资源简介

2.2 基本不等式
考纲要求
1．了解基本不等式的推导过程．
2．会用基本不等式解决简单的最值问题．
3．理解基本不等式在实际问题中的应用．
4．掌握公式，凑项，凑系数，分离，常数代换，换元，平方等方法求解最值．
知识解读
知识点①基本不等式
1．基本不等式：≤
2．基本不等式成立的条件：a>0，b>0.
3．等号成立的条件：当且仅当a＝b时，等号成立．
4．其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数．
知识点②几个重要的不等式
1．a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．
2．＋≥2(a，b同号)．
3．ab≤(a，b∈R)．
4．≥ (a，b∈R)．
以上不等式等号成立的条件均为a＝b.
知识点③利用基本不等式求最值
1．已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2.
2．已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2.
注意：利用不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”．
(1)“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
(2)“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方．
题型讲解
题型一、基本不等式的理解
例1．下列不等式中，正确的是(　　)
A．a＋≥4　　　　　 B．a2＋b2≥4ab
C．≥ D．x2＋≥2
例2．若a＞b＞0，则下列不等式成立的是(　　)
A．a＞b＞＞　　 B．a＞＞＞b
C．a＞＞b＞ D．a＞＞＞b
题型二、基本不等式求最值
方法1．直接运用
例3．已知x<0，则x＋－2有(　　)
A．最大值为0 B．最小值为0
C．最大值为－4 D．最小值为－4
例4．已知，且，则的最大值为（ ）
A． B．
C． D．
例5．已知，，且，则的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
方法2．配凑法
例6．若x<，则y＝3x＋1＋有(　　)
A．最大值0 B．最小值9
C．最大值－3 D．最小值－3
例7．(2022·长沙模拟)设0A． B．4
C． D．9
例8．3x2＋的最小值是(　　)
A．3－3 B．3
C．6 D．6－3
方法3．分离（分式型）
例9．(2022·天津模拟)函数y＝(x>－1)的最小值为________．
例10．若a，b∈R，ab＞0，则的最小值为_________.
方法4．常数代换（1代换）
例11．若x>0，y>0，且＋＝1，则xy有(　　)
A．最大值64 B．最小值
C．最小值 D．最小值64
例12．(2022·重庆模拟)已知a>0，b>0，且a＋b＝2，则＋的最小值是(　　)
A．1 B．2
C． D．
方法5．消元法
例13．(2022·烟台模拟)已知x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为_____．
例14．若实数满足，则的最小值为________．
例15．(2022·襄阳模拟)若实数x>1，y>且x＋2y＝3，则＋的最小值为________．
方法6．平方
例16．已知为正实数，，求的最大值．
方法7．构建目标不等式
例17．已知正实数满足，则的最小值是________．
例18．已知正实数满足，则的最小值为_______________．
题型三、基本不等式的实际应用
例19．某高级中学高二年级部为了更好的督促本年级学生养成节约用水、珍惜粮食、爱护公物的良好习惯，现要设计如图所示的一张矩形宣传海报，该海报含有大小相等的左中右三个矩形栏目，这三栏的面积之和为60 000 cm2，四周空白的宽度为10 cm，栏与栏之间的中缝空白的宽度为5 cm.怎样确定矩形栏目高与宽的尺寸，能使整个矩形海报面积最小，其最小值是________ cm2.
例20．网店和实体店各有利弊，两者的结合将在未来一段时期内，成为商业的一个主要发展方向．某品牌行车记录仪支架销售公司从2021年10月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式．根据几个月运营发现，产品的月销量x万件与投入实体店体验安装的费用t万元之间满足函数关系式x＝3－.已知网店每月固定的各种费用支出为3万元，产品每1万件进货价格为32万元，若每件产品的售价定为“进货价的150%”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和，则该公司最大月利润是______万元．
达标训练
1．已知01，则下列不等式中成立的是(　　)
A．a＋b<
B．<
C．<2
D．a＋b<
2．(2022·漳州质检)已知a，b为互不相等的正实数，则下列四个式子中最大的是(　　)
A． B．＋
C． D．
3．已知函数y＝＋x(2x>1)，则y的最小值为________．
4．已知函数y＝(x<－1)，则(　　)
A．f(x)有最小值4
B．f(x)有最小值－4
C．f(x)有最大值4
D．f(x)有最大值－4
5．已知x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0，则当x＋y取得最小值时，y等于(　　)
A．16 B．6
C．18 D．12
6．已知非负数满足，则的最小值是（ ）
A．3 B．4
C．10 D．16
7．(2020·山东枣庄检测)已知正数x，y，满足xy＝1，则M＝＋的最小值为_______.
8．设a，b，c都是正数，试证明不等式：＋＋≥6.
9．某厂家拟在2019年举行某产品的促销活动，经调查，该产品的年销售量(即该产品的年产量)x(单位：万件)与年促销费用m(m≥0)(单位：万元)满足x＝3－(k为常数)，如果不举行促销活动，该产品的年销售量是1万件．已知2019年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用)．
(1)将2019年该产品的利润y(单位：万元)表示为年促销费用m的函数；
(2)该厂家2019年的促销费用为多少万元时，厂家的利润最大？
课后提升
1．已知正数满足，则的最大值是（ ）
A． B．
C．1 D．
2．（多选题）设，且，那么（ ）
A．有最小值 B．有最大值
C．有最大值 D．有最小值
3．已知，，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
4．若a，b，c都是正数，且a＋b＋c＝2，则＋的最小值是_________.
5．已知x，y为实数，若4x2＋y2＋xy＝1，则2x＋y的最大值是________.
6．(2022·重庆沙坪坝区模拟)若x>0，y>0且x＋y＝xy，则＋的最小值为________．
7．设a>b>0，则a2＋＋的最小值是________．
8．设a，b∈R，a2＋b2＝2，求＋的最小值
2.2 基本不等式
考纲要求
1．了解基本不等式的推导过程．
2．会用基本不等式解决简单的最值问题．
3．理解基本不等式在实际问题中的应用．
4．掌握公式，凑项，凑系数，分离，常数代换，换元，平方等方法求解最值．
知识解读
知识点①基本不等式
1．基本不等式：≤
2．基本不等式成立的条件：a>0，b>0.
3．等号成立的条件：当且仅当a＝b时，等号成立．
4．其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数．
知识点②几个重要的不等式
1．a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．
2．＋≥2(a，b同号)．
3．ab≤(a，b∈R)．
4．≥ (a，b∈R)．
以上不等式等号成立的条件均为a＝b.
知识点③利用基本不等式求最值
1．已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2.
2．已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2.
注意：利用不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”．
(1)“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
(2)“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方．
题型讲解
题型一、基本不等式的理解
例1．下列不等式中，正确的是(　　)
A．a＋≥4　　　　　 B．a2＋b2≥4ab
C．≥ D．x2＋≥2
【答案】D　
【解析】a<0，则a＋≥4不成立，故A错；a＝1，b＝1，a2＋b2<4ab，故B错，a＝4，b＝16，则<，故C错；由基本不等式可知D项正确．
例2．若a＞b＞0，则下列不等式成立的是(　　)
A．a＞b＞＞　　 B．a＞＞＞b
C．a＞＞b＞ D．a＞＞＞b
【答案】B　
【解析】a＝＞＞＞＝b，因此B项正确．
题型二、基本不等式求最值
方法1．直接运用
例3．已知x<0，则x＋－2有(　　)
A．最大值为0 B．最小值为0
C．最大值为－4 D．最小值为－4
【答案】C　
【解析】∵x＜0，
∴x＋－2＝－－2≤－2－2＝－4，当且仅当－x＝，即x＝－1时取等号．
例4．已知，且，则的最大值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由基本不等式知；（当且仅当时取等号），
的最大值为.
例5．已知，，且，则的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为，，且，
所以，所以，所以，即
当且仅当
即，时等号成立，故的最小值．
方法2．配凑法
例6．若x<，则y＝3x＋1＋有(　　)
A．最大值0 B．最小值9
C．最大值－3 D．最小值－3
【答案】C
【解析】∵x<，∴3x－2<0，
y＝3x－2＋＋3＝＋3
≤＋3＝－3.
当且仅当2－3x＝，即x＝－时取“＝”．
例7．(2022·长沙模拟)设0A． B．4
C． D．9
【答案】C
【解析】y＝4x(3－2x)＝2·2x·(3－2x)≤2·＝.
当且仅当2x＝3－2x，即x＝时取等号，
∴当x＝时，ymax＝.
例8．3x2＋的最小值是(　　)
A．3－3 B．3
C．6 D．6－3
【答案】D　
【解析】3(x2＋1)＋－3≥2－3＝2－3＝6－3，当且仅当x2＝－1时等号成立，故选D.
方法3．分离（分式型）
例9．(2022·天津模拟)函数y＝(x>－1)的最小值为________．
【答案】9
【解析】因为x>－1，则x＋1>0，
所以y＝
＝
＝(x＋1)＋＋5
≥2＋5＝9，
当且仅当x＋1＝，即x＝1时等号成立，
所以函数的最小值为9.
例10．若a，b∈R，ab＞0，则的最小值为_________.
【答案】4　
【解析】因为ab＞0，所以≥＝＝4ab＋≥2＝4，当且仅当即a2＝，b2＝时取等号，故的最小值是4.
方法4．常数代换（1代换）
例11．若x>0，y>0，且＋＝1，则xy有(　　)
A．最大值64 B．最小值
C．最小值 D．最小值64
【答案】D　
【解析】由题意xy＝xy＝2y＋8x≥2＝8，∴≥8，即xy有最小值64，等号成立的条件是x＝4，y＝16.
例12．(2022·重庆模拟)已知a>0，b>0，且a＋b＝2，则＋的最小值是(　　)
A．1 B．2
C． D．
【答案】　C
【解析】　因为a>0，b>0，且a＋b＝2，
所以＝1，
所以＋＝(a＋b)
＝
≥×＝，
当且仅当a＝，b＝时，等号成立．
方法5．消元法
例13．(2022·烟台模拟)已知x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为_____．
【答案】6
【解析】方法一　(换元消元法)
由已知得9－(x＋3y)＝·x·3y≤·，当且仅当x＝3y，即x＝3，y＝1时取等号．
即(x＋3y)2＋12(x＋3y)－108≥0，
令x＋3y＝t，则t>0且t2＋12t－108≥0，
得t≥6，即x＋3y的最小值为6.
方法二　(代入消元法)
由x＋3y＋xy＝9，得x＝，
所以x＋3y＝＋3y＝
＝＝
＝3(1＋y)＋－6≥2－6
＝12－6＝6，
当且仅当3(1＋y)＝，即y＝1，x＝3时取等号，
所以x＋3y的最小值为6.
例14．若实数满足，则的最小值为________．
【答案】8
【解析】∵实数满足，
∴，∴，解得.
则
，
当且仅当时，等号成立．
例15．(2022·襄阳模拟)若实数x>1，y>且x＋2y＝3，则＋的最小值为________．
【答案】4
【解析】令x－1＝m,2y－1＝n，
则m>0，n>0且m＋n＝x－1＋2y－1＝1，
∴＋＝＋
＝(m＋n)
＝2＋＋≥2＋2＝4，
当且仅当＝，即m＝n＝时取“＝”．
∴＋的最小值为4.
方法6．平方
例16．已知为正实数，，求的最大值．
【答案】
【解析】∵x，y为正实数，3x＋2y＝10，
∴W2＝3x＋2y＋2≤10＋(3x＋2y)＝20，
当且仅当3x＝2y，3x＋2y＝10，即x＝，y＝时，等号成立．
∴W≤2，
即W的最大值为2.
方法7．构建目标不等式
例17．已知正实数满足，则的最小值是________．
【答案】
【解析】
由已知得，，则，，
因为，所以，，
因此，
当且仅当，即，即时，等号成立；
所以的最小值是.
例18．已知正实数满足，则的最小值为_______________．
【答案】2
【解析】正实数x，y满足，
，当且仅当等号成立，
，故的最小值为2.
题型三、基本不等式的实际应用
例19．某高级中学高二年级部为了更好的督促本年级学生养成节约用水、珍惜粮食、爱护公物的良好习惯，现要设计如图所示的一张矩形宣传海报，该海报含有大小相等的左中右三个矩形栏目，这三栏的面积之和为60 000 cm2，四周空白的宽度为10 cm，栏与栏之间的中缝空白的宽度为5 cm.怎样确定矩形栏目高与宽的尺寸，能使整个矩形海报面积最小，其最小值是________ cm2.
【答案】72 600
【解析】设矩形栏目的高为a cm，宽为b cm，
由题意可得3ab＝60 000，
所以ab＝20 000，即b＝，
所以该海报的高为(a＋20)cm，
宽为(3b＋10×2＋5×2)cm，即(3b＋30)cm，
所以整个矩形海报面积
S＝(a＋20)(3b＋30)＝3ab＋30a＋60b＋600
＝30(a＋2b)＋60 600＝30＋60 600≥30×2＋60 600
＝30×400＋60 600＝72 600，
当且仅当a＝，即a＝200时等号成立，
所以当广告栏目的高为200 cm，宽为100 cm时，能使整个矩形海报面积最小，其最小值是72 600 cm2.
例20．网店和实体店各有利弊，两者的结合将在未来一段时期内，成为商业的一个主要发展方向．某品牌行车记录仪支架销售公司从2021年10月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式．根据几个月运营发现，产品的月销量x万件与投入实体店体验安装的费用t万元之间满足函数关系式x＝3－.已知网店每月固定的各种费用支出为3万元，产品每1万件进货价格为32万元，若每件产品的售价定为“进货价的150%”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和，则该公司最大月利润是______万元．
【答案】37.5
【解析】由题意知t＝－1(1当且仅当x＝时取等号，
即最大月利润为37.5万元．
达标训练
1．已知01，则下列不等式中成立的是(　　)
A．a＋b<
B．<
C．<2
D．a＋b<
【答案】D
【解析】对于选项A，因为01，
所以(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2>4ab，故选项A错误；
对于选项B，>＝，故选项B错误；
对于选项C，>＝2，
故选项C错误；
对于选项D,2a2＋2b2>a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2，
所以a＋b<，故选项D正确．
2．(2022·漳州质检)已知a，b为互不相等的正实数，则下列四个式子中最大的是(　　)
A． B．＋
C． D．
【答案】B
【解析】∵a，b为互不相等的正实数，
∴＋>，
<＝<，
<＝<，
∴最大的是＋.
3．已知函数y＝＋x(2x>1)，则y的最小值为________．
【答案】
【解析】∵2x>1，∴x－>0，
y＝＋x＝＋x－＋
≥2＋
＝2＋＝，
当且仅当＝x－，即x＝时取“＝”．
∴y的最小值为.
4．已知函数y＝(x<－1)，则(　　)
A．f(x)有最小值4
B．f(x)有最小值－4
C．f(x)有最大值4
D．f(x)有最大值－4
【答案】A
【解析】y＝＝
＝－＝－
＝－(x＋1)＋＋2.
因为x<－1，所以x＋1<0，－(x＋1)>0，
所以y≥2＋2＝4，
当且仅当－(x＋1)＝，即x＝－2时，等号成立．
故f(x)有最小值4.
5．已知x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0，则当x＋y取得最小值时，y等于(　　)
A．16 B．6
C．18 D．12
【答案】B
【解析】因为x>0，y>0,2x＋8y＝xy，
所以＋＝1，
所以x＋y＝(x＋y)＝10＋＋
≥10＋2＝10＋2×4＝18，
当且仅当即时取等号，
所以当x＋y取得最小值时，y＝6.
6．已知非负数满足，则的最小值是（ ）
A．3 B．4
C．10 D．16
【答案】B
【解析】由，可得，
当且仅当取等号．
7．(2020·山东枣庄检测)已知正数x，y，满足xy＝1，则M＝＋的最小值为_______.
【答案】2－2　
【解析】由正数x，y满足xy＝1，可得0＜x＝，则M＝＋＝＋＝＋＝1－＋＝1－＝1－≥1－＝1－＝2－2.当且仅当y＝，x＝时，取得最小值2－2.
8．设a，b，c都是正数，试证明不等式：＋＋≥6.
【答案】见解析
【解析】证明：因为a>0，b>0，c>0，
所以＋≥2，＋≥2，＋≥2，
所以，
当且仅当＝，＝，＝，
即a＝b＝c时，等号成立．
所以＋＋≥6.
9．某厂家拟在2019年举行某产品的促销活动，经调查，该产品的年销售量(即该产品的年产量)x(单位：万件)与年促销费用m(m≥0)(单位：万元)满足x＝3－(k为常数)，如果不举行促销活动，该产品的年销售量是1万件．已知2019年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用)．
(1)将2019年该产品的利润y(单位：万元)表示为年促销费用m的函数；
(2)该厂家2019年的促销费用为多少万元时，厂家的利润最大？
【答案】y＝－＋29(m≥0)
【解析】(1)由题意，可知当m＝0时，x＝1，∴1＝3－k，解得k＝2，∴x＝3－，
又每件产品的销售价格为1.5×元，
∴y＝x－(8＋16x＋m)＝4＋8x－m
＝4＋8－m
＝－＋29(m≥0)．
(2)∵m≥0，＋(m＋1)≥2＝8，当且仅当＝m＋1，即m＝3时等号成立，
∴y≤－8＋29＝21，∴ymax＝21.
故该厂家2019年的促销费用为3万元时，厂家的利润最大，最大利润为21万元．
课后提升
1．已知正数满足，则的最大值是（ ）
A． B．
C．1 D．
【答案】B
【详解】
，
因为，所以，
因此
，
（当且仅当时取等号，即时取等号，即时取等号），
所以.
2．（多选题）设，且，那么（ ）
A．有最小值 B．有最大值
C．有最大值 D．有最小值
【答案】AD
【解析】解：①由题已知得：,
故有,
解得或（舍）,
即（当且仅当时取等号）,A正确;
②因为,
所以,
又因为
,
有最小值,D正确.
3．已知，，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】已知，，，
则，
当且仅当 时，即当，且，等号成立，
故的最小值为，
4．若a，b，c都是正数，且a＋b＋c＝2，则＋的最小值是_________.
【答案】3　
【解析】∵a，b，c都是正数，且a＋b＋c＝2，∴a＋b＋c＋1＝3，且a＋1>0，b＋c>0. ∴＋＝·(a＋1＋b＋c)·＝≥(5＋4)＝3. 当且仅当a＋1＝2(b＋c)，即a＝1，b＋c＝1时，等号成立．
5．已知x，y为实数，若4x2＋y2＋xy＝1，则2x＋y的最大值是________.
【答案】　
【解析】 因为4x2＋y2＋xy＝1，所以(2x＋y)2－3xy＝1，即(2x＋y)2－·2xy＝1，所以(2x＋y)2－·2≤1，解得(2x＋y)2≤，即2x＋y≤
6．(2022·重庆沙坪坝区模拟)若x>0，y>0且x＋y＝xy，则＋的最小值为________．
【答案】3＋2
【解析】因为x>0，y>0且x＋y＝xy，
则xy＝x＋y>y，即有x>1，同理y>1，
由x＋y＝xy得，(x－1)(y－1)＝1，
于是得＋＝1＋＋2＋
＝3＋
≥3＋2＝3＋2，
当且仅当＝，
即x＝1＋，y＝1＋时取“＝”，
所以＋的最小值为3＋2.
7．设a>b>0，则a2＋＋的最小值是________．
【答案】4
【解析】∵a>b>0，∴a－b>0，
∴a(a－b)>0，a2＋＋
＝a2＋ab－ab＋＋
＝a2－ab＋＋ab＋
＝a(a－b)＋＋ab＋≥2＋2＝4，
当且仅当
即a＝，b＝时等号成立．
∴a2＋＋的最小值是4.
8．设a，b∈R，a2＋b2＝2，求＋的最小值．
【答案】
【解析】由题意知a2＋b2＝2，a2＋1＋b2＋1＝4，
∴＋
＝(a2＋1＋b2＋1)
＝≥，
当且仅当＝，即a2＝，b2＝时等号成立，
∴＋的最小值为

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