资源简介

4.3 对数
考纲要求
1．理解对数的概念及运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数．
2．熟悉对数在简化运算中的作用．
知识解读
知识点① 对数的概念
1．如果ax＝N(a>0且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．
2．常用对数与自然对数
常用对数 将以10为底的对数叫做常用对数 把log10N记为lg N
自然对数 将以无理数e＝2．718 28…为底的对数叫做自然对数 把logeN记为ln N
知识点② 对数的性质与运算法则
1．对数的运算法则
如果a>0且a≠1，M >0，N >0，那么
①loga(MN)＝logaM＋logaN；
②loga＝logaM－logaN；
③logaMn＝nlogaM (n∈R)；
④logamMn＝logaM．
2．对数的性质
①alogaN＝N；
②logaaN＝N(a>0且a≠1)．
3．对数的重要公式
①换底公式：logbN＝ (a，b均大于零且不等于1)；
②logab＝，推广logab·logbc·logcd＝logad．
题型讲解
题型一、对数的概念
例1．将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式
① ； ② ； ③ ； ④ ；
⑤ ； ⑥ ．
例2．求下列各式中的值
① ； ② ； ③； ④
例3．log2＝________
题型二、对数的性质和运算
例1．计算log29×log34＋2log510＋log50.25＝(　　)
A．0　 B．2
C．4 D．6
例2．有下列结论：①lg (lg 10)＝0；②lg (ln e)＝0；③若lg x＝1，则x＝10；④若log22＝x，则x＝1；⑤若logmn·log3m＝2，则n＝9.其中正确结论的序号是________．
例3．计算下列各式：
(1)计算(lg 2)2＋lg 2·lg 50＋lg 25的结果为________；
(2)若lg x＋lg y＝2lg (2x－3y)，则log的值为________；
(3)计算：(log32＋log92)·(log43＋log83)＝________.
例4．已知log189＝a，18b＝5，试用a，b表示log3645.
例5．设2a＝5b＝m，且＋＝2，则m等于(　　)
A． B．10
C．20 D．100
例6．在标准温度和大气压下，人体血液中氢离子的物质的量的浓度(单位mol/L，记作[H＋])和氢氧根离子的物质的量的浓度(单位mol/L，记作[OH－])的乘积等于常数10－14．已知pH值的定义为pH＝－lg [H＋]，健康人体血液的pH值保持在7.35～7.45之间，那么健康人体血液中的可以为(参考数据： lg 2≈0.30，lg 3≈0.48)(　　 )
A． B．
C． D．
达标训练
1．将＝9写成对数式，正确的是(　　)
A．log9＝－2　　　　　 B．log9＝－2
C．log (－2)＝9 D．log9(－2)＝
2．log3等于(　　)
A．4 B．－4
C． D．－
3．计算2log63＋log64的结果是(　　)
A．2 B．log62
C．log63 D．3
4．若a＞0，a≠1，x＞y＞0，n∈N*，则下列各式：
(1)(logax)n＝nlogax； (2)(logax)n＝logaxn；
(3)logax＝－loga； (4)＝logax；
(5)＝loga.
其中正确的有(　　)
A．2个 B．3个
C．4个 D．5个
5．设a＝log32，则log38－2log36用a表示的形式是(　　)
A．a－2 B．3a－(1＋a)2
C．5a－2 D．－a2＋3a－1
6．方程2log3x＝的解是(　　)
A．x＝ B．x＝
C．x＝ D．x＝9
7．在对数式b＝loga－2(5－a)中，实数a的取值范围是(　　)
A．a>5或a<2 B．2C．28．计算(log312－2log32)＝(　　)
A．0 B．1
C．2 D．4
9．已知log34·log48·log8m＝log416，则m等于(　　)
A． B．9
C．18 D．27
10．5G技术的数学原理之一是著名的香农公式：C＝Wlog2．它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度C取决于信道带宽W，信道内信号的平均功率S，信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫做信噪比．当信噪比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计．假设目前信噪比为1 600，若不改变带宽W，而将最大信息传播速度C提升50%，那么信噪比要扩大到原来的约(　　 )
A．10倍 B．20倍
C．30倍 D．40倍
11．lg 10 000＝________；lg 0.001＝________．
12．已知a2＝(a＞0)，则loga＝________．
13．lg ＋lg的值是________．
14．若logab·log3a＝4，则b的值为________．
15．计算：÷100－＝_________.
16．计算：log2＝________，＝________.
17．已知a>b>1，若logab＋logba＝，ab＝ba，则a＋b＝ .
18．计算：lg 25＋lg 50＋lg 2·lg 500＋(lg 2)2＝ .
课后提升
1．(多选题)设x，y，z为正实数，且log2x＝log3y＝log5z＞0，则，，的大小关系可能是(　　)
A．＜＜ B．＝＝
C．＜＜ D．＜＜
2．已知log2(log3(log4x))＝0，且log4(log2y)＝1.求·y的值．
3．已知logab＝logba(a>0，且a≠1；b>0，且b≠1)．求证：a＝b或a＝.
4．已知x，y，z为正数，且3x＝4y＝6z.
(1)求使2x＝py成立的p的值；
(2)求证：＝－.
5．若a，b是方程2(lg x)2－lg x4＋1＝0的两个实根，求lg(ab)·(logab＋logba)的值
4.3 对数
考纲要求
1．理解对数的概念及运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数．
2．熟悉对数在简化运算中的作用．
知识解读
知识点① 对数的概念
1．如果ax＝N(a>0且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．
2．常用对数与自然对数
常用对数 将以10为底的对数叫做常用对数 把log10N记为lg N
自然对数 将以无理数e＝2．718 28…为底的对数叫做自然对数 把logeN记为ln N
知识点② 对数的性质与运算法则
1．对数的运算法则
如果a>0且a≠1，M >0，N >0，那么
①loga(MN)＝logaM＋logaN；
②loga＝logaM－logaN；
③logaMn＝nlogaM (n∈R)；
④logamMn＝logaM．
2．对数的性质
①alogaN＝N；
②logaaN＝N(a>0且a≠1)．
3．对数的重要公式
①换底公式：logbN＝ (a，b均大于零且不等于1)；
②logab＝，推广logab·logbc·logcd＝logad．
题型讲解
题型一、对数的概念
例1．将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式
① ； ② ； ③ ； ④ ；
⑤ ； ⑥ ．
【答案】见解析
【解析】①；②；③；④；⑤；⑥．
例2．求下列各式中的值
① ； ② ； ③； ④
【答案】①；②；③；④
【解析】①因为，所以；
②因为，所以，；
③因为，所以，；
④因为，所以，．
例3．log2＝________
【答案】－　
【解析】log2＝log22 ＝－，
题型二、对数的性质和运算
例1．计算log29×log34＋2log510＋log50.25＝(　　)
A．0　 B．2
C．4 D．6
【答案】D　
【解析】原式＝2log23×(2log32)＋log5(102×0.25)＝4＋log525＝4＋2＝6.
例2．有下列结论：①lg (lg 10)＝0；②lg (ln e)＝0；③若lg x＝1，则x＝10；④若log22＝x，则x＝1；⑤若logmn·log3m＝2，则n＝9.其中正确结论的序号是________．
【答案】①②③④⑤
【解析】lg (lg 10)＝lg 1＝0，故①正确；lg (ln e)＝lg 1＝0，故②正确；③④正确；logmn·log3m＝·log3m＝log3n＝2，故n＝9，故⑤正确．
例3．计算下列各式：
(1)计算(lg 2)2＋lg 2·lg 50＋lg 25的结果为________；
(2)若lg x＋lg y＝2lg (2x－3y)，则log的值为________；
(3)计算：(log32＋log92)·(log43＋log83)＝________.
【答案】(1)2　(2)2　(3)
【解析】(1)原式＝lg 2(lg 2＋lg 50)＋lg 52
＝lg 2×lg 100＋2lg 5＝2(lg 2＋lg 5)＝2lg 10＝2.
(2)由已知得lg (xy)＝lg (2x－3y)2，
所以xy＝(2x－3y)2，整理得4x2－13xy＋9y2＝0，
即42－13×＋9＝0，
解得＝1或＝.
由x>0，y>0,2x－3y>0可得＝1，不符合题意，舍去，
所以log＝log＝2.
(3)原式＝·
＝·
＝·＝.
例4．已知log189＝a，18b＝5，试用a，b表示log3645.
【答案】
【解析】因为log189＝a,18b＝5，所以log185＝b，
于是log3645＝＝＝＝.
例5．设2a＝5b＝m，且＋＝2，则m等于(　　)
A． B．10
C．20 D．100
【答案】A
【解析】2a＝5b＝m，
∴log2m＝a，log5m＝b，
∴＋＝＋＝logm2＋logm5
＝logm10＝2，
∴m2＝10，
∴m＝(舍m＝－)．
例6．在标准温度和大气压下，人体血液中氢离子的物质的量的浓度(单位mol/L，记作[H＋])和氢氧根离子的物质的量的浓度(单位mol/L，记作[OH－])的乘积等于常数10－14．已知pH值的定义为pH＝－lg [H＋]，健康人体血液的pH值保持在7.35～7.45之间，那么健康人体血液中的可以为(参考数据： lg 2≈0.30，lg 3≈0.48)(　　 )
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由题设有＝＝1014[H＋]2．又10－7．45≤[H＋]≤10－7．35 ，所以10－0．9≤1014[H＋]2≤10－0．7．所以－0.9≤lg 1014[H＋]2≤－0.7．又lg ≈－0.3，lg ≈－0.48，lg ≈－0.78，lg ＝－1，只有lg 在范围之中．故选C．
达标训练
1．将＝9写成对数式，正确的是(　　)
A．log9＝－2　　　　　 B．log9＝－2
C．log (－2)＝9 D．log9(－2)＝
【答案】B　
【解析】根据对数的定义，得log9＝－2，故选B.
2．log3等于(　　)
A．4 B．－4
C． D．－
【答案】B　
【解析】∵3－4＝，∴log3＝－4.
3．计算2log63＋log64的结果是(　　)
A．2　　　　　　　　　　 B．log62
C．log63 D．3
【答案】A　
【解析】2log63＋log64＝log69＋log64＝log636＝2.
4．若a＞0，a≠1，x＞y＞0，n∈N*，则下列各式：
(1)(logax)n＝nlogax；
(2)(logax)n＝logaxn；
(3)logax＝－loga；
(4)＝logax；
(5)＝loga.
其中正确的有(　　)
A．2个 B．3个
C．4个 D．5个
【答案】A　
【解析】根据对数的运算性质logaMn＝nlogaM(M＞0，a＞0，且a≠1)知(3)与(5)正确．
5．设a＝log32，则log38－2log36用a表示的形式是(　　)
A．a－2 B．3a－(1＋a)2
C．5a－2 D．－a2＋3a－1
【答案】A　
【解析】∵a＝log32，∴log38－2log36＝3log32－2(log32＋1)＝3a－2(a＋1)＝a－2.
6．方程2log3x＝的解是(　　)
A．x＝ B．x＝
C．x＝ D．x＝9
【答案】A　
【解析】∵2 log3x＝2－2，∴log3x＝－2，∴x＝3－2＝.
7．在对数式b＝loga－2(5－a)中，实数a的取值范围是(　　)
A．a>5或a<2 B．2C．2【答案】C　
【解析】由题意得解得28．计算(log312－2log32)＝(　　)
A．0 B．1
C．2 D．4
【答案】B　
【解析】log64＋log63＝log64＋log63＝log62＋log63＝log66＝1，log312－2log32＝log312－log34＝log33＝1，∴·(log312－2log32)＝1，故选B.
9．已知log34·log48·log8m＝log416，则m等于(　　)
A． B．9
C．18 D．27
【答案】B　
【解析】∵log34·log48·log8m＝··＝＝2，∴lg m＝2lg 3，∴m＝9.
10．5G技术的数学原理之一是著名的香农公式：C＝Wlog2．它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度C取决于信道带宽W，信道内信号的平均功率S，信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫做信噪比．当信噪比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计．假设目前信噪比为1 600，若不改变带宽W，而将最大信息传播速度C提升50%，那么信噪比要扩大到原来的约(　　 )
A．10倍 B．20倍
C．30倍 D．40倍
【答案】D
【解析】由条件可知C＝Wlog21 600，
设将最大信息传播速度C提升50%，那么信噪比要扩大到原来的t倍，则C＝Wlog2，所以log21 600＝log2，即log21 600＝log2，所以1 600t＝1 600，解得t＝40．
11．lg 10 000＝________；lg 0.001＝________．
【答案】4　－3
【解析】由104＝10 000知lg 10 000＝4，10－3＝0.001得lg 0.001＝－3.
12．已知a2＝(a＞0)，则loga＝________．
【答案】2
【解析】由a2＝(a＞0)得a＝，
所以log＝log＝2.
13．lg ＋lg的值是________．
【答案】1
【解析】lg＋lg＝lg＝lg 10＝1.
14．若logab·log3a＝4，则b的值为________．
【答案】81
【解析】logab·log3a＝·＝＝4，
所以lg b＝4lg 3＝lg 34，所以b＝34＝81.
15．计算：÷100－＝_________.
【答案】－20　
【解析】原式＝(lg 2－2－lg 52)×100＝lg×10＝lg 10－2×10＝－2×10＝－20.
16．计算：log2＝________，＝________.
【答案】－　3　
【解析】log2＝log22 ＝－，
＝×＝3×＝3.
17．已知a>b>1，若logab＋logba＝，ab＝ba，则a＋b＝ .
【答案】6
【解析】设logb a＝t，则t>1，因为t＋＝，
所以t＝2，则a＝b2.又ab＝ba，
所以b2b＝，即2b＝b2，
又a>b>1，解得b＝2，a＝4.
所以a＋b＝6.
18．计算：lg 25＋lg 50＋lg 2·lg 500＋(lg 2)2＝ .
【答案】4
【解析】原式＝2lg 5＋lg(5×10)＋lg 2·lg(5×102)＋(lg 2)2
＝2lg 5＋lg 5＋1＋lg 2·(lg 5＋2)＋(lg 2)2
＝3lg 5＋1＋lg 2·lg 5＋2lg 2＋(lg 2)2
＝3lg 5＋2lg 2＋1＋lg 2(lg 5＋lg 2)
＝3lg 5＋2lg 2＋1＋lg 2
＝3(lg 5＋lg 2)＋1
＝4.
课后提升
1．(多选题)设x，y，z为正实数，且log2x＝log3y＝log5z＞0，则，，的大小关系可能是(　　)
A．＜＜ B．＝＝
C．＜＜ D．＜＜
【答案】ABC　
【解析】设log2x＝log3y＝log5z＝k＞0，可得x＝2k＞1，y＝3k＞1，z＝5k＞1，∴＝2k－1，＝3k－1，＝5k－1.①若0＜k＜1，则函数f(x)＝xk－1单调递减，∴＞＞，即＜＜，故C正确；②若k＝1，则函数f(x)＝xk－1＝1，∴＝＝，故B正确；③若k＞1，则函数f(x)＝xk－1单调递增，∴＜＜，故A正确．
2．已知log2(log3(log4x))＝0，且log4(log2y)＝1.求·y的值．
【答案】64
【解析】∵log2(log3(log4x))＝0，∴log3(log4x)＝1，
∴log4x＝3，∴x＝43＝64.
由log4(log2y)＝1，知log2y＝4，∴y＝24＝16.
因此·y＝×16＝8×8＝64.
3．已知logab＝logba(a>0，且a≠1；b>0，且b≠1)．求证：a＝b或a＝.
【答案】见解析
【解析】证明：设logab＝logba＝k，
则b＝ak，a＝bk，所以b＝(bk)k＝bk2，因为b>0，且b≠1，所以k2＝1，
即k＝±1.当k＝－1时，a＝；
当k＝1时，a＝b.所以a＝b或a＝，命题得证．
4．已知x，y，z为正数，且3x＝4y＝6z.
(1)求使2x＝py成立的p的值；
(2)求证：＝－.
【答案】(1)p＝4log32 (2)见解析
【解析】(1)设3x＝4y＝6z＝k(显然k＞0且k≠1)，则x＝log3k，y＝log4k，z＝log6k，
由2x＝py得2log3k＝plog4k＝p·，
因为log3k≠0，所以p＝4log32.
(2)证明：－＝－＝logk6－logk3＝logk2＝logk4＝＝.
5．若a，b是方程2(lg x)2－lg x4＋1＝0的两个实根，求lg(ab)·(logab＋logba)的值．
【答案】12
【解析】原方程可化为2(lg x)2－4lg x＋1＝0.
设t＝lg x，
则方程化为2t2－4t＋1＝0，
∴t1＋t2＝2，t1·t2＝.
又∵a，b是方程2(lg x)2－lg x4＋1＝0的两个实根，
∴t1＝lg a，t2＝lg b，
即lg a＋lg b＝2，lg a·lg b＝.
∴lg(ab)·(logab＋logba)
＝(lg a＋lg b)·
＝(lg a＋lg b)·
＝(lg a＋lg b)·
＝2×＝12，
即lg(ab)·(logab＋logba )＝12

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