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4.3 对数
目标导航
1.了解对数、常用对数、自然对数的概念.
2.会进行对数式与指数式的互化.
3.会求简单的对数值．
4.掌握积、商、幂的对数运算性质，理解其推导过程和成立条件.
5.掌握换底公式及其推论.
6.能熟练运用对数的运算性质进行化简求值．
知识解读
知识点一　对数的概念
1．对数的定义：
一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作 ，其中a叫做对数的 ，N叫做真数．
2．常用对数与自然对数
知识点二　对数与指数的关系
一般地，有对数与指数的关系：
(1)若a>0，且a≠1，则ax＝N logaN＝ .
(2)对数恒等式：＝ ；logaax＝ (a>0，且a≠1，N>0)．
知识点三　对数的性质
1．loga1＝ (a>0，且a≠1)．
2．logaa＝ (a>0，且a≠1)．
3．零和负数 ．
知识点四　对数的运算性质
如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么
(1)loga(M·N)＝logaM＋logaN.
(2)loga＝logaM－logaN.
(3)logaMn＝nlogaM(n∈R)．
知识点五　换底公式
1．logab＝(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0)．
2．对数换底公式的重要推论
(1)logaN＝(N>0，且N≠1；a>0，且a≠1)．
(2)＝logab(a>0，且a≠1，b>0)．
(3)logab·logbc·logcd＝logad(a>0，b>0，c>0，d>0，且a≠1，b≠1，c≠1)．
跟踪训练
一、单选题
1．下列运算中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列等式中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．已知,，则的值约为（精确到）（ ）
A． B． C． D．
4．某品牌计算器在计算对数时需按“log（a，b）”．某生在计算时（其中且）顺序弄错，误按“log（b，a）”，所得结果为正确值的4倍，则（ ）
A． B． C． D．
5．计算：（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
6．牛顿冷却定律描述物体在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度为，则经过一定时间t分钟后的温度T满足，h称为半衰期，其中是环境温度．若℃，现有一杯80℃的热水降至75℃大约用时1分钟，那么水温从75℃降至55℃，大约还需要（参考数据：，，）（ ）
A．3.5分钟 B．4.5分钟 C．5.5分钟 D．6.5分钟
7．已知，，则（ ）
A． B． C． D．
8．科学记数法是一种记数的方法.把一个数表示成与10的次幂相乘的形式，其中.当时，.若一个正整数的16次方是12位数，则是（ ）（参考数据：）
A．4 B．5 C．6 D．7
二、多选题
9．若，，则（ ）
A． B．
C． D．
10．下列运算中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11．若，，则（ ）
A． B．
C． D．
12．下列命题正确的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
13．方程的解是_________．
14．若，则___________.
15．若，且，则的值___．
16．计算___________
四、解答题
17．化简求值：
(1)；
(2)．
18．求值
19．（1）已知，求的值；
（2）化简并计算.
20．（1）已知，，试用表示；
（2）已知，，试用表示
4.3 对数
目标导航
1.了解对数、常用对数、自然对数的概念.
2.会进行对数式与指数式的互化.
3.会求简单的对数值．
4.掌握积、商、幂的对数运算性质，理解其推导过程和成立条件.
5.掌握换底公式及其推论.
6.能熟练运用对数的运算性质进行化简求值．
知识解读
知识点一　对数的概念
1．对数的定义：
一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作 ，其中a叫做对数的 ，N叫做真数．
2．常用对数与自然对数
【答案】x＝logaN 真数
知识点二　对数与指数的关系
一般地，有对数与指数的关系：
(1)若a>0，且a≠1，则ax＝N logaN＝ .
(2)对数恒等式：＝ ；logaax＝ (a>0，且a≠1，N>0)．
【答案】x N x
知识点三　对数的性质
1．loga1＝ (a>0，且a≠1)．
2．logaa＝ (a>0，且a≠1)．
3．零和负数 ．
【答案】0 1 没有对数
知识点四　对数的运算性质
如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么
(1)loga(M·N)＝logaM＋logaN.
(2)loga＝logaM－logaN.
(3)logaMn＝nlogaM(n∈R)．
知识点五　换底公式
1．logab＝(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0)．
2．对数换底公式的重要推论
(1)logaN＝(N>0，且N≠1；a>0，且a≠1)．
(2)＝logab(a>0，且a≠1，b>0)．
(3)logab·logbc·logcd＝logad(a>0，b>0，c>0，d>0，且a≠1，b≠1，c≠1)．
跟踪训练
一、单选题
1．下列运算中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据对数和指数的运算法则逐项计算即可.
【详解】，故A错误；
，故B错误；
，故C正确；
，故D错误.
故选：C.
2．下列等式中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】按照指数对数的运算性质依次判断4个选项即可.
【详解】对于A，当为奇数时，，当为偶数时，，错误；
对于B，，错误；
对于C，，错误；
对于D，，正确.
故选：D.
3．已知,，则的值约为（精确到）（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用对数的运算性质将化为和的形式，代入和的值即可得解.
【详解】.
故选：B
4．某品牌计算器在计算对数时需按“log（a，b）”．某生在计算时（其中且）顺序弄错，误按“log（b，a）”，所得结果为正确值的4倍，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题意可得，然后利用换底公式化简可求得结果
【详解】解：由题，
∴，即，
由于且，
∴，即．
故选：C
5．计算：（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】根据指数对数恒等式及对数的运算法则计算可得；
【详解】解：
；
故选：B
6．牛顿冷却定律描述物体在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度为，则经过一定时间t分钟后的温度T满足，h称为半衰期，其中是环境温度．若℃，现有一杯80℃的热水降至75℃大约用时1分钟，那么水温从75℃降至55℃，大约还需要（参考数据：，，）（ ）
A．3.5分钟 B．4.5分钟 C．5.5分钟 D．6.5分钟
【答案】C
【分析】根据已知条件代入公式计算可得，再把该值代入，利用对数的运算性质及换底公式即可求解.
【详解】解：由题意，℃，由一杯80℃的热水降至75℃大约用时1分钟，可得，
所以，
又水温从75℃降至55℃，所以，即，
所以，
所以，
所以水温从75℃降至55℃，大约还需要分钟.
故选：C.
7．已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由换底公式和对数运算法则进行化简计算.
【详解】由换底公式得：，，其中，，故
故选：C
8．科学记数法是一种记数的方法.把一个数表示成与10的次幂相乘的形式，其中.当时，.若一个正整数的16次方是12位数，则是（ ）（参考数据：）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【分析】根据题意得，进而结合题意得，再根据得，进而得.
【详解】解:由题意可设，
因为正整数的16次方是12位数，所以，所以，
因为，所以，所以，则，
又.78，所以.
故选：B
二、多选题
9．若，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【分析】根据对数的运算性质逐一运算即可得出答案.
【详解】解：对于A，，故A正确；
对于B，，故B错误；
对于C，，故C错误；
对于D，，故D正确.
故选：AD.
10．下列运算中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【分析】利用指数、对数、根式的运算法则化简即可.
【详解】因为，所以A错误；
因为，所以B正确；
因为，所以C错误；
因为，所以D正确.
故选：BD.
11．若，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】利用指对数的运算性质及其关系求出、、，结合对数函数的单调性判断各选项的正误.
【详解】由题设，，即，A正确；
，即，B错误，D正确；
由，则，C正确；
故选：ACD
12．下列命题正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】由对数运算性质可以判断选项A，取，即可判断选项B，由对数运算性质与可以判断选项C与D.
【详解】对于选项A，由对数运算性质知：有，而，选项A错误；
对于选项B，当时，成立，选项B正确；
对于选项C，，选项C正确；
对于选项D，，选项D正确．
故选：BCD.
三、填空题
13．方程的解是_________．
【答案】
【分析】根据对数的运算法则和运算性质，即可求解.
【详解】由对数的运算性质，可得，可得，解得．
故答案为：.
14．若，则___________.
【答案】
【分析】利用换底公式及对数的运算法则计算可得.
【详解】解：因为，所以，即，即，
所以；
故答案为：
15．若，且，则的值___．
【答案】
【分析】由题意可得，然后对化简计算即可
【详解】，且，
，，
．
故答案为：0．
16．计算___________
【答案】
【分析】利用对数运算及指数式与对数式互化计算作答
【详解】.
故答案为：
四、解答题
17．化简求值：
(1)；
(2)．
【答案】(1)3；(2)0
【分析】（1）根据对数的运算性质计算即可得出答案；
（2）根据指数的运算性质计算即可得解.
【详解】(1)解：
；
(2)解：
.
18．求值
【答案】0
【分析】根据对数的运算法则直接计算可得.
【详解】原式
.
19．（1）已知，求的值；
（2）化简并计算.
【答案】（1）11；（2）.
【分析】（1）根据指数幂的运算性质即可求解.
（2）根据指数幂，对数的运算性质即可求解.
【详解】解：（1），，
，.
（2）原式
.
20．（1）已知，，试用表示；
（2）已知，，试用表示．
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）（2）同类型题，根据指数与对数的互化及换底公式即可求解.
【详解】（1），，
，，
；
（2），，

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