资源简介

3.2 函数的基本性质
目标导航
1.了解函数的单调区间、单调性等概念.
2.会用定义证明函数的单调性．
3.了解函数的最大(小)值的概念及其几何意义.
4.会借助单调性求最值.
5.了解函数奇偶性的定义，掌握函数奇偶性的判断和证明方法.
6.会应用奇、偶函数图象的对称性解决简单问题．
7.掌握用奇偶性求解析式的方法.
知识解读
知识点一　增函数与减函数的定义
前提条件 设函数f(x)的定义域为I，区间D I
条件 x1，x2∈D，x1都有f(x1)f(x2)
图示
结论 f(x)在区间D上单调递增 f(x)在区间D上单调递减
特殊情况 当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是 函数 当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是 函数
知识点二　函数的单调区间
如果函数y＝f(x)在区间D上 ，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有 ，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．
最大值 最小值
条件 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足： x∈I，都有
f(x) M f(x) M
x0∈I，使得
结论 称M是函数y＝f(x)的最大值 称M是函数y＝f(x)的最小值
几何意义 f(x)图象上最高点的 f(x)图象上最低点的
知识点四　求函数最值的常用方法
1．图象法：作出y＝f(x)的图象，观察最高点与最低点，最高(低)点的纵坐标即为函数的最大(小)值．
2．运用已学函数的值域．
3．运用函数的单调性：
(1)若y＝f(x)在区间[a，b]上单调递增，则ymax＝ ，
　ymin＝ ．
(2)若y＝f(x)在区间[a，b]上单调递减，则ymax＝ ，
　ymin＝ ．
4．分段函数的最大(小)值是指各段上的最大(小)值中最大(小)的那个．
知识点五　函数的奇偶性
奇偶性 定义 图象特点
偶函数 设函数f(x)的定义域为I，如果 x∈I，都有－x∈I，且 ，那么函数f(x)是偶函数 关于 对称
奇函数 设函数f(x)的定义域为I，如果 x∈I，都有－x∈I，且 ，那么函数f(x)是奇函数 关于 对称
知识点六　用奇偶性求解析式
如果已知函数的奇偶性和一个区间[a，b]上的解析式，求关于原点的对称区间[－b，－a]上的解析式，其解决思路为
(1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设．
(2)要利用已知区间的解析式进行代入．
(3)利用f(x)的奇偶性写出－f(x)或f(－x)，从而解出f(x)．
知识点七　函数的奇偶性与单调性
1．若f(x)为奇函数且在区间[a，b](a2．若f(x)为偶函数且在区间[a，b](a跟踪训练
一、单选题
1．已知是以2为周期的函数，且，则（ ）
A．1 B．-1 C． D．7
2．设是R上的任意函数，则下列叙述正确的是（ ）
A．是奇函数 B．是奇函数
C．是奇函数 D．是奇函数
3．函数的单调增区间是（　　）
A． B．
C． D．
4．已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，则函数的周期是（ ）
A． B． C． D．
5．若函数的图像关于直线对称，则的最大值是（ ）
A． B． C．或 D．不存在
6．已知函数的定义域是R，为偶函数，，成立，，则（ ）
A．-1 B．1 C．-2 D．2
7．已知函数是定义在上的奇函数，且，若对于任意两个实数，且，不等式恒成立，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
8．意大利画家达·芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”，其中双曲余弦函数就是一种特殊的悬链线函数，其函数表达式为，相应的双曲正弦函数的表达式为.设函数，若实数m满足不等式，则m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．设函数，存在最小值时，实数的值可能是（ ）
A． B． C．0 D．1
10．已知函数，则（ ）
A． B．若，则或
C．函数在上单调递减 D．函数在的值域为
11．已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则（ ）
A．的最小值为 B．在上单调递减
C．的解集为 D．存在实数满足
12．我们知道，函数的图象关系坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数 为奇函数. 有同学发现可以将其推广为: 函数的图象关于点 成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数. 现在已知，函数 的图像关于点对称，则（ ）
A．
B．
C．对任意，有
D．存在非零实数，使
三、填空题
13．函数的单调减区间为__________.
14．若偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集是____________.
15．设偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集是___________．
16．已知函数 的最小值为，则实数的值为____．
四、解答题
17．已知
(1)证明是上的增函数；
(2)是否存在实数使函数为奇函数？若存在，请求出的值，若不存在，说明理由．
18．定义在上的函数满足下面三个条件：
① 对任意正数，都有；② 当时，；③
(1)求和的值；
(2)试用单调性定义证明：函数在上是减函数；
(3)求满足的的取值集合．
19．已知函数在定义域上单调递增
(1)求的取值范围；
(2)若方程存在整数解，求满足条件的的个数.
20．已知是定义在上的偶函数，当时，．
(1)求函数的解析式；
(2)定义在上的一个函数，用分法：将区间任意划分为个小区间，如果存在一个常数，使得和式恒成立，则称函数为在上的有界变差函数. 试判断函数是否为在上的有界变差函数？若是，求的最小值；若不是，请说明理由
3.2 函数的基本性质
目标导航
1.了解函数的单调区间、单调性等概念.
2.会用定义证明函数的单调性．
3.了解函数的最大(小)值的概念及其几何意义.
4.会借助单调性求最值.
5.了解函数奇偶性的定义，掌握函数奇偶性的判断和证明方法.
6.会应用奇、偶函数图象的对称性解决简单问题．
7.掌握用奇偶性求解析式的方法.
知识解读
知识点一　增函数与减函数的定义
前提条件 设函数f(x)的定义域为I，区间D I
条件 x1，x2∈D，x1都有f(x1)f(x2)
图示
结论 f(x)在区间D上单调递增 f(x)在区间D上单调递减
特殊情况 当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是 函数 当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是 函数
【答案】增 减
知识点二　函数的单调区间
如果函数y＝f(x)在区间D上 ，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有 ，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．
【答案】单调递增或单调递减 (严格的)单调性
知识点三　函数的最大值与最小值
最大值 最小值
条件 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足： x∈I，都有
f(x) M f(x) M
x0∈I，使得
结论 称M是函数y＝f(x)的最大值 称M是函数y＝f(x)的最小值
几何意义 f(x)图象上最高点的 f(x)图象上最低点的
【答案】≤ ≥ f(x0)＝M 纵坐标 纵坐标
知识点四　求函数最值的常用方法
1．图象法：作出y＝f(x)的图象，观察最高点与最低点，最高(低)点的纵坐标即为函数的最大(小)值．
2．运用已学函数的值域．
3．运用函数的单调性：
(1)若y＝f(x)在区间[a，b]上单调递增，则ymax＝ ，
　ymin＝ ．
(2)若y＝f(x)在区间[a，b]上单调递减，则ymax＝ ，
　ymin＝ ．
4．分段函数的最大(小)值是指各段上的最大(小)值中最大(小)的那个．
【答案】f(b) f(a) f(a) f(b)
知识点五　函数的奇偶性
奇偶性 定义 图象特点
偶函数 设函数f(x)的定义域为I，如果 x∈I，都有－x∈I，且 ，那么函数f(x)是偶函数 关于 对称
奇函数 设函数f(x)的定义域为I，如果 x∈I，都有－x∈I，且 ，那么函数f(x)是奇函数 关于 对称
【答案】f(－x)＝f(x) y轴 f(－x)＝－f(x) 原点
知识点六　用奇偶性求解析式
如果已知函数的奇偶性和一个区间[a，b]上的解析式，求关于原点的对称区间[－b，－a]上的解析式，其解决思路为
(1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设．
(2)要利用已知区间的解析式进行代入．
(3)利用f(x)的奇偶性写出－f(x)或f(－x)，从而解出f(x)．
知识点七　函数的奇偶性与单调性
1．若f(x)为奇函数且在区间[a，b](a2．若f(x)为偶函数且在区间[a，b](a【答案】单调递增 一致(相同) 单调递减 相反
跟踪训练
一、单选题
1．已知是以2为周期的函数，且，则（ ）
A．1 B．-1 C． D．7
【答案】A
【分析】除三角函数外，也有很多周期函数.可以利用周期函数的定义求值或求解析式.
【详解】因为函数是周期为2的周期函数，所以为的周期，即
所以.
故选：A.
2．设是R上的任意函数，则下列叙述正确的是（ ）
A．是奇函数 B．是奇函数
C．是奇函数 D．是奇函数
【答案】C
【分析】由奇函数和偶函数的定义依次判断即可.
【详解】A选项：设，，则为偶函数，A错误；
B选项：设，则，与关系不定，即不确定的奇偶性，B错误；
C选项：设，则，则为奇函数，C正确；
D选项：设，则，则为偶函数，D错误．
故选：C.
3．函数的单调增区间是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】分离常数，然后根据图像平移得到函数图像，继而求出单调增区间.
【详解】
的图象是由的图象沿轴向右平移个单位，然后沿轴向下平移个单位得到， 如下图
的单调增区间是．
故选：C.
4．已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，则函数的周期是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由奇函数性质可得，由偶函数性质可得，化简整理可得，即可求出周期.
【详解】因为为奇函数，所以，
因为为偶函数，所以，则，
则，即，
所以，即，则，
所以的周期是4.
故选：C.
5．若函数的图像关于直线对称，则的最大值是（ ）
A． B． C．或 D．不存在
【答案】B
【分析】由函数的图像关于直线对称，知为偶函数，由此可求出值，再代入利用换元法可转化为二次函数求最值.
【详解】 由函数的图像关于直线对称，知是偶函数，
，即，
整理得总成立，得，
，
令，则，
当时，有最大值，即的最大值是．
故选：B．
6．已知函数的定义域是R，为偶函数，，成立，，则（ ）
A．-1 B．1 C．-2 D．2
【答案】C
【分析】通过已知可判断是周期为4的函数，利用周期性即可求出.
【详解】因为为偶函数，所以，则，
所以，则，
所以，所以是周期为4的函数，
因为，，
所以.
故选：C.
7．已知函数是定义在上的奇函数，且，若对于任意两个实数，且，不等式恒成立，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据题意可得在区间上单调递减，构造，可得为偶函数且在上递增，在上递减，且，即可求解.
【详解】解：由题可知，在区间上单调递减，
又为奇函数，则，且，故，
设，则，故为偶函数，
又在区间上单调递增，在区间上单调递减，
又，所以的解集为，
即的解集为.
故选：D.
8．意大利画家达·芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”，其中双曲余弦函数就是一种特殊的悬链线函数，其函数表达式为，相应的双曲正弦函数的表达式为.设函数，若实数m满足不等式，则m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，写出函数解析式，由奇偶性和单调性，解不等式.
【详解】由题意，，由，
则函数为奇函数，即
，因，易知其为增函数，
则，解得或，
故选：D.
二、多选题
9．设函数，存在最小值时，实数的值可能是（ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】ABC
【分析】根据函数解析式，分、、三种情况讨论，当时根据二次函数的性质只需函数在断点处左侧的函数值不小于右侧的函数值即可；
【详解】解：因为，
若，当时在上单调递增，当时，此时函数不存在最小值；
若，则，此时，符合题意；
若，当时在上单调递减，
当时，
二次函数对称轴为，开口向上，此时在上单调递增，
要使函数存在最小值，只需，解得，
综上可得.
故选：ABC
10．已知函数，则（ ）
A． B．若，则或
C．函数在上单调递减 D．函数在的值域为
【答案】BD
【分析】作出函数图象，根据图象逐个分析判断即可
【详解】函数的图象如左图所示．
，故A错误；
当时，，此时方程无解；当时，或，故B正确；
由图象可得，在上单调递增，故C错误；
由图象可知当时，，，故在的值域为，D正确．
故选：BD．
11．已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则（ ）
A．的最小值为 B．在上单调递减
C．的解集为 D．存在实数满足
【答案】ACD
【分析】根据偶函数的性质求出函数解析式，即可画出函数图象，即可判断；
【详解】解：函数是定义在上的偶函数，当时，，
设，则，所以，因为是偶函数，所以，
所以，
所以，
函数图象如下所示：
可得时，在时取得最小值，由偶函数的图象关于轴对称，可得在上取得最小值，故A正确；
在上单调递减，在上单调递增，故B错误；
由或，解得或，综上可得的解集为，故C正确；
由，，即存在实数满足，故D正确；
故选：ACD．
12．我们知道，函数的图象关系坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数 为奇函数. 有同学发现可以将其推广为: 函数的图象关于点 成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数. 现在已知，函数 的图像关于点对称，则（ ）
A．
B．
C．对任意，有
D．存在非零实数，使
【答案】ACD
【分析】根据题意可得函数为奇函数，从而可判断D；再根据，可求出的值，从而可判断A，B；令，解方程即可判断D.
【详解】解：由题意，因为函数 的图像关于点对称，
所以函数为奇函数，
所以，故C正确；
又，
则，
所以，解得，
所以，
则，故A正确，B错误；
令，
则，解得或，
所以存在非零实数，使，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题
13．函数的单调减区间为__________.
【答案】或
【分析】优先考虑定义域，在研究复合函数的单调性时，要弄清楚它由什么函数复合而成的，再根据“同增异减”可求解.
【详解】函数是由函数和组成的复合函数，
，解得或，
函数的定义域是或，
因为函数在单调递减，在单调递增，
而在上单调递增，
由复合函数单调性的“同增异减”，可得函数的单调减区间．
故答案为：.
14．若偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集是____________.
【答案】
【分析】根据偶函数的性质得到时，即可将不等式化为，解得即可.
【详解】解：因为偶函数在上单调递减，所以在上单调递增，
又，所以，所以当时，
则不等式等价于，解得，
所以原不等式的解集为.
故答案为：
15．设偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集是___________．
【答案】
【分析】不等式等价于，利用函数的奇偶性和单调性可得答案.
【详解】因为是偶函数，所以等价于，
又在上单调递减，所以在上单调递增．
由得，或，
又，所以，
由得，由得，
故解集为.
故答案为：.
16．已知函数 的最小值为，则实数的值为____．
【答案】或
【分析】分类讨论a的取值范围，去掉绝对值符号，确定函数的最小值，解方程求得a的值.
【详解】当，即 时， ，
结合其图象：
可知 ，所以或（舍）;
当，即 时， ，
则 ，所以或（舍）,
综上得或,
故答案为：或
四、解答题
17．已知
(1)证明是上的增函数；
(2)是否存在实数使函数为奇函数？若存在，请求出的值，若不存在，说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)存在实数，理由见解析
【分析】（1）根据单调性的定义即可作差比较函数值的大小即可证明；（2）根据可求得 的值，进而根据奇函数的定义证明即可.
【详解】(1)对任意都有的定义域是，
设，且，则
在上是增函数，且
且
是上的增函数．
(2)若存在实数使函数为上的奇函数，则
下面证明时是奇函数
为上的奇函数
存在实数，使函数为上的奇函数．
18．定义在上的函数满足下面三个条件：
① 对任意正数，都有；② 当时，；③
(1)求和的值；
(2)试用单调性定义证明：函数在上是减函数；
(3)求满足的的取值集合．
【答案】(1),
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）赋值计算得解；
（2）根据定义法证明单调性；
（3）根据①及单调性计算得解.
【详解】(1)得，则，
而，
且，则；
(2)取定义域中的任意的，，且，，
当时，，，
，
在上为减函数．
(3)由条件①及（1）的结果得，
，，
，，解得，
故的取值集合为.
19．已知函数在定义域上单调递增
(1)求的取值范围；
(2)若方程存在整数解，求满足条件的的个数.
【答案】(1)；
(2)11.
【分析】（1）任取，利用函数单调性的定义及条件可得在上恒成立，进而即得；
（2）由题可得，结合定义域可得的取值，进而即得.
【详解】(1)任取，且,
则，
因为，则，
因为函数在定义域上单调递增，
所以，在上恒成立，
所以在上恒成立，
∴，，
所以.
(2)因为，
所以，即，
解得：（舍去），或，
因为大于，不大于的整数有个，
所以方程存在整数解，满足条件的有个．
20．已知是定义在上的偶函数，当时，．
(1)求函数的解析式；
(2)定义在上的一个函数，用分法：将区间任意划分为个小区间，如果存在一个常数，使得和式恒成立，则称函数为在上的有界变差函数. 试判断函数是否为在上的有界变差函数？若是，求的最小值；若不是，请说明理由
【答案】(1)
(2)是，4
【分析】（1）已知函数的解析式结合是定义在上的偶函数，可求出在的解析式，即可求出答案.
（2）结合已知中有界变差函数的定义，结合在的单调性，可得
，进而求得的最小值.
【详解】(1)是上的偶函数
当时，
当，即时，
(2)函数为在上的有界变差函数
用分法：将区间任意划分为个小区间
在上单调递增
则
即

即存在一个常数，使得成立
所以，函数为在上的有界变差函数，且的最小值为4

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