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1.5 全称量词与存在量词
目标导航
1.理解全称量词、全称量词命题的定义.
2.理解存在量词、存在量词命题的定义.
3.会判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并会判断它们的真假．
4.通过实例总结含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律.
5.能正确地对含有一个量词的命题进行否定．
知识解读
知识点一　全称量词和存在量词
全称量词 存在量词
量词 所有的、任意一个 存在一个、至少有一个
符号
命题 含有 的命题是全称量词命题 含有 的命题是存在量词命题
命题形式 “对M中任意一个x，p(x)成立”，可用符号简记为“ ” “存在M中的元素x，p(x)成立”，可用符号简记为“ ”
知识点二　含量词的命题的否定
p ┐p 结论
全称量词命题 x∈M，p(x) 全称量词命题的否定是
存在量词命题 x∈M，p(x) 存在量词命题的否定是
跟踪训练
一、单选题
1．若命题：，，命题：，，则下列命题中是真命题的是( )
A． B．
C． D．
2．已知命题，则的否定为（ ）
A． B． C． D．
3．若“”为真命题，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．给出下列四个命题：
若，则或； ，都有；
的必要不充分条件的是
的否定是“”；
其中真命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．下列四个命题：
① ②
③ ④至少有一个实数，使得
其中真命题的序号是（ ）
A．①③ B．②③ C．②④ D．①④
6．已知命题，则p的否定为（ ）
A． B．
C． D．
7．命题“，使得”的否定是（ ）
A．，使得 B．，使得
C．，都有 D．，都有
8．下列结论中正确的个数是（ ）
①命题“所有的四边形都是矩形”是存在量词命题；
②命题“”是全称量词命题；
③命题“”的否定为“”；
④命题“是的必要条件”是真命题；
A．0 B．1 C．2 D．3
二、多选题
9．下列叙述中正确的是（ ）
A．若，则；
B．若，则；
C．已知，则“”是“”的必要不充分条件；
D．命题“”的是真命题.
10．下列说法正确的是（ ）
A．已知命题p: 2个三角形三个内角对应相等，q:2个三角形全等.则“若q，则p”是q成立的性质定理.
B．集合M={x|2x-6>0}，N={x|-1<3x+2<8}.则x∈ 是x∈N的必要不充分条件.
C．已知全集U=AB={1，2，3…，8}，A∩ ={1，4，5，6}.则B={2，3，7，8}}
D． “x∈{y|y为两条对角线相等的四边形}，x为矩形”的否定为假命题.
11．下列说法正确的是（ ）
A．“”是“”的充分不必要条件
B．“”是“”的必要不充分条件
C．“对任意一个无理数，也是无理数”是真命题
D．命题“，”的否定是“，”
12．下列叙述中不正确的是（ ）
A．若，则的充分条件是
B．若，则的充要条件是
C．命题“对任意，有”的否定是“存在，有”
D．，是的充分条件
三、填空题
13．，的否定是___________．
14．已知命题则是_________
15．命题“”为假命题，则实数的取值范围是___________.
16．已知命题，，若p是假命题，则实数a的取值范围是________________.
四、解答题
17．对下列含有量词的命题作否定，并判断其真假．
(1)存在某个整数，使得；
(2)任意实数都可以写成平方和的形式；
(3)每个能被写成两个奇数之和的整数都是偶数；
(4)，方程有实数根；
(5)，方程有实数根．
18．设全集，集合，非空集合，其中.
(1)若“”是“”的必要条件，求a的取值范围；
(2)若命题“，”是真命题，求a的取值范围.
19．已知集合，或.
(1)求，B；
(2)若集合，且为假命题.求m的取值范围.
20．命题成立；命题成立.
(1)若命题p为真命题，求实数m的取值范围；
(2)若命题q为假命题，求实数m的取值范围；
(3)若命题p，q至少有一个为真命题，求实数m的取值范围
1.5 全称量词与存在量词
目标导航
1.理解全称量词、全称量词命题的定义.
2.理解存在量词、存在量词命题的定义.
3.会判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并会判断它们的真假．
4.通过实例总结含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律.
5.能正确地对含有一个量词的命题进行否定．
知识解读
知识点一　全称量词和存在量词
全称量词 存在量词
量词 所有的、任意一个 存在一个、至少有一个
符号
命题 含有 的命题是全称量词命题 含有 的命题是存在量词命题
命题形式 “对M中任意一个x，p(x)成立”，可用符号简记为“ ” “存在M中的元素x，p(x)成立”，可用符号简记为“ ”
【答案】全称量词 存在量词 x∈M，p(x) x∈M，p(x)
知识点二　含量词的命题的否定
p ┐p 结论
全称量词命题 x∈M，p(x) 全称量词命题的否定是
存在量词命题 x∈M，p(x) 存在量词命题的否定是
【答案】 x∈M，┐p(x) 存在量词命题 x∈M，┐p(x) 全称量词命题
跟踪训练
一、单选题
1．若命题：，，命题：，，则下列命题中是真命题的是( )
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据二次函数性质判断命题p的真假，根据绝对值的定义判断q的真假，从而可逐项判断真假．
【详解】对于关于x的二次方程，∵，故恒成立，
∴不存在，使得，∴命题p是假命题，命题为真命题；
当x<0时，，∴命题q是真命题，命题是假命题；
故为假命题，为假命题，为假命题，为真命题．
故选：D．
2．已知命题，则的否定为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据全称量词命题的否定可得答案.
【详解】的否定为，故选：C
3．若“”为真命题，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用参数分离法得到，，再求出在上的最值即可．
【详解】为真命题，
∴，，
∵在区间上单调递增，
，即，
∴实数的取值范围为．
故选B
4．给出下列四个命题：
若，则或； ，都有；
的必要不充分条件的是
的否定是“”；
其中真命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】本题考查命题真假性的判定，属于小综合题目，涉及知识点较多，属于中档题目逐一判断即可．
【详解】解：若则且，故错误；
当时，，故错误；
能推出，但反过来也成立，故错误；
，的否定为，，故正确．
故选A．
5．下列四个命题：
① ②
③ ④至少有一个实数，使得
其中真命题的序号是（ ）
A．①③ B．②③ C．②④ D．①④
【答案】D
【分析】根据全称量词命题与存在量词命题的真假判定方法，逐项判定，即可求解.
【详解】对于①中，由成立，所以命题①为真命题；
对于②中，由无法判定真假，所以②不是命题，不符合题意；
对于③中，例如当时，此时，所以命题为假命题；
对于④中，由，解得，所以命题④为真命题；
故选：D.
6．已知命题，则p的否定为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】全称量词命题的否定为存在命题，利用相关定义进行判断即可
【详解】全称量词命题的否定为存在量词命题，
命题，
则为.
故选：D
7．命题“，使得”的否定是（ ）
A．，使得 B．，使得
C．，都有 D．，都有
【答案】D
【分析】根据存在量词命题的否定选出答案即可.
【详解】命题“，使得”的否定是“，都有”
故选：D
8．下列结论中正确的个数是（ ）
①命题“所有的四边形都是矩形”是存在量词命题；
②命题“”是全称量词命题；
③命题“”的否定为“”；
④命题“是的必要条件”是真命题；
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】根据存在量词命题、全称量词命题的概念，命题的否定，必要条件的定义，分析选项，即可得答案.
【详解】对于①：命题“所有的四边形都是矩形”是全称量词命题，故①错误；
对于②：命题“”是全称量词命题；故②正确；
对于③：命题，则，故③错误；
对于④：可以推出，所以是的必要条件，故④正确；
所以正确的命题为②④，
故选：C
二、多选题
9．下列叙述中正确的是（ ）
A．若，则；
B．若，则；
C．已知，则“”是“”的必要不充分条件；
D．命题“”的是真命题.
【答案】ABC
【分析】根据交集、并集的定义判断A，B，根据充分条件、必要条件的定义判断C，利用特例判断D；
【详解】解：对于A：若，则，故A正确；
对于B：若，则且，所以，故B正确；
对于C：由，即，所以或或或，故充分性不成立，由可以得到，故“”是“”的必要不充分条件，故C正确；
对于D：当时，，故D错误；故选：ABC
10．下列说法正确的是（ ）
A．已知命题p: 2个三角形三个内角对应相等，q:2个三角形全等.则“若q，则p”是q成立的性质定理.
B．集合M={x|2x-6>0}，N={x|-1<3x+2<8}.则x∈ 是x∈N的必要不充分条件.
C．已知全集U=AB={1，2，3…，8}，A∩ ={1，4，5，6}.则B={2，3，7，8}}
D． “x∈{y|y为两条对角线相等的四边形}，x为矩形”的否定为假命题.
【答案】ABC
【分析】根据逻辑联结词的含义进行判断即可.
【详解】对于A，若q则必然有p，显然p是q成立时所具有的性质，故正确；
对于B， ，
则 ，∴若 则 ，反之，并不能推出，若故B正确；
对于C，∵ ，能推出 ，
由于 ，∴，故C正确；
对于D，两条对角线相等的四边形也可以是等腰梯形，故原命题为假，其否定即为真，故D错误；
故选：ABC
11．下列说法正确的是（ ）
A．“”是“”的充分不必要条件
B．“”是“”的必要不充分条件
C．“对任意一个无理数，也是无理数”是真命题
D．命题“，”的否定是“，”
【答案】AD
【分析】利用不等式的基本性质结合特殊值法以及充分条件、必要条件的定义可判断A选项；利用特殊值法结合充分条件、必要条件的定义可判断B选项；利用特殊值法可判断C选项；利用存在量词命题的否定可判断D选项.
【详解】对于A选项，若，则，由不等式的性质可得，即“”“”，
若，取，则，即“”“”，
故“”是“”的充分不必要条件，A对；
对于B选项，若，不妨取，，则，即“”“”，
若，取，，则，即“”“”，
所以，“”是“”的既不充分也不必要条件，B错；
对于C选项，取为无理数，则为有理数，C错；
对于D选项，命题“，”的否定是“，”，D对.
故选：AD.
12．下列叙述中不正确的是（ ）
A．若，则的充分条件是
B．若，则的充要条件是
C．命题“对任意，有”的否定是“存在，有”
D．，是的充分条件
【答案】ABC
【分析】选项当时不成立可判断；选项B当时不充分可判断；选项C否定是“存在，有”可判断；选项D由不等式性质可判断.
【详解】对于A，当时，若，不一定成立，A错误；
对于B，当时可以推出，但是不一定可以推出，
比如，，所以“”的必要不充分条件是“”， B错误；
对于C，“对任意，有”的否定是“存在，有”，C错误；
对于D. 由“，”，则“”成立，
但由，不能推出，，
例如：取，满足，但不满足，，
所以，是的充分条件，故正确.
故选：
三、填空题
13．，的否定是___________．
【答案】，
【分析】利用含有一个量词的命题的否定的定义求解.
【详解】解：因为，是存在量词命题，
所以其否定是全称量词命题，即，，
故答案为：，.
14．已知命题则是_________
【答案】
【分析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题进行求解即可
【详解】，则：，
故答案为：．
15．命题“”为假命题，则实数的取值范围是___________.
【答案】
【分析】原命题为假，则其否定为真，转化为二次不等式的恒成立问题求解.
【详解】解：命题“”的否定为：“，”，
因为原命题为假命题，则其否定为真，所以
当时，恒成立，满足题意；
当时，只需，解得：.
所以实数的取值范围是.
故答案为：.
16．已知命题，，若p是假命题，则实数a的取值范围是________________.
【答案】或
【分析】根据命题为假命题，转化为，恒成立，即可求解.
【详解】因为命题“，”且命题p是假命题，
可得命题“，”为真命题，
即，恒成立，
可得，即，解得或，
即实数a的取值范围是或.
故答案为：或.
四、解答题
17．对下列含有量词的命题作否定，并判断其真假．
(1)存在某个整数，使得；
(2)任意实数都可以写成平方和的形式；
(3)每个能被写成两个奇数之和的整数都是偶数；
(4)，方程有实数根；
(5)，方程有实数根．
【答案】(1)对于任意的整数，都有；假命题
(2)存在实数都不可以写成平方和的形式；真命题
(3)存在能写成两个奇数之和的整数不是偶数；假命题
(4)，方程没有实数根；假命题
(5)，方程没有实数根；假命题
【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题，全称量词命题是存在量词命题即可写出命题的否定，再判断其真假即可.
【详解】(1)解：命题“存在某个整数，使得”，
其否定为“对于任意的整数，都有”，
当时，，
所以原命题的否定为假命题；
(2)解：命题“任意实数都可以写成平方和的形式”，
其否定为“存在实数不可以写成平方和的形式”，
因为负数不能写出平方和的形式，
所以原命题的否定为真命题；
(3)解：命题“每个能被写成两个奇数之和的整数都是偶数”，
其否定为“存在能写成两个奇数之和的整数不是偶数”，
因为两个奇数之和一定为偶数，
所以原命题的否定为假命题；
(4)解：命题“，方程有实数根”，
其否定为“，方程没有实数根”，
因为，所以，
所以，方程有实数根，
所以原命题的否定为假命题；
(5)解：命题“，方程有实数根”，
其否定为“，方程没有实数根”，
由，解得，
所以，
所以，方程有实数根，
所以原命题的否定为假命题.
18．设全集，集合，非空集合，其中.
(1)若“”是“”的必要条件，求a的取值范围；
(2)若命题“，”是真命题，求a的取值范围.
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）由题意得出，从而列出不等式组，求的范围即可，
（2）由题意，列出不等式，求的范围即可．
【详解】(1)解：若“”是“”的必要条件，则，
又集合为非空集合，
故有，解得，
所以的取值范围，
(2)解：因为，所以或，因为命题“，”是真命题，
所以，即，解得．
所以的取值范围．
19．已知集合，或.
(1)求，B；
(2)若集合，且为假命题.求m的取值范围.
【答案】(1)，
(2)或
【分析】（1）由集合的交并补运算可得解；
（2）转化条件为，对C是否为空集讨论即可得解.
【详解】(1)，或，
或；
(2)∵为假命题，
∴为真命题，即，
又，，
当时，，即，；
当时，由可得，
，或，
解得，
综上，m的取值范围为或.
20．命题成立；命题成立.
(1)若命题p为真命题，求实数m的取值范围；
(2)若命题q为假命题，求实数m的取值范围；
(3)若命题p，q至少有一个为真命题，求实数m的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）当为真命题时，，求解即可；
（2）当命题为假命题时，，求解即可；
（3）先求出命题与命题均为假命题时的取值的范围，再求出补集即可求解
【详解】(1)若命题为真命题，
则，解得，
所以实数的取值范围是；
(2)若命题为假命题，
则，解得，
所以实数的取值范围是；
(3)由（1）（2）可知命题与命题均为假命题时，则
或，
解得，
故命题与命题中至少有一个为真命题，
则或
所以实数的取值范围是

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