资源简介

3．3 幂函数
考纲要求
1．了解幂函数的基本概念．
2．掌握幂函数和的图象和性质．
知识解读
知识点①幂函数的定义
一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．
知识点②常见的五种幂函数的图象
知识点③幂函数的性质
1．幂函数在(0，＋∞)上都有定义；
2．当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；
3．当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减．
知识点④幂函数的常用结论
1．幂函数的图象吧不经过第四象限
2．第一象限内，在直线x＝1右侧，其指数越大，图象越高，即“指大图高”．
3．对于形如f(x)＝ (其中m∈N*，n∈Z，m与n互质)的幂函数：
(1)当n为偶数时，f(x)为偶函数，图象关于y轴对称；
(2)当m，n都为奇数时，f(x)为奇函数，图象关于原点对称；
(3)当m为偶数时，x>0(或x≥0)，f(x)是非奇非偶函数，图象只在第一象限(或第一象限及原点处)．
题型讲解
题型一、幂函数的图象和性质
例1．已知幂函数f(x)＝kxα(k∈R，α∈R)的图象过点，则k＋α＝(　　)
A． D．1
C． D．2
例2．幂函数y＝f(x)的图象过点(4,2)，则幂函数y＝f(x)的图象是(　　)
例3．若幂函数的图象经过点，则它的单调递增区间是(　　)
A．(0，＋∞)　　　　　　　 B．[0，＋∞)
C．(－∞，＋∞) D．(－∞，0)
例4．已知幂函数f(x)＝(m∈N*)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则m的值为_________．
例5．若f(x)＝，则不等式f(x)>f(8x－16)的解集是(　　)
A． B．(0，2]
C． D．[2，＋∞)
例6．如图所示，曲线C1与C2分别是函数y＝xm和y＝xn在第一象限内的图象，则下列结论正确的是(　　)
A．nC．n>m>0 D．m>n>0
题型二、幂函数比较大小问题
例1．若a<0，则0.5a，5a，0.2a的大小关系是(　　)
A．0.2a<5a<0.5a B．5a<0.5a<0.2a
C．0.5a<0.2a<5a D．5a<0.2a<0.5a
例2．已知a＝，b＝，c＝，则(　　)
A．bC．b例3．若a＝，b＝，c＝，则下列正确的是(　　)
A．a＞b＞c B．b＞a＞c
C．c＞a＞b D．b＞c＞a
例4、已知点(m，8)在幂函数f(x)＝(m－1)xn的图象上，设a＝f，b＝f()，c＝f()，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．aC．b例5．已知f(x)＝x2，g(x)＝，h(x)＝x－2，当0达标训练
1．下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是(　　)
A．y＝x－2 D．y＝x－1
C．y＝x2 D．y＝
2．(多选题)(2020·襄阳调研)已知点在幂函数f(x)＝(a－1)xb的图象上，则函数f(x)是(　　)
A．奇函数
B．偶函数
C．(0，＋∞)上的增函数
D．(0，＋∞)上的减函数
3．已知a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．bC．c4．已知函数f(x)＝x－3，若a＝f(0.60.6)，b＝f(0.60.4)，c＝f(0.40.6)，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．aC．b5．若幂函数f(x)＝在(0，＋∞)上单调递增，则a等于(　　)
A．1 B．6
C．2 D．－1
6．已知幂函数f(x)＝mx1＋n是定义在区间[－2，n]上的奇函数，设a＝，b＝，c＝，则(　　)
A．bC．b7．已知幂函数y＝(p，q∈Z且p，q互质)的图象关于y轴对称，如图所示，则(　　)
A．p，q均为奇数，且>0
B．q为偶数，p为奇数，且<0
C．q为奇数，p为偶数，且>0
D．q为奇数，p为偶数，且<0
8．若四个幂函数y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd在同一坐标系中的图象如图所示，则a，b，c，d的大小关系是(　　)
A．d>c>b>a B．a>b>c>d
C．d>c>a>b D．a>b>d>c
9．若，则实数m的取值范围是(　　)
A． B．
C．(－1,2) D．
10．幂函数y＝f(x)经过点(3，)，则f(x)是(　　)
A．偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数
B．偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数
C．奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数
D．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数
11．(2022·延吉检测)若函数y＝为幂函数，且在(0，＋∞)上单调递减，则实数m的值为(　　)
A．0 B．1或2
C．1 D．2
12．若幂函数y＝(m2－3m＋3)·xm2－m－2的图象不过原点，则m的取值是(　　)
A．－1≤m≤2 D．m＝1或m＝2
C．m＝2 D．m＝1
13．已知幂函数f(x)＝xa的图象过点，则函数g(x)＝(x－2)f(x)在区间上的最小值是(　　)
A．－1 D．－2
C．－3 D．－4
14．(2022·张家口检测)已知幂函数f(x)＝mxn＋k的图象过点，则m－2n＋3k＝________.
15．已知2.4α＞2.5α，则α的取值范围是________．
16．给出下面四个条件：①f(m＋n)＝f(m)＋f(n)；②f(m＋n)＝f(m)·f(n)；③f(mn)＝f(m)·f(n)；④f(mn)＝f(m)＋f(n)．如果m，n是幂函数y＝f(x)定义域内的任意两个值，那么幂函数y＝f(x)一定满足的条件的序号为________．
17．已知幂函数f(x)＝(m2－5m＋7)x－m－1(m∈R)为偶函数．
(1)求f的值；
(2)若f(2a＋1)＝f(a)，求实数a的值．
18．已知幂函数f(x)＝(m∈N*)．
(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；
(2)若函数f(x)的图象经过点(2，)，试确定m的值，并求满足条件f(2－a)>f(a－1)的实数a的取值范围．
课后提升
1．(多选)已知幂函数f(x)＝，对任意x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，都满足>0，若a，b∈R且f(a)＋f(b)<0，则下列结论可能成立的有(　　)
A．a＋b>0且ab<0
B．a＋b<0且ab<0
C．a＋b<0且ab>0
D．以上都可能
2．对于幂函数f(x)＝x，若0＜x1＜x2，则f，的大小关系是(　　)
A．f＞
B．f＜
C．f＝
D．无法确定
3．(多选题)已知幂函数f(x)的图象经过点，P(x1，y1)，Q(x2，y2)(x1＜x2)是函数图象上任意不同的两点，在以下给出的结论中正确的是(　　)
A．x1f(x1)＞x2f(x2) B．x1f(x1)＜x2f(x2)
C．xf(x1)＞xf(x2) D．xf(x1)＜xf(x2)
4．已知幂函数f(x)＝x (m∈N)是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，求函数f(x)的解析式，并讨论g(x)＝af(x)－的奇偶性
3．3 幂函数
考纲要求
1．了解幂函数的基本概念．
2．掌握幂函数和的图象和性质．
知识解读
知识点①幂函数的定义
一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．
知识点②常见的五种幂函数的图象
知识点③幂函数的性质
1．幂函数在(0，＋∞)上都有定义；
2．当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；
3．当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减．
知识点④幂函数的常用结论
1．幂函数的图象吧不经过第四象限
2．第一象限内，在直线x＝1右侧，其指数越大，图象越高，即“指大图高”．
3．对于形如f(x)＝ (其中m∈N*，n∈Z，m与n互质)的幂函数：
(1)当n为偶数时，f(x)为偶函数，图象关于y轴对称；
(2)当m，n都为奇数时，f(x)为奇函数，图象关于原点对称；
(3)当m为偶数时，x>0(或x≥0)，f(x)是非奇非偶函数，图象只在第一象限(或第一象限及原点处)．
题型讲解
题型一、幂函数的图象和性质
例1．已知幂函数f(x)＝kxα(k∈R，α∈R)的图象过点，则k＋α＝(　　)
A． D．1
C． D．2
【答案】A　
【解析】∵幂函数f(x)＝kxα(k∈R，α∈R)的图象过点，∴k＝1，f＝ ＝，即α＝－，∴k＋α＝．
例2．幂函数y＝f(x)的图象过点(4,2)，则幂函数y＝f(x)的图象是(　　)
【答案】C
【解析】设f(x)＝xα，则4α＝2，∴α＝，
∴f(x)＝x，对照各选项中的图象可知C正确．
例3．若幂函数的图象经过点，则它的单调递增区间是(　　)
A．(0，＋∞)　 B．[0，＋∞)
C．(－∞，＋∞) D．(－∞，0)
【答案】D　
【解析】设f(x)＝xα，则2α＝，α＝－2，即f(x)＝x－2，它是偶函数，单调递增区间是(－∞，0)．
例4．已知幂函数f(x)＝(m∈N*)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则m的值为_________．
【答案】1　
【解析】因为f(x)在(0，＋∞)上是减函数，所以m2－2m－3＜0，解得－1＜m＜3．
又m∈N*，所以m＝1或m＝2．由于f(x)的图象关于y轴对称．所以m2－2m－3为偶数，
又当m＝2时，m2－2m－3为奇数，所以m＝2舍去，因此m＝1．
例5．若f(x)＝，则不等式f(x)>f(8x－16)的解集是(　　)
A． B．(0，2]
C． D．[2，＋∞)
【答案】A
【解析】因为函数f(x)＝在定义域[0，＋∞)内为增函数，且f(x)>f(8x－16)，
所以即2≤x<，
所以不等式的解集为．
例6．如图所示，曲线C1与C2分别是函数y＝xm和y＝xn在第一象限内的图象，则下列结论正确的是(　　)
A．nC．n>m>0 D．m>n>0
【答案】A　
【解析】由图象可知，两函数在第一象限内递减，故m<0，n<0．当x＝2时，2m＞2n，所以n＜m＜0．
题型二、幂函数比较大小问题
例1．若a<0，则0.5a，5a，0.2a的大小关系是(　　)
A．0.2a<5a<0.5a B．5a<0.5a<0.2a
C．0.5a<0.2a<5a D．5a<0.2a<0.5a
【答案】B
【解析】因为a<0，所以函数y＝xa在(0，＋∞)上是减函数，又因为0.2<0.5<5，所以0.2a>0.5a>5a，即5a<0.5a<0.2a.
例2．已知a＝，b＝，c＝，则(　　)
A．bC．b【答案】A
【解析】因为a＝＝，c＝＝，而函数y＝在(0，＋∞)上单调递增，所以<<，即b例3．若a＝，b＝，c＝，则下列正确的是(　　)
A．a＞b＞c B．b＞a＞c
C．c＞a＞b D．b＞c＞a
【答案】B　
【解析】因为y＝在第一象限内为增函数，所以a＝＞c＝，因为<1，b＝>1，所以b＞a＞c.
例4、已知点(m，8)在幂函数f(x)＝(m－1)xn的图象上，设a＝f，b＝f()，c＝f()，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．aC．b【答案】A
【解析】由于f(x)＝(m－1)xn为幂函数，
所以m－1＝1，则m＝2，f(x)＝xn.
又点(2，8)在函数f(x)＝xn的图象上，
所以8＝2n，知n＝3，故f(x)＝x3，且在R上是增函数，
又>1>2－＝>，
所以f()>f(2－)>f，则b>c>a.
例5．已知f(x)＝x2，g(x)＝，h(x)＝x－2，当0【答案】h(x)>g(x)>f(x)　
【解析】分别作出f(x)，g(x)，h(x)在(0，＋∞)上的图象如图所示，
可知h(x)>g(x)>f(x)．
达标训练
1．下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是(　　)
A．y＝x－2 D．y＝x－1
C．y＝x2 D．y＝
【答案】A　
【解析】所给选项都是幂函数，其中y＝x－2和y＝x2是偶函数，y＝x－1和y＝x不是偶函数，故排除选项B、D，又y＝x2在区间(0，＋∞)上单调递增，不合题意，y＝x－2在区间(0，＋∞)上单调递减，符合题意，故选A．
2．(多选题)(2020·襄阳调研)已知点在幂函数f(x)＝(a－1)xb的图象上，则函数f(x)是(　　)
A．奇函数
B．偶函数
C．(0，＋∞)上的增函数
D．(0，＋∞)上的减函数
【答案】AD
【解析】由题意得a－1＝1，且＝ab，因此a＝2，且b＝－1，故f(x)＝x－1是奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数．
3．已知a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．bC．c【答案】C
【解析】因为a＝，b＝，c＝，由幂函数y＝在(0，＋∞)上为增函数，知a>b>c.
4．已知函数f(x)＝x－3，若a＝f(0.60.6)，b＝f(0.60.4)，c＝f(0.40.6)，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．aC．b【答案】B
【解析】∵0.40.6<0.60.6<0.60.4，
又y＝f(x)＝x－3在(0，＋∞)上是减函数，
∴b5．若幂函数f(x)＝在(0，＋∞)上单调递增，则a等于(　　)
A．1 B．6
C．2 D．－1
【答案】D
【解析】因为函数f(x)＝是幂函数，
所以a2－5a－5＝1，解得a＝－1或a＝6．
当a＝－1时，
f(x)＝在(0，＋∞)上单调递增；
当a＝6时，
f(x)＝x－3在(0，＋∞)上单调递减，
所以a＝－1．
6．已知幂函数f(x)＝mx1＋n是定义在区间[－2，n]上的奇函数，设a＝，b＝，c＝，则(　　)
A．bC．b【答案】A
【解析】根据f(x)＝mx1＋n是幂函数，且在区间[－2，n]上是奇函数，
得m＝1，且－2＋n＝0，解得n＝2，
∴f(x)＝x3，且在定义域[－2，2]上是单调增函数.
又，
∴<<，即b7．已知幂函数y＝(p，q∈Z且p，q互质)的图象关于y轴对称，如图所示，则(　　)
A．p，q均为奇数，且>0
B．q为偶数，p为奇数，且<0
C．q为奇数，p为偶数，且>0
D．q为奇数，p为偶数，且<0
【答案】D
【解析】因为函数y＝的图象关于y轴对称，于是函数y＝为偶函数，即p为偶数，
又函数y＝的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且在(0，＋∞)上单调递减，则有<0，
又因为p，q互质，则q为奇数，所以只有选项D正确．
8．若四个幂函数y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd在同一坐标系中的图象如图所示，则a，b，c，d的大小关系是(　　)
A．d>c>b>a B．a>b>c>d
C．d>c>a>b D．a>b>d>c
【答案】B
【解析】观察图象联想y＝x2，y＝，y＝x－1在第一象限内的图象，可知c<0，d<0，0由图象可知2c>2d，所以c>d．综上知a>b>c>d．
9．若，则实数m的取值范围是(　　)
A． B．
C．(－1,2) D．
【答案】D
【解析】因为函数y＝在[0，＋∞)是增函数，
且，
所以解得≤m<2.
10．幂函数y＝f(x)经过点(3，)，则f(x)是(　　)
A．偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数
B．偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数
C．奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数
D．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数
【答案】D
【解析】设幂函数的解析式为y＝xα，将(3，)代入解析式得3α＝，解得α＝，∴y＝x.
11．(2022·延吉检测)若函数y＝为幂函数，且在(0，＋∞)上单调递减，则实数m的值为(　　)
A．0 B．1或2
C．1 D．2
【答案】C
【解析】由于函数y＝为幂函数，
所以m2－3m＋3＝1，解得m＝1或m＝2，
当m＝1时，y＝x－1＝，在(0，＋∞)上单调递减，符合题意．
当m＝2时，y＝x4，在(0，＋∞)上单调递增，不符合题意．
12．若幂函数y＝(m2－3m＋3)·xm2－m－2的图象不过原点，则m的取值是(　　)
A．－1≤m≤2 D．m＝1或m＝2
C．m＝2 D．m＝1
【答案】B　
【解析】由幂函数的定义，可得m2－3m＋3＝1，解得m＝1或2.当m＝1时，y＝x－2，其图象不过原点；当m＝2时，y＝x0，其图象不过原点．故m＝1或2.
13．已知幂函数f(x)＝xa的图象过点，则函数g(x)＝(x－2)f(x)在区间上的最小值是(　　)
A．－1 D．－2
C．－3 D．－4
【答案】C　
【解析】由已知得2a＝，解得a＝－1，∴g(x)＝＝1－在区间上单调递增，则g(x)min＝g＝－3.故选C.
14．(2022·张家口检测)已知幂函数f(x)＝mxn＋k的图象过点，则m－2n＋3k＝________.
【答案】0
【解析】因为f(x)是幂函数，
所以m＝1，k＝0，
又f(x)的图象过点，
所以n＝，
解得n＝，
所以m－2n＋3k＝0.
15．已知2.4α＞2.5α，则α的取值范围是________．
【答案】(－∞，0)
【解析】因为0＜2.4＜2.5，而2.4α＞2.5α，
所以y＝xα在(0，＋∞)上为减函数，故α＜0.
16．给出下面四个条件：①f(m＋n)＝f(m)＋f(n)；②f(m＋n)＝f(m)·f(n)；③f(mn)＝f(m)·f(n)；④f(mn)＝f(m)＋f(n)．如果m，n是幂函数y＝f(x)定义域内的任意两个值，那么幂函数y＝f(x)一定满足的条件的序号为________．
【答案】③
【解析】设f(x)＝xα，则f(m＋n)＝(m＋n)α，f(m)＋f(n)＝mα＋nα，f(m)·f(n)＝mα·nα＝(mn)α，f(mn)＝(mn)α，所以f(mn)＝f(m)·f(n)一定成立，其他三个不一定成立，故填③.
17．已知幂函数f(x)＝(m2－5m＋7)x－m－1(m∈R)为偶函数．
(1)求f的值；
(2)若f(2a＋1)＝f(a)，求实数a的值．
【答案】(1)16 (2)a＝－1或a＝－
【解析】(1)由m2－5m＋7＝1，得m＝2或3.
当m＝2时，f(x)＝x－3是奇函数，∴不满足题意，∴m＝2舍去；
当m＝3时，f(x)＝x－4，满足题意，
∴f(x)＝x－4，∴f＝＝16.
(2)由f(x)＝x－4为偶函数和f(2a＋1)＝f(a)可得|2a＋1|＝|a|，
即2a＋1＝a或2a＋1＝－a，∴a＝－1或a＝－.
18．已知幂函数f(x)＝(m∈N*)．
(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；
(2)若函数f(x)的图象经过点(2，)，试确定m的值，并求满足条件f(2－a)>f(a－1)的实数a的取值范围．
【答案】(1)[0，＋∞) 增函数 (2)m＝1 [1，)
【解析】(1)因为m2＋m＝m(m＋1)(m∈N*)，
而m与m＋1中必有一个为偶数，所以m2＋m为偶数，
所以函数f(x)＝(m∈N*)的定义域为[0，＋∞)，并且该函数在[0，＋∞)上为增函数．
(2)因为函数f(x)的图象经过点(2，)，
所以＝2(m2＋m)－1，即＝，
所以m2＋m＝2，解得m＝1或m＝－2.
又因为m∈N*，所以m＝1，f(x)＝，
又因为f(2－a)>f(a－1)，
所以解得1≤a＜，
故函数f(x)的图象经过点(2，)时，m＝1.
满足条件f(2－a)>f(a－1)的实数a的取值范围为[1，)．
课后提升
1．(多选)已知幂函数f(x)＝，对任意x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，都满足>0，若a，b∈R且f(a)＋f(b)<0，则下列结论可能成立的有(　　)
A．a＋b>0且ab<0
B．a＋b<0且ab<0
C．a＋b<0且ab>0
D．以上都可能
【答案】BC
【解析】因为f(x)＝为幂函数，
所以m2－m－1＝1，
解得m＝2或m＝－1.
依题意f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
所以m＝2，此时f(x)＝x3，
因为f(－x)＝(－x)3＝－x3＝－f(x)，
所以f(x)＝x3为奇函数．
因为a，b∈R且f(a)＋f(b)<0，
所以f(a)因为y＝f(x)为增函数，
所以a<－b，所以a＋b<0.
2．对于幂函数f(x)＝x，若0＜x1＜x2，则f，的大小关系是(　　)
A．f＞
B．f＜
C．f＝
D．无法确定
【答案】A　
【解析】幂函数f(x)＝x在(0，＋∞)上是增函数，大致图象如图所示．
设A(x1，0)，C(x2，0)，其中0＜x1＜x2，则AC的中点E的坐标为，|AB|＝f(x1)，|CD|＝f(x2)，|EF|＝f.∵|EF|＞(|AB|＋|CD|)，∴f＞，故选A.
3．(多选题)已知幂函数f(x)的图象经过点，P(x1，y1)，Q(x2，y2)(x1＜x2)是函数图象上任意不同的两点，在以下给出的结论中正确的是(　　)
A．x1f(x1)＞x2f(x2) B．x1f(x1)＜x2f(x2)
C．xf(x1)＞xf(x2) D．xf(x1)＜xf(x2)
【答案】BC　
【解析】设函数f(x)＝xα，依题意有α＝2，所以α＝－，因此f(x)＝.令g(x)＝xf(x)＝x·＝，则g(x)在(0，＋∞)上单调递增，而0＜x1＜x2，所以g(x1)＜g(x2)，即x1f(x1)＜x2f(x2)，故A错误，B正确；令h(x)＝，则h(x)在(0，＋∞)上单调递减，而0＜x1＜x2，所以h(x1)＞h(x2)，即，于是xf(x1)＞xf(x2)，故C正确，D错误．
4．已知幂函数f(x)＝x (m∈N)是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，求函数f(x)的解析式，并讨论g(x)＝af(x)－的奇偶性．
【答案】见解析
【解析】由f(x)＝x (m∈N)在(0，＋∞)上是减函数，得(m－2)＜0，∴m＜2.
∵m∈N，∴m＝0，1.
∵f(x)是偶函数，∴只有当m＝0时符合题意，故f(x)＝x.
于是g(x)＝，g(－x)＝，且g(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．
当a≠0且b≠0时，g(x)既不是奇函数也不是偶函数；
当a＝0且b≠0时，g(x)为奇函数；
当a≠0且b＝0时，g(x)为偶函数；
当a＝0且b＝0时，g(x)既是奇函数又是偶函数

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