资源简介

4.4 对数函数
考纲要求
1．了解对数函数的概念．能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象
2．探索并了解对数函数的单调性与特殊点．
3．知道对数函数y＝logax与指数函数y＝ax互为反函数(a>0，且a≠1)．
知识解读
知识点①对数函数概念
函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．
知识点②对数函数的图象与性质
a>1 0图象
性质 定义域：(0，＋∞)
值域：R
当x＝1时，y＝0，即过定点(1,0)
当x>1时，y>0； 当01时，y<0； 当00
在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数
知识点③反函数
指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．
知识点④注意事项
1．在对数式中，真数必须是大于0的，所以对数函数y＝logax的定义域应为(0，＋∞)．对数函数的单调性取决于底数a与1的大小关系，当底数a与1的大小关系不确定时，要分01两种情况讨论．
2．解决与对数函数有关的问题时需注意两点：
(1)务必先研究函数的定义域；
(2)注意对数底数的取值范围．
题型讲解
题型一、对数函数的概念
例1．若函数y＝f(x)是函数y＝2x的反函数，则f(2)＝________.
例2．函数f(x)＝的定义域是(　　 )
A．(－∞，1)∪(3，＋∞) B．(1，3)
C．(－∞，2)∪(2，＋∞) D．(1，2)∪(2，3)
例3．函数f＝ln 的单调递增区间为(　　 )
A． B．
C． D．
题型二、对数函数的图像和性质
例1．函数y＝loga(x－1)＋2(a＞0，且a≠1)的图象恒过的定点是_________.
例2．函数y＝logax(a>0，a≠1)在[2，4]上的最大值与最小值的差是1，则a＝________．
例3．在同一直角坐标系中，函数f(x)＝xa(x>0)与g(x)＝logax的图象可能是(　　 )
例4．函数f(x)＝loga|x|＋1(0　
例5．方程log2(x－1)＝2－log2(x＋1)的解为_________.
例6．设函数f(x)＝，若f(a)＞f(－a)，则实数a的取值范围是_________.
例7．当0A． B．
C．(1，) D．(，2)
例8．(2018·天津卷)已知a＝log2e，b＝ln 2，c＝log，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．a＞b＞c 　　 B．b＞a＞c
C．c＞b＞a D．c＞a＞b
例9．设a＝，b＝log7，c＝log87，则(　　)
A．a>b>c B．a>c>b
C．c>b>a D．c>a>b
例10．(多选)若实数a，b满足loga2A．0C．a>b>1 D．0例11．(2022·广州调研)设x1，x2，x3均为实数，且＝ln x1，＝ln(x2＋1)，＝lg x3，则(　　)
A．x1C．x2例12．设a＝log63，b＝log126，c＝log2412，则(　　)
A．bC．a例13．已知函数f(x)＝loga(x＋2)＋loga(4－x)(a>0且a≠1)．
①求函数f(x)的定义域；
②若函数f(x)在区间[0，3]上的最小值为－2，求实数a的值．
题型三、不同函数增长的差异
例1．下列函数中，增长速度越来越慢的是(　　)
A．y＝6x B．y＝log6x
C．y＝x6 D．y＝6x
例2．在一次数学试验中，采集到如下一组数据：
x －2.0 －1.0 0 1.00 2.00 3.00
y 0.24 0.51 1 2.02 3.98 8.02
则x，y的函数关系与下列哪类函数最接近？(其中a，b为待定系数)(　　)
A．y＝a＋bx　 B．y＝a＋bx
C．y＝ax2＋b D．y＝a＋
例3．函数y＝x2与函数y＝xln x在区间(1，＋∞)上增长较快的一个是________．
例4．某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x倍，需经过y年，则函数y＝f(x)的图象大致为(　　)
达标训练
1．对数函数的图象过点M(16，4)，则此对数函数的解析式为(　　)
A．y＝log4x B．y＝logx
C．y＝logx D．y＝log2x
2．已知集合A＝{0,1,2}，B＝{x|log3x<1}，则A∩B＝(　　)
A．{1,2} B．{0,1,2}
C．{0,1,2,3} D．{x|03．设函数f(x)＝则f(－3)＋f(log23)＝(　　)
A．9 B． 11
C． 13 D． 15
4．已知a＝log32，b＝，c＝ln ，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．a＞b＞c B．b＞a＞c
C．c＞b＞a D．c＞a＞b
5．函数y＝lg(x＋1)的图象大致是(　　)
6．若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函数且f(2)＝1，则f(x)＝(　　)
A．log2x B．
C．logx D．2x－2
7．下列各式中错误的是(　　)
A．30.8＞30.7 B．log0.50.4＞log0.50.6
C．0.75－0.1＜0.750.1 D．lg 1.6＞lg 1.4
8．若lg(2x－4)≤1，则x的取值范围是(　　)
A．(－∞，7] B．(2，7]
C．[7，＋∞) D．(2，＋∞)
9．以下四种说法中，正确的是(　　)
A．幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快
B．对任意的x＞0，xn＞logax
C．对任意的x＞0，ax＞logax
D．不一定存在x0，当x＞x0时，总有ax＞xn＞logax
10．已知logm＜logn＜0，则(　　)
A．n＜m＜1 B．m＜n＜1
C．1＜m＜n D．1＜n＜m
11．已知a＝log23.4，b＝log43.6，c＝log30.3，则(　　)
A．a＞b＞c B．b＞a＞c
C．a＞c＞b D．c＞a＞b
12．比较大小：
(1)log22______log2；
(2)log8π______logπ8.
13．设f(x)＝lg x，若f(1－a)－f(a)＞0，则实数a的取值范围为________．
14．求函数y＝log (1－x2)的单调增区间，并求函数的最小值．
13. 已知指数函数f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)．
(1)求函数f(x)的反函数g(x)的解析式；
(2)解不等式：g(x)≤loga(2－3x)．
14. 某企业常年生产一种出口产品，根据预测可知，进入21世纪以来，该产品的产量平稳增长．记2015年为第1年，且前4年中，第x年与年产量f(x)(万件)之间的关系如下表所示：
x 1 2 3 4
f(x) 4.00 5.58 7.00 8.44
若f(x)近似符合以下三种函数模型之一：f(x)＝ax＋b，f(x)＝2x＋a，f(x)＝logx＋a.
(1)找出你认为最适合的函数模型，并说明理由，然后选取2015年和2017年的数据求出相应的解析式；
(2)因遭受某国对该产品进行反倾销的影响，2021年的年产量比预计减少30%，试根据所建立的函数模型，确定2021年的年产量．
课后提升
1．设正实数a，b，c分别满足a·2a＝1，blog2b＝1，clog3c＝1，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．a＞b＞c B．b＞a＞c
C．c＞b＞a D．a＞c＞b
2．(2018·全国卷Ⅲ)设a＝log0.20.3，b＝log20.3，则(　　)
A．a＋b＜ab＜0 B．ab＜a＋b＜0
C．a＋b＜0＜ab D．ab＜0＜a＋b
3．(多选题)有如下命题，其中真命题的标号为(　　)
A． x0∈(0，＋∞)，x0＜ x0
B． x0∈(0,1)，logx0＞logx0
C． x∈(0，＋∞)，x＞logx
D． x∈，x＜logx
4．(2020·全国Ⅱ)设函数f(x)＝ln|2x＋1|－ln|2x－1|，则f(x)(　　)
A．是偶函数，且在上单调递增
B．是奇函数，且在上单调递减
C．是偶函数，且在上单调递增
D．是奇函数，且在上单调递减
5．已知函数f(x)＝loga(8－ax)(a>0，且a≠1)，若f(x)>1在区间[1，2]上恒成立，则实数a的取值范围是__________．
6．(2022·潍坊模拟)已知f(x)＝1＋log3x(1≤x≤9)，设函数g(x)＝f2(x)＋f(x2)，则g(x)max－g(x)min＝
4.4 对数函数
考纲要求
1．了解对数函数的概念．能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象
2．探索并了解对数函数的单调性与特殊点．
3．知道对数函数y＝logax与指数函数y＝ax互为反函数(a>0，且a≠1)．
知识解读
知识点①对数函数概念
函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．
知识点②对数函数的图象与性质
a>1 0图象
性质 定义域：(0，＋∞)
值域：R
当x＝1时，y＝0，即过定点(1,0)
当x>1时，y>0； 当01时，y<0； 当00
在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数
知识点③反函数
指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．
知识点④注意事项
1．在对数式中，真数必须是大于0的，所以对数函数y＝logax的定义域应为(0，＋∞)．对数函数的单调性取决于底数a与1的大小关系，当底数a与1的大小关系不确定时，要分01两种情况讨论．
2．解决与对数函数有关的问题时需注意两点：
(1)务必先研究函数的定义域；
(2)注意对数底数的取值范围．
题型讲解
题型一、对数函数的概念
例1．若函数y＝f(x)是函数y＝2x的反函数，则f(2)＝________.
【答案】1
【解析】由已知得f(x)＝log2x，所以f(2)＝log22＝1.
例2．函数f(x)＝的定义域是(　　 )
A．(－∞，1)∪(3，＋∞) B．(1，3)
C．(－∞，2)∪(2，＋∞) D．(1，2)∪(2，3)
【答案】D
【解析】由题意知即故函数f(x)的定义域为(1，2)∪(2，3)．故选D．
例3．函数f＝ln 的单调递增区间为(　　 )
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由题得3x2－6x－24>0，得x>4或x<－2，
即函数的定义域为{x|x>4或x<－2}．
设u＝3x2－6x－24，x∈(－∞，－2)∪(4，＋∞), y＝ln u，
要求函数f＝ln 的单调递增区间，
即求函数u＝3x2－6x－24，x∈(－∞，－2)∪(4，＋∞)的增区间，
因为函数u＝3x2－6x－24，x∈(－∞，－2)∪(4，＋∞)的增区间为，故选D．
题型二、对数函数的图像和性质
例1．函数y＝loga(x－1)＋2(a＞0，且a≠1)的图象恒过的定点是_________.
【答案】(2,2)　
【解析】当x＝2时，函数y＝loga(x－1)＋2(a＞0，且a≠1)的值为2，所以图象恒过定点(2,2)．
例2．函数y＝logax(a>0，a≠1)在[2，4]上的最大值与最小值的差是1，则a＝________．
【答案】2或
【解析】分两种情况讨论：①当a>1时，有loga4－loga2＝1，解得a＝2；②当0例3．在同一直角坐标系中，函数f(x)＝xa(x>0)与g(x)＝logax的图象可能是(　　 )
【答案】A
【解析】易知g(x)的图象过点(1，0)．若00)单调递增，且递增趋势越来越慢，函数g(x)＝logax单调递减．显然四个选项不满足条件．
若a>1，则函数g(x)＝logax单调递增，函数f(x)＝xa(x>0)单调递增且递增趋势越来越快，显然只有选项A满足条件．
例4．函数f(x)＝loga|x|＋1(0　
【答案】A　
【解析】由函数f(x)的解析式可确定该函数为偶函数，图象关于y轴对称．设g(x)＝loga|x|，先画出x>0时，g(x)的图象，然后根据g(x)的图象关于y轴对称画出x<0时g(x)的图象，最后由函数g(x)的图象向上整体平移一个单位即得f(x)的图象，结合图象知选A．
例5．方程log2(x－1)＝2－log2(x＋1)的解为_________.
【答案】x＝　
【解析】原方程变形为log2(x－1)＋log2(x＋1)＝log2(x2－1)＝2，即x2－1＝4，解得x＝±，又x>1，所以x＝.
例6．设函数f(x)＝，若f(a)＞f(－a)，则实数a的取值范围是_________.
【答案】(－1,0)∪(1，＋∞)　
【解析】由题意得或解得a＞1或－1＜a＜0.
例7．当0A． B．
C．(1，) D．(，2)
【答案】B
【解析】
构造函数f(x)＝4x和g(x)＝logax，当a>1时不满足条件，当0，所以a的取值范围为．
例8．(2018·天津卷)已知a＝log2e，b＝ln 2，c＝log，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．a＞b＞c　　　　　 　　 B．b＞a＞c
C．c＞b＞a D．c＞a＞b
【答案】D　
【解析】因为c＝log＝log23>log2e＝a，所以c＞a.因为b＝ln 2＝＜1＜log2e＝a，所以a＞b.所以c＞a＞b.
例9．设a＝，b＝log7，c＝log87，则(　　)
A．a>b>c B．a>c>b
C．c>b>a D．c>a>b
【答案】D
【解析】a＝＝log7>b＝log7，
c＝log87>log8＝＝a，
所以c>a>b.
例10．(多选)若实数a，b满足loga2A．0C．a>b>1 D．0【答案】ABC
【解析】当0当00，loga2<0，故loga2当a>b>1时，log2a>log2b>0，即>>0，故loga2当00，故loga2>logb2，D错误．
例11．(2022·广州调研)设x1，x2，x3均为实数，且＝ln x1，＝ln(x2＋1)，＝lg x3，则(　　)
A．x1C．x2【答案】D
【解析】画出函数y＝x，y＝ln x，y＝ln(x＋1)，y＝lg x的图象，如图所示．
数形结合，知x2例12．设a＝log63，b＝log126，c＝log2412，则(　　)
A．bC．a【答案】C
【解析】因为a，b，c都是正数，所以＝log36＝1＋log32，＝log612＝1＋log62，＝log1224＝1＋log122，
因为log32＝，log62＝，log122＝，且lg 3log62>log122，即>>，所以a例13．已知函数f(x)＝loga(x＋2)＋loga(4－x)(a>0且a≠1)．
①求函数f(x)的定义域；
②若函数f(x)在区间[0，3]上的最小值为－2，求实数a的值．
【答案】a＝
【解析】①依题意得解得－2②f(x)＝loga(x＋2)＋loga(4－x)＝loga[(x＋2)(4－x)]，令t＝(x＋2)(4－x)，则变形得t＝－(x－1)2＋9，
∵0≤x≤3，∴5≤t≤9．若a>1，则loga5≤logat≤loga9，∴f(x)min＝loga5＝－2，则a2＝<1(舍去)，
若0题型三、不同函数增长的差异
例1．下列函数中，增长速度越来越慢的是(　　)
A．y＝6x　　　　　　 B．y＝log6x
C．y＝x6 D．y＝6x
【答案】B　
【解析】D中一次函数的增长速度不变，A、C中函数的增长速度越来越快，只有B中对数函数的增长速度越来越慢，符合题意．
例2．在一次数学试验中，采集到如下一组数据：
x －2.0 －1.0 0 1.00 2.00 3.00
y 0.24 0.51 1 2.02 3.98 8.02
则x，y的函数关系与下列哪类函数最接近？(其中a，b为待定系数)(　　)
A．y＝a＋bx　　　　　 B．y＝a＋bx
C．y＝ax2＋b D．y＝a＋
【答案】B　
【解析】在坐标系中描出各点，知模拟函数为y＝a＋bx.
例3．函数y＝x2与函数y＝xln x在区间(1，＋∞)上增长较快的一个是________．
【解析】当x变大时，x比ln x增长要快，
∴x2要比xln x增长的要快．
【答案】y＝x2
例4．某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x倍，需经过y年，则函数y＝f(x)的图象大致为(　　)
【答案】D　
【解析】设该林区的森林原有蓄积量为a，由题意可得ax＝a(1＋0.104)y，故y＝log1.104x(x≥1)，函数为对数函数，所以函数y＝f(x)的图象大致为D中图象，故选D.
达标训练
1．对数函数的图象过点M(16，4)，则此对数函数的解析式为(　　)
A．y＝log4x B．y＝logx
C．y＝logx D．y＝log2x
【答案】D　
【解析】设该函数为y＝logax，由于对数函数的图象过点M(16，4)，所以4＝loga16，得a＝2.所以对数函数的解析式为y＝log2x，故选D.
2．已知集合A＝{0,1,2}，B＝{x|log3x<1}，则A∩B＝(　　)
A．{1,2} B．{0,1,2}
C．{0,1,2,3} D．{x|0【答案】A　
【解析】由log3x<1＝log33，∵3>1，解得03．设函数f(x)＝则f(－3)＋f(log23)＝(　　)
A．9 B． 11
C． 13 D． 15
【答案】B　
【解析】∵函数f(x)＝
∴f(－3)＋f(log23)＝log24＋4log23＝2＋9＝11.
4．已知a＝log32，b＝，c＝ln ，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．a＞b＞c B．b＞a＞c
C．c＞b＞a D．c＞a＞b
【答案】B　
【解析】因为a＝log32∈(0, 1)，b＝>1，c＝ln <0，则a，b，c的大小关系：b＞a＞c.
5．函数y＝lg(x＋1)的图象大致是(　　)
【答案】C　
【解析】由底数大于1可排除A、B，y＝lg(x＋1)可看作是y＝lg x的图象向左平移1个单位．(或令x＝0得y＝0，而且函数为增函数)
6．若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函数且f(2)＝1，则f(x)＝(　　)
A．log2x B．
C．logx D．2x－2
【答案】A　
【解析】函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函数是f(x)＝logax，
又f(2)＝1，即loga2＝1，所以a＝2.故f(x)＝log2x.
7．下列各式中错误的是(　　)
A．30.8＞30.7　　　　　　 B．log0.50.4＞log0.50.6
C．0.75－0.1＜0.750.1 D．lg 1.6＞lg 1.4
【答案】C　
【解析】由指数函数的性质可知，函数y＝0.75x为单调递减函数，又因为－0.1＜0.1，所以0.75－0.1＞0.750.1.
8．若lg(2x－4)≤1，则x的取值范围是(　　)
A．(－∞，7] B．(2，7]
C．[7，＋∞) D．(2，＋∞)
【答案】B　
【解析】∵lg(2x－4)≤1，∴0＜2x－4≤10，解得2＜x≤7，∴x的取值范围是(2，7]，故选B.
9．以下四种说法中，正确的是(　　)
A．幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快
B．对任意的x＞0，xn＞logax
C．对任意的x＞0，ax＞logax
D．不一定存在x0，当x＞x0时，总有ax＞xn＞logax
【答案】D　
【解析】对于A，幂函数与一次函数的增长速度受幂指数及一次项系数的影响，幂指数与一次项系数不确定，增长幅度不能比较；对于B、C，当0＜a＜1时，显然不成立．当a＞1，n＞0时，一定存在x0，使得当x＞x0时，总有ax＞xn＞logax，但若去掉限制条件“a＞1，n＞0”，则结论不成立．
10．已知logm＜logn＜0，则(　　)
A．n＜m＜1 B．m＜n＜1
C．1＜m＜n D．1＜n＜m
【答案】D　
【解析】因为0＜＜1，logm＜logn＜0，
所以m＞n＞1，故选D.
11．已知a＝log23.4，b＝log43.6，c＝log30.3，则(　　)
A．a＞b＞c B．b＞a＞c
C．a＞c＞b D．c＞a＞b
【答案】A　
【解析】因为a＝log23.4＞1，0＜b＝log43.6＜1，c＝log30.3＜0，所以a＞b＞c，故选A.
12．比较大小：
(1)log22______log2；
(2)log8π______logπ8.
【答案】(1)＞　(2)＜
【解析】(1)因为函数y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数，且2＞，所以log22＞log2.
(2)因为函数y＝log8x为增函数，且π＜8，所以log8π＜log88＝1.
同理1＝logππ＜logπ8，所以log8π＜logπ8.
13．设f(x)＝lg x，若f(1－a)－f(a)＞0，则实数a的取值范围为________．
【答案】
【解析】由题意，f(x)＝lg x在(0，＋∞)上单调递增，因为f(1－a)－f(a)＞0，所以1－a＞a＞0，所以a∈.
14．求函数y＝log (1－x2)的单调增区间，并求函数的最小值．
【答案】0
【解析】要使y＝log (1－x2)有意义，则1－x2＞0，
∴x2＜1，则－1＜x＜1，因此函数的定义域为(－1，1)．
令t＝1－x2，x∈(－1，1)．
当x∈(－1，0]时，x增大，t增大，y＝logt减小，
∴x∈(－1，0]时，y＝log (1－x2)是减函数；
同理当x∈[0，1)时，y＝log(1－x2)是增函数．
故函数y＝log (1－x2)的单调增区间为[0，1)，且函数的最小值ymin＝log (1－02) ＝0.
13. 已知指数函数f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)．
(1)求函数f(x)的反函数g(x)的解析式；
(2)解不等式：g(x)≤loga(2－3x)．
【答案】(1)g(x)＝logax (2)见解析
【解析】(1)令y＝ax(a＞0，且a≠1)，则x＝logay(a＞0，且a≠1)，所以函数f(x)的反函数为g(x)＝logax(a＞0，且a≠1)．
(2)当a>1时，logax≤loga(2－3x)，所以解得0＜x≤.
当0＜a＜1时，原不等式等价于解得≤x＜.
综上，当a＞1时，原不等式的解集为；
当0＜a＜1时，原不等式的解集为.
14. 某企业常年生产一种出口产品，根据预测可知，进入21世纪以来，该产品的产量平稳增长．记2015年为第1年，且前4年中，第x年与年产量f(x)(万件)之间的关系如下表所示：
x 1 2 3 4
f(x) 4.00 5.58 7.00 8.44
若f(x)近似符合以下三种函数模型之一：f(x)＝ax＋b，f(x)＝2x＋a，f(x)＝logx＋a.
(1)找出你认为最适合的函数模型，并说明理由，然后选取2015年和2017年的数据求出相应的解析式；
(2)因遭受某国对该产品进行反倾销的影响，2021年的年产量比预计减少30%，试根据所建立的函数模型，确定2021年的年产量．
【答案】(1)f(x)＝x＋，x∈N (2)f(x)＝x＋，x∈N 9.1
【解析】(1)符合条件的是f(x)＝ax＋b，
若模型为f(x)＝2x＋a，
则由f(1)＝21＋a＝4，
得a＝2，
即f(x)＝2x＋2，
此时f(2)＝6，f(3)＝10，f(4)＝18，与已知相差太大，不符合．
若模型为f(x)＝logx＋a，
则f(x)是减函数，与已知不符合．
由已知得
解得
所以f(x)＝x＋，x∈N.
(2)2021年预计年产量为f(7)＝×7＋＝13，
2021年实际年产量为13×(1－30%)＝9.1.
答：最适合的函数模型解析式为f(x)＝x＋，x∈N.
2021年的年产量为9.1万件．
课后提升
1．设正实数a，b，c分别满足a·2a＝1，blog2b＝1，clog3c＝1，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．a＞b＞c B．b＞a＞c
C．c＞b＞a D．a＞c＞b
【答案】C　
【解析】由已知可得＝2a，＝log2b，＝log3c，作出函数y＝2x，y＝log2x，y＝log3x的图象，它们与函数y＝图象的交点的横坐标分别为a，b，c，如图所示，
易得c＞b＞a.
2．(2018·全国卷Ⅲ)设a＝log0.20.3，b＝log20.3，则(　　)
A．a＋b＜ab＜0 B．ab＜a＋b＜0
C．a＋b＜0＜ab D．ab＜0＜a＋b
【答案】B　
【解析】∵a＝log0.20.3＞log0.21＝0，b＝log20.3＜log21＝0，∴ab＜0.∵＝＋＝log0.30.2＋log0.32＝log0.30.4，∴1＝log0.30.3＞log0.30.4＞log0.31＝0，∴0＜＜1，∴ab＜a＋b＜0.
3．(多选题)有如下命题，其中真命题的标号为(　　)
A． x0∈(0，＋∞)，x0＜ x0
B． x0∈(0,1)，logx0＞logx0
C． x∈(0，＋∞)，x＞logx
D． x∈，x＜logx
【答案】BD　
【解析】对A选项，构造幂函数y＝xx0(x0＞0)，因为x0＞0，所以幂函数在(0，＋∞)单调递增，因为＞，所以 x0＞ x0恒成立，故A是错误的；对B选项，如图所示，y＝logx的图象为虚线部分，y＝logx的图象为实线部分，显然 x0∈(0,1)，使得logx0＞logx0成立，故B正确；
对C选项， x∈(0，＋∞)，0＜x＜1恒成立，而当x＝时，log＝2，所以x＞logx不会恒成立，故C错误；对D选项， x∈，由指数函数y＝x的图象知，函数值恒小于1，由对数函数y＝logx的图象知，函数值恒大于1，所以x＜logx恒成立，故D正确．
4．(2020·全国Ⅱ)设函数f(x)＝ln|2x＋1|－ln|2x－1|，则f(x)(　　)
A．是偶函数，且在上单调递增
B．是奇函数，且在上单调递减
C．是偶函数，且在上单调递增
D．是奇函数，且在上单调递减
【答案】D
【解析】f(x)＝ln|2x＋1|－ln|2x－1|的定义域为.
又f(－x)＝ln|－2x＋1|－ln|－2x－1|
＝ln|2x－1|－ln|2x＋1|＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数，故排除A，C.
当x∈时，
f(x)＝ln(－2x－1)－ln(1－2x)＝ln
＝ln＝ln，
∵y＝1＋在上单调递减，
∴由复合函数的单调性可得f(x)在上单调递减．
5．已知函数f(x)＝loga(8－ax)(a>0，且a≠1)，若f(x)>1在区间[1，2]上恒成立，则实数a的取值范围是__________．
【答案】
【解析】当a>1时，f(x)＝loga(8－ax)在[1，2]上单调递减，由f(x)>1在区间[1，2]上恒成立，
则f(x)min＝f(2)＝loga(8－2a)>1，即8－2a>a，且8－2a>0，解得1当0由f(x)>1在区间[1，2]上恒成立，
知f(x)min＝f(1)＝loga(8－a)>1，即8－a0．解得a∈，
综上可知，实数a的取值范围是．
6．(2022·潍坊模拟)已知f(x)＝1＋log3x(1≤x≤9)，设函数g(x)＝f2(x)＋f(x2)，则g(x)max－g(x)min＝ .
【答案】5
【解析】由题意得
∴1≤x≤3，∴g(x)的定义域为[1,3]，
g(x)＝f2(x)＋f(x2)
＝(1＋log3x)2＋1＋log3x2
＝(log3x)2＋4log3x＋2，
设t＝log3x，则0≤t≤1，
则y＝t2＋4t＋2＝(t＋2)2－2，在[0,1]上单调递增，
∴当t＝0即x＝1时，g(x)min＝2，
当t＝1即x＝3时，g(x)max＝7，
∴g(x)max－g(x)min＝5

展开更多......

收起↑