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4.2 指数函数
目标导航
1.理解指数函数的概念，了解对底数的限制条件的合理性.
2.了解指数增长型和指数衰减型在实际问题中的应用．
3.掌握指数函数的图象和性质.
4.学会利用指数函数的图象和性质求函数的定义域、值域．
5.能利用指数函数的单调性比较与指数有关的大小问题.
6.能借助指数函数的单调性求解指数方程与指数不等式问题.
7.会求与指数函数有关的复合型函数的单调性问题．
知识解读
知识点一　指数函数的定义
一般地，函数 (a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R.
知识点二　两类指数模型
1．y＝kax(k>0，a>0且a≠1)，当 时为指数增长型函数模型．
2．y＝kax(k>0，a>0且a≠1)，当 时为指数衰减型函数模型．
知识点三　指数函数的图象和性质
a>1 0图象
性质 定义域 R
值域
过定点 过定点 ，即x＝ 时，y＝
函数值的变化 当x<0时， ； 当x>0时， 当x>0时， ； 当x<0时，
单调性 在R上是 在R上是
对称性 y＝ax与y＝x的图象关于y轴对称
知识点四　比较幂的大小
一般地，比较幂大小的方法有
(1)对于同底数不同指数的两个幂的大小，利用 的单调性来判断．
(2)对于底数不同指数相同的两个幂的大小，利用 的单调性来判断．
(3)对于底数不同指数也不同的两个幂的大小，则通过 来判断．
知识点五　解指数方程、不等式
简单指数不等式的解法
(1)形如af(x)>ag(x)的不等式，可借助y＝ax的单调性求解．
(2)形如af(x)>b的不等式，可将b化为以a为底数的指数幂的形式，再借助y＝ax的单调性求解．
(3)形如ax>bx的不等式，可借助两函数y＝ax，y＝bx的图象求解．
知识点六　指数型函数的单调性
一般地，有形如y＝af(x)(a>0，且a≠1)函数的性质
(1)函数y＝af(x)与函数y＝f(x)有 的定义域．
(2)当a>1时，函数y＝af(x)与y＝f(x)具有 的单调性；当0跟踪训练
一、单选题
1．已知，则（ ）
A． B． C． D．
2．如图所示，函数的图像是（ ）
A． B．
C． D．
3．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数": 设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，也称取整函数，例如: ，已知，则函数 的值域为（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
6．若，则a b c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
7．非零实数a，b满足，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数，若不等式对恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知函数，则（ ）
A．的值域为R B．是R上的增函数
C．是R上的奇函数 D．有最大值
10．已知函数是上的增函数，则实数的值可以是（ ）
A．4 B．3 C． D．
11．设，表示不超过的最大整数，例如：，，已知函数，则下列叙述中正确的是（ ）
A．是偶函数 B．是奇函数
C．在上是增函数 D．的值域是
12．已知函数的图象过原点，且无限接近直线，但又不与该直线相交，则（ ）
A．， B．的值域为
C．若，则 D．若，且，则
三、填空题
13．函数的值域为____.
14．已知是上的奇函数且单调递增，则下列函数是偶函数且在上单调递增的有_______.
①；②；③；④
15．已知定义在上的函数满足：①对于任意的，都有；②函数是偶函数；③当时，，则，，从小到大的排列是______.
16．已知函数关于点对称，若对任意的，恒成立，则实数的取值范围为_______.
四、解答题
17．已知定义在上的奇函数．在时，．
(1)试求的表达式；
(2)若对于上的每一个值，不等式恒成立，求实数的取值范围．
18．已知且，函数，
(1)求的单调区间和值域；
(2)若对于任意，总存在，使得成立，求的取值范围；
(3)若对于任意，任意，都有恒成立，求的取值范围．
19．已知函数，，若，．
(1)求，的解析式；
(2)若，试比较m，n的大小．
20．双曲函数是一类与常见的三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数（历史上著名的“悬链线问题”与之相关）．记双曲正弦函数为，双曲余弦函数为，已知这两个最基本的双曲函数具有如下性质：
①定义域均为，且在上是增函数；
②为奇函数，为偶函数；
③（常数是自然对数的底数，）．
利用上述性质，解决以下问题：
(1)求双曲正弦函数和双曲余弦函数的解析式；
(2)证明：对任意实数，为定值；
(3)已知，记函数，的最小值为，求
4.2 指数函数
目标导航
1.理解指数函数的概念，了解对底数的限制条件的合理性.
2.了解指数增长型和指数衰减型在实际问题中的应用．
3.掌握指数函数的图象和性质.
4.学会利用指数函数的图象和性质求函数的定义域、值域．
5.能利用指数函数的单调性比较与指数有关的大小问题.
6.能借助指数函数的单调性求解指数方程与指数不等式问题.
7.会求与指数函数有关的复合型函数的单调性问题．
知识解读
知识点一　指数函数的定义
一般地，函数 (a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R.
【答案】y＝ax
知识点二　两类指数模型
1．y＝kax(k>0，a>0且a≠1)，当 时为指数增长型函数模型．
2．y＝kax(k>0，a>0且a≠1)，当 时为指数衰减型函数模型．
【答案】a>1 0知识点三　指数函数的图象和性质
a>1 0图象
性质 定义域 R
值域
过定点 过定点 ，即x＝ 时，y＝
函数值的变化 当x<0时， ； 当x>0时， 当x>0时， ； 当x<0时，
单调性 在R上是 在R上是
对称性 y＝ax与y＝x的图象关于y轴对称
【答案】(0，＋∞) (0,1) 0 1 01 y>1 增函数 减函数
知识点四　比较幂的大小
一般地，比较幂大小的方法有
(1)对于同底数不同指数的两个幂的大小，利用 的单调性来判断．
(2)对于底数不同指数相同的两个幂的大小，利用 的单调性来判断．
(3)对于底数不同指数也不同的两个幂的大小，则通过 来判断．
【答案】指数函数 幂函数 中间值
知识点五　解指数方程、不等式
简单指数不等式的解法
(1)形如af(x)>ag(x)的不等式，可借助y＝ax的单调性求解．
(2)形如af(x)>b的不等式，可将b化为以a为底数的指数幂的形式，再借助y＝ax的单调性求解．
(3)形如ax>bx的不等式，可借助两函数y＝ax，y＝bx的图象求解．
知识点六　指数型函数的单调性
一般地，有形如y＝af(x)(a>0，且a≠1)函数的性质
(1)函数y＝af(x)与函数y＝f(x)有 的定义域．
(2)当a>1时，函数y＝af(x)与y＝f(x)具有 的单调性；当0【答案】相同 相同 相反
跟踪训练
一、单选题
1．已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据指数函数的单调性结合中间量法即可得出答案.
【详解】解：是增函数，故，
而，故.
故选：A.
2．如图所示，函数的图像是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】将原函数变形为分段函数，根据及时的函数值即可得解.
【详解】，
时，时，.
故选：B.
3．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数": 设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，也称取整函数，例如: ，已知，则函数 的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先求解函数的值域，在根据高斯函数的定义确定的值域.
【详解】解：因为，所以，则，所以函数的值域为，故的值域为-1或0.
故选：B
4．已知函数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将代入对应解析式即可.
【详解】当时，，.
故选：C.
5．已知，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，举例说明判断A，C，D；利用指数函数单调性判断B作答.
【详解】取，满足，显然有、、成立，即选项A，C，D都不正确；
指数函数在R上单调递增，若，则必有，B正确.
故选：B
6．若，则a b c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用幂函数和指数函数的单调性比较大小
【详解】因为在上单调递增，且，
所以，即，
因为在上单调递减，且，
所以，即，
所以，即
故选：A
7．非零实数a，b满足，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】对于选项A、B、C，举反例可判断，对于选项D，根据不等式的性质和指数函数的单调性可判断.
【详解】解：对于A，当 ，满足：非零实数a，b且，而，故A不正确；
对于B，当 ，满足：非零实数a，b且，而，故B不正确；
对于C，当时，，故C不正确；
对于D，因为非零实数a，b满足，所以，所以，故D正确，
故选：D.
8．已知函数，若不等式对恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据解析式可推导得到，由此可化简不等式得到；根据的单调性可得对恒成立，由可得结果.
【详解】，，，
则，可化为；
为上的增函数，为上的增函数，
对恒成立，即，
，，即实数的取值范围是.
故选：D.
二、多选题
9．已知函数，则（ ）
A．的值域为R B．是R上的增函数
C．是R上的奇函数 D．有最大值
【答案】ABC
【分析】，而得到的值域为R，判断A正确，D错误，根据增函数加增函数还是增函数进行判断B选项，根据函数奇偶性定义判断得到C选项.
【详解】，而，所以值域为R，A正确，D错误；
因为是递增函数，而是递增函数，所以是递增函数，B正确；
因为定义域为R，且，所以是R上的奇函数，C正确；
故选：ABC
10．已知函数是上的增函数，则实数的值可以是（ ）
A．4 B．3 C． D．
【答案】CD
【分析】由已知结合指数函数，一次函数及分段函数单调性要求建立关于的不等式组，解不等式可求.
【详解】解：因为是上的增函数，
所以，
解得.
故选：CD.
11．设，表示不超过的最大整数，例如：，，已知函数，则下列叙述中正确的是（ ）
A．是偶函数 B．是奇函数
C．在上是增函数 D．的值域是
【答案】BC
【分析】利用特殊值法可判断A选项；利用函数奇偶性的定义可判断B选项；利用函数单调性的性质可判断C选项；求出函数的值域，利用题中定义可判断D选项.
【详解】根据题意知，，
，，
所以，且，
所以，函数既不是奇函数，也不是偶函数，A错；
，
所以，函数为奇函数，B对；
因为函数为上的增函数，则函数为上的减函数，
故函数上的增函数，C对；
因为，则，所以，，故，
所以，函数的值域为，D错.
故选：BC.
12．已知函数的图象过原点，且无限接近直线，但又不与该直线相交，则（ ）
A．， B．的值域为
C．若，则 D．若，且，则
【答案】ABD
【分析】过原点得，由，可判断A；由得可判断B；画出的图象可判断C；由为偶函数可判断D.
【详解】∵过原点，∴，∴①，
又∵时，，∴时，，
由题，图象无限接近直线，则②，
由①②知，，故A正确；
所以，，，所以B正确；
由图知，在上单调递减，因为，则，
故C错误；
∵为偶函数，∴，
又∵，∴，∴，∴，故D正确.
故选：ABD.
三、填空题
13．函数的值域为____.
【答案】
【分析】函数是复合二次函数，换元转化为二次函数值域问题.
【详解】解：令，
函数化为
，即函数的值域为．
故答案为：
14．已知是上的奇函数且单调递增，则下列函数是偶函数且在上单调递增的有_______.
①；②；③；④
【答案】①③④
【分析】根据奇偶性定义域，单调性的性质判断即可.
【详解】解：因为是上的奇函数且单调递增，
故当时，，，
①为偶函数，且当时，单调递增，符合题意；
②，故不满足偶函数；
③，且时单调递增，符合题意；
④，满足偶函数，且当时，，，
根据对勾函数的单调性可知单调递增，符合题意．
故答案为：①③④
15．已知定义在上的函数满足：①对于任意的，都有；②函数是偶函数；③当时，，则，，从小到大的排列是______.
【答案】
【分析】由可得函数的周期为2，然后利用偶函数的性质和周期性将自变量转化到上，再由函数在上为增函数可比较大小
【详解】由题意，故函数为周期为的函数；
；；；
当时，是增函数，
故，即，
故答案为：
16．已知函数关于点对称，若对任意的，恒成立，则实数的取值范围为_______.
【答案】
【分析】由得使得不等式一边是参数，另一边是不含关于的式子，分离参数.
【详解】由为奇函数，可得其图像关于对称，
所以的图像关于对称，
由题目可知函数关于点对称，可得，
对任意的，恒成立
恒成立，
即在恒成立，
所以，
令，由，可得，
设，
当时，取得最大值，
所以的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】①分离参数法：遇到类似或等不等式恒成立问题，可把不等式化简为或的形式，达到分离参数的目的，再求解的最值处理恒成立问题；
②恒成立问题最终转化为最值问题，而分离参数法，最好之处就是转化后的函数不含参，避免了麻烦的分离讨论.
四、解答题
17．已知定义在上的奇函数．在时，．
(1)试求的表达式；
(2)若对于上的每一个值，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）依题意可得，再设，根据奇偶性及上的函数解析式，计算可得；
（2）依题意参变分离可得，令，，根据指数函数的性质求出函数的单调性，即可求出函数最小值，从而得解；
【详解】(1)解：是定义在上的奇函数，，
因为在时，，
设，则，
则，
故 .
(2)解：由题意，可化为
化简可得，
令，，
因为在定义域上单调递增，在上单调递减，
所以在上单调递减，
，
故．
18．已知且，函数，
(1)求的单调区间和值域；
(2)若对于任意，总存在，使得成立，求的取值范围；
(3)若对于任意，任意，都有恒成立，求的取值范围．
【答案】(1)函数的递增区间为，递减区间为，
(2)
(3)
【分析】（1）先判断函数的奇偶性，然后根据复合函数单调性之间的关系，即可求的单调区间和值域
（2）若对于任意，总存在，使得成立，即等价于且，然后可得取值范围.
（3）若对于任意，任意，都有恒成立，等价为，然后可得取值范围.
【详解】(1)
则，为偶函数
设，则函数等价为
若，当时，单调递增，且，此时函数在上单调递增，根据复合函数的单调性可知此时单调递增．
若，当时，单调递减，且，此时函数在上单调递减，根据复合函数的单调性可知此时单调递增．
综上当时，函数单调递增
函数是偶函数，当时，函数单调递减．
故函数的递增区间为，递减区间为．
函数的值域为]．
(2)且，
的对称轴为，
函数在时，函数单调递减．
，．
即，
若对于任意，总存在，使得成立，
即且，
则，即，
此时，
且，，
即的取值范围是；
(3)若对于任意，任意，都有恒成立
即
则，
，解得
且
即的取值范围
19．已知函数，，若，．
(1)求，的解析式；
(2)若，试比较m，n的大小．
【答案】(1)，；
(2)当时，；当时，；当时，；
【分析】（1）由已知得，代入即可求得，进而得解；
（2）分类讨论当，和时，结合已知即可得解.
【详解】(1)由，解得：，即
，
(2)由，得，
当时，有，所以，此时；
当时，，此时；
当时，，此时；
20．双曲函数是一类与常见的三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数（历史上著名的“悬链线问题”与之相关）．记双曲正弦函数为，双曲余弦函数为，已知这两个最基本的双曲函数具有如下性质：
①定义域均为，且在上是增函数；
②为奇函数，为偶函数；
③（常数是自然对数的底数，）．
利用上述性质，解决以下问题：
(1)求双曲正弦函数和双曲余弦函数的解析式；
(2)证明：对任意实数，为定值；
(3)已知，记函数，的最小值为，求．
【答案】(1)，
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）利用函数奇偶性的性质可得出关于、的等式组，即可求得这两个函数的解析式；
（2）利用指数的运算性质可证得结论成立；
（3）设，可得出，问题转化为求函数，的最小值，对实数的取值进行分类讨论，分析函数在上的单调性，即可求得的表达式.
【详解】(1)解：由性质③知，所以，
由性质②知，，，所以，
即，解得，.
因为函数、均为上的增函数，故函数为上的增函数，合乎题意.
(2)证明：由（1）可得：
.
(3)解：函数，设，
由性质①，在是增函数知，当时，，
所以原函数即，，
设，，
当时，在上单调递减，此时．
当时，函数的对称轴为，
当时，则，在上单调递减，此时，
当时，即时，在上单调递减，在上单调递增，
此时．
当时，即时，在上单调递减，此时．
综上所述，.
【点睛】“动轴定区间”型二次函数最值的方法：
（1）根据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论；
（2）根据二次函数的单调性，分别讨论参数在不同取值下的最值，必要时需要结合区间端点对应的函数值进行分析；
（3）将分类讨论的结果整合得到最终结果

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