资源简介

4.4 对数函数
目标导航
1.理解对数函数的概念.
2.会求与对数函数有关的定义域问题.
3.初步掌握对数函数的图象和性质.
4.掌握对数函数的图象和性质的简单应用.
5.了解反函数的概念及它们的图象特点．
6.掌握对数型复合函数单调区间的求法及单调性的判定方法
7.会解简单的对数不等式．
8.了解常用的描述现实世界中不同增长规律的函数模型.
9.了解直线上升、指数爆炸、对数增长等增长含义.
10.能根据具体问题选择合适函数模型．
知识解读
知识点一　对数函数的概念
一般地，函数 叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是 ．
知识点二　对数函数的图象和性质
对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象和性质如下表
y＝logax (a>0，且a≠1)
底数 a>1 0图象
定义域
值域 R
单调性 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数
共点性 图象过定点 ，即x＝1时，y＝0
函数值特点 x∈(0,1)时， y∈ ； x∈[1，＋∞)时， y∈ x∈(0,1)时， y∈ ； x∈[1，＋∞)时， y∈
对称性 函数y＝logax与y＝的图象关于 对称
知识点三　反函数
指数函数 (a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0且a≠1)互为反函数．它们的定义域与值域正好互换．
知识点四　对数型函数的性质及应用
1．y＝logaf(x)型函数性质的研究
(1)定义域：由f(x)>0解得x的取值范围，即为函数的定义域．
(2)值域：在函数y＝logaf(x)的定义域中确定t＝f(x)的值域，再由y＝logat的单调性确定函数的值域．
(3)单调性：在定义域内考虑t＝f(x)与y＝logat的单调性，根据同增异减法则判定．(或运用单调性定义判定)
(4)奇偶性：根据奇偶函数的定义判定．
(5)最值：在f(x)>0的条件下，确定t＝f(x)的值域，再根据a确定函数y＝logat的单调性，最后确定最值．
2．logaf(x)(1)讨论a与1的关系，确定单调性．
(2)转化为f(x)与g(x)的不等关系求解，且注意真数大于零．
知识点五　三种常见函数模型的增长差异
函数 性质 y＝a x(a>1) y＝logax (a>1) y＝kx (k>0)
在(0，＋∞) 上的增减性
图象的变化 随x的增大逐渐变“陡” 随x的增大逐渐趋于稳定 随x的增大匀速上升
增长速度 y＝ax的增长 y＝kx的增长，y＝kx的增长 y＝logax的增长
增长后果 会存在一个x0，当x>x0时，有
跟踪训练
一、单选题
1．已知函数（且，，为常数）的图象如图，则下列结论正确的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
2．设，，则下列叙述正确的是（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
3．函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
4．函数是定义在R上的偶函数，且在单调递增，若，，，则（ ）
A． B．
C． D．
5．已知函数，，则图像交于两点，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数，若，则（ ）
A． B．
C． D．以上选项均有可能
7．已知，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
8．已知实数，且，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列函数为偶函数且在上是增函数的是（ ）
A． B．
C． D．
10．若，则下列说法中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11．已知函数，且的图象过两点，则下列函数图象（部分）正确的是（ ）
A． B．
C． D．
12．已知实数 满足 ， 且 ， 则下列不等式不一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
13．已知函数，设，，，则的大小关系_______.
14．设函数，若函数的值域为，则实数的取值范围是___．
15．不等式的解集为______.
16．关于函数有以下4个结论：
①该函数是偶函数；
②定义域为；
③递增区间为；
④最小值为；
其中正确结论的序号是____．
四、解答题
17．已知函数.
(1)当时，求的定义域；
(2)若对任意的恒成立，求的取值范围.
18．已知函数．
(1)求函数f（x）的值域；
(2)若，且，求实数m的取值范围．
19．已知函数是上的偶函数，且当时，.
(1)求的值；
(2)求函数的表达式，并直接写出其单调区间（不需要证明）；
(3)若，求实数的取值范围.
20．定义在D上的函数，如果满足：对任意，存在常数，都有成立，则称是D上的有界函数，其中M称为函数的一个上界，已知函数，奇函数；
(1)求函数在区间上的所有上界构成的集合；
(2)若函数在上是以5为上界的有界函数，求实数a的取值范围
4.4 对数函数
目标导航
1.理解对数函数的概念.
2.会求与对数函数有关的定义域问题.
3.初步掌握对数函数的图象和性质.
4.掌握对数函数的图象和性质的简单应用.
5.了解反函数的概念及它们的图象特点．
6.掌握对数型复合函数单调区间的求法及单调性的判定方法
7.会解简单的对数不等式．
8.了解常用的描述现实世界中不同增长规律的函数模型.
9.了解直线上升、指数爆炸、对数增长等增长含义.
10.能根据具体问题选择合适函数模型．
知识解读
知识点一　对数函数的概念
一般地，函数 叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是 ．
【答案】y＝logax(a>0，且a≠1) (0，＋∞)
知识点二　对数函数的图象和性质
对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象和性质如下表
y＝logax (a>0，且a≠1)
底数 a>1 0图象
定义域
值域 R
单调性 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数
共点性 图象过定点 ，即x＝1时，y＝0
函数值特点 x∈(0,1)时， y∈ ； x∈[1，＋∞)时， y∈ x∈(0,1)时， y∈ ； x∈[1，＋∞)时， y∈
对称性 函数y＝logax与y＝的图象关于 对称
【答案】(0，＋∞) (1,0) (－∞，0) (0，＋∞) [0，＋∞) (－∞，0] x轴
知识点三　反函数
指数函数 (a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0且a≠1)互为反函数．它们的定义域与值域正好互换．
【答案】y＝ax
知识点四　对数型函数的性质及应用
1．y＝logaf(x)型函数性质的研究
(1)定义域：由f(x)>0解得x的取值范围，即为函数的定义域．
(2)值域：在函数y＝logaf(x)的定义域中确定t＝f(x)的值域，再由y＝logat的单调性确定函数的值域．
(3)单调性：在定义域内考虑t＝f(x)与y＝logat的单调性，根据同增异减法则判定．(或运用单调性定义判定)
(4)奇偶性：根据奇偶函数的定义判定．
(5)最值：在f(x)>0的条件下，确定t＝f(x)的值域，再根据a确定函数y＝logat的单调性，最后确定最值．
2．logaf(x)(1)讨论a与1的关系，确定单调性．
(2)转化为f(x)与g(x)的不等关系求解，且注意真数大于零．
知识点五　三种常见函数模型的增长差异
函数 性质 y＝a x(a>1) y＝logax (a>1) y＝kx (k>0)
在(0，＋∞) 上的增减性
图象的变化 随x的增大逐渐变“陡” 随x的增大逐渐趋于稳定 随x的增大匀速上升
增长速度 y＝ax的增长 y＝kx的增长，y＝kx的增长 y＝logax的增长
增长后果 会存在一个x0，当x>x0时，有
【答案】单调递增 单调递增 单调递增 快于 快于 ax>kx>logax
跟踪训练
一、单选题
1．已知函数（且，，为常数）的图象如图，则下列结论正确的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【分析】根据函数图象及对数函数的性质可求解.
【详解】因为函数为减函数，所以
又因为函数图象与轴的交点在正半轴，所以，即
又因为函数图象与轴有交点，所以，所以，
故选：D
2．设，，则下列叙述正确的是（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】A
【分析】利用函数的单调性分析判断即可
【详解】因为和在上均为增函数，
所以在上为增函数，
所以时，得，反之也成立，
即时，，反之也成立，
所以时，，反之也成立，
故选：A
3．函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由对数的真数大于零和二次根式的被开方数非负求解即可
【详解】由题意得，得，
所以函数的定义域为，
故选：A
4．函数是定义在R上的偶函数，且在单调递增，若，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】先由偶函数得，再比较的大小，结合单调性即可求解.
【详解】由偶函数知，又，，，
显然，又在单调递增，则.
故选：C.
5．已知函数，，则图像交于两点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】作出和的图像，不妨设，由对数的运算性质和指数的运算性质进行计算后即可判断.
【详解】不妨设，
作出和的图像，由图像知，，
则，
则，
即，即，即，
故选：C．
6．已知函数，若，则（ ）
A． B．
C． D．以上选项均有可能
【答案】C
【分析】作出函数的图象结合可得到a,b的取值范围以及a,b之间的关系式，整理变形即可判断出答案.
【详解】作出函数的图象，如图：
由题意可知，，且由图象可知，，
所以即，
所以，即，，
即，
故选：C
7．已知，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据指数函数和对数函数的性质判断的范围，即可判断大小，即得答案.
【详解】由于，
故，
故选：C
8．已知实数，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】对，利用换底公式等价变形，得，结合的单调性判断，同理利用换底公式得，即，再根据对数运算性质得，结合单调性， ，继而得解.
【详解】由，变形可知，
利用换底公式等价变形，得，
由函数在上单调递增知，，即，排除C，D；
其次，因为，得，即，
同样利用的单调性知，，
又因为，得，即，所以.
故选：B.
二、多选题
9．下列函数为偶函数且在上是增函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【分析】根据各函数的性质直接判断即可
【详解】对A，为偶函数且在上是增函数，故A正确；
对B，为偶函数且在上是减函数，故B错误；
对C，不为偶函数，故C错误；
对D，为偶函数且在上是增函数，故D正确
故选：AD
10．若，则下列说法中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】CD
【分析】直接利用指数函数，对数函数，幂函数的单调性去判断即可
【详解】由于
对于选项A：由于 ，所以函数 为减函数，所以 ，故选项A错误
对于选项B：由于 ，所以函数 为减函数，所以 ，故选项B错误
对于选项C：由于，所以函数 为增函数，所以 ，故选项C正确
对于选项D：，根据运算关系，当真数相同时，底数越大，对数越大，所以，故选项D正确
故选：CD
11．已知函数，且的图象过两点，则下列函数图象（部分）正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】根据给定条件，求出常数a，b的值，再逐项分析即可判断作答.
【详解】由函数的图象过两点，则有，解得，
对于A，函数的图象过点，点，A正确；
对于B，函数的图象过点，点，B正确；
对于C，函数的图象不过点，C不正确；
对于D，函数的图象过点，点，D正确.
故选：ABD
12．已知实数 满足 ， 且 ， 则下列不等式不一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】根据不等式性质可判断则 ，b的情况不定，由此可判断A中成立，由于c与1的大小关系不确定,因此可判断B,D; b的情况不定，当时，不成立，判断C.
【详解】实数 满足 ， 且 ，
则 ，b的情况不定，
故一定成立，
由题意可知，, c与1的大小关系不确定,
当时，函数 单调性不确定，因此不一定成立；
当时，不成立，
由于c与1大小关系不定，函数单调性不确定，故不一定成立，
故选：BCD
三、填空题
13．已知函数，设，，，则的大小关系_______.
【答案】
【分析】首先判断函数的奇偶性，再判断函数的单调性，根据奇偶性与单调性比较函数值的大小即可；
【详解】解：因为定义域为，又，
所以是偶函数，且时，因为与在上单调递增，
所以在上单调递增，
又，所以，
即.
故答案为：
14．设函数，若函数的值域为，则实数的取值范围是___．
【答案】
【分析】先分别求出，时函数的值域，在由条件可得出答案.
【详解】时，，时，，
由函数的值域为，，
所以实数的取值范围是．
故答案为：
15．不等式的解集为______.
【答案】
【分析】运用对数函数的单调性，及二次不等式的解法，即得.
【详解】由，可得，
所以，
解得：或，
不等式的解集为.
故答案为：.
16．关于函数有以下4个结论：
①该函数是偶函数；
②定义域为；
③递增区间为；
④最小值为；
其中正确结论的序号是____．
【答案】③④
【分析】利用函数有意义求得定义域，得②错误；利用偶函数定义得①错误，然后利用复合函数的单调性得③正确，当时函数取最小值为，故④正确.
【详解】函数的定义域为，故②错误；
，故不是偶函数，故①错误；
令，则，
由的单调递增区间为；
为增函数，故函数的递增区间为，故③正确；
当时函数取最小值为，故④正确；
故正确结论的序号是：③④．
故答案为：③④
四、解答题
17．已知函数.
(1)当时，求的定义域；
(2)若对任意的恒成立，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据对数函数、指数函数的性质计算可得；
（2）依题意可得对任意的恒成立，参变分离可得对任意的恒成立，再根据指数函数的性质计算可得；
【详解】(1)解：当时，令，
即，即，解得，所以的定义域为.
(2)解：由对任意的恒成立，
所以对任意的恒成立，
即对任意的恒成立，
因为是单调递减函数，是单调递减函数，
所以在上单调递减，所以，
所以在上单调递减，所以，
所以，即的取值范围为.
18．已知函数．
(1)求函数f（x）的值域；
(2)若，且，求实数m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)利用对数运算将函数化简，再使用换元法即可求得函数值域;(2)用换元法得到两根的关系，再根据方程有两根，以及韦达定理，即可求得参数范围.
【详解】(1)因为定义域为，
则
设，
令，
所以值域为
(2)设，
因为
所以
即，
即，所以
则的两根为
整理得
因为
解得
再由韦达定理可得:
则

解得
综上，
19．已知函数是上的偶函数，且当时，.
(1)求的值；
(2)求函数的表达式，并直接写出其单调区间（不需要证明）；
(3)若，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)
【分析】（1）根据偶函数的性质直接计算；
（2）当时，则，根据偶函数的性质即可求出；
（3）由题可得，根据单调性可得，即可解出.
【详解】(1)因为是上的偶函数，所以.
(2)当时，则，则，
故当时，，
故，
故的单调递增区间为，单调递减区间为.
(3)若，即，即
因为在单调递减，所以，
故或，解得：或，
即.
20．定义在D上的函数，如果满足：对任意，存在常数，都有成立，则称是D上的有界函数，其中M称为函数的一个上界，已知函数，奇函数；
(1)求函数在区间上的所有上界构成的集合；
(2)若函数在上是以5为上界的有界函数，求实数a的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据复合函数单调性的性质，结合题中所给的定义进行求解即可；
（2）根据题中的定义，根据绝对值的性质，结合换元法、构造函数法，利用函数的单调性进行求解即可.
【详解】(1)函数为奇函数，所以，
即，所以，解得，
而当时，不合题意，故.
所以，
由在区间上单调递减，结合复合函数的单调性可知，函数在区间上单调递增，
且，
所以在区间上值域为，所以，
根据定义可知：当时，成立，
故函数在区间上的所有上界构成的集合为；
(2)因为函数在上是以5为上界的有界函数，
所以在上恒成立，即，即，
所以在上恒成立，
所以，
令，，，
易知在上递减，所以，
在上递增，所以，
所以，即实数的取值范围为.
【点睛】解决本题的关键一是对题中所给的定义的理解，二是对换元法的应用、熟练掌握常见函数的单调性，考查学生的逻辑推理能力与理解能力，属于难题

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