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2.1 等式性质与不等式性质
目标导航
1.能用不等式(组)表示实际问题中的不等关系.
2.初步学会作差法比较两实数的大小．
3.了解等式的性质.
4.掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题．
知识解读
知识点一　基本事实
两个实数a，b，其大小关系有三种可能，即a>b，a＝b，a依据 a>b . a＝b . a结论 要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的 与 的大小
知识点二　重要不等式
a，b∈R，有a2＋b2 2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．
知识点三　等式的基本性质
1．如果a＝b，那么 .
2．如果a＝b，b＝c，那么 .
3．如果a＝b，那么a±c＝b±c.
4．如果a＝b，那么ac＝bc.
5．如果a＝b，c≠0，那么＝.
知识点四　不等式的性质
性质 别名 性质内容 注意
1 对称性 a>b b a
2 传递性 a>b，b>c a>c 不可逆
3 可加性 a>b a＋c b＋c 可逆
4 可乘性 a>b，c>0 a>b，c<0 c的符号
5 同向可加性 a>b，c>d 同向
6 同向同正可乘性 a>b>0，c>d>0 ac>bd 同向
7 可乘方性 a>b>0 an bn(n∈N，n≥2) 同正
跟踪训练
一、单选题
1．若，则（ ）
A． B． C． D．
2．若，则下列不等式正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．若，则下列说法正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则<
4．已知，，，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．无法确定
5．若，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
6．设，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
7．下列说法正确的是（ ）
A．若，，则 B．若a，，则
C．若，，则 D．若，则
8．已知正实数，满足，则（ ）
A． B．
C． D．，大小不确定
二、多选题
9．已知，则下列选项正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．对于任意实数a，b，c，d，下列四个命题中其中假命题的是（ ）
A．若a>b，c≠0，则ac>bc
B．若a>b，则ac2>bc2
C．若ac2>bc2，则a>b
D．若a>b>0，c>d，则ac>bd
11．已知，，下列不等式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
12．下列命题正确的是（ ）
A． B．，，使得ax＞2
C．ab=0是的充要条件 D．a≥b＞－1，则
三、填空题
13．若关于的方程的解是正数，则的取值范围是______.
14．已知，，则的取值范围是___________.
15．若且关于x的方程的根位于内，则实数a与b之间的关系为______．
16．已知，，且，记，，，则按从小到大的顺序排列是________.
四、解答题
17．已知，证明：.
18．已知，试比较 的大小.
19．已知：实数，求证：不等式 成立的充分条件是.
20．若实数，，满足，则称比远离.
(1)若比远离，求实数的取值范围；
(2)若，，试问：与哪一个更远离，并说明理由
2.1 等式性质与不等式性质
目标导航
1.能用不等式(组)表示实际问题中的不等关系.
2.初步学会作差法比较两实数的大小．
3.了解等式的性质.
4.掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题．
知识解读
知识点一　基本事实
两个实数a，b，其大小关系有三种可能，即a>b，a＝b，a依据 a>b . a＝b . a结论 要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的 与 的大小
【答案】a－b>0 a－b＝0 a－b<0 差 0
知识点二　重要不等式
a，b∈R，有a2＋b2 2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．
【答案】≥
知识点三　等式的基本性质
1．如果a＝b，那么 .
2．如果a＝b，b＝c，那么 .
3．如果a＝b，那么a±c＝b±c.
4．如果a＝b，那么ac＝bc.
5．如果a＝b，c≠0，那么＝.
【答案】b＝a a＝c
知识点四　不等式的性质
性质 别名 性质内容 注意
1 对称性 a>b b a
2 传递性 a>b，b>c a>c 不可逆
3 可加性 a>b a＋c b＋c 可逆
4 可乘性 a>b，c>0 a>b，c<0 c的符号
5 同向可加性 a>b，c>d 同向
6 同向同正可乘性 a>b>0，c>d>0 ac>bd 同向
7 可乘方性 a>b>0 an bn(n∈N，n≥2) 同正
【答案】< > ac>bc acb＋d >
跟踪训练
一、单选题
1．若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由不等式的性质判断．可举反例说明不等式不成立．
【详解】，
时，仍然有，A错；
时，，B错；
，C正确；
时，，D错．
故选：C．
2．若，则下列不等式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据不等式性质判断即可．
【详解】解：令，，满足，但不满足，故A错误；
，，故B错误；
，，，，，故C正确；
，，故D错误．
故选：C．
3．若，则下列说法正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则<
【答案】C
【分析】对于AB，举例判断，对于CD，利用不等式的性质判断
【详解】对于A，若，则，所以A错误，
对于B，若，则，所以B错误，
对于C，因为，所以由不等式的性质可得，所以C正确，
对于D，因为，所以，所以，即，所以D错误，
故选：C
4．已知，，，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】B
【分析】作差可得x-y的表达式，根据题意，分析可得x-y的正负，即可得答案.
【详解】，
因为，所以，
又，所以，即.
故选：B
5．若，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据不等式的性质，对选项逐一判断
【详解】对于A，，因为，故，即，故A错；
对于B，不确定符号，取则，故B错误；
对于C， ，因为，
故，即，故C正确；
对于D，，因为，
故，即，故D错误．
故选：C
6．设，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】C
【分析】利用反例可知AD错误；利用作差法和不等式的性质可判断BC正误.
【详解】对于A，当，时，，A错误；
对于B，若，则，，B错误；
对于C，若，则，，C正确；
对于D，当，时，，，则，D错误.
故选：C.
7．下列说法正确的是（ ）
A．若，，则 B．若a，，则
C．若，，则 D．若，则
【答案】C
【分析】结合特殊值、差比较法确定正确选项.
【详解】A：令，；，，则，，不满足，故A错误；
B：a，b异号时，不等式不成立，故B错误；C：，，，，即，故C正确；D：令，，不成立，故D错误.故选：C
8．已知正实数，满足，则（ ）
A． B．
C． D．，大小不确定
【答案】B
【分析】根据原不等式，利用，为正实数，可对不等式坐标进行平方差公式化简，然后对比不等式两边，判断符号即可完成求解.
【详解】，为正实数，，而，
可化为，若，则，两边同除，变为，不成立，所以排除A；若，则，两边同除，变为，成立，故排除D选项，B选项正确；若，则原不等式化为，不成立，排除C.
二、多选题
9．已知，则下列选项正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【分析】直接推导否定选项AC，直接推导证明选项BD正确.
【详解】选项A：由，可得.判断错误；
选项B：由，可得，则，则.判断正确；
选项C：由，可得，则，则.判断错误；
选项D：由，可得，则.判断正确.
故选：BD
10．对于任意实数a，b，c，d，下列四个命题中其中假命题的是（ ）
A．若a>b，c≠0，则ac>bc
B．若a>b，则ac2>bc2
C．若ac2>bc2，则a>b
D．若a>b>0，c>d，则ac>bd
【答案】ABD
【分析】利用不等式的基本性质判断.
【详解】若a=2,b=1，c=-1，则ac若c=0，则有ac2=bc2，B错；
若ac2>bc2，则a>b ，由不等式的基本性质知：C正确；
a=2,b=1，c=-1，d=-2，ac=bd，D错，
故选：ABD.
11．已知，，下列不等式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【分析】根据不等式性质及特殊值判断即可.
【详解】对于A，由不等式性质，可得，正确；
对于B，时，显然不成立，故错误；
对于C，时，，故错误；
对于D，由可得，所以，
即，故正确.
故选 ：AD
12．下列命题正确的是（ ）
A． B．，，使得ax＞2
C．ab=0是的充要条件 D．a≥b＞－1，则
【答案】AD
【分析】举出一例判断存在命题是否正确，判断A，举反例判断BC，由不等式的性质判断D．
【详解】对A，时，，A正确；
对B，时，对任意，，不成立，B错；
对C，时满足，但此时，C错；
对D，，则，，则，D正确．
故选：AD．
三、填空题
13．若关于的方程的解是正数，则的取值范围是______.
【答案】且
【分析】直接求解分式方程，然后由解为正数和分母不为零可求出的取值范围
【详解】方程解得，
依题意得且，
解得且4，
故答案为：且
14．已知，，则的取值范围是___________.
【答案】
【分析】利用不等式的基本性质求解.
【详解】因为，，
所以，，
则，
所以，
故答案为：
15．若且关于x的方程的根位于内，则实数a与b之间的关系为______．
【答案】
【分析】根据题意，列不等式即可求解.
【详解】由题意得，方程的根为，
从而，
又，
所以.
故答案为：.
16．已知，，且，记，，，则按从小到大的顺序排列是________.
【答案】B＜C＜A
【分析】根据题设，取符合题设的特殊值即可快速判断，或者采用排序原理也可判断.
【详解】方法一：
，
不妨令，
，
，
，
故答案为：B＜C＜A.
方法二：
∵，，
∴由排序原理可知：，
∵，
，
∴A＞C＞B﹒
故答案为：B＜C＜A.
四、解答题
17．已知，证明：.
【答案】证明见解析.
【分析】利用作差法证明即可.
【详解】证明：， ，
，
， ， ，
.
18．已知，试比较 的大小.
【答案】
【分析】应用作差法：，结合已知条件，即可确定大小关系.
【详解】
∵
∴ ，即.
19．已知：实数，求证：不等式 成立的充分条件是.
【答案】证明见解析.
【分析】根据给定条件，利用作差法计算、推理判断作答.
【详解】实数，当时，，，
则，
于是得，
所以不等式 成立的充分条件是.
20．若实数，，满足，则称比远离.
(1)若比远离，求实数的取值范围；
(2)若，，试问：与哪一个更远离，并说明理由.
【答案】(1)；
(2)比更远离，理由见解析.
【分析】（1）由绝对值的几何意义可得，即可求的取值范围；
（2）只需比较的大小，讨论、分别判断代数式的大小关系，即知与哪一个更远离.
【详解】(1)由比远离，则，即.
∴或，得：或.
∴的取值范围是.
(2)因为，有，
因为，所以．
从而，
①当时，
，即；
②当时，
，
又，则．
∴，即．
综上，，即比更远离