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1.3 集合的基本运算
目标导航
1.理解两个集合的并集与交集的含义．会求两个简单集合的并集和交集.
2.能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用．
3.了解全集的含义及其符号表示.
4.理解给定集合中一个子集的补集的含义，并会求给定子集的补集.
5.会用Venn图、数轴进行集合的运算．
知识解读
知识点一　并集
1.自然语言
集合A与B的并集是所有 的元素组成的集合，记作 （读作“A并B”）
2.符号语言
3.图形语言
知识点二　交集
1.自然语言
集合A与B的交集是所有 的元素组成的集合，记作 （读作“A交B”）
2.符号语言
3.图形语言
知识点三　全集与补集
1．全集
(1)定义：如果一个集合含有所研究问题中涉及的 ，那么就称这个集合为全集．
(2)记法：全集通常记作 .
2．补集
自然语言 对于一个集合A，由全集U中 的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作
符号语言 UA＝
图形语言
跟踪训练
一、单选题
1．集合，集合，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．集合间没有包含关系
2．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
3．集合，，将集合A，B分别用如图中的两个圆表示，则圆中阴影部分表示的集合中元素个数恰好为2的是（ ）
A． B．
C． D．
4．集合，则（ ）
A． B． C． D．
5．设集合，下列表示正确是（ ）
A．， B． C． D．
6．表示集合中整数元素的个数，设，，则（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
7．已知集合，下列描述正确的是（ ）
A． B．
C． D．以上选项都不对
8．对集合，2，3，，的每一个非空子集，定义一个唯一确定的“交替和”，概念如下：按照递减的次序重新排列该子集，然后从最大的开始，交替减或加后继的数所得的结果．如：集合的“交替和”为，集合的“交替和”为，集合的“交替和”为10，则集合所有非空子集的“交替和”的总和为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．对于集合A，B，定义，．设，，则中可能含有下列元素（ ）．
A．5 B．6 C．7 D．8
10．图中的阴影表示的集合是（ ）
A． B．
C． D．
11．设，，若，则实数的值可以为（ ）
A．2 B． C． D．0
12．我们知道，如果集合，那么的子集的补集为．类似地，对于集合、，我们把集合叫作集合与的差集，记作．例如，，，则有，，下列说法正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，则
C．若是高一（1）班全体同学的集合，是高一（1）班全体女同学的集合，则
D．若，则2一定是集合的元素
三、填空题
13．设集合，，又，求实数_____．
14．设集合，集合中所有元素之和为，则实数的取值集合为：____．
15．已知是方程的解集，且，则_____．
16．设集合，且都是集合的子集，如果把叫作集合的“长度”，那么集合的“长度”的最小值是___________.
四、解答题
17．已知全集，集合，集合，求集合.
18．设全集，集合，，．
(1)求；
(2)若，求实数的取值范围．
19．设集合， .
(1)若，试求；
(2)若，求实数的取值范围．
20．已知全集为R，集合，.
(1)求A∪B;
(2)求;
(3)若，且,求a的取值范围
1.3 集合的基本运算
目标导航
1.理解两个集合的并集与交集的含义．会求两个简单集合的并集和交集.
2.能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用．
3.了解全集的含义及其符号表示.
4.理解给定集合中一个子集的补集的含义，并会求给定子集的补集.
5.会用Venn图、数轴进行集合的运算．
知识解读
知识点一　并集
1.自然语言
集合A与B的并集是所有 的元素组成的集合，记作 （读作“A并B”）
2.符号语言
3.图形语言
【答案】属于集合A或属于集合B
知识点二　交集
1.自然语言
集合A与B的交集是所有 的元素组成的集合，记作 （读作“A交B”）
2.符号语言
3.图形语言
【答案】属于集合A且属于集合B
知识点三　全集与补集
1．全集
(1)定义：如果一个集合含有所研究问题中涉及的 ，那么就称这个集合为全集．
(2)记法：全集通常记作 .
2．补集
自然语言 对于一个集合A，由全集U中 的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作
符号语言 UA＝
图形语言
【答案】所有元素 U 不属于集合A UA {x|x∈U且x A}
跟踪训练
一、单选题
1．集合，集合，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．集合间没有包含关系
【答案】D
【分析】根据子集的定义即可求解.
【详解】解：且，
，而，又，而，，
集合间没有包含关系．
故选：D．
2．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据二次方程求解集合，再求并集即可
【详解】由已知得，则.
故选：A
3．集合，，将集合A，B分别用如图中的两个圆表示，则圆中阴影部分表示的集合中元素个数恰好为2的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】首先求出集合，再结合韦恩图及交集、并集、补集的定义计算可得；
【详解】解：∵，，
∴，则，，
选项A中阴影部分表示的集合为，即，故A错误；
选项B中阴影部分表示的集合由属于A但不属于B的元素构成，即，故B正确；
选项C中阴影部分表示的集合由属于B但不属于A的元素构成，即，有1个元素，故C错误；
选项D中阴影部分表示的集合由属于但不属于的元素构成，即，故D错误．
故选：B．
4．集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先求出集合的补集，再由交集运算可得答案.
【详解】由题意，所以
故选：C
5．设集合，下列表示正确是（ ）
A．， B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意求得集合，结合集合的交运算和并运算，以及集合之间的包含关系，即可判断和选择.
【详解】因为，，则，
对：因为不是的子集，故错误；
对：因为不是的子集，故错误；
对：是的非真子集，故错误；
对：.故正确.
故选：.
6．表示集合中整数元素的个数，设，，则（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】C
【分析】首先求出集合，再根据交集的定义求出，即可得解；
【详解】解：因为，，所以，则，，，所以；
故选：C
7．已知集合，下列描述正确的是（ ）
A． B．
C． D．以上选项都不对
【答案】A
【分析】将两个集合等价变形，从而可判断两个集合的关系，从而可得出答案.
【详解】解：，
分子取到的整数倍加1，
，
分子取全体整数，
所以，
所以.
故选：A.
8．对集合，2，3，，的每一个非空子集，定义一个唯一确定的“交替和”，概念如下：按照递减的次序重新排列该子集，然后从最大的开始，交替减或加后继的数所得的结果．如：集合的“交替和”为，集合的“交替和”为，集合的“交替和”为10，则集合所有非空子集的“交替和”的总和为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】因为集合A的非空子集有个，逐个计算“交替和”再求总和是不可能的，必须通过分析“交替和”的特点，寻找“交替和”的规律.为了找到“交替和”的规律，令，则的非空子集共有15个，写出它们的全部“交替和”如下：
； ； ；
； ； 3；
； ； 4.
； ；
； ；
1； 2；
从以上写出的“交替和”我们发现，除了集合以外，可以把集合A的子集分成两类：一类子集中包含4，另一类不包含4，并且可以在这两类集合之间建立起一个一一映射：设是集合A的一个不包含4的子集，则令与集合相对应，显然与的“交替和”之和为4.因为这样的共有个，所以集合A的所有非空子集的“交替和”的总和为
【详解】解：集合，2，3，，的非空子集中，除去集合，还有个非空子集，将这个子集分成两类：第一类是包含元素的子集；第二类是不包含元素的子集；在第二类子集与第一类子集之间建立如下对应关系，其中是第二类子集，显然这种对应是一一映射，设的“交替和”为，则的“交替和”为，这一对集合的“交替和”的和等于，所以集合A的所有非空子集的“交替和”的总和为.
故选: A.
二、多选题
9．对于集合A，B，定义，．设，，则中可能含有下列元素（ ）．
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】CD
【分析】根据所给定义求出，，即可求出，从而判断即可；
【详解】解：因为，，所以，
∴．
故选：CD
10．图中的阴影表示的集合是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AB
【分析】根据阴影部分集合元素的特点确定集合的关系.
【详解】由题可知，阴影部分的元素是由属于集合B，但不属于集合A的元素构成，
所以对应的集合为.
故选：AB.
11．设，，若，则实数的值可以为（ ）
A．2 B． C． D．0
【答案】BCD
【分析】先求出集合，再由可知，由此讨论集合B中元素的可能性，即可判断出答案.
【详解】集合，，，
又，
所以，
当时，，符合题意，
当时，则，所以或，
解得或，
综上所述，或或,
故选：
12．我们知道，如果集合，那么的子集的补集为．类似地，对于集合、，我们把集合叫作集合与的差集，记作．例如，，，则有，，下列说法正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，则
C．若是高一（1）班全体同学的集合，是高一（1）班全体女同学的集合，则
D．若，则2一定是集合的元素
【答案】AC
【分析】选项AC符合题意，正确；选项BD可以通过举反例来证明错误.
【详解】选项A：，，则.判断正确；
选项B：令，，则，但.判断错误；
选项C： 表示高一（1）班全体同学中去除全体女同学后剩下的全体同学的集合，即为高一（1）班全体男同学的集合，则必有.判断正确；
选项D：令，，则，，此时.判断错误；
故选：AC
三、填空题
13．设集合，，又，求实数_____．
【答案】
【分析】根据得出或，再分类讨论得出实数m的值.
【详解】因为，
所以且，
若，即代入得，
不合题意；
若，即．
当时，，与集合元素的互异性矛盾；
当时，，，有符合题意；
综上所述， ．
故答案为：
14．设集合，集合中所有元素之和为，则实数的取值集合为：____．
【答案】
【分析】解一元二次方程确定集合中可能的元素，由并集的定义、集合的互异性及已知条件确定值．
【详解】解一元二次方程可得，，且，
当，或时，结合集合的互异性，满足中所有元素之和为，
否则由，解得：，
综上可得，实数的取值范围是．
故答案为：．
15．已知是方程的解集，且，则_____．
【答案】
【分析】由题知，再结合韦达定理求解即可.
【详解】解：因为，
所以方程的解集有两个不相等的实数根，
因为且，
所以
所以由韦达定理得，
所以
故答案为：
16．设集合，且都是集合的子集，如果把叫作集合的“长度”，那么集合的“长度”的最小值是___________.
【答案】
【分析】根据“长度”定义确定集合的“长度”，由“长度”最小时，两集合位于集合左右两端即可确定结果.
【详解】由题可知，的长度为 ，的长度为， 都是集合的子集，
当的长度的最小值时，与应分别在区间的左右两端，
即，则，
故此时的长度的最小值是：.
故答案为：
四、解答题
17．已知全集，集合，集合，求集合.
【答案】
【分析】利用集合的补集和交集运算求解.
【详解】解： ，
，
，
所以．
18．设全集，集合，，．
(1)求；
(2)若，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先求，再求交集即可；
（2）先求，再根据数轴上的关系分析时实数的取值范围即可
【详解】(1)或，故．
(2)，因为，故．
19．设集合， .
(1)若，试求；
(2)若，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2).
【分析】（1）利用一元二次方程的公式及集合的并集的定义即可求解.
（2）利用子集的定义及一二次方程的根的情况即可求解.
【详解】(1)由，解得或，
.
当时，得解得或
；
∴.
(2)由（1）知，，，
于是可分为以下几种情况．
当时，，此时方程有两根为，，则
，解得.
当时，又可分为两种情况．
当时，即或，
当时，此时方程有且只有一个根为，则
，解得，
当时，此时方程有且只有一个根为，则
，此时方程组无解，
当时，此时方程无实数根，则
，解得.
综上所述，实数a的取值为.
20．已知全集为R，集合，.
(1)求A∪B;
(2)求;
(3)若，且,求a的取值范围.
【答案】(1).
(2)或.
(3)或.
【分析】（1）解出集合B，即可求出A∪B；
（2）先求，再求；
（3）先求出或，根据，列不等式，求出a的范围.
【详解】(1).
所以.
(2)因为，，
所以，
所以或.
(3)因为，所以或.
因为，且，
所以或，
解得：或.
即a的取值范围或

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