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3.2 函数的基本性质
考纲要求
1．掌握求函数单调性与单调区间的求解方法，并能利用函数的单调性求最值．
2．理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义．
3．了解函数奇偶性的含义．
4．能够运用函数图象理解和研究函数的性质．
知识解读
知识点①函数的单调性
1．单调函数的定义
增函数 减函数
定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2
当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数
图象 描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的
2．单调区间的定义
如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间.
3．复合函数的单调性
对于复合函数y＝f[g(x)]，若t＝g(x)在区间(a，b)上是单调函数，且y＝f(t)在区间(g(a)，g(b))或(g(b)，g(a))上是单调函数，若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相同，则y＝f[g(x)]为增函数；若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相反，则y＝f[g(x)]为减函数．简称“同增异减”．
知识点②函数的最值
前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
条件 (1)对于任意x∈I，都有f(x)≤M； (2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M (3)对于任意x∈I，都有f(x)≥M； (4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M
结论 M为最大值 M为最小值
知识点③函数的奇偶性
1．函数的奇偶性的定义
奇偶性 定义 图象特点
奇函数 设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且f(－x)＝－f(x)，则这个函数叫做奇函数 关于坐标原点对称
偶函数 设函数y＝g(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且g(－x)＝g(x)，则这个函数叫做偶函数 关于y轴对称
2．奇偶性的重要结论
(1)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．
(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．
(3)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f(x)＝0，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空数集．
(4)在公共定义域内有：奇±奇→奇，偶±偶→偶，奇×奇→偶，偶×偶→偶，奇×偶→奇．
3．对称性的3个常用结论
(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，即f(a－x)＝f(a＋x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称；
(2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称；
(3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，即f(－x＋b)＋f(x＋b)＝0，则函数y＝f(x)关于点(b,0)中心对称．
题型讲解
题型一、函数的单调性
例1．函数y＝x2＋2x－3(x>0)的单调增区间为________．
例2．函数f(x)＝|x－2|x的单调递减区间是(　　)
A．[1,2] B．[－1,0]
C．[0,2] D．[2，＋∞)
例3．若函数f(x)＝ax＋1在R上递减，则函数g(x)＝a(x2－4x＋3)的增区间是(　　)
A．(2，＋∞) B．(－∞，2)
C．(4，＋∞) D．(－∞，4)
例4．若函数f(x)＝|2x＋a|的单调递增区间是[3，＋∞)，则a的值为(　　)
A．－2 B．2
C．－6 D．6
例5．已知函数f(x)＝，则该函数的单调递增区间为(　　)
A．(－∞，1] B．[3，＋∞)
C．(－∞，－1] D．[1，＋∞)
例6．下列函数中，在区间(0，1)上是增函数的是(　　)
A．y＝|x|＋2 D．y＝3－x
C．y＝ D．y＝－x2＋4
例7．已知函数f(x)是R上的增函数，A(0，－1)，B(3，1)是其图象上的两点，则－1A．(－3，0) D．(0，3)
C．(－∞，－1]∪[3，＋∞) D．(－∞，0]∪[1，＋∞)
例8．函数f(x)＝，满足对任意的实数x1≠x2都有>0成立，则实数a的取值范围为_________.
例9．已知函数f(x)＝，若0A．< < B．< <
C．< < D．< <
例10．已知函数f(x)是R上的增函数，对任意实数a，b，若a＋b>0，则有(　　)
A．f(a)＋f(b)>f(－a)＋f(－b)
B．f(a)＋f(b)C．f(a)－f(b)>f(－a)－f(－b)
D．f(a)－f(b)例11．试讨论函数f(x)＝(a≠0)在(－1,1)上的单调性．
题型二、函数的最值
例1．函数f(x)＝－x＋在上的最大值是(　　)
A． B．－
C．－2 D．2
例2．函数y＝x－的最小值为________．
例3．函数y＝的值域为________．
题型三、偶函数的基本性质
例1．下列函数为偶函数的是(　　)
A．f(x)＝x－1
B．f(x)＝x2＋x
C．f(x)＝2x－2－x
D．f(x)＝2x＋2－x
例2．若函数f(x)＝ax2＋bx＋1是定义在[－1－a,2a]上的偶函数，则该函数的最大值为________．
例3．已知函数f(x)是偶函数，且当x>0时，f(x)＝x3＋x＋1，则当x<0时，f(x)的解析式为________；
例4．已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(2x－1)A．(，) B．[，)
C．(，) D．[，)
题型四、奇函数的基本性质
例1．判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝＋；
(2)f(x)＝(1－x)；
(3)f(x)＝
例2．设函数f(x)，g(x)的定义域为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是(　　)
A．f(x)g(x)是偶函数 B．|f(x)|g(x)是奇函数
C．f(x)|g(x)|是奇函数 D．|f(x)g(x)|是奇函数
例3．已知函数f(x)＝cx3＋bx＋1(x∈R)，若f(a)＝2，则f(－a)的值为(　　)
A．3 B．0
C．－1 D．－2
例4．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f(x)＝x(1＋x)，则f(－1)＝___________.
例5．若函数y＝f(x)是R上的奇函数，当x<0时，f(x)＝，则当x>0时，f(x)等于(　　)
A． B．
C． D．
例6．若函数f(x)＝为奇函数，则a等于(　　)
A． B．
C． D．1
例7．(2020·新高考全国Ⅰ)若定义在R上的奇函数f(x)在(－∞，0)上单调递减，且f(2)＝0，则满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是(　　)
A．[－1,1]∪[3，＋∞)
B．[－3，－1]∪[0,1]
C．[－1,0]∪[1，＋∞)
D．[－1,0]∪[1,3]
题型四、函数性质的综合应用
例1．(2017·全国卷Ⅰ)函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，且为奇函数．若f(1)＝－1，则满足－1≤f(x－2)≤1的x的取值范围是(　　)
A．[－2,2] B．[－1,1]
C．[0,4] D．[1,3]
例2．已知函数f(x)的定义域为R，当x∈[－2,2]时，f(x)单调递减，且函数f(x＋2)为偶函数，则下列结论正确的是(　　)
A．f(π)C．f()例3．已知函数f(x)＝x3＋x，对任意的m∈[－2,2]，f(mx－2)＋f(x)<0恒成立，则x的取值范围是________．
例4 ．(多选)已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)＋f(2)，且当x∈[0,2]时，y＝f(x)单调递减，给出以下四个命题，其中正确的是(　　)
A．f(2)＝0
B．f(3)>0
C．函数y＝f(x)在[4,6]上单调递增
D．若方程f(x)＝m在[－6，－2]上的两根为x1，x2，则x1＋x2＝－8
例5．函数f(x)的定义域为D＝{x|x≠0}，且满足对于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)．
(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论；
(3)如果f(4)＝1，f(x－1)<2，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求x的取值范围．
达标训练
1．函数f(x)＝|x＋2|在[－3，0]上(　　)
A．单调递减　 B．单调递增
C．先减后增 D．先增后减
2．函数y＝x2－2x＋2在区间[－2，3]上的最大值、最小值分别是(　　)
A．10，5　 B．10，1
C．5，1 D．以上都不对
3．如果奇函数f(x)的区间[－7，－3]上是减函数且最大值为5，那么函数f(x)在区间[3，7]上是(　　)
A．增函数且最小值为－5　 B．增函数且最大值为－5
C．减函数且最小值为－5 D．减函数且最大值为－5
4．设f(x)是R上的偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，若x1<0且x1＋x2>0，则(　　)
A．f(－x1)>f(－x2)
B．f(－x1)＝f(－x2)
C．f(－x1)D．f(－x1)与f(－x2)的大小关系不确定
5．设f(x)是R上的偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，则f(－2)，f(－π)，f(3)的大小顺序是(　　)
A．f(－π)>f(3)>f(－2)
B．f(－π)>f(－2)>f(3)
C．f(3)>f(－2)>f(－π)
D．f(3)>f(－π)>f(－2)
6．已知函数f(x)＝是R上的减函数，则实数a的取值范围是(　　)
A．(0，3) D．(0，3]
C．(0，2) D．(0，2]
7．已知f(x)＝x5＋ax3＋bx－8(a，b是常数)，且f(－3)＝5，则f(3)＝(　　)
A．21 B．－21
C．26 D．－26
8．设f(x)为偶函数，且在区间(－∞，0)内是增函数，f(－2)＝0，则xf(x)<0的解集为(　　)
A．(－1，0)∪(2，＋∞)
B．(－∞，－2)∪(0，2)
C．(－2，0)∪(2，＋∞)
D．(－2，0)∪(0，2)
9．若f(x)和g(x)都是奇函数，且F(x)＝f(x)＋g(x)＋2在(0，＋∞)上有最大值8，则在(－∞，0)上，F(x)有(　　)
A．最小值－8 B．最大值－8
C．最小值－6 D．最小值－4
10．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x∈(－∞，0)时，f(x)＝2x3＋x2，则f(2)＝________．
11．若函数f(x)＝为奇函数，则a＝________，f(g(－2))＝________.
12．若函数f(x)＝8x2－2kx－7在[1，5]上为单调函数，则实数k的取值范围是________．
13．设f(x)是定义在R上的增函数，f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(3)＝1，则不等式f(x)＋f(－2)>1的解集为________．
14．设函数f(x)是R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2＋4x.
(1)求f(x)的表达式；
(2)证明f(x)在区间(0，＋∞)上是增函数．
15．设函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，且满足f(xy)＝f(x)＋f(y)．若f(3)＝1，且f(a)>f(a－1)＋2，求实数a的取值范围．
16．已知函数f(x)＝是奇函数．
(1)求实数m的值；
(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．
课后提升
1．(2022·厦门模拟)函数g(x)＝ax＋2(a>0)，f(x)＝x2－2x，对 x1∈[－1,2]， x0∈[－1,2]，使g(x1)＝f(x0)成立，则a的取值范围是(　　)
A． B．[1,2)
C． D．
2．(多选)已知f(x)为奇函数，且f(x＋1)为偶函数，若f(1)＝0，则(　　)
A．f(3)＝0
B．f(3)＝f(5)
C．f(x＋3)＝f(x－1)
D．f(x＋2)＋f(x＋1)＝1
3．定义在R上的奇函数f(x)为增函数，偶函数g(x)在区间[0，＋∞)上的图象与f(x)的图象重合，设a>b>0，给出下列不等式：
①f(b)－f(－a)>g(a)－g(－b)；
②f(b)－f(－a)③f(a)－f(－b)>g(b)－g(－a)；
④f(a)－f(－b)其中成立的有(　　)
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
4．已知函数f(x)＝3－2|x|，g(x)＝x2－2x，F(x)＝则(　　)
A．F(x)的最大值为3，最小值为1
B．F(x)的最大值为2－，无最小值
C．F(x)的最大值为7－2，无最小值
D．F(x)的最大值为3，最小值为－1
5．已知函数f(x)的定义域为R，当x<0时，f(x)＝x3－1；当－1≤x≤1时，f(－x)＝－f(x)；当x>时，f ＝f ，则f(6)＝________.
6．已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋1，且当x>0时，f(x)>－1.
(1)求f(0)的值，并证明f(x)在R上是增函数；
(2)若f(1)＝1，解关于x的不等式f(x2＋2x)＋f(1－x)>4.
7．已知函数f(x)＝－x2＋mx－m.
(1)若函数f(x)的最大值为0，求实数m的值；
(2)若函数f(x)在 [－1，0]上单调递减，求实数m的取值范围；
(3)是否存在实数m，使得f(x)在[2，3]上的值域恰好是[2，3]？若存在，求出实数m的值；若不存在，说明理由
3.2 函数的基本性质
考纲要求
1．掌握求函数单调性与单调区间的求解方法，并能利用函数的单调性求最值．
2．理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义．
3．了解函数奇偶性的含义．
4．能够运用函数图象理解和研究函数的性质．
知识解读
知识点①函数的单调性
1．单调函数的定义
增函数 减函数
定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2
当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数
图象 描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的
2．单调区间的定义
如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间.
3．复合函数的单调性
对于复合函数y＝f[g(x)]，若t＝g(x)在区间(a，b)上是单调函数，且y＝f(t)在区间(g(a)，g(b))或(g(b)，g(a))上是单调函数，若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相同，则y＝f[g(x)]为增函数；若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相反，则y＝f[g(x)]为减函数．简称“同增异减”．
知识点②函数的最值
前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
条件 (1)对于任意x∈I，都有f(x)≤M； (2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M (3)对于任意x∈I，都有f(x)≥M； (4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M
结论 M为最大值 M为最小值
知识点③函数的奇偶性
1．函数的奇偶性的定义
奇偶性 定义 图象特点
奇函数 设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且f(－x)＝－f(x)，则这个函数叫做奇函数 关于坐标原点对称
偶函数 设函数y＝g(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且g(－x)＝g(x)，则这个函数叫做偶函数 关于y轴对称
2．奇偶性的重要结论
(1)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．
(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．
(3)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f(x)＝0，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空数集．
(4)在公共定义域内有：奇±奇→奇，偶±偶→偶，奇×奇→偶，偶×偶→偶，奇×偶→奇．
3．对称性的3个常用结论
(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，即f(a－x)＝f(a＋x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称；
(2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称；
(3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，即f(－x＋b)＋f(x＋b)＝0，则函数y＝f(x)关于点(b,0)中心对称．
题型讲解
题型一、函数的单调性
例1．函数y＝x2＋2x－3(x>0)的单调增区间为________．
【答案】(0，＋∞)
【解析】函数的对称轴为x＝－1，又x>0，
所以函数f(x)的单调增区间为(0，＋∞)．
例2．函数f(x)＝|x－2|x的单调递减区间是(　　)
A．[1,2] B．[－1,0]
C．[0,2] D．[2，＋∞)
【答案】A
【解析】f(x)＝|x－2|x＝
作出此函数的图象如下．
观察图象可知，f(x)＝|x－2|x的单调递减区间是[1,2]．
例3．若函数f(x)＝ax＋1在R上递减，则函数g(x)＝a(x2－4x＋3)的增区间是(　　)
A．(2，＋∞) B．(－∞，2)
C．(4，＋∞) D．(－∞，4)
【答案】B
【解析】因为函数f(x)＝ax＋1在R上递减，所以a<0，所以g(x)＝a(x2－4x＋3)＝a[(x－2)2－1]的增区间是(－∞，2)．
例4．若函数f(x)＝|2x＋a|的单调递增区间是[3，＋∞)，则a的值为(　　)
A．－2 B．2
C．－6 D．6
【答案】C
【解析】由图象易知函数f(x)＝|2x＋a|的单调增区间是[－，＋∞)，令－＝3，得a＝－6.
例5．已知函数f(x)＝，则该函数的单调递增区间为(　　)
A．(－∞，1] B．[3，＋∞)
C．(－∞，－1] D．[1，＋∞)
【答案】B　
【解析】设t＝x2－2x－3，则t≥0，即x2－2x－3≥0，
解得x≤－1或x≥3.所以函数的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．
因为函数t＝x2－2x－3的图象的对称轴为x＝1，
所以函数t在(－∞，－1]上单调递减，
在[3，＋∞)上单调递增．
所以函数f(x)的单调递增区间为[3，＋∞)．
例6．下列函数中，在区间(0，1)上是增函数的是(　　)
A．y＝|x|＋2 D．y＝3－x
C．y＝ D．y＝－x2＋4
【答案】A　
【解析】因为－1<0，所以一次函数y＝－x＋3在R上递减，反比例函数y＝在(0，＋∞)上递减，二次函数y＝－x2＋4在(0，＋∞)上递减．故选A.
例7．已知函数f(x)是R上的增函数，A(0，－1)，B(3，1)是其图象上的两点，则－1A．(－3，0) D．(0，3)
C．(－∞，－1]∪[3，＋∞) D．(－∞，0]∪[1，＋∞)
【答案】B　
【解析】由已知，得f(0)＝－1，f(3)＝1，∴－1例8．函数f(x)＝，满足对任意的实数x1≠x2都有>0成立，则实数a的取值范围为_________.
【答案】[2,8)　
【解析】由题意，函数f(x)在(－∞，1]和(1，＋∞)上都是增函数，且f(x)在(－∞，1]上的最高点不高于其在(1，＋∞)上的最低点，即解得a∈[2,8)．
例9．已知函数f(x)＝，若0A．< < B．< <
C．< < D．< <
【答案】C　
【解析】由题意可得0而＝＝，
∴在(0，2]上单调递减，
∴<<，选C.
例10．已知函数f(x)是R上的增函数，对任意实数a，b，若a＋b>0，则有(　　)
A．f(a)＋f(b)>f(－a)＋f(－b)
B．f(a)＋f(b)C．f(a)－f(b)>f(－a)－f(－b)
D．f(a)－f(b)【答案】A　
【解析】∵a＋b>0，∴a>－b，b>－a，∴f(a)>f(－b)，f(b)>f(－a)，
∴f(a)＋f(b)>f(－a)＋f(－b)．故选A.
例11．试讨论函数f(x)＝(a≠0)在(－1,1)上的单调性．
【答案】见解析
【解析】解：设－1f(x)＝a·＝a，
则f(x1)－f(x2)＝a－a
＝.
由于－1所以x2－x1>0，x1－1<0，x2－1<0，
故当a>0时，f(x1)－f(x2)>0，
即f(x1)>f(x2)，
函数f(x)在(－1,1)上单调递减；
当a<0时，f(x1)－f(x2)<0，
即f(x1)函数f(x)在(－1,1)上单调递增．
题型二、函数的最值
例1．函数f(x)＝－x＋在上的最大值是(　　)
A． B．－
C．－2 D．2
【答案】A
【解析】因为函数f(x)＝－x＋在上是减函数，
所以f(x)max＝f(－2)＝2－＝.
例2．函数y＝x－的最小值为________．
【答案】
【解析】令t＝，则t≥0且x＝t2＋1，
所以y＝t2＋1－t＝2＋，t≥0，
所以当t＝时，ymin＝.
例3．函数y＝的值域为________．
【答案】
【解析】y＝＝＝2＋，
由x∈R得x2－x＋1＝2＋∈，
所以∈，
所以y＝的值域是.
题型三、偶函数的基本性质
例1．下列函数为偶函数的是(　　)
A．f(x)＝x－1
B．f(x)＝x2＋x
C．f(x)＝2x－2－x
D．f(x)＝2x＋2－x
【答案】D
【解析】D中，f(－x)＝2－x＋2x＝f(x)，
∴f(x)为偶函数．
例2．若函数f(x)＝ax2＋bx＋1是定义在[－1－a,2a]上的偶函数，则该函数的最大值为________．
【答案】5
【解析】由函数f(x)＝ax2＋bx＋1是定义在[－1－a,2a]上的偶函数，可得b＝0，且－1－a＋2a＝0，解得a＝1，所以函数f(x)＝x2＋1，x∈[－2,2]，故该函数的最大值为5.
例3．已知函数f(x)是偶函数，且当x>0时，f(x)＝x3＋x＋1，则当x<0时，f(x)的解析式为________；
【答案】－x3－x＋1
【解析】当x<0时，－x>0.
因为f(x)是偶函数，且当x>0时，f(x)＝x3＋x＋1，
所以f(x)＝f(－x)＝(－x)3＋(－x)＋1＝－x3－x＋1.
例4．已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(2x－1)A．(，) B．[，)
C．(，) D．[，)
【答案】A
【解析】因为f(x)是偶函数，所以其图象关于y轴对称，
又f(x)在[0，＋∞)上单调递增，
f(2x－1)题型四、奇函数的基本性质
例1．判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝＋；
(2)f(x)＝(1－x)；
(3)f(x)＝
【答案】(1)奇函数又是偶函数 (2)非奇非偶函数 (3)奇函数
【解析】(1)由得x2＝3，解得x＝±，
即函数f(x)的定义域为{－，}，
∴f(x)＝＋＝0.
∴f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)，
∴函数f(x)既是奇函数又是偶函数．
(2)由≥0得－1≤x<1，
所以f(x)的定义域为[－1,1)，
所以函数f(x)是非奇非偶函数．
(3)显然函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．∵当x<0时，－x>0，
则f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－f(x)；
当x>0时，－x<0，
则f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f(x)；
综上可知，对于定义域内的任意x，
总有f(－x)＝－f(x)，∴函数f(x)为奇函数．
例2．设函数f(x)，g(x)的定义域为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是(　　)
A．f(x)g(x)是偶函数 B．|f(x)|g(x)是奇函数
C．f(x)|g(x)|是奇函数 D．|f(x)g(x)|是奇函数
【答案】C
【解析】对于A，令h(x)＝f(x)g(x)，
则h(－x)＝f(－x)·g(－x)＝－f(x)g(x)＝－h(x)，
∴h(x)是奇函数，A错误；
对于B，令h(x)＝|f(x)|g(x)，
则h(－x)＝|f(－x)|g(－x)＝|－f(x)|g(x)
＝|f(x)|·g(x)＝h(x)，
∴h(x)是偶函数，B错误；
对于C，令h(x)＝f(x)|g(x)|，
则h(－x)＝f(－x)|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|，
∴h(x)是奇函数，C正确；
对于D，令h(x)＝|f(x)g(x)|，则h(－x)＝|f(－x)·g(－x)|＝|－f(x)g(x)|＝|f(x)g(x)|＝h(x)，
∴h(x)为偶函数，D错误．
例3．已知函数f(x)＝cx3＋bx＋1(x∈R)，若f(a)＝2，则f(－a)的值为(　　)
A．3 B．0
C．－1 D．－2
【答案】B
【解析】设F(x)＝f(x)－1＝cx3＋bx，显然F(x)为奇函数，又F(a)＝f(a)－1＝1，所以F(－a)＝f(－a)－1＝－1，从而f(－a)＝0.故选B.
例4．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f(x)＝x(1＋x)，则f(－1)＝___________.
【答案】－2　
【解析】f(1)＝1×2＝2，又f(x)为奇函数，
∴f(－1)＝－f(1)＝－2.
例5．若函数y＝f(x)是R上的奇函数，当x<0时，f(x)＝，则当x>0时，f(x)等于(　　)
A． B．
C． D．
【答案】 C
【解析】 当x>0时，－x<0，所以f(－x)＝，因为f(x)是R上的奇函数，所以当x>0时，f(x)＝－f(－x)＝，故选C．
例6．若函数f(x)＝为奇函数，则a等于(　　)
A． B．
C． D．1
【答案】A　
【解析】 (1) 方法一：因为f(x)是奇函数，
所以f(－x)＝－f(x)．
因为f(x)＝＝，
所以f(－x)＝＝.
所以－(1－2a)＝1－2a，
所以1－2a＝0，所以a＝.故选A.
方法二：由已知f(x)为奇函数，得f(－1)＝－f(1)，
即，
所以a＋1＝3(1－a)，解得a＝.经检验，符合题意．
例7．(2020·新高考全国Ⅰ)若定义在R上的奇函数f(x)在(－∞，0)上单调递减，且f(2)＝0，则满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是(　　)
A．[－1,1]∪[3，＋∞)
B．[－3，－1]∪[0,1]
C．[－1,0]∪[1，＋∞)
D．[－1,0]∪[1,3]
【答案】D
【解析】因为函数f(x)为定义在R上的奇函数，
则f(0)＝0.
又f(x)在(－∞，0)上单调递减，且f(2)＝0，
画出函数f(x)的大致图象如图(1)所示，
则函数f(x－1)的大致图象如图(2)所示．
　　　　 (1)　　　　　　　 (2)
当x≤0时，要满足xf(x－1)≥0，
则f(x－1)≤0，得－1≤x≤0.
当x>0时，要满足xf(x－1)≥0，
则f(x－1)≥0，得1≤x≤3.
故满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是[－1,0]∪[1,3]．
题型四、函数性质的综合应用
例1．(2017·全国卷Ⅰ)函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，且为奇函数．若f(1)＝－1，则满足－1≤f(x－2)≤1的x的取值范围是(　　)
A．[－2,2] B．[－1,1]
C．[0,4] D．[1,3]
【答案】D
【解析】∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．
∵f(1)＝－1，∴f(－1)＝－f(1)＝1.
故由－1≤f(x－2)≤1，得f(1)≤f(x－2)≤f(－1)．
又f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，∴－1≤x－2≤1，
∴1≤x≤3.故选D.
例2．已知函数f(x)的定义域为R，当x∈[－2,2]时，f(x)单调递减，且函数f(x＋2)为偶函数，则下列结论正确的是(　　)
A．f(π)C．f()【答案】C　
【解析】 因为函数f(x＋2)为偶函数，所以函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，又当x∈[－2,2]时，f(x)单调递减，所以当x∈[2，6]时，f(x)单调递增，又f()＝f(4－)，因为2<4－<3<π，所以f()例3．已知函数f(x)＝x3＋x，对任意的m∈[－2,2]，f(mx－2)＋f(x)<0恒成立，则x的取值范围是________．
【答案】－2【解析】易知f(x)在R上为单调增函数，且f(x)为奇函数，故f(mx－2)＋f(x)<0等价于f(mx－2)<－f(x)＝f(－x)，则mx－2<－x，即mx＋x－2<0对所有m∈[－2,2]恒成立，令h(m)＝mx＋x－2，此时，只需即可，解得－2例4 ．(多选)已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)＋f(2)，且当x∈[0,2]时，y＝f(x)单调递减，给出以下四个命题，其中正确的是(　　)
A．f(2)＝0
B．f(3)>0
C．函数y＝f(x)在[4,6]上单调递增
D．若方程f(x)＝m在[－6，－2]上的两根为x1，x2，则x1＋x2＝－8
【答案】ABD
【解析】根据已知抽象函数关系式f(x＋4)＝f(x)＋f(2) 可得f(－2＋4)＝f(－2)＋f(2)，又函数f(x)为偶函数，故有f(2)＝f(－2)＋f(2)＝2f(2) f(2)＝0，即A正确，因此f(x)＝f(x＋4)，所以f(3)=f(－1)=f(1)，又当x∈[0,2]时，y＝f(x)单调递减，所以f(1)>f(2)，即B正确；又已知函数f(x)在区间[0,2]上单调递减，故将其图象沿x轴向右平移2个周期长度单位，其单调性不变，即在区间[8,10]上也单调递减，故C错误；如图，若方程f(x)＝m在区间[－6，－2]上有两根，则此两根必关于直线x＝－4对称，即x1＋x2＝－8，故D正确．
例5．函数f(x)的定义域为D＝{x|x≠0}，且满足对于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)．
(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论；
(3)如果f(4)＝1，f(x－1)<2，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求x的取值范围．
【答案】(1)0 (2)偶函数 (3){x|－15【解析】(1)∵对于任意x1，x2∈D，
有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，
∴令x1＝x2＝1，得f(1)＝2f(1)，∴f(1)＝0.
(2)f(x)为偶函数．
证明：令x1＝x2＝－1，则f(1)＝f(－1)＋f(－1)，
∴f(－1)＝f(1)＝0.
令x1＝－1，x2＝x，则f(－x)＝f(－1)＋f(x)，
∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数．
(3)依题设有f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2，
由(2)知，f(x)是偶函数，
∴f(x－1)<2 f(|x－1|)又f(x)在(0，＋∞)上是增函数，
∴0<|x－1|<16，解得－15达标训练
1．函数f(x)＝|x＋2|在[－3，0]上(　　)
A．单调递减　　　　　 B．单调递增
C．先减后增 D．先增后减
【答案】C　
【解析】作出f(x)＝|x＋2|在(－∞，＋∞)上的图象，如图所示，
易知f(x)在[－3，0]上先减后增．
2．函数y＝x2－2x＋2在区间[－2，3]上的最大值、最小值分别是(　　)
A．10，5　　　　　　　 B．10，1
C．5，1 D．以上都不对
【答案】B　
【解析】因为y＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，且x∈[－2，3]，所以当x＝1时，ymin＝1，当x＝－2时，ymax＝(－2－1)2＋1＝10.故选B.
3．如果奇函数f(x)的区间[－7，－3]上是减函数且最大值为5，那么函数f(x)在区间[3，7]上是(　　)
A．增函数且最小值为－5　 B．增函数且最大值为－5
C．减函数且最小值为－5 D．减函数且最大值为－5
【答案】C　
【解析】f(x)为奇函数，∴f(x)在[3，7]上的单调性与[－7，－3]上一致，且f(7)为最小值．又已知f(－7)＝5，∴f(7)＝－f(－7)＝－5，选C.
4．设f(x)是R上的偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，若x1<0且x1＋x2>0，则(　　)
A．f(－x1)>f(－x2)
B．f(－x1)＝f(－x2)
C．f(－x1)D．f(－x1)与f(－x2)的大小关系不确定
【答案】A　
【解析】因为x2>－x1>0，f(x)在(0，＋∞)上是减函数，所以f(x2)又f(x)是R上的偶函数，所以f(－x2)＝f(x2)，
所以f(－x2)5．设f(x)是R上的偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，则f(－2)，f(－π)，f(3)的大小顺序是(　　)
A．f(－π)>f(3)>f(－2)
B．f(－π)>f(－2)>f(3)
C．f(3)>f(－2)>f(－π)
D．f(3)>f(－π)>f(－2)
【答案】A　
【解析】∵f(x)是R上的偶函数，
∴f(－2)＝f(2)，f(－π)＝f(π)，
又f(x)在[0，＋∞)上单调递增，且2<3<π，
∴f(π)>f(3)>f(2)，即f(－π)>f(3)>f(－2)．
6．已知函数f(x)＝是R上的减函数，则实数a的取值范围是(　　)
A．(0，3) D．(0，3]
C．(0，2) D．(0，2]
【答案】D　
【解析】依题意得实数a满足
解得07．已知f(x)＝x5＋ax3＋bx－8(a，b是常数)，且f(－3)＝5，则f(3)＝(　　)
A．21　　　　　　　　 B．－21
C．26 D．－26
【答案】B　
【解析】设g(x)＝x5＋ax3＋bx，则g(x)为奇函数．由题设可得f(－3)＝g(－3)－8＝5，得g(－3)＝13.又g(x)为奇函数，所以g(3)＝－g(－3)＝－13，于是f(3)＝g(3)－8＝－13－8＝－21.
8．设f(x)为偶函数，且在区间(－∞，0)内是增函数，f(－2)＝0，则xf(x)<0的解集为(　　)
A．(－1，0)∪(2，＋∞)
B．(－∞，－2)∪(0，2)
C．(－2，0)∪(2，＋∞)
D．(－2，0)∪(0，2)
【答案】C　
【解析】根据题意，偶函数f(x)在(－∞，0)上为增函数，且f(－2)＝0，
则函数f(x)在(0，＋∞)上为减函数，且f(－2)＝f(2)＝0，作出函数f(x)的草图如图所示，
又由xf(x)<0，
可得或
由图可得－22，
即不等式的解集为(－2，0)∪(2，＋∞)．故选C.
9．若f(x)和g(x)都是奇函数，且F(x)＝f(x)＋g(x)＋2在(0，＋∞)上有最大值8，则在(－∞，0)上，F(x)有(　　)
A．最小值－8 B．最大值－8
C．最小值－6 D．最小值－4
【答案】D　
【解析】∵f(x)和g(x)都是奇函数，∴f(x)＋g(x)也是奇函数．又F(x)＝f(x)＋g(x)＋2在(0，＋∞)上有最大值8，∴f(x)＋g(x)在(0，＋∞)上有最大值6，∴f(x)＋g(x)在(－∞，0)上有最小值－6，∴F(x)在(－∞，0)上有最小值－4.
10．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x∈(－∞，0)时，f(x)＝2x3＋x2，则f(2)＝________．
【答案】12
【解析】由已知得，f(－2)＝2×(－2)3＋(－2)2＝－12，
又函数f(x)是奇函数，所以f(2)＝－f(－2)＝12.
11．若函数f(x)＝为奇函数，则a＝________，f(g(－2))＝________.
【答案】0　－25
【解析】∵f(x)为奇函数，∴f(0)＝0，∴a＝0，
又g(－2)＝f(－1)＝－f(1)＝－4，
∴f(g(－2))＝f(－4)＝－f(4)＝－25.
12．若函数f(x)＝8x2－2kx－7在[1，5]上为单调函数，则实数k的取值范围是________．
【答案】(－∞，8]∪[40，＋∞)
【解析】由题意知函数f(x)＝8x2－2kx－7的图象的对称轴为x＝，因为函数f(x)＝8x2－2kx－7在[1，5]上为单调函数，所以≤1或≥5，解得k≤8或k≥40，所以实数k的取值范围是(－∞，8]∪[40，＋∞)．
13．设f(x)是定义在R上的增函数，f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(3)＝1，则不等式f(x)＋f(－2)>1的解集为________．
【答案】
【解析】由条件可得f(x)＋f(－2)＝f(－2x)，
又f(3)＝1，∴不等式f(x)＋f(－2)>1，
即为f(－2x)>f(3)．∵f(x)是定义在R上的增函数，∴－2x>3，解得x<－.故不等式f(x)＋f(－2)>1的解集为.　
14．设函数f(x)是R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2＋4x.
(1)求f(x)的表达式；
(2)证明f(x)在区间(0，＋∞)上是增函数．
【答案】(1)f(x)＝ (2)见解析
【解析】(1)当x<0时，－x>0，所以f(－x)＝(－x)2＋4(－x)＝x2－4x.
因为f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，
所以f(x)＝－f(－x)＝－(x2－4x)＝－x2＋4x(x<0)．
所以f(x)＝
(2)证明：设任意的x1，x2∈(0，＋∞)，且x1f(x2)－f(x1)＝(x＋4x2)－(x＋4x1)＝(x2－x1)·(x2＋x1＋4)．
因为00，x2＋x1＋4>0，
所以f(x2)－f(x1)>0，所以f(x1)所以f(x)是(0，＋∞)上的增函数．
15．设函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，且满足f(xy)＝f(x)＋f(y)．若f(3)＝1，且f(a)>f(a－1)＋2，求实数a的取值范围．
【答案】(1，)
【解析】因为f(xy)＝f(x)＋f(y)，且f(3)＝1，
所以2＝2f(3)＝f(3)＋f(3)＝f(9)．
又f(a)>f(a－1)＋2，所以f(a)>f(a－1)＋f(9)．
再由f(xy)＝f(x)＋f(y)，可知f(a)>f[9(a－1)]，
因为f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，
从而有解得1故所求实数a的取值范围是(1，).
16．已知函数f(x)＝是奇函数．
(1)求实数m的值；
(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．
【答案】(1)m＝2 (2)(1,3]
【解析】(1)设x<0，则－x>0，
所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.
又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)．
于是x<0时，f(x)＝x2＋mx＝x2＋2x，
所以m＝2.
(2)要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，
结合f(x)的图象知
所以1故实数a的取值范围是(1,3]．
课后提升
1．(2022·厦门模拟)函数g(x)＝ax＋2(a>0)，f(x)＝x2－2x，对 x1∈[－1,2]， x0∈[－1,2]，使g(x1)＝f(x0)成立，则a的取值范围是(　　)
A． B．[1,2)
C． D．
【答案】C
【解析】若对 x1∈[－1,2]， x0∈[－1,2]，使g(x1)＝f(x0)成立，
只需函数y＝g(x)的值域为函数y＝f(x)的值域的子集即可．
函数f(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1，x∈[－1,2]的值域为[－1,3]．
当a>0时，g(x)＝ax＋2单调递增，可得其值域为[2－a,2＋2a]，
要使[2－a,2＋2a] [－1,3]，需解得0综上，a的取值范围为.
2．(多选)已知f(x)为奇函数，且f(x＋1)为偶函数，若f(1)＝0，则(　　)
A．f(3)＝0
B．f(3)＝f(5)
C．f(x＋3)＝f(x－1)
D．f(x＋2)＋f(x＋1)＝1
【答案】ABC
【解析】因为函数f(x＋1)为偶函数，所以f(x＋1)＝f(1－x)，又因为f(x)是R上的奇函数，
所以f(x＋1)＝f(1－x)＝－f(x－1)，所以f(x＋2)＝－f(x)，f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，
所以f(x)的周期为4，又因为f(1)＝0，f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝0，f(5)＝f(1)＝0，故A，B正确；
f(x＋3)＝f(x＋3－4)＝f(x－1)，所以C正确；
f(2)＝f(2－4)＝f(－2)，同时根据奇函数的性质得f(2)＝－f(－2)，
所以f(2)，f(－2)既相等又互为相反数，故f(2)＝0，
所以f(2)＋f(1)＝0≠1，即f(x＋2)＋f(x＋1)＝1对于x＝0不成立，故D不正确．
3．定义在R上的奇函数f(x)为增函数，偶函数g(x)在区间[0，＋∞)上的图象与f(x)的图象重合，设a>b>0，给出下列不等式：
①f(b)－f(－a)>g(a)－g(－b)；
②f(b)－f(－a)③f(a)－f(－b)>g(b)－g(－a)；
④f(a)－f(－b)其中成立的有(　　)
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
【答案】C　
【解析】∵f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，∴－f(－a)＝f(a)，g(－b)＝g(b)．∵a>b>0，∴f(a)>f(b)>f(0)＝0，g(a)>g(b)>0，且f(a)＝g(a)，f(b)＝g(b)，f(b)－f(－a)＝f(b)＋f(a)＝g(b)＋g(a)>g(a)－g(b)＝g(a)－g(－b)，∴①成立，②不成立．又g(b)－g(－a)＝g(b)－g(a)<0，而f(a)－f(－b)＝f(a)＋f(b)>0，∴③成立，④不成立．故选C.
4．已知函数f(x)＝3－2|x|，g(x)＝x2－2x，F(x)＝则(　　)
A．F(x)的最大值为3，最小值为1
B．F(x)的最大值为2－，无最小值
C．F(x)的最大值为7－2，无最小值
D．F(x)的最大值为3，最小值为－1
【答案】C　
【解析】由F(x)＝知当3－2|x|≥x2－2x，即2－≤x≤时，F(x)＝x2－2x；当x2－2x>3－2|x|，即x<2－或x>时，F(x)＝3－2|x|，因此F(x)＝
＝作出其图象如图所示，观察图象可以发现，F(x)max＝F(2－)＝7－2，无最小值，故选C.
5．已知函数f(x)的定义域为R，当x<0时，f(x)＝x3－1；当－1≤x≤1时，f(－x)＝－f(x)；当x>时，f ＝f ，则f(6)＝________.
【答案】2
【解析】∵当x>时，f ＝f ，
∴当x>时，f(x＋1)＝f(x)，即周期为1.
∴f(6)＝f(1)，
∵当－1≤x≤1时，f(－x)＝－f(x)，
∴f(1)＝－f(－1)，
∵当x<0时，f(x)＝x3－1，
∴f(－1)＝－2，
∴f(1)＝－f(－1)＝2，
∴f(6)＝2.
6．已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋1，且当x>0时，f(x)>－1.
(1)求f(0)的值，并证明f(x)在R上是增函数；
(2)若f(1)＝1，解关于x的不等式f(x2＋2x)＋f(1－x)>4.
【答案】(1)－1 (2){x|x<－2或x>1}
【解析】(1)令x＝y＝0，得f(0)＝－1.
在R上任取x1>x2，则x1－x2>0，
所以f(x1－x2)>－1.
又f(x1)＝f[(x1－x2)＋x2]＝f(x1－x2)＋f(x2)＋1>f(x2)，
所以函数f(x)在R上是增函数．
(2)由f(1)＝1，得f(2)＝3，f(3)＝5.
由f(x2＋2x)＋f(1－x)>4得f(x2＋x＋1)>f(3)，
因为函数f(x)在R上是增函数，
所以x2＋x＋1>3，
解得x<－2或x>1，
故原不等式的解集为{x|x<－2或x>1}．
7．已知函数f(x)＝－x2＋mx－m.
(1)若函数f(x)的最大值为0，求实数m的值；
(2)若函数f(x)在 [－1，0]上单调递减，求实数m的取值范围；
(3)是否存在实数m，使得f(x)在[2，3]上的值域恰好是[2，3]？若存在，求出实数m的值；若不存在，说明理由．
【答案】(1)m＝0或m＝4 (2)(－∞，－2] (3) m＝6
【解析】(1)f(x)＝－－m＋，则最大值－m＋＝0，即m2－4m＝0，解得m＝0或m＝4.
(2)函数f(x)图象的对称轴是直线x＝，要使f(x)在 [－1，0]上单调递减，应满足≤－1，解得m≤－2，故实数m的取值范围为(－∞，－2]．
(3)①当≤2即m≤4时，f(x)在 [2，3]上单调递减．
若存在实数m，使f(x)在[2，3]上的值域是[2，3]，则即此时无解．
②当≥3即m≥6时，f(x)在[2，3]上单调递增，则即解得m＝6.
③当2<<3即4综上可得，存在实数m＝6，使得f(x)在 [2，3]上的值域恰好是[2，3]

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