列命题中必成立的是(　　)
A．若a＞b，c＞b，则a＞c
B．若a＞－b，则c－a＜c＋b
C．若a＞b，c＜d，则＞
D．若a2＞b2，则－a＜－b
【答案】B　
【解析】选项A，若a＝4，b＝2，c＝5，显然不成立，选项C不满足倒数不等式的条件，如a＞b＞0，c＜0＜d时，不成立；选项D只有a＞b＞0时才可以．否则如a＝－1，b＝0时不成立，故选B.
2．(多选题)(2020·山东烟台期中)下列不等式中恒成立的是(　　)
A．<(a>b) B． x＋≥2(x≠0)
C．＜<(b【答案】CD　
【解析】对于A，若a＝1，b＝－1，满足a＞b，则＞，则<(a>b)，不恒成立；对于B，若x＞0，则x＋≥2；若x＜0，则x＋≤－2，则x＋≥－2(x≠0)不恒成立；对于C，由b＜a＜0＜c，可得－＝＜0，则<(b(a，b，m＞0且a＜b)恒成立．
3．若6A．[9,18]　　　　　　　　 B．(15,30)
C．[9,30] D．(9,30)
【答案】D　
【解析】∵≤b≤2a，∴≤a＋b≤3a，即≤c≤3a.∵64．已知，则的取值范围是____________.
【答案】
【解析】，
则，解得，
所以，
因为，所以，
因为，
所以，
所以，
所以的取值范围为．
5．已知0(1)a2＋b2与b的大小；
(2)2ab与的大小．
【答案】(1)a2＋b2【解析】(1)因为0则a2＋b2－b＝a2＋b(b－1)＝a2－ab＝a(a－b)<0，
所以a2＋b2(2)因为2ab－＝2a(1－a)－
＝－2a2＋2a－
＝－2
＝－2<0，
所以2ab<.
6．证明下列不等式：
（1）已知，求证：；
（2）已知，求证：；
（3）已知，求证：.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.
【解析】证明：（1）因为，所以.
则.
（2）因为，所以.
又因为，所以，
即，因此.
（3）因为，根据（2）的结论，得
.又因为，则 ，即.
7．先后两次购买同一种物品，可采取两种不同的方式，第一种是不考虑物品价格的升降，每次购买该物品的数量一定；第二种是不考虑物品价格的升降，每次购买该物品所花的钱数一定.甲、乙二人先后两次结伴购买同一种物品，其中甲在两次购物时采用第一种方式，乙在两次购物时采用第二种方式.已知第一次购物时该物品单价为，第二次购物时该物品单价为（）.甲两次购物的平均价格记为，乙两次购物的平均价格记为.
（1）求，的表达式（用表示）；
（2）通过比较，的大小，说明哪种购物方式比较划算.
【答案】（1）；（2）第二种购物方式比较划算.
【解析】（1）设甲两次购物时购物量均为m，则两次购物总花费为m+m，
购物总量为2m，平均价格为.
设乙两次购物时用去钱数均为n，则两次购物总花费2n，购物总量为，
平均价格为=
综上，
（2）∵，
∴
由此可知，第二种购物方式比较划算.
课后提升
1．实数a，b，c，d满足下列三个条件：
①d>c；②a＋b＝c＋d；③a＋d那么a，b，c，d的大小关系是________．
【答案】b>d>c>a
【解析】由题意知d>c①，②＋③得2a＋b＋d<2c＋b＋d，化简得ad⑤成立，综合①④⑤式得到b>d>c>a.
2．(多选)(2022·长沙模拟)设实数a，b，c满足b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，则下列不等式成立的是(　　)
A．cC．b≤a D．a【答案】BD
【解析】∵
两式相减得2b＝2a2＋2，
即b＝a2＋1，∴b≥1.
又b－a＝a2＋1－a＝2＋>0，
∴b>a.
而c－b＝4－4a＋a2＝(a－2)2≥0，
∴c≥b，从而c≥b>a.
3．已知a＋b＋c＝0，且a>b>c，则的取值范围是________．
【答案】
【解析】因为a＋b＋c＝0，
所以b＝－(a＋c)．又a>b>c，
所以a>－(a＋c)>c，且a>0，c<0，
所以1>－>，即1>－1－>.
所以解得－2<<－.
4．某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：
(1)男学生人数多于女学生人数；
(2)女学生人数多于教师人数；
(3)教师人数的两倍多于男学生人数．
①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为________．
②该小组人数的最小值为________．
【答案】①6　②12
【解析】设男学生人数为x，女学生人数为y，教师人数为z，由已知得且x，y，z均为正整数．
①当z＝4时，8>x>y>4，∴x的最大值为7，y的最大值为6，故女学生人数的最大值为6.
②x>y>z>，当x＝3时，条件不成立，当x＝4时，条件不成立，当x＝5时，5>y>z>，此时z＝3，y＝4.
∴该小组人数的最小值为12.
5．设x≥1，y≥1，证明x＋y＋≤＋＋xy.
【答案】见解析
【解析】证明：因为x≥1，y≥1，所以xy≥1，
所以x＋y＋≤＋＋xy xy(x＋y)＋1≤y＋x＋(xy)2.
将上面不等式中的右端减左端，得
[y＋x＋(xy)2]－[xy(x＋y)＋1]
＝[(xy)2－1]－[xy(x＋y)－(x＋y)]
＝(xy＋1)(xy－1)－(x＋y)(xy－1)
＝(xy－1)(xy－x－y＋1)
＝(xy－1)(x－1)(y－1)．
因为x≥1，y≥1，xy≥1，所以(xy－1)(x－1)(y－1)≥0，从而所要证明的不等式成立．
6．若，,
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）在（2）中的不等式中，能否找到一个代数式，满足所求式？若能，请直接写出该代数式；若不能，请说明理由.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）能，.
【解析】
（1）因为，且，所以，所以.
（2）因为，所以．又因为 ，所以由同向不等式的相加性可将以上两式相加得．所以．
所以，
因为，所以由同向不等式的相加性可将以上两式相加得．
所以，
所以由两边都是正数的同向不等式的相乘可得.
（3）因为，，
所以，
因为，，
所以，
所以.
所以在（2）中的不等式中，能找到一个代数式满足题意