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3.1 函数的概念及其表示
目标导航
1.在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念.
2.了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域．
3.会判断两个函数是否为同一个函数.
4.能正确使用区间表示数集.
5.会求一些简单函数的值域．
6.了解函数的三种表示法及各自的优缺点.
7.掌握求函数解析式的常见方法.
8.会用解析法及图象法表示分段函数.
知识解读
知识点一　函数的概念
概念 一般地，设A，B是非空的 ，如果对于集合A中的 ，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有 确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数
三要素 对应关系 y＝f(x)，x∈A
定义域 的取值范围
值域 与x的值相对应的y的值的集合{f(x)|x∈A}
知识点二　区间
设a，b∈R，且a定义 名称 符号 数轴表示
{x|a≤x≤b} 闭区间 [a，b]
{x|a{x|a≤x{x|a{x|x≥a} [a，＋∞)
{x|x>a} (a，＋∞)
{x|x≤a} (－∞，a]
{x|xR (－∞，＋∞)
知识点三　同一个函数
1．前提条件：(1)定义域 ；(2)对应关系 ．
2．结论：这两个函数为同一个函数．
知识点四　常见函数的值域
1．一次函数f(x)＝ax＋b(a≠0)的定义域为R，值域是R.
2．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的定义域是R，
当a>0时，值域为，
当a<0时，值域为.
知识点五　函数的表示法
知识点六　分段函数
1．一般地，分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的 的函数．
2．分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的 ；各段函数的定义域的交集是 ．
3．作分段函数图象时，应分别作出每一段的图象．
跟踪训练
一、单选题
1．函数中，自变量x的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．
2．下列集合不能用区间的形式表示的个数为（ ）
①；②；③；④；⑤；⑥．
A．2 B．3 C．4 D．5
3．下列变量与的关系式中，不能构成是的函数关系的是（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数，若，则实数a＝（ ）
A． B． C．2 D．9
5．下面各组函数中是同一函数的是（ ）
A．与
B．与
C．与
D．与
6．某人去上班，先快速走，后中速走．如果表示该人离单位的距离，表示出发后的时间，那么下列图象中符合此人走法的是（ ）
A． B．
C． D．
7．已知，则有（ ）
A． B．
C． D．
8．设的定义域为R，且满足，，若，则（ ）
A．2023 B．2024 C．3033 D．3034
二、多选题
9．下列各组函数中，两个函数是同一函数的有（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
10．函数，，则下列等式成立的是（　　）
A． B．
C． D．
11．具有性质：的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数中满足“倒负”变换的函数是（ ）
A． B． C． D．
12．已知函数，若，则的值可能是（ ）
A． B．3 C． D．5
三、填空题
13．函数的定义域为 _________.
14．已知函数定义域为 ，则函数的定义域为_______.
15．函数的值域是_________.
16．已知，则的解集为______.
四、解答题
17．将下列集合用区间表示出来．
(1)；
(2)；
(3)；
(4)或．
18．求函数的值域.
19．已知函数．
(1)求，；
(2)若，求的值；
(3)作出函数的图象．
20．设是一次函数，且，求的解析式
3.1 函数的概念及其表示
目标导航
1.在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念.
2.了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域．
3.会判断两个函数是否为同一个函数.
4.能正确使用区间表示数集.
5.会求一些简单函数的值域．
6.了解函数的三种表示法及各自的优缺点.
7.掌握求函数解析式的常见方法.
8.会用解析法及图象法表示分段函数.
知识解读
知识点一　函数的概念
概念 一般地，设A，B是非空的 ，如果对于集合A中的 ，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有 确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数
三要素 对应关系 y＝f(x)，x∈A
定义域 的取值范围
值域 与x的值相对应的y的值的集合{f(x)|x∈A}
【答案】实数集 任意一个数x 唯一 x
知识点二　区间
设a，b∈R，且a定义 名称 符号 数轴表示
{x|a≤x≤b} 闭区间 [a，b]
{x|a{x|a≤x{x|a{x|x≥a} [a，＋∞)
{x|x>a} (a，＋∞)
{x|x≤a} (－∞，a]
{x|xR (－∞，＋∞)
知识点三　同一个函数
1．前提条件：(1)定义域 ；(2)对应关系 ．
2．结论：这两个函数为同一个函数．
【答案】相同 相同
知识点四　常见函数的值域
1．一次函数f(x)＝ax＋b(a≠0)的定义域为R，值域是R.
2．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的定义域是R，
当a>0时，值域为，
当a<0时，值域为.
知识点五　函数的表示法
知识点六　分段函数
1．一般地，分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的 的函数．
2．分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的 ；各段函数的定义域的交集是 ．
3．作分段函数图象时，应分别作出每一段的图象．
【答案】对应关系 并集 空集
跟踪训练
一、单选题
1．函数中，自变量x的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．
【答案】B
【分析】根据二次根式的意义和分式的意义可得，解之即可.
【详解】由题意知，
，解得，
即函数的定义域为.
故选：B
2．下列集合不能用区间的形式表示的个数为（ ）
①；②；③；④；⑤；⑥．
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【分析】根据区间的概念及区间形式可以表示连续数集，是无限集，逐个判断即可得出结论.
【详解】区间形式可以表示连续数集，是无限集
①②是自然数集的子集，③是空集为有限集，都不能用区间形式表示，
④是图形的集合，不是数集，等边三角形组成的集合．
⑥Q是有理数，数轴上大于1的有理数不是连续的，
故只有⑤可以，区间形式为，
故答案为：D.
3．下列变量与的关系式中，不能构成是的函数关系的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据函数的定义判断即可.
【详解】对A，由得是函数关系；
对B，由，得是函数关系；
对C，由，得，此时值不唯一，不是函数关系；
对D，由，得是函数关系，
故选：C
4．已知函数，若，则实数a＝（ ）
A． B． C．2 D．9
【答案】C
【分析】由函数的解析式可得，求解可得答案．
【详解】函数，
，则，
即，解可得：.
故选：C
5．下面各组函数中是同一函数的是（ ）
A．与
B．与
C．与
D．与
【答案】C
【分析】分别分析各个选项中函数的定义域，值域和对应关系，即可得出答案.
【详解】A．函数的定义域为，，
两个函数的对应法则不相同，不是同一函数，
B．，定义域为，函数的定义域不相同，不是同一函数
C．两个函数的定义域和对应法则相同，是同一函数
D．由得得，由得或，两个函数的定义域不相同，不是同一函数，
故选：C．
6．某人去上班，先快速走，后中速走．如果表示该人离单位的距离，表示出发后的时间，那么下列图象中符合此人走法的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据已知条件及排除法即可求解.
【详解】当时，距离单位最远，不可能是，排除A，C，先快速走，后中速，则随的变化慢，排除B，
故选：D．
7．已知，则有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用换元法即可求函数的解析式，注意新元的范围.
【详解】设，，则，
，，
所以函数的解析式为，．
故选：B.
8．设的定义域为R，且满足，，若，则（ ）
A．2023 B．2024 C．3033 D．3034
【答案】A
【分析】根据函数的性质由，可得
【详解】因为，，所以，
由得，
所以，，
即，
所以
所以.
故选：A.
二、多选题
9．下列各组函数中，两个函数是同一函数的有（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
【答案】ACD
【分析】根据两个函数为同一函数的定义，对四个选项逐个分析可得答案.
【详解】对于A，，，两个函数的对应关系和定义域都相同，所以两个函数为同一函数，故A正确；
对于B，，，两个函数的定义域不同，所以两个函数不为同一函数，故B不正确；
对于C，，，两个函数的对应关系和定义域都相同，所以两个函数为同一函数，故C正确；
对于D，与的对应关系和定义域都相同，所以两个函数为同一函数，故D正确.
故选：ACD
10．函数，，则下列等式成立的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【分析】利用函数解析式直接验证可得出合适的选项.
【详解】因为，则，
，AD选项正确，BC选项错误.
故选：AD.
11．具有性质：的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数中满足“倒负”变换的函数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【分析】对各选项中的函数逐个检验后可得正确的选项.
【详解】对于A选项，x＝0在定义域内，不满足“倒负”变换；
对于B选项，，满足“倒负”变换；
对于C选项，，，不满足“倒负”变换；
对于D选项，当时，，此时；
当x＝1时，，此时；
当时，，此时，满足“倒负”变换．
故选：BD.
12．已知函数，若，则的值可能是（ ）
A． B．3 C． D．5
【答案】AD
【分析】直接根据分段函数的解析式，解方程即可求解.
【详解】因为函数，且，
所以，解得：；或者，解得：.
故选：AD
三、填空题
13．函数的定义域为 _________.
【答案】
【分析】根据根式的定义及分式的定义即可得到不等式组，即可求解.
【详解】解：由题可得，解得，，且；
的定义域为：．
故答案为：.
14．已知函数定义域为 ，则函数的定义域为_______.
【答案】
【分析】利用函数的定义，结合复合函数定义域求法求解作答.
【详解】因的定义域为，则当时，，
即的定义域为，于是中有，解得，
所以函数的定义域为.
故答案为：
15．函数的值域是_________.
【答案】
【分析】由函数解析式判断二次函数的开口方向和对称轴，画出图象，结合定义域得到值域即可.
【详解】由题意：函数，开口向上，对称轴，
画出函数如下，
函数在区间上的值域为.
故答案为：
16．已知，则的解集为______.
【答案】或或{x|x=1或x=-6}或{x|x=-6或x=1}
【分析】利用换元法求函数的解析式，结合解一元次方程的根的方法即可求解.
【详解】，令，则，
，
，
由，得，解得或，
的解集为．
故答案为：.
四、解答题
17．将下列集合用区间表示出来．
(1)；
(2)；
(3)；
(4)或．
【答案】(1)；
(2)；
(3)；
(4).
【分析】利用区间的定义解答即可.
【详解】(1)解：用区间表示为；
(2)解：用区间表示为；
(3)解：用区间表示为；
(4)解：或用区间表示为.
18．求函数的值域.
【答案】.
【分析】变形函数式，利用均值不等式求解作答.
【详解】，
因，即，则，
当且仅当，即 时等号成立，于是得，
所以原函数的值域为.
19．已知函数．
(1)求，；
(2)若，求的值；
(3)作出函数的图象．
【答案】(1)，
(2)或或
(3)答案见解析
【分析】（1）根据分段函数解析式计算可得；
（2）根据分段函数解析式，分类讨论，分别计算可得；
（3）根据函数解析式，画出函数图象即可；
【详解】(1)解：因为
所以，，
．
(2)解：当时，，，
当时，，，
当时，，，
综上所述，的值为或或．
(3)解：函数的图象，如图所示：
20．设是一次函数，且，求的解析式.
【答案】或
【分析】利用待定系数法及复合函数从内到外的处理的原则即可求解.
【详解】设，则
,
所以，解得或，
所以函数的解析式为或

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