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3.3 幂函数
目标导航
1.了解幂函数的概念.
2.掌握y＝xα的图象与性质.
3.理解和掌握幂函数在第一象限的分类特征，能运用数形结合的方法处理幂函数的有关问题．
知识解读
知识点一　幂函数的概念
一般地，函数 叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．
知识点二　五个幂函数的图象与性质
1．在同一平面直角坐标系内函数(1)y＝x；(2)y＝ ；(3)y＝x2；(4)y＝x－1；(5)y＝x3的图象如图．
2．五个幂函数的性质
y＝x y＝x2 y＝x3 y＝ y＝x－1
定义域 R R R [0，＋∞)
值域 R R
奇偶性
单调性 增 在[0，＋∞)上 ，在(－∞，0]上 在(0，＋∞)上 ，在(－∞，0)上
知识点三　一般幂函数的图象特征
1．所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点 ．
2．当α>0时，幂函数的图象通过 ，并且在区间[0，＋∞)上单调递增．特别地，当α>1时，幂函数的图象 ；当0<α<1时，幂函数的图象 ．
3．当 时，幂函数在区间(0，＋∞)上单调递减．
4．幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y＝x对称．
5．在第一象限，作直线x＝a(a>1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从
到 的顺序排列．
跟踪训练
一、单选题
1．幂函数在上单调递减，则实数m的值为（ ）
A． B．3 C．或3 D．
2．幂函数在第一象限的图像如图所示，则的大小关系是 （ ）
A． B． C． D．
3．函数的单调递减区间是（ ）
A． B． C．和 D．
4．若幂函数在上单调递增，则（ ）
A．1 B．6 C．2 D．
5．任意两个幂函数图象的交点个数是（ ）
A．最少一个，最多三个 B．最少一个，最多二个
C．最少个，最多三个 D．最少个，最多二个
6．若幂函数的图像经过点，则下列结论正确的是（ ）
A．为奇函数
B．若，则
C．为偶函数
D．若，则
7．下列不等式成立的是（ ）
A．若a＜b＜0，则a2＜b2 B．
C．若a＞b，则ac2＞bc2 D．若a＞b＞0，m＞0，则
8．已知，则函数的图像不可能是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．下列关于幂函数的性质说法正确的有（ ）
A．当时，函数在其定义域上递减
B．当时，函数图象是一条直线
C．当时，函数是偶函数
D．当时，函数的图象与轴交点的横坐标为
10．已知函数的图象经过点则（ ）
A．的图象经过点 B．的图象关于y轴对称
C．在上单调递减 D．在内的值域为
11．下列函数中，与函数为同一函数的有（ ）
A． B．
C． D．
12．若函数的定义域为且为奇函数，则可能的值为（ ）
A． B． C． D．3
三、填空题
13．若幂函数为偶函数，则 ________ .
14．已知幂函数的图象经过点，则的值为___．
15．已知函数是幂函数，则的值为_____．
16．函数的单调减区间为__________．
四、解答题
17．已知幂函数的图象经过点，求函数的解析式，并作出该函数图象的草图，判断该函数的奇偶性和单调性．
18．已知幂函数是偶函数，且在上是减函数，求函数的解析式．
19．已知函数为幂函数，且为奇函数.
(1)求的值，并确定的解析式；
(2)令，求在的值域.
20．已知幂函数满足．
(1)求函数的解析式；
(2)若函数，是否存在实数使得的最小值为0？若存在，求出的值；若不存在，说明理由；
(3)若函数，是否存在实数，使函数在上的值域为？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，说明理由
3.3 幂函数
目标导航
1.了解幂函数的概念.
2.掌握y＝xα的图象与性质.
3.理解和掌握幂函数在第一象限的分类特征，能运用数形结合的方法处理幂函数的有关问题．
知识解读
知识点一　幂函数的概念
一般地，函数 叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．
【答案】y＝xα
知识点二　五个幂函数的图象与性质
1．在同一平面直角坐标系内函数(1)y＝x；(2)y＝ ；(3)y＝x2；(4)y＝x－1；(5)y＝x3的图象如图．
2．五个幂函数的性质
y＝x y＝x2 y＝x3 y＝ y＝x－1
定义域 R R R [0，＋∞)
值域 R R
奇偶性
单调性 增 在[0，＋∞)上 ，在(－∞，0]上 在(0，＋∞)上 ，在(－∞，0)上
【答案】{x|x≠0} [0，＋∞) [0，＋∞) [0，＋∞) {y|y≠0} 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 增
减 增 增 减 减
知识点三　一般幂函数的图象特征
1．所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点 ．
2．当α>0时，幂函数的图象通过 ，并且在区间[0，＋∞)上单调递增．特别地，当α>1时，幂函数的图象 ；当0<α<1时，幂函数的图象 ．
3．当 时，幂函数在区间(0，＋∞)上单调递减．
4．幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y＝x对称．
5．在第一象限，作直线x＝a(a>1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从
到 的顺序排列．
【答案】(1,1) 原点 递增 下凸 上凸 α<0 小 大
跟踪训练
一、单选题
1．幂函数在上单调递减，则实数m的值为（ ）
A． B．3 C．或3 D．
【答案】A
【分析】依据题意列出关于实数m的方程即可求得实数m的值.
【详解】因为是幂函数，
故，解得或，
又因为幂函数在上单调递减，所以需要，
则
故选：A
2．幂函数在第一象限的图像如图所示，则的大小关系是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据幂函数的性质，在第一象限内，的右侧部分的图像，图像由下至上，幂指数增大，即可判断；
【详解】根据幂函数的性质，
在第一象限内，的右侧部分的图像，图像由下至上，幂指数增大，
所以由图像得：，
故选：D
3．函数的单调递减区间是（ ）
A． B． C．和 D．
【答案】C
【分析】根据的图象以及函数单调性的定义即可判断.
【详解】函数的图象如图：所以
的减区间是，不是.
函数在上是减函数，在上也是减函数，
但不能说函数在上是减函数．
因为当时有，不满足减函数的定义．
故选:C
4．若幂函数在上单调递增，则（ ）
A．1 B．6 C．2 D．
【答案】D
【分析】根据幂函数的系数等于，以及的指数位置大于即可求解.
【详解】∵幂函数在上单调递增，
∴，解得，
故选：D．
5．任意两个幂函数图象的交点个数是（ ）
A．最少一个，最多三个 B．最少一个，最多二个
C．最少个，最多三个 D．最少个，最多二个
【答案】A
【分析】利用幂函数的图象和性质判断.
【详解】解：因为所有幂函数的图象都过，
所以最少有个交点，
如图所示：
当函数为和时，它们有个交点，
故选：．
6．若幂函数的图像经过点，则下列结论正确的是（ ）
A．为奇函数
B．若，则
C．为偶函数
D．若，则
【答案】D
【分析】设出幂函数，代入点坐标求出幂函数，求出定义域从而判断出AC选项，通过计算判断B选项，D选项利用作差法比较大小.
【详解】设，将代入得：，解得：，所以，定义域为，故不是奇函数也不是偶函数，AC错误；
因为，所以，，B错误；
，，由于，则
，故，D正确.
故选：D
7．下列不等式成立的是（ ）
A．若a＜b＜0，则a2＜b2 B．
C．若a＞b，则ac2＞bc2 D．若a＞b＞0，m＞0，则
【答案】D
【分析】由不等式的性质及幂函数的性质对各个选项进行分析可得正确答案.
【详解】对于A，若，，则，故A错误；
对于B，函数为增函数，故，故B错误；
对于C，当时，，故C错误；
对于D，，
因为，，所以，，所以
所以，即成立，故D正确．
故选：D．
8．已知，则函数的图像不可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据含参函数的解析式和函数特殊值判断函数可能的图像.
【详解】根据可知，所以当时，，即，故选项A错误，而当为其他值时，B,C,D均有可能出现.
故选：A
二、多选题
9．下列关于幂函数的性质说法正确的有（ ）
A．当时，函数在其定义域上递减
B．当时，函数图象是一条直线
C．当时，函数是偶函数
D．当时，函数的图象与轴交点的横坐标为
【答案】CD
【分析】根据幂函数的性质，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.
【详解】当时，，函数在(-∞，0)和(0，+∞)上递减，不能说在定义域上递减，故A选项错误；
当时，，，其图象是去掉点的直线，故B选项错误；
当时，，函数的定义域为，是偶函数，所以C选项正确；
当时，，其图象与轴只有个交点，且交点的横坐标为，所以D选项正确.
故选：CD.
10．已知函数的图象经过点则（ ）
A．的图象经过点 B．的图象关于y轴对称
C．在上单调递减 D．在内的值域为
【答案】CD
【分析】根据函数解析式和图象经过的点求出，结合选项可得答案.
【详解】将点的坐标代入，可得，则的图象不经过点，A错误；在上单调递减，C正确；根据反比例函数的图象与性质可得B错误，D正确．
故选：CD.
11．下列函数中，与函数为同一函数的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】CD
【分析】定义域和对应关系相同即为同一函数.
【详解】对于A，定义域为，不符合题意；
对于B，解析式化简为，不符合题意；
对于C，定义域与对应关系均与相同；
对于D，定义域和对应关系均与相同；
故答案为CD.
12．若函数的定义域为且为奇函数，则可能的值为（ ）
A． B． C． D．3
【答案】BD
【分析】根据函数的定义域和奇函数的定义逐一判断四个选项的正误，即可求得答案.
【详解】对于A，当时，定义域为，不符合题意，故选项A不正确；
对于B，当时，的定义域为且为奇函数，故选项B正确；
对于C，当时，的定义域为且为偶函数，故选项C不正确；
对于D，当时，的定义域为且为奇函数，故选项D正确；
故选：BD.
三、填空题
13．若幂函数为偶函数，则 ________ .
【答案】
【分析】利用幂函数和偶函数的定义即可求解.
【详解】∵函数为幂函数，
∴，解得或，
又∵为偶函数，
∴，
故答案为：.
14．已知幂函数的图象经过点，则的值为___．
【答案】
【分析】由幂函数所过的点求解析式，进而求的函数值.
【详解】幂函数过点，
，解得，
，故.
故答案为：
15．已知函数是幂函数，则的值为_____．
【答案】8
【分析】利用幂函数的定义可求解.
【详解】依题意得，，，则，
故答案为：8
16．函数的单调减区间为__________．
【答案】
【分析】由幂函数、二次函数的单调性及复合函数单调性的判断法则即可求解.
【详解】解：函数的定义域为，
令，，，
因为函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
所以函数的单调减区间为，单调增区间为.
故答案为：.
四、解答题
17．已知幂函数的图象经过点，求函数的解析式，并作出该函数图象的草图，判断该函数的奇偶性和单调性．
【答案】，图象见解析，偶函数，单调性见解析.
【分析】待定系数即可求得幂函数解析式，画出图象，数形结合即可判断函数奇偶性和单调性.
【详解】因为幂函数的图象经过点，故可得，解得，
故，其定义域为，关于原点对称；
其函数图象如下所示：
数形结合可知，因为的图象关于轴对称，故其为偶函数；
且在单调递减，在单调递增.
18．已知幂函数是偶函数，且在上是减函数，求函数的解析式．
【答案】
【分析】根据幂函数的单调性，可知，又，则，再根据函数是偶函数，将分别代入验证可得答案.
【详解】因为幂函数在区间上单调递减，则，得，
又∵，∴或1．
因为函数是偶函数，将分别代入，
当时，，函数为是偶函数，满足条件.
当时，，函数为是偶函数，满足条件.
的解析式为．
19．已知函数为幂函数，且为奇函数.
(1)求的值，并确定的解析式；
(2)令，求在的值域.
【答案】(1),；
(2).
【分析】（1）根据幂函数的定义及函数奇偶性的定义即可求解；
（2）由（1），得，利用换元法得到，
，再根据二次函数的性质即可求解.
【详解】(1)因为函数为幂函数，
所以，解得或，
当时，函数是奇函数，符合题意，
当时，函数是偶函数，不符合题意，
综上所述，的值为，函数的解析式为.
(2)由（1）知，，
所以，
令，则，
，
所以，，
根据二次函数的性质知，的对称轴为，开口向上，
所以在上单调递增；
所以，
所以函数在的值域为.
20．已知幂函数满足．
(1)求函数的解析式；
(2)若函数，是否存在实数使得的最小值为0？若存在，求出的值；若不存在，说明理由；
(3)若函数，是否存在实数，使函数在上的值域为？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)存在使得的最小值为0
(3)存在，
【分析】（1）由题意可得，从而可求出，再由可知幂函数为增函数，从而可确定出函数解析式，
（2）由（1）可得，令，则，，然后分，和三种情况求函数的最小值，
（3），由题意可得，令，，则得，求得， ，从而可求出范围
【详解】(1)∵为幂函数，∴，∴或．
当时，在上单调递减，
故不符合题意．
当时，在上单调递增，
故，符合题意．∴．
(2)，令．∵，∴，
∴，．
当时，时，函数有最小值，∴，．
②当时，时，函数有最小值．∴，（舍）．
③当时，时，函数有最小值，
∴，（舍）．
∴综上．
(3)，易知在定义域上单调递减，
∴，即，
令，，
则，，
∴，∴，
∴．
∵，∴，
∴，∴，
∴．
∵，∴，∴，
∴ ．
∴．
【点睛】此题考查幂函数的解析式的求法，考查二次函数的性质的应用，考查函数值域的求法，考查数学分类思想，第（3）问解题的关键是由题意得，换元令，，进一步转化为求解得，从而可得，再利用二次函数的性质可求得结果，属于较难题

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