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3.1 函数的概念及其表示
考纲要求
1．理解函数的定义、函数的定义域、值域及对应法则．
2．掌握判定函数和函数相等的方法．
3．学会求函数的定义域与函数值．
4．明确函数的三种表示方法．
5．通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用．
知识解读
知识点①函数的概念
一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.
知识点②函数的三要素
1．函数的三要素：定义域、值域、对应关系．
2．如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为同一个函数．
知识点③区间概念(a，b为实数，且a＜b)
定义 名称 符号 数轴表示
闭区间
开区间
左闭右开区间
右闭左开区间
其它区间的表示
定义 R
符号
知识点④函数的表示法
表示函数的常用方法有解析式法、图象法和列表法．
知识点⑤分段函数
若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．
知识点⑥常用结论
1．直线x＝a与函数y＝f(x)的图象至多有1个交点．
2．在函数的定义中，非空数集A，B，A即为函数的定义域，值域为B的子集．
3．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集．
题型讲解
题型一、函数的概念
例1．下列各曲线表示的y与x之间的关系中，y不是x的函数的是(　　)
例2．(多选)下列各组函数是同一个函数的是(　　)
A．f(x)＝x2－2x－1，g(s)＝s2－2s－1
B．f(x)＝x－1，g(x)＝
C．f(x)＝，g(x)＝
D．f(x)＝，g(x)＝x
例3．已知函数y＝f(x)的对应关系如下表，函数y＝g(x)的图象是如图的曲线ABC，其中A(1，3)，B(2，1)，C(3，2)，则f(g(2))的值为(　　)
A．3　　　 B．2　　
C．1　　 D．0
题型二、函数的定义域
常见基本初等函数定义域的基本要求
(1)分式函数中分母不等于零．
(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0.
(3)一次函数、二次函数的定义域均为R.
(4)y＝x0的定义域是{x|x≠0}．
(5)y＝ax(a>0且a≠1)，y＝sin x，y＝cos x的定义域均为R.
(6)y＝logax(a>0且a≠1)的定义域为(0，＋∞)．
(7)y＝tan x的定义域为.
求复合函数定义域的方法
(1) 若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域可由不等式a≤g(x)≤b求出．
(2) 若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]上的值域．
例4．函数y＝＋的定义域为(　　)
A．{x|x≤1}　　　 B．{x|x≥0}
C．{x|x≥1或x≤0} D．{x|0≤x≤1}
例5．若函数f(x)的定义域为[0,2]，则函数f(x－1)的定义域为________．
例6．若函数f(x＋1)的定义域为[0,2]”，则函数f(x－1)的定义域为________．
题型三、求函数的解析式
求函数解析式的3种方法
待定系数法 当函数的特征已经确定时，一般用待定系数法来确定函数解析式
换元法 如果给定复合函数的解析式，求外函数的解析式，通常用换元法将内函数先换元，然后求出外函数的解析式
解方程组法 如果给定两个函数的关系式，可以通过变量代换建立方程组，再通过方程组求出函数解析式
例7．求下列函数的解析式
(1)已知f＝x，求f(x)的解析式．
(2)已知f(x)是二次函数，且f(0)＝0，f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，求f(x)的解析式．
(3)已知函数f(x)满足f(－x)＋2f(x)＝2x，求f(x)的解析式．
例8．已知函数f(x)满足f(x)＝2f＋x，则f(x)的解析式为_____________.
例9．已知f ＝x4＋，则f(x)＝__________.
题型四、分段函数
考点一、分段函数求值问题
例10．设f(x)＝则f(f(－1))＝________．
例11．已知f(x)＝，则f(7)＝_________.
考点二、分段函数求参数或自变量的值(范围)
例12．已知函数f(x)＝若f(a)＋f(1)＝0，则实数a＝_________.
例13．已知f(x)＝，若f(a)＝5，则实数a的值是__________；若f(f(a))≤5，则实数a的取值范围是__________．
达标训练
1．下列所给图象是函数图象的个数为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
2．若函数f(x)满足f(3x＋2)＝9x＋8，则f(x)的解析式是(　　)
A．f(x)＝9x＋8
B．f(x)＝3x＋2
C．f(x)＝－3x－4
D．f(x)＝3x＋2或f(x)＝－3x－4
3． (多选)已知函数f(x)＝，x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，则下列等式成立的是(　　)
A．f(x)＝f B．－f(x)＝f
C． D．f(－x)＝－f(x)
4．(2022·安徽江淮十校联考)设函数f(x)＝若f ＝8，则a等于(　　)
A． B．
C．1 D．2
5．设函数f ＝x，则f(x)的表达式为(　　)
A．(x≠－1) B．(x≠－1)
C．(x≠－1) D．(x≠－1)
6．已知函数f(x)满足f(2x)＝2f(x)，且当1≤x＜2时，f(x)＝x2，则f(3)＝(　　)
A． B．
C． D．9
7．已知f(x)＝则f[f(x)]≥1的解集是(　　)
A．(－∞，－ ]
B．[4，＋∞)
C．(－∞，－1]∪[4，＋∞)
D．(－∞，－ ]∪[4，＋∞)
8．如图，点P在边长为1的正方形的边上运动，M是CD的中点，当P沿A－B－C－M运动时，设点P经过的路程为x，△APM的面积为y，则函数y＝f(x)的图象大致是(　　)
9．已知f(x)＝若f(a)＝2，则a的取值为(　　)
A．2 B．－1或2
C．±1或2 D．1或2
10．已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，则f(x)＝_________.
11．(2020·山东济南月考)已知函数f(2x－1)的定义域为(0, 1)，则函数f(1－3x)的定义域是 __________.
12．设函数f(x)＝则不等式xf(x)＋x≤2的解集是________．
13．已知函数f(x)对任意实数x均有f(x)＝－2f(x＋1)，且f(x)在区间[0,1]上有解析式f(x)＝x2.
(1)求f(－1)，f(1.5)；
(2)写出f(x)在区间[－2,2]上的解析式．
课后提升
1．(多选)(2022·张家界质检)设函数f(x)＝若f(1)＝2f(0)，则实数a可以为(　　)
A．－1 B．0
C．1 D．2
2．设x∈R，定义符号函数sgn x＝则(　　)
A．|x|＝x|sgn x| B．|x|＝xsgn|x|
C．|x|＝|x|sgn x D．|x|＝xsgn x
3．已知f(x)满足f(ab)＝f(a)＋f(b)，且f(2)＝p，f(3)＝q．那么f(72)等于(　　)
A．p＋q D．3p＋2q
C．2p＋3q D．p3＋q2
4．已知函数f(x)＝.
(1)求f(2)＋f，f(3)＋f的值；
(2)由(1)中求得的结果，你发现f(x)与f有什么关系？并证明你的结论；
(3)求f(2)＋f＋f(3)＋f＋…＋f(2 019)＋f的值
3.1 函数的概念及其表示
考纲要求
1．理解函数的定义、函数的定义域、值域及对应法则．
2．掌握判定函数和函数相等的方法．
3．学会求函数的定义域与函数值．
4．明确函数的三种表示方法．
5．通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用．
知识解读
知识点①函数的概念
一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.
知识点②函数的三要素
1．函数的三要素：定义域、值域、对应关系．
2．如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为同一个函数．
知识点③区间概念(a，b为实数，且a＜b)
定义 名称 符号 数轴表示
闭区间
开区间
左闭右开区间
右闭左开区间
其它区间的表示
定义 R
符号
知识点④函数的表示法
表示函数的常用方法有解析式法、图象法和列表法．
知识点⑤分段函数
若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．
知识点⑥常用结论
1．直线x＝a与函数y＝f(x)的图象至多有1个交点．
2．在函数的定义中，非空数集A，B，A即为函数的定义域，值域为B的子集．
3．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集．
题型讲解
题型一、函数的概念
例1．下列各曲线表示的y与x之间的关系中，y不是x的函数的是(　　)
【答案】C
【解析】根据函数定义，对于任意一个数x，都有唯一确定的数y和它对应，C中有两个y与x对应．
例2．(多选)下列各组函数是同一个函数的是(　　)
A．f(x)＝x2－2x－1，g(s)＝s2－2s－1
B．f(x)＝x－1，g(x)＝
C．f(x)＝，g(x)＝
D．f(x)＝，g(x)＝x
【答案】AC
【解析】AC的定义域相同，且对应关系一致，所以是相同函数；BD定义域不同，不是同一个函数．
例3．已知函数y＝f(x)的对应关系如下表，函数y＝g(x)的图象是如图的曲线ABC，其中A(1，3)，B(2，1)，C(3，2)，则f(g(2))的值为(　　)
A．3　　　 B．2　　　　
C．1　　 D．0
【答案】B　
【解析】由函数g(x)的图象知，g(2)＝1，则f(g(2))＝f(1)＝2.
题型二、函数的定义域
常见基本初等函数定义域的基本要求
(1)分式函数中分母不等于零．
(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0.
(3)一次函数、二次函数的定义域均为R.
(4)y＝x0的定义域是{x|x≠0}．
(5)y＝ax(a>0且a≠1)，y＝sin x，y＝cos x的定义域均为R.
(6)y＝logax(a>0且a≠1)的定义域为(0，＋∞)．
(7)y＝tan x的定义域为.
求复合函数定义域的方法
(1) 若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域可由不等式a≤g(x)≤b求出．
(2) 若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]上的值域．
例4．函数y＝＋的定义域为(　　)
A．{x|x≤1}　　　　　　 B．{x|x≥0}
C．{x|x≥1或x≤0} D．{x|0≤x≤1}
【答案】D　
【解析】由题意可知解得0≤x≤1.
例5．若函数f(x)的定义域为[0,2]，则函数f(x－1)的定义域为________．
【答案】[1,3]
【解析】∵f(x)的定义域为[0,2]，
∴0≤x－1≤2，即1≤x≤3，
∴函数f(x－1)的定义域为[1,3]．
例6．若函数f(x＋1)的定义域为[0,2]”，则函数f(x－1)的定义域为________．
【答案】[2,4]
【解析】∵f(x＋1)的定义域为[0,2]，
∴0≤x≤2，
∴1≤x＋1≤3，
∴1≤x－1≤3，
∴2≤x≤4，
∴f(x－1)的定义域为[2,4]．
题型三、求函数的解析式
求函数解析式的3种方法
待定系数法 当函数的特征已经确定时，一般用待定系数法来确定函数解析式
换元法 如果给定复合函数的解析式，求外函数的解析式，通常用换元法将内函数先换元，然后求出外函数的解析式
解方程组法 如果给定两个函数的关系式，可以通过变量代换建立方程组，再通过方程组求出函数解析式
例7．求下列函数的解析式
(1)已知f＝x，求f(x)的解析式．
(2)已知f(x)是二次函数，且f(0)＝0，f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，求f(x)的解析式．
(3)已知函数f(x)满足f(－x)＋2f(x)＝2x，求f(x)的解析式．
【答案】(1)f(x)＝，x1 (2)f(x)＝x2＋x，x∈R (3)f(x)＝2x，x∈R
【解析】(1)令＋1＝t，得x＝，代入得f(t)＝，t1，
故f(x)的解析式是f(x)＝，x1．
(2)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由f(0)＝0，知c＝0，f(x)＝ax2＋bx，
又由f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，得a(x＋1)2＋b(x＋1)＝ax2＋bx＋x＋1，
即ax2＋(2a＋b)x＋a＋b＝ax2＋(b＋1)x＋1，
所以解得a＝b＝.所以f(x)＝x2＋x，x∈R.
(3)由f(－x)＋2f(x)＝2x，①
得f(x)＋2f(－x)＝－2x，②
①×2－②，得3f(x)＝6x，即f(x)＝2x.故f(x)的解析式是f(x)＝2x，x∈R.
例8．已知函数f(x)满足f(x)＝2f＋x，则f(x)的解析式为_____________.
【答案】f(x)＝－－x
【解析】由f(x)＝2f＋x，得f＝2f(x)＋，联立得
①＋②×2得f(x)＝x＋4f(x)＋，则f(x)＝－－x
例9．已知f ＝x4＋，则f(x)＝__________.
【答案】x2－2，x∈[2，＋∞)
【解析】∵f ＝2－2，
∴f(x)＝x2－2，x∈[2，＋∞)．
题型四、分段函数
考点一、分段函数求值问题
例10．设f(x)＝则f(f(－1))＝________．
【答案】0　2－3
【解析】∵f(－1)＝2，
∴f(f(－1))＝f(2)＝2＋－3＝0，
例11．已知f(x)＝，则f(7)＝_________.
【答案】6　
【解析】∵7＜9，∴f(7)＝f(f(7＋4))＝f(f(11))＝f(11－3)＝f(8)．又∵8＜9，∴f(8)＝f(f(12))＝f(9)＝9－3＝6，即f(7)＝6.
考点二、分段函数求参数或自变量的值(范围)
例12．已知函数f(x)＝若f(a)＋f(1)＝0，则实数a＝_________.
【答案】－3　
【解析】当a>0时，由f(a)＋f(1)＝0得2a＋2＝0，无实数解；当a≤0时，由f(a)＋f(1)＝0得a＋1＋2＝0，解得a＝－3，满足条件．
例13．已知f(x)＝，若f(a)＝5，则实数a的值是__________；若f(f(a))≤5，则实数a的取值范围是__________．
【答案】1或－3　[－，－1]
【解析】①当a>0时，2a＋3＝5，解得a＝1；
当a≤0时，a2－4＝5，
解得a＝－3或a＝3(舍)．
综上，a＝1或－3.
②设t＝f(a)，由f(t)≤5得－3≤t≤1.
由－3≤f(a)≤1，解得－≤a≤－1.
达标训练
1．下列所给图象是函数图象的个数为(　　)
A．1　　　　　　　　 B．2
C．3 D．4
【答案】B　
【解析】①中当x＞0时，每一个x的值对应两个不同的y值，因此不是函数图象；②中当x＝x0时，y的值有两个，因此不是函数图象；③④中每一个x的值对应唯一的y值，因此是函数图象．
2．若函数f(x)满足f(3x＋2)＝9x＋8，则f(x)的解析式是(　　)
A．f(x)＝9x＋8
B．f(x)＝3x＋2
C．f(x)＝－3x－4
D．f(x)＝3x＋2或f(x)＝－3x－4
【答案】B　
【解析】令t＝3x＋2，则x＝，所以f(t)＝9×＋8＝3t＋2.所以f(x)＝3x＋2.
3． (多选)已知函数f(x)＝，x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，则下列等式成立的是(　　)
A．f(x)＝f B．－f(x)＝f
C． D．f(－x)＝－f(x)
【答案】AD　
【解析】 因为f(x)＝，所以f＝＝，所以f(x)＝f；f(－x)＝＝－＝－f(x)，所以f(－x)＝－f(x)．故A，D正确，B，C错误．
4．(2022·安徽江淮十校联考)设函数f(x)＝若f ＝8，则a等于(　　)
A． B．
C．1 D．2
【答案】D
【解析】f ＝4×－＝3，
则f ＝f(3)＝a3，
得a3＝8，解得a＝2.
5．设函数f ＝x，则f(x)的表达式为(　　)
A．(x≠－1) B．(x≠－1)
C．(x≠－1) D．(x≠－1)
【答案】C
【解析】令t＝，则x＝，
∴f(t)＝，即f(x)＝(x≠－1)．
6．已知函数f(x)满足f(2x)＝2f(x)，且当1≤x＜2时，f(x)＝x2，则f(3)＝(　　)
A． B．
C． D．9
【答案】C　
【解析】∵f(2x)＝2f(x)，且当1≤x＜2时，f(x)＝x2，
∴f(3)＝2f＝2×2＝.
7．已知f(x)＝则f[f(x)]≥1的解集是(　　)
A．(－∞，－ ]
B．[4，＋∞)
C．(－∞，－1]∪[4，＋∞)
D．(－∞，－ ]∪[4，＋∞)
【答案】D　
【解析】当x≥0时，f(x)＝≥0，f[f(x)]＝f＝≥1，解得x≥4，当x＜0时，f(x)＝x2＞0，f[f(x)]＝f(x2)＝≥1，解得x≥(舍)或x≤－，综上可知：x≥4或x≤－.
8．如图，点P在边长为1的正方形的边上运动，M是CD的中点，当P沿A－B－C－M运动时，设点P经过的路程为x，△APM的面积为y，则函数y＝f(x)的图象大致是(　　)
【答案】A
【解析】由题意可得
y＝f(x)＝
画出函数f(x)的大致图象，故选A.
9．已知f(x)＝若f(a)＝2，则a的取值为(　　)
A．2 B．－1或2
C．±1或2 D．1或2
【答案】B　
【解析】由已知f(x)＝，且f(a)＝2，
∴或解得a＝2或a＝－1.
10．已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，则f(x)＝_________.
【答案】2x＋7
【解析】设f(x)＝ax＋b(a≠0)，
则3f(x＋1)－2f(x－1)＝3ax＋3a＋3b－2ax＋2a－2b＝ax＋b＋5a＝2x＋17，所以a＝2，b＝7，所以f(x)＝2x＋7.
11．(2020·山东济南月考)已知函数f(2x－1)的定义域为(0, 1)，则函数f(1－3x)的定义域是 __________.
【答案】　
【解析】因为函数f(2x－1)的定义域为(0,1)，所以－1<2x－1<1，所以函数f(x)的定义域为(－1,1)，由－1<1－3x<1得012．设函数f(x)＝则不等式xf(x)＋x≤2的解集是________．
【答案】[－2,0)∪(0,1]
【解析】当x<0时，f(x)＝x，
代入xf(x)＋x≤2得x2＋x－2≤0，
解得－2≤x<0；
当x>0时，f(x)＝1，
代入xf(x)＋x≤2，解得0综上有－2≤x＜0或0＜x≤1.
13．已知函数f(x)对任意实数x均有f(x)＝－2f(x＋1)，且f(x)在区间[0,1]上有解析式f(x)＝x2.
(1)求f(－1)，f(1.5)；
(2)写出f(x)在区间[－2,2]上的解析式．
【答案】(1)0 － (2)见解析
【解析】(1)由题意知f(－1)＝－2f(－1＋1)＝－2f(0)＝0，
f(1.5)＝f(1＋0.5)＝－f(0.5)＝－×＝－.
(2)当x∈[0,1]时，f(x)＝x2；
当x∈(1,2]时，x－1∈(0,1]，f(x)＝－f(x－1)＝－(x－1)2；
当x∈[－1,0)时，x＋1∈[0,1)，f(x)＝－2f(x＋1)＝－2(x＋1)2；
当x∈[－2，－1)时，x＋1∈[－1,0)，f(x)＝－2f(x＋1)＝－2×[－2(x＋1＋1)2]＝4(x＋2)2.
所以f(x)＝
课后提升
1．(多选)(2022·张家界质检)设函数f(x)＝若f(1)＝2f(0)，则实数a可以为(　　)
A．－1 B．0
C．1 D．2
【答案】AB
【解析】若a<0，则f(0)＝1，f(1)＝2，f(1)＝2f(0)成立；
若0≤a<1，则f(0)＝1，f(1)＝2，f(1)＝2f(0)成立；
若a≥1，则f(0)＝1，f(1)＝0，f(1)＝2f(0)不成立．
综上所述，实数a的取值范围是(－∞，1)．
2．设x∈R，定义符号函数sgn x＝则(　　)
A．|x|＝x|sgn x| B．|x|＝xsgn|x|
C．|x|＝|x|sgn x D．|x|＝xsgn x
【答案】D　
【解析】当x＜0时，|x|＝－x，x|sgn x|＝x，xsgn|x|＝x，|x|sgn x＝(－x)·(－1)＝x，排除A、B、C．
3．已知f(x)满足f(ab)＝f(a)＋f(b)，且f(2)＝p，f(3)＝q．那么f(72)等于(　　)
A．p＋q D．3p＋2q
C．2p＋3q D．p3＋q2
【答案】B　
【解析】因为f(ab)＝f(a)＋f(b)，
所以f(9)＝f(3)＋f(3)＝2q，
f(8)＝f(2)＋f(2)＋f(2)＝3p，
所以f(72)＝f(8×9)＝f(8)＋f(9)＝3p＋2q.
4．已知函数f(x)＝.
(1)求f(2)＋f，f(3)＋f的值；
(2)由(1)中求得的结果，你发现f(x)与f有什么关系？并证明你的结论；
(3)求f(2)＋f＋f(3)＋f＋…＋f(2 019)＋f的值．
【答案】(1) 1 (2)f(x)＋f＝1 (3)2 018
【解析】(1)∵f(x)＝，
∴f(2)＋f＝＋＝1，
f(3)＋f＝＋＝1.
(2)由(1)可发现f(x)＋f＝1.
证明：f(x)＋f＝＋＝＋＝＝1.
(3)由(2)知f(x)＋f＝1，
∴f(2)＋f＝1，f(3)＋f＝1，f(4)＋f＝1，…，f(2 019)＋f＝1.
∴f(2)＋f＋f(3)＋f＋…＋f(2 019)＋f＝2 018

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